Capítulo 10 – Dinâmica do movimento
de rotação
10.1 – Torque
Força causa aceleração. O que causa aceleração angular?
Vejamos o desenho ao lado.
Claramente a força FB deve causar
uma aceleração angular maior que
a força FA, enquanto que a força FC
não deve causar aceleração
angular nenhuma
FC
Torque:
Ftg  F sen

F



O
 
r
l
 
  r  F (vetor tor
que)

Unidades S.I.: N.m
Direção e sentido: regra da mão direita
Módulo:

    rF sen  rFtg
Só há torque quando há componente tangencial da
força (força radial não produz torque)
Outra interpretação do torque:
l : Braço de alavanca
Exemplo: Y&F 10.1
  Fr sen  Fl
10.2 – Torque e aceleração angular de um corpo
rígido Corpo rígido girando em torno de um eixo fixo: só a
componente tangencial da força produz aceleração angular
Componente
axial da força
Eixo de
rotação
Componente tangencial da força:
produz componente z do torque
Corpo
rígido
em
rotação
Trajetória
da
partícula
2ª Lei de Newton para a
componente tangencial:
Componente
radial da
força
F1,tg  m1a1,tg
F1,tg r1  m1r1a1,tg  m1r12 z
Componente z
do torque
 1, z
F1,tg r1  m1r12 z
I1
1, z  I1 z
Momento de inércia
em relação ao eixo
Torque em relação a um ponto versus torque em relação a um eixo:



  F1,tg r
 z   sen  F1,tg rsen  F1,tg r1
Somando por todas as partículas do CR:


2


m
r

 i, z  i i  z
i


i
i,z
 I z

i
2ª Lei de Newton para rotação de um corpo rígido
Repare que a soma dos torques inclui apenas as forças externas
(os torques das forças internas se cancelam pela 3ª Lei de Newton)
Exemplos: Y&F 10.2 e 10.3
10.3 – Rotação de um corpo rígido em torno de
um eixo móvel
Movimento mais geral de um corpo rígido é a combinação da
translação do centro de massa com a rotação em torno de um eixo
que passa pelo centro de massa
Energia cinética de um corpo rígido (quadro-negro):
Energia cinética
de translação
1
1
2
K  MV cm  I cm 2
2
2
Energia cinética
de rotação
Rolamento sem deslizamento:
Ponto de contato com a superfície deve permanecer instantaneamente
em repouso. Isto impõe a condição:
Vcm  R
Como já dissemos, o movimento pode ser visto como a combinação
da translação do centro de massa com a rotação em torno do eixo
que passa pelo centro de massa, de modo que a energia cinética
pode ser escrita como:
1
1
2
2
K
2
MV cm 
2
I cm
Alternativamente, o movimento pode ser visto, instantaneamente,
como uma rotação pura em torno do eixo que passa pelo ponto de
contato com a mesma velocidade angular ω:
Desta forma, a energia cinética é:
1
K  I1 2
2
Pelo Teorema dos Eixos Paralelos:
I1  I cm  MR2
v  R  Vcm
v  (2R)  2Vcm
Assim:


1
K  I cm  MR 2  2
2
1
1
K  M 2 R 2  I cm 2
2
2
(de acordo com o
1
1
2
2
K  MV cm  I cm resultado do slide
2
2
anterior)
Trajetória de um ponto qualquer de uma roda ou anel: ciclóide
http://www.youtube.com/watch?v=kr6-IZ925Cc&NR=1
Exemplos: Y&F 10.4 e 10.5 (kit LADIF)
Dinâmica do movimento combinado de translação e rotação:


 Fext  MAcm
Devemos usar as equações: 
 z  I cm z
Exemplos: Y&F 10.6 e 10.7
Demonstração LADIF: Carretel (fazer Problema Y&F 10.71)
10.4 – Trabalho e potência no movimento de
rotação
Criança aplicando força
tangencial em um carrosel

Ftg

Ftg
Trabalho infinitesimal: dW  Ftg ds  Ftg R d   z d
Trabalho total para deslocamento entre θ1 e θ2: W 
Se o torque for constante: W   z  2  1    z 
2
 
1
z
d
Teorema trabalho-energia cinética para o corpo rígido:
d z
d
dW   z d  I z d  I
d  I
d z  Iz dz
dt
dt
Integrando:
2
1 2 1 2
W  I   z d z  I2  I1  K
2
2
1
Potência:
dW   z d
dW
d
z
dt
dt
P   z z (análogo a P  Fx vx )
Expandindo a analogia entre a cinemática linear de uma
partícula e a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo
fixo:
Cinemática de uma partícula
Posição
Velocidade
Aceleração
Massa
Energia cinética
Força
Rotação de um CR em torno de
um eixo fixo
x
vx
Ângulo
ax
Aceleração angular
m
1 2
m vx
2
Fx
Velocidade angular
Momento de inércia
Energia cinética
Torque

z
z
I
1 2
I z
2
z
 Fx,ext  m ax
2a. Lei
Trabalho
dW  Fx dx
Trabalho
Potência
P  Fx v x
dW   z d
Potência
P   z z
2a. Lei

z ,ext
 I z
Próximas aulas:
6a. Feira 11/11: Aula de Exercícios (sala A-327)
4a. Feira 16/11: Aula de Magna (sala A-343)