ME623A
Planejamento e Pesquisa
4. Experimentos em Blocos
1. Blocos Completos Aleatorizados
a)
b)
c)
d)
e)
2.
3.
4.
5.
Definição
Análise Estatística
Decomposição da Soma de Quadrados
Tabela Anova
Estimação dos Parâmetros
Quadrados Latinos
Quadrados Greco-Latinos
Delineamento Cruzados
Blocos Balanceados Incompletos
Delineamentos Cruzados (Crossover)
Cada unidade experimental (UE) recebe todos os
tratamentos sendo estudados
 Períodos de tempo são um fator no experimento
 De forma geral, existem a tratamentos a serem
testados em a períodos de tempo usando na UEs
 Delineamento comumente usado em ensaios
clínicos para testar medicamentos

washout
Tempo
Trat 1 Obs
Trat 2 Obs
Delineamentos Cruzados (Crossover)

Caso mais simples: temos dois tratamentos (A e
B) e cada indivíduo deve receber ambos

Exemplo: uma indústria farmacêutica deseja testar
o efeitos de dois medicamentos (A e B) em 10
pacientes

Metade dos pacientes será submetida à sequência
AB, enquanto a outra metade fará a sequência BA

Entre uma medicação e outra, deve-se
haver um intervalo, chamado de
washout, para que o efeito residual do
primeiro medicamento seja eliminado
Delineamentos Cruzados (Crossover)
No 1º período, metade dos pacientes (escolhidos
aleatoriamente) recebem medicamento A,
enquanto a outra metade recebe medicamento B
 Depois do período de washout, quem recebeu o
medicamento A no 1º período agora recebe
medicamento B e vice-versa
 O experimento será analisado como um conjunto
de 5 quadrados latinos 2x2

indivíduos
ordem
1
1
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A B A B B A A B B A
B A B A A B B A A B
Delineamentos Cruzados (Crossover)
As linhas representam os períodos de tempo
 As colunas representam os indivíduos (2 indivíduos
por quadrado latino)
 Os indivíduos podem ser numerados de 1 a 10,
como na figura, ou então como 1 e 2 dentro de
cada quadrado. Nesse caso, dizemos que os
indivíduos estão nested nos quadrados

indivíduos
ordem
1
1
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A B A B B A A B B A
B A B A A B B A A B
Tabela ANOVA – Delineamento Cruzado

Mesma tabela que o Caso 2 dos QL com replicação
Delineamentos com Efeito Residual

Utilizar quadrados latinos também em
experimentos com efeito residual (carryover)

No exemplo dos medicamentos A e B, suponha
que a observação no 2º período para o
medicamento B ainda reflita algum efeito do
medicamento A tomado no 1º período
Blocos Incompletos Balanceados

Em alguns experimentos com blocos
aleatorizados, pode não ser possível rodar todas
as combinações de tratamentos em cada bloco

Lembrem do exemplo das ponteiras: quatro
ponteiras furam uma placa de metal (bloco) e a
profundidade do furo determina a dureza da peça
Ponteira Placa 1 Placa 2 Placa 3 Placa 4
1
y11
y12
y13
y14
2
y21
y22
y23
y24
3
y31
y32
y33
y34
4
y41
y42
y43
y44
Blocos Incompletos Balanceados

Suponha agora que seja possível furar cada placa
de metal apenas em três lugares

Então não podemos testar todas as ponteiras em
cada placa
Ponteir
a

Placa de Metal
(Bloco)
1
2
3
1
2
3
9.3
--9.2
9.4
9.3
9.4
--9.8
9.5
4
9.7
---
10.0
4
10.0
9.9
--10.2
Como analisar esse tipo de experimento?
Blocos Incompletos Balanceados

Quando nem todo tratamento está presente
dentro de um bloco, temos Experimentos com
Blocos Aleatorizados Incompletos

Se além disso, quaisquer dois tratamentos
aparecem juntos um mesmo número de vezes,
temos Experimentos com Blocos Incompletos
Balanceados (BIB)

De forma geral, temos a tratamentos e b blocos.
Além disso, cada bloco contém k tratamentos e
cada tratamento ocorre r vezes no experimento
(ou é replicado r vezes).

O número total de observações é N = ar = bk
Blocos Incompletos Balanceados

Então temos,
a=
k=
b=
r=
Número de tratamentos
Tamanho dos blocos (k<a)
Número de blocos
Replicações de cada tratamento

O número de vezes que cada par de tratamentos
aparece no mesmo bloco é

O parâmetro λ deve ser um inteiro para que o
experimento seja balanceado
Exemplo das Ponteiras

As observações estão na tabela abaixo
Ponteir
a

Placa de Metal
(Bloco)
1
2
3
4
yi.
1
2
3
9.3
--9.2
9.4
9.3
9.4
--9.8
9.5
10.0
9.9
---
28.7
29.0
28.1
4
9.7
---
10.0
10.2
29.9
y.j
28.2
28.1
29.3
30.1
y..=115.7
Temos um experimento com BIB, sendo
a=4, b=4, k=3, r=3, λ=2 e N=12
Modelo Estatístico – Efeitos Fixos

As observações são descritas da mesma forma que
no modelo com blocos completos:

Restrições:
Blocos Incompletos Balanceados

A variabilidade total é particionada como:
onde a SS dos tratamentos é ajustada para
separar os efeitos dos blocos e tratamento

Esse ajuste é necessário já que cada tratamento é
representado num conjunto diferente de r blocos

Então, a diferença entre os tratamentos é também
afetada pelas diferenças entre os blocos
Cálculos das Somas de Quadrados

A SSBlocos, com b – 1 graus de liberdade é:
em que y.j é o total do j-ésimo bloco

A SSA(ajust) é dada por:
em que Qi é o total ajustado para o i-ésimo
tratamento, calculado como:
Cálculos das Somas de Quadrados
com

Note que

Como antes, a SSE é calculada por subtração
com N – a – b + 1 graus de liberdade

A estatística do teste para testar igualdade das
médias dos tratamentos é:
Tabela ANOVA
Blocos Incompletos Balanceados
Exercício: Use o exemplo das ponteiras com blocos
incompletos balanceados e construa a tabela
ANOVA
Exemplo das Ponteiras

As observações estão na tabela abaixo
Ponteir
a

Placa de Metal
(Bloco)
1
2
3
4
yi.
1
2
3
9.3
--9.2
9.4
9.3
9.4
--9.8
9.5
10.0
9.9
---
28.7
29.0
28.1
4
9.7
---
10.0
10.2
29.9
y.j
28.2
28.1
29.3
30.1
y..=115.7
Temos um experimento com BIB, sendo
a=4, b=4, k=3, r=3, λ=2 e N=12
Análise Estatística - BIB
Exemplo das Ponteiras

A SST e SSBlocos são calculadas da seguinte forma:
Exemplo das Ponteiras

Para calcular a SSA(ajustado), precisamos primeiro
determinar os totais dos tratamentos ajustados:

Daí podemos calcular a SSA(ajustado)
Tabela ANOVA - Blocos Incompletos Balanceados
Exemplo Ponteiras

Por fim, calculamos a SSE

Tabela ANOVA

Como o p-valor é pequeno (0.019), concluímos que a
ponteira tem um efeito significativo na dureza do
material
Desenho de Quadrado de Youden

Willian J.Youden

Propôs o modelo para um estudo de
plantas de tabaco

Tratamentos foram aplicados à folhas no
topo, meio e parte baixa de 7 plantas de
tabaco (blocos).
Desenho de Quadrado de Youden

Tratamentos ficam faltando em blocos

Em geral, este modelo pode ser
construído de um desenho de blocos
incompletos balanceado reorganizando os
tratamentos de tal forma que cada
tratamento é assinalado para cada posição
o mesmo número de vezes.
Desenho de Quadrado de Youden
Yijk = m + ai + b j + g k + eijk
1£ i £ a,1£ j £ b,1 £ k £ c
Desenho de Quadrado de Youden

Usar o ajustado quando for de interesse
testar o bloco. Ele é obtido abrindo a
soma dos quadrados totais de forma
diferente.
Desenho de Quadrado de Youden