Ciências da Natureza e
suas Tecnologias - FÍSICA
Ensino Médio, 2ª Série
Ondulatória: Movimento Harmônico
Simples e a cinemática no MHS
FÍSICA, 2ª Ano
Ondulatória: Movimento Harmônico Simples e a
cinemática no MHS
Imagem: Jkrieger / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
Observe o movimento
-A
0
A
•Movimento oscilatório: todo movimento de vaivém realizado
simetricamente em torno de um ponto de equilíbrio.
•Movimento periódico: todo movimento oscilatório que se repete
em intervalos de tempo iguais.
Quando um movimento se repete em torno de uma posição
de equilíbrio, em intervalos de tempo regulares, é chamado
Movimento Harmônico Simples (MHS).(1)
3
Veja alguns exemplos
Imagem: Tibbets74 / GNU Free Documentation License
Oscilador harmônico simples (oscilador massa-mola)
Imagem: Dbfls / GNU Free Documentation License
4
Posição
Imagem: Mazemaster / Public Domain
Órbita
Velocidade
Oscilador
massa-mola
vertical
Características do movimento periódico
Período (T): menor intervalo de tempo no qual o evento se repete. Dado
em segundos (no S.I.).
Frequência (f): o número de períodos que cabem numa determinada
unidade de tempo. Se essa unidade de tempo for o segundo, a
frequência será dada em Hertz (Hz).
1
f
T
Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir de
ilustração de Autor Desconhecido.
•Elongação (x): número real que indica a posição do objeto oscilante;
corresponde à abscissa do ponto P no eixo Ox.
•Amplitude (A): a maior elongação apresentada pelo objeto oscilante;
corresponde ao raio do M.C.U.
•Ângulo de Fase (): posição angular do ponto P no M.C.U.
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Função horária da elongação(X)
x  A.cos 
  0  .t
x  A.cos(0  .t )
Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor
Desconhecido.
Função horária da elongação do MHS
Função da velocidade e velocidade máxima

vmhs

v
vmhs  v.sen  .A.sen(0  .t )
v  .A.sen(0  .t)
Função horária da velocidade
Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor Desconhecido.
v  ²A²  x² 
Nos pontos de inversão
do movimento, V=0. No
ponto x=0, a velocidade
tem valor máximo.
2
Equação de Torricelli
vmáx  .A
9
Função da aceleração e aceleração máxima

a mhs

ac
amhs  ac . cos   ². A. cos(0  .t )
a mhs  ².A.cos(0  .t)
Função da aceleração do MHS
Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir
de ilustração de Autor Desconhecido.
a   ².x
Aceleração
em função da
elongação
No ponto central, a
aceleração é nula,
pois x=0. Nos pontos
de inversão, temos o
valor máximo e o
mínimo. (1)
a máx  ².A
10
Gráficos do MHS – Posição x tempo
Imagens: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor Desconhecido.
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Gráficos do MHS – velocidade x tempo
Imagens: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor Desconhecido.
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Gráficos do MHS – aceleração x tempo
Imagens: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor Desconhecido.
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Imagem: Autor desconhecido / Creative Commons Attribution-Share Alike 1.0 Generic
Imagem: Gonfer / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
EXEMPLOS
Um corpo realiza umMHS regido pela lei horária
x=10cos no ( Π/4 . t + Π/ 2) no SI.
Determine:
a) As funções horárias de velocidade e da
aceleração;
b) A velocidade e a aceleração do corpo no
instante t=2s;
c) Os gráficos da elongação, velocidade e
aceleração em função do tempo desse
movimento.
Uma partícula tem o deslocamento dedo pela seguinte
equação x=6.cos(6 Π.t + Π), no SI.
a)
b)
c)
d)
Qual é a velocidade angular do movimento?
Qual é a frequência e o periódo?
Encontre o valor da amplitude e da fase inicial?
Qual deve ser a sua posição em t=0s e t=0,5s?
Cálculo do período do pêndulo simples
Imagem: Justus Sustermans / United States Public Domain
Imagem: Vincenzo Viviani / United States Public Domain
Galileu percebeu que o período do movimento
pendular não depende da amplitude (conhecido
como isocronismo do pêndulo). Este fato,
devidamente trabalhado por Huygens, veio a
revolucionar a forma de medir intervalos de
tempo e, portanto, de construir relógios.
Medidas de tempo são imprescindíveis na
observação dos fenômenos físicos. (1)
16
Um pouco de história da física
São bem conhecidas as histórias sobre as experiências
que levaram o astrônomo e físico italiano Galileu Galilei
(1564-1642) à descoberta das leis do pêndulo e das leis
da queda livre. Nos dois casos, não há uma data precisa
de quando ele foi motivado a realizar as experiências
que o levaram à formulação daquelas leis. Essa
imprecisão, segundo o físico e historiador da ciência, o
norte-americano Tony Rothman, em seu livro Tudo é
Relativo e Outras Fábulas da Ciência e Tecnologia (DIFEL,
2005), decorre do fato de que tais histórias não foram
registradas por Galileu em nenhum de seus livros, e sim
que elas foram descritas por seu discípulo, o físico
italiano Vincenzio Viviani (1622-1703), em um livro
inacabado que escreveu sobre a vida de seu mestre.
Como era um perfeccionista, levou cinquenta anos
vendo e revendo o que escrevia, sem concluí-lo. Morreu
sem vê-lo publicado, o que só aconteceu em 1717. (2)
Imagem: Domenico Tempesti / United States public domain
No livro Galileu: Uma Vida (José Olympio, 1995) e no
livro Galileu Galilei (Nova Fronteira, 1997), os autores
dizem que Galileu foi levado a descobri-las (as leis) ao
observar, quando assistia à missa na Catedral de Pisa,
que o período de oscilações de um candelabro (lanterna
decorativa), colocado em movimento pelo vento, não
dependia do fato de que tais oscilações fossem rápidas
ou lentas. Ele comparou os períodos dessas oscilações
contando sua própria pulsação. Registre-se que esse
isocronismo já havia sido observado, no século X, pelo
astrônomo árabe Ibn Junis.(2)
PERÍODO DO PÊNDULO SIMPLES
Imagens: Algarabia / Public Domain
amáx   ². A
A  sen .L
amáx   ².sen .L
L
  2
g
OSCILADOR HARMÔNICO HORIZONTAL
amáx   ². A
Imagem: Dbfls / GNU Free Documentation License
Oscilador harmônico simples (oscilador massa-mola)
Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor Desconhecido.
OSCILADOR HARMÔNICO VERTICAL
Mas, como o peso não varia
conforme o movimento, este
pode ser considerado como uma
constante,
então
a
força
resultante é do tipo -K.X.
Assim,
a
força
varia
proporcionalmente à elongação
do movimento, portanto é um
MHS, cujo período é expresso
por:
MHS no Cotidiano
Na vida cotidiana, os movimentos harmônicos são bastante frequentes. São exemplos disso
os movimentos de uma mola, de um pêndulo e de uma corda de violão.
Cada um desses movimentos oscilatórios realiza movimentos de vaivém em torno de uma
posição de equilíbrio e são caracterizados por um período e por uma frequência. (3)
Imagem: Roger McLassus /
GNU Free Documentation License
Imagem: Carivaldi / GNU
Free Documentation License
Imagem: PJ / GNU Free Documentation License
Texto extraído do site: http://fisicaemdia.tumblr.com/page/2
O estudo do movimento harmônico simples foi fundamental para diversas inovações
tecnológicas, desde a construção de relógios de pêndulo até estudos espaciais que
possibilitaram, entre outras coisas, a criação de satélites artificiais e sondas
espaciais(4).
Imagem: Loadmaster / GNU Free Documentation License
Imagem: U.S. Air Force / Public Domain
Texto extraído do site: http://fisicaemdia.tumblr.com/page/2
O MHS também é introdutório ao estudo de sistemas nãoharmônicos, que podem ser estudados pela composição de
ondas harmônicas e adaptados pelas leis conhecidas.(5)
Tacoma bridge
Imagem: Kathy Calm / GNU Free Documentation License
Tabela de Imagens
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4.a
4.b
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SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de
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Pendulum_Oscillator.gif
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C3%B4nico_simples
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28/03/2012
28/03/2012
29/03/2012
Acervo SEE-PE
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Acervo SEE-PE
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Acervo SEE-PE
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Acervo SEE-PE
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Acervo SEE-PE
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Acervo SEE-PE
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Acervo SEE-PE
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23.a
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23.c
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28/03/2012
28/03/2012
28/03/2012
28/03/2012
28/03/2012
29/03/2012
28/03/2012
28/03/2012
28/03/2012
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