Movimento Browniano
(Uma Introdução)
Jalves S. Figueira
UTFPR- Pato Branco
Novembro , 2011
http://www.utfpr.edu.br/jalves
Resumo
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Um experimento de Pensamento;
Movimento Browniano e os Fractais;
Aspectos históricos:A realidade dos átomos;
Tese de Einstein (1905);
Atividades de laboratório;
Final.
Experimento de Pensamento
•
Imagine que você esteja em uma sala
espaçosa. Um grande Shopping center.
• Houve um apagão, e a cidade toda está
sem luz. Somente uma luz de
emergência que acende em pequenos
intervalos de tempo.
• Você
caminha
desesperado
por
encontrar uma janela.
• A Luz de emergência acende em
intervalo de tempos de t =15 s.
Você não tem idéia para onde está indo.
Einstein (1879-1955)
1- Atividade
•Marque no papel suas posições A, B, C, D, ... no intervalo de
tempo T=15s .
•Após ligue os pontos.
A trajetória não é suave
Primeiro relato
• O Botânico Robert Brown, no
ano de 1827 ao examinar no
microscópio grãos de poléns
num líquido observou que
estes faziam um movimento
incessante e caótico.
Brown teria descoberto a
fonte da vida??
Definição:
•Física
Movimento browniano é o incessante e caótico movimento de
pequenas partículas em suspensão em um fluido. Resultado
de uma força aleatória exercida pelas colisões com as
moléculas do fluido.
• Matemática
Qual geometria representa o movimento browniano.
Apresenta uma geometria fractal.
Fractais são figuras da geometria não-Euclidiana.
Objetos com infinitos detalhes, são geralmente
autossimilares e independem de escala. Cada parte é
semelhante ao objeto original.
Não é possível descrever o movimento utilizando as equações da
cinemática da mecânica clássica. O movimento não tem
velocidade instantânea ou seja a trajetória de uma partícula
browniana não tem tangente .
Velocidade média :
Velocidade instantânea:
Einstein (1905)
•
Einstein geralmente é lembrado
pelas rupturas da mecânica Newtoniana.
Com os conceitos relativísticos de
tempo e espaço.
• Publicou em 1905 cinco trabalhos,
um deles sobre o movimento
browniano resultado da tese de
Doutorado.
• Recebeu o premio Nobel em 1922
pela
explicação
do
efeito
fotoelétrico.
Einstein (1905)
•Einstein adotou uma visão realista sobre a
existência de átomos e moléculas.
•Procurando determinar o tamanho das
moléculas e o número de Avogadro,
analisa uma solução de açúcar e água.
•Einstein percebeu que não tinha sentido
descrever uma trajetória individual, que a
velocidade não era o conceito chave que
carregava as informações principais.
•Construiu um modelo para o movimento
Browniano com bases na teoria cinética
dos gases e teoria molecular do calor.
Teoria Cinética Molecular
• Toda matéria é construida de átomos.
• Um gás é constituido de muitas partículas em movimento caótico.
• As moléculas são consideradas pontos materiais.
• As colisões entre duas moléculas ou entre uma molécula e uma parede
do recipiente são supostas perfeitamente elásticas.
• U (energia interna) = é função da energia mecânica das partículas
individuais.
• (U)med = nkT/2, n = número de graus de liberdade
x  vt
x
2
 2 Dt
 RT 1 

D  
 N 3a 
Movimento de micelas de Leite examinado com a ferramenta de análise
de vídeos e modelagem Tracker.
2 – Atividade
Caminho aleatório em duas dimensões.
•Inicialmente com uma folha quadriculada marque os eixos cartesianos x e y . Cada lado
do quadrado mede uma unidade de comprimento l=1.
• Coloque a partícula (objeto marcador) na origem (0,0) e lance o dado uma vez seguindo
as instruções.
Se a face for:
•1. conte um passo para direita.
•2. conte um passo para esquerda.
•3. conte um passo para frente.
•4. conte um passo para trás.
•5. Não conte passos. Repita o lançamento.
•6. Não conte passos. Repita o lançamento.
Repita o lançamento seguindo as instruções até que sejam contados
dez passos marcando o caminho. Repita até que N=100.
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=1484.
Jean Perrin (1870-1942)
• Perrin utilizando um ultramicroscope realizou medidas
quantitativas do movimento
Browniano em 1908.
• Verificou as equações de Einstein
determinando o número de
Avogadro entre N = 6.5-6.9x1023
• Jean Perrin determinou o tamanho
das moléculas.
• Recebeu o Premio Nobel em 1926
Caminho Aleatório
Um modelo para descrever o movimento browniano é o caminho aleatório. Em
uma dimensão, temos que o “jogador” começa em x=0 e a cada movimento é
solicitado a dar um passo a frente (direção +x) ou para trás( na direção –x). A
escolha é aleatória.
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x
2
 RT 1 
t
 2Dt  
 N 3a 
< x > =0 , distância média é nula.
< x2> =N , distância média quadrática é igual ao número de passos N.
<x2>=NL2, passos de comprimento l
xrms = Raiz(< x2 >) , raiz da distância média quadrática.
…
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/Applets/
brownian/brownian.html
Observação do movimento browniano no Microscópio
• leite
•Água destilada
•Lâminas para solução
•Lamínulas de vidro
1- Pressão osmótica
A pressão exercida por uma solução sobre
uma membrama semi-permeavel,
impedindo a passagem do soluto é
dada pela leis dos gases perfeitos.
RT
p

NA
p = pressão osmótica
 = concentração da solução
N A = número de Avogadro
R = constante dos gases
T = temperatura absoluta
2- Pressão osmótica
Einstein considerou que as moléculas grandes de
açúcar estão sujeitas a uma força de atrito viscoso
dada pela lei de Stokes
K  6av
Sabe-se porém que as partículas se difundem devido ao
gradiente de pressão ( força por unidade de volume). Assim,
no equilíbrio temos:
m p
K 
 6av
N A x
3- Pressão osmótica
• Obtemos assim uma expressão para a velocidade v
das partículas. Que resulta, regime estacionário,
um fluxo ao longo da direção x sobre uma secão
de area A.
m
p
J  v  
6aN A x
E da relação da pressão obtemos que:
RT 

J 
 D
6aNA x
x
O que resulta em um coeficiente de difusão D função da
temperatura T, viscosidade η , número de Avogadro NA e raio das
partículas a.
Equação de Langevin -1a
• Partindo da segunda lei de Newton , Paul
Langevin (1908) , derivou
uma equação
diferencial para o movimento browniano
d2r
dr
m 2  6a
 F ext
dt
dt
a = raio das partículas.
ƞ = viscosidade da agua .
Fext força aleatória sobre a partícula em suspensão.
Equação de Langevin – 1b
• pelo teorema da equipartição da energia, proposto
por Clerk Maxwell.
• ½mV2 = kT/2 energia de uma partícula
para cada grau de liberdade é função da
temperatura.
k é a constante de
Boltzmann.
• chega-se a solução
x
2
 kT 
t
 
 3a 
Fim