DETERMINAÇÃO DE VELOCIDADE
EM MECANISMOS
POR POLÍGONO DE VETORES
Os métodos gráficos podem ser
usados para determinar velocidades
de todos os pontos do mecanismo
rapidamente com poucos cálculos
VELOCIDADE RELATIVA
DE PONTOS
EM UM ELO COMUM



VPQ  VP  VQ
Em uma análise de elos,
apenas uma das velocidades
absolutas
é
usualmente
conhecida.
A velocidade
desconhecida
pode
ser
determinada na seguinte
forma:



VP  VQ  VPQ
Na figura, se observações
são feitas em relação a Q,
então Q está em repouso.
Em relação a Q o elo gira
com
uma
velocidade
absoluta ω3 em torno de Q
como se Q fosse um centro
fixo.
A partícula P se movimenta
em uma trajetória circular em
relação a Q com um raio de
curvatura PQ. A magnitude
da velocidade relativa pode
ser determinada como:

VPQ  PQ3
EXEMPLO: Para o
mecanismo mostrado
obtenha a velocidade do
ponto B, e as velocidades
angulares ω3 e ω4 .
Obtenha também as
velocidades angulares
relativas ω32 , ω43 e a
velocidade do ponto C.



VB  VA  VBA

VB  O4B

VA  O2 A 2


 102  30
 3060 mm / s

VA  O2 A

VBA  AB

VBA

VB
Medido do polígono:

VB  1800 mm / s

VBA  3180 mm / s
3 
VBA 3180

 15,7 rad / s anti  horário
203
BA
VB
1800
4 

 23,6 rad / s (anti  horário)
O4B 76,2
32  3  2  15,7   30  45,7 rad / s (anti  horário)
43  4  3  23,6  15,7  7,9 rad / s (anti  horário)



VC  VA  VCA



VC  VB  VCB

VC desconhecido

VCA  CA

VCA

VCB  CB

VCB
A imagem de velocidades
girou de 90º em relação à
imagem original no
mesmo sentido de ω3.
Medido do polígono:

VC  3050 mm / s

VCA  1600 mm / s

VCB  2390 mm / s
3 
3 
VBA
BA
VCA VCB VDA


CA CB DA
VELOCIDADE RELATIVA
DE PONTOS
COINCIDENTES
EM ELOS SEPARADOS
Na figura o ponto P3 pertence ao
pino 3 e o ponto Q2 pertence ao elo
2.
A velocidade relativa

VP Q
3
2
é tangente à trajetória relativa de
P3 ao elo 2.
EXEMPLO: Para o mecanismo mostrado obtenha as velocidades dos pontos A e B considerando
que ω2 = 10 rad/s.



VA  VA  VA A
4
2
4
2

VA  O4 A 4

VA  O2 A 2 2  2,5  10
4

2

 25 pol / s  O2 A 2

VA A // tan gente ao came
4
2

VA  12,3 pol / s
4

VA A  26,3 pol / s
4
2



VB  VB  VB B
5
2
5
2

VA // linha de centro de 5
4



VB  O 2B 2 2  2,8  10
2
 28 pol / s  O 2B 2

VB B // tan gente ao came
5
2

VB  14,7 pol / s
5

VB B  31,6 pol / s
5
2
VELOCIDADE RELATIVA DE PONTOS COINCIDENTES EM PONTOS DE CONTATO
DE ELEMENTOS ROLANTES
No ponto de contato existe rolamento puro,
sem deslizamento entre as superfícies.


VP  VP
3
2

VP P  0
3
2
EXEMPLO: Para o mecanismo mostrado

VA  122 m / s
Determine as velocidades angulares das engrenagens 4 e 5. Mostre as imagens de velocidade
das duas engrenagens. Determine também a velocidade do ponto D na engrenagem 5



VB  VA  VBA

VB // cremalheira

VA  122 m / s

VA  O2 A

VB

VBA  AB

VB  104 m / s

VBA  116 m / s

VA

VBA



VC  VB  VCB

VC  O6C

VCB  CB

VC  36,6 m / s

VCB  112 m / s

VB

VC

VCB
Para criar a imagem do
elo 4 deve-se considerar
que o centro do círculo é
o ponto B no polígono de
velocidades, e um ponto
do círculo deve passar
por zero (ponto P4 que
tem velocidade igual a
zero, correspondente ao
ponto Ov no polígono)
Para criar a imagem do
elo 5 deve-se considerar
que o centro do círculo é
o ponto C no polígono de
velocidades, e um ponto
do círculo deve coincidir
com algum ponto do
círculo da imagem do elo
4 (ponto M5 e M4 que têm
velocidades iguais)
Das imagens de
velocidade pode-se obter:


VBP  VB  104 m / s
4

VCM  207 m / s
5


VM  VM  206 m / s
5
4

VD  215 m / s
4 
VBP
4
BP
VCM

104
 1020 rad / s horário
102
1000
207
5 

 4060 rad / s anti  horário
51
CM
1000
5
CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE
Em um dado instante, um par de pontos coincidentes em dois elos em movimento terão
velocidades absolutas iguais, e portanto, velocidade relativa igual a zero
TEOREMA DE KENNEDY
Para três corpos independentes em movimento plano geral, os três centros instantâneos se
localizam na mesma linha reta.
Elos
Centro conhecido
Centro conhecido
Centro desconhecido
1 2 3
12
23
13
1 3 4
14
34
13
Elos
Centro conhecido
Centro conhecido
Centro desconhecido
2 3 4
34
23
24
1 2 4
14
12
24
Elos
Centro conhecido
Centro conhecido
Centro desconhecido
123
12
23
13
134
14
34
13
Elos
Centro conhecido
Centro conhecido
Centro desconhecido
234
34
23
24
124
14
12
24
NÚMERO DE LOCALIZAÇÕES DE CENTROS INSTANTÂNEOS
Em um mecanismo consistindo de n elos, há n-1 centros instantâneos em relação a qualquer elo
dado. Para um número de n elos, há um total de n(n-1) centros instantâneos. Porém, desde que
para cada localização de centros instantâneos há dois centros, o número total de localizações é
dado por:
N
n(n  1)
2
1  2  12
2  1  21
3  1  31
1  3  13
2  3  23
3  2  32
EXEMPLO: Para o mecanismo
mostrado determine as 15 localizações
de centros instantâneos
EXEMPLO: Para o mecanismo
mostrado determine a velocidade
absoluta VC quando o elo motor gira
com uma velocidade tal que VA = 30
pés/s, como mostrado
Elos 135
Elos 126
ACELERAÇÃO DE PARTÍCULAS EM UM ELO COMUM
 
2
n
V
A PQ  PQ 32  PQ
PQ
 
t
A PQ  PQ  3
EXEMPLO: Quando o mecanismo está na fase mostrada na figura, o elo 2 gira com a
velocidade angular ω2=30 rad/s e uma aceleração angular α2=240 rad/s². Determine as
acelerações dos pontos B e C e as acelerações angulares dos elos 3 e 4. Construa as imagens de
velocidade e de aceleração do elo 3.



VB  VA  VBA

VB  O4B



VA  O2 A 2
 102  30

VB
 3060 mm / s

VA  O2 A

VBA  AB
B
Ov

VBA

VA
A



VC  VA  VCA



VC  VB  VCB

VC desconhecido

VCA  CA

VB

VC
Ov

VCB  CB

VA
B

VCB

C
VCA
A

VBA
Medido do polígono:

VB  3660 mm / s

VB

VBA  2300 mm / s

VCA  1130 mm / s

VCB  2300 mm / s

VC

VA

VCA

VCB

VBA



AB  A A  ABA
n t n t n
t
AB  AB  A A  A A  ABA  ABA
n
VB2
36602
AB 

203
O4B
 66000 mm / s2  BO 4
t
A B   O4B
n
VA2
30602
AA 

102
O2 A
 91800 mm / s2  AO2
n t n t n
t
AB  AB  A A  A A  ABA  ABA


t
A A  O2 A 2  102240
 24500mm / s2  O2 A
2
n
VBA
23002
A BA 

203
BA
 26100 mm / s2  BA
t
A BA   AB
Medido do polígono:

AB  70400 mm / s2
t
AB  24700 mm / s2
t
ABA  129000 mm / s2
As acelerações angulares podem ser calculadas como:
t
A BA
129000
3 

 635 rad / s2 anti  horário
203
AB
t
AB
24700
4 

 122 rad / s2 horário
203
O4B
34  3   4  635   122  757 rad / s2 anti  horário


n
t
AC  A A  ACA  ACA


n
t
AC  AB  ACB  ACB

AC  desconhecida
2
n
VCA
11302
A CA 

 12500 mm / s2
102
CA
 CA
2
n
VCB
17502
A CB 

 20100 mm / s2
152
CB
 CB
t
A CA   CA
t
A CB   CB
Medido do polígono:

A C  104000 mm / s2
ACELERAÇÃO RELATIVA DE PARTÍCULAS EM ELOS SEPARADOS.
COMPONENTE DE ACELERAÇÃO DE CORIOLIS

VA 2



VA  VA  VA A
4
2
4
2

VA 4

VA 4 A 2





      
AP  AO  A  2 V   R    R





A A  A A  A A A  22  VA A
n
t
n
t
n
t


A A  A A  A A  A A  A A A  A A A  22  VA A
4
4
4
2
2
4
2
2
4
4
2
4
2
2
4
2
n
t
n
t
n
t


A A  A A  A A  A A  A A A  A A A  22  VA A
4
4
2
2
4
2
n
VA2 A
AA A 
R
4
4
2
4
2
2
4
2
n
VA2 A
AA A 
R
4
4
2
2
O raio de curvatura R
não é facilmente
determinado
n
t
n
t
n
t


A A  A A  A A  A A  A A A  A A A  22  VA A
4
4
2
2
4
2
4
2
4
n
t
n
t
n
t


A A  A A  A A  A A  A A A  A A A  24  VA A
2
Nesse caso a trajetória
relativa é retilínea:
2
4
4
2
4
n
VA2 A
AA A 
0
R
2
2
4
4
2
4
2
4
2
Quando o raio de curvatura R da trajetória relativa é conhecido:
n
VA2 A
AA A 
0
R
2
2
4
4
EXEMPLO: Para o mecanismo mostrado na figura, o elo 2 gira com a velocidade angular ω2=50
rad/s e o raio de curvatura R da ranhura no elo 3 é 305 mm. Determine a aceleração do ponto B 3
no elo 3 e a aceleração angular α3.



VB3  VB2  VB3B2

VB3  O3B3



VB  O 2B 2 2
2
 50,8  50  2540 mm / s
 O 2B 2

VB B
3
2
 R
Medido do polígono:

VB  1650 mm / s
3

VB B  2540 mm / s
3
2
3 

VB3
O3B3
 2540 mm / s
(anti  horário)
n
t
n
t
AB  AB  AB  AB
n
t


 A B B  A B B  23  VB B
2
2
2
3
3
2
3
3
2
3
n
VB2
25402
AB 

50,8
O 2B 2
2
2
 127000 mm / s2  B 2O 2
t
AB2  0 2  0
n
VB23
16502
AB3 

208
O3B3
 13100 mm / s2  B3O3
t
AB3  O3B3
n
t
n
t
AB2  AB2  AB3  AB3
n
t


 AB2B3  AB2B3  23  VB2B3
n
VB22B3 25402
AB2B3 

R
305
 21200 mm / s2  B2C


23  VB2B3  2  7,93  2540  40300 mm / s2

 VB2B3
t
AB2B3  R
Medido do polígono:

AB  122000 mm / s2
3
t
AB  120000 mm / s2
3
3 
t
AB
3
O3B3

120000
 577 rad / s2 horário
208
ACELERAÇÃO RELATIVA DE PARTÍCULAS COINCIDENTES EM PONTO DE
CONTATO DE ELEMENTOS ROLANTES