HID023 – Hidrologia II Determinação de Vazões Extremas 1 PROF. BENEDITO C. SILVA Tempos de retorno admitidos para algumas estruturas Estrutura TR (anos) Bueiros de estradas pouco movimentadas 5 a 10 Bueiros de estradas muito movimentadas 50 a 100 Pontes 50 a 100 Diques de proteção de cidades 50 a 200 Drenagem pluvial 2 a 10 Grandes barragens (vertedor) 10 mil Pequenas barragens 100 Vazões máximas a partir de séries de vazões medidas Deve ser obtida uma série histórica de vazões máximas diárias, considerando: i. Valores máximos diários de cada ano ii. Um valor para cada ano hidrológico iii. O ano hidrológico corresponde ao período de 12 meses, começando no início do período terminando ao final da estação seca. chuvoso e Para o Sudeste do Brasil, o ano hidrológico se inicia em outubro e termina em setembro do ano seguinte 3 Série de vazões diárias Seleção dos máximos anuais Vazões diárias em Morpará (Rio São Francisco) 6000 5000 Máx. de 1996 Máx. de 1995/96 Máx. de 1995 3 Vazão (m /s) 4000 3000 2000 1000 Ano civil 0 31/12/94 31/12/95 5 Ano hidrológico 31/12/96 31/12/97 Séries de vazões máximas Séries de vazões máximas Função distribuição de probabilidade acumulada Probabilidade de não-excedência F x P X x Probabilidade da variável X ser menor ou igual ao valor x Probabilidade de excedência P X x 1 F x Probabilidade da variável X ser maior ou igual ao valor x 8 Função de distribuição empírica 9 • Ajuste gráfico dos pontos da amostra, utilizando equações de posição de locação ou plotagem para estimativa da probabilidade de excedência. Exemplo: m P (Q qm ) n 1 Onde m é ordem dos valores (decrescente) da amostra n é o tamanho da amostra. Exemplo de distribuição empírica 10 Ano 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Vazão Máxima 145.5 183.8 289.5 131.3 227.3 167.3 104.3 263.3 157.5 240 170.3 210.8 184.5 Ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Vazão Máxima 289.5 263.3 240.0 227.3 210.8 184.5 183.8 170.3 167.3 157.5 145.5 131.3 104.3 Probabilidade empírica 0.0714 0.1429 0.2143 0.2857 0.3571 0.4286 0.5000 0.5714 0.6429 0.7143 0.7857 0.8571 0.9286 Tempo Retorno 14.0 7.0 4.7 3.5 2.8 2.3 2.0 1.8 1.6 1.4 1.3 1.2 1.1 1 1 TR 7.0 Para o segundo valor: P(Q q) 0.1429 m 2 PQ q 0.1429 n 1 13 1 Exemplo de distribuição empírica 300.0 3 Vazão máxima (m /s) 250.0 200.0 150.0 100.0 50.0 0.0 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 Tempo de retorno, TR (ano) 11 12.0 14.0 Distribuições teóricas de probabilidade Distribuições usuais em hidrologia • Normal (simétrica e utilizada para vazões médias ou precipitações médias) • Log-Normal (vazões máximas) • Gumbel (extremo tipo I) (vazões máximas) • Extremo Tipo III ou Weibull (vazões mínimas) • Log Pearson Tipo III (vazões máximas) adotada em alguns países como padrão . Utiliza três parâmetros 12 Distribuições teóricas de probabilidade 13 Distribuições teóricas de probabilidade 14 Distribuição de Gumbel (Extremos I) 15 A função densidade de probabilidade acumulada é PQ q e e y Ou, passando para probabilidade de excedência PQ q 1 e Onde, y e y q 0,78s x 0,5772 s - desvio padrão da série de valores máximos x - média da série de valores máximos Distribuição de Gumbel (Extremos I) PQ q 1 e e y 1 e y 1 e TR 1 e y e 1 TR Passando o logaritmo 2 vezes 1 y ln ln1 TR q 1 qTR ln ln1 TR 16 1 ln ln1 TR Cálculo da vazão máxima q, para o tempo de retorno TR Distribuição Log-Pearson Tipo III Função densidade de probabilidade: Fórmula alternativa: A vazão para um tempo de retorno TR é calculada por, logQTR logQ KSlogQ SlogQ = Desvio padrão dos logaritmos da vazões 17 Distribuição Log-Pearson Tipo III O parâmetro K é calculado por: 3 2 G G K k1 1 1 G 6 6 Com, 2,515517 0,802853t 0,010328t 2 k1 t 1 1,432788t 0,189269t 2 0,001308t 3 t 2 ln TR G é o coeficiente de assimetria 18 Usando a distribuição normal Calcular a média Q Calcular desvio padrão SQ Obter os valores de z da tabela para probabilidades de 90, 50, 20, 10, 4, 2 e 1%, que correspondem aos TR 1,1; 2; 5; 10; 25; 50 e 100 anos (exemplo) Calcular a vazão para cada TR por Q Q SQ z No MS Excel o valor de Q pode ser calculado usando a função INV.NORM.N Exemplo: Rio Cuiabá em Cuiabá Exemplo: Rio Cuiabá em Cuiabá z P(y>0) TR Q 0,000 0,842 1,282 2,054 2,326 50 % 20 % 10 % 2% 1% 2 5 10 50 100 1789 2237 2471 2882 3026 Q Q SQ z Q 1789 SQ 532 Ajuste da Distribuição Normal aos dados do rio Cuiabá Subestima! Ajuste da Distribuição Normal aos dados do rio Guaporé Subestima! Problema Distribuição de freqüência de vazões máximas não é normal Problema Distribuição de freqüência de vazões máximas não é normal Usando a distribuição Log - normal Calcular os logaritmos das vazões máximas anuais Calcular a média x Calcular desvio padrão S Obter os valores de z da tabela para probabilidades de 90, 50, 20, 10, 4, 2 e 1%, que correspondem aos TR 1,1; 2; 5; 10; 25; 50 e 100 anos (exemplo) Calcular o valor de x (logaritmo da vazão) para cada TR por Calcular as vazões usando Q = 10x (se usar log) ou Q = ex (se usar ln) para cada TR x xSz No MS Excel o valor de x pode ser calculado usando a função INV.LOGNORMAL Ajuste da distribuição Log Normal aos dados do rio Guaporé Distribuição Normal via Excel 28 Ano 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Vazão Máxima 145.5 183.8 289.5 131.3 227.3 167.3 104.3 263.3 157.5 240 170.3 210.8 184.5 Média 190.4 m3/s Desvio padrão 53.5 m3/s Tempo de retorno 100 90 80 70 60 50 40 30 20 14 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1.01 Probabilidade 0.010 0.011 0.013 0.014 0.017 0.020 0.025 0.033 0.050 0.071 0.100 0.111 0.125 0.143 0.167 0.200 0.250 0.333 0.500 0.990 Vazão (m3/s) Distrib. Normal 314.9 312.8 310.4 307.6 304.3 300.3 295.3 288.6 278.5 268.8 259.0 255.7 252.0 247.5 242.2 235.4 226.5 213.4 190.4 65.6 Distribuição Normal via Excel 350.0 250.0 3 Vazão máxima (m /s) 300.0 200.0 Empírica Normal 150.0 100.0 50.0 0.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 Tempo de retorno, TR (ano) 29 25.0 30.0 Exemplo de ajuste da Distribuição de Gumbel Ano 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Média Desvio padrão Vazão Máxima 145.5 183.8 289.5 131.3 227.3 167.3 104.3 263.3 157.5 240 170.3 210.8 184.5 Tempo de retorno 100 90 80 70 60 50 40 30 20 14 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1.01 Probabilidade 0.010 0.011 0.013 0.014 0.017 0.020 0.025 0.033 0.050 0.071 0.100 0.111 0.125 0.143 0.167 0.200 0.250 0.333 0.500 0.990 Vazão (m3/s) Distrib. Gumbel 358.39 353.97 349.02 343.41 336.92 329.23 319.81 307.62 290.32 274.95 q 260.26 255.61 250.36 244.37 237.36 228.92 218.31 203.98 181.59 102.41 190.4 m3/s 53.5 m3/s Alfa Mi 41.76223 30 166.2795 TR ln ln1 1 TR Exemplo de ajuste da Distribuição de Gumbel 350.0 250.0 3 Vazão máxima (m /s) 300.0 200.0 Empírica Normal Gumbel 150.0 100.0 50.0 0.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 Tempo31 de retorno, TR (ano) 25.0 30.0 Exemplo rio Guaporé Comparação de resultados TR Normal Log Normal Log Pearson 3 Gumbel 2 754 678 685 696 5 1050 1010 1013 1007 10 1204 1245 1236 1212 25 1369 1554 1522 1472 50 1475 1794 1737 1665 100 1571 2041 1953 1856 Considerações finais Vazões máximas não seguem distribuição normal. Distribuição assimétrica. Estimativa de vazões máximas com Log Normal Gumbel Log Pearson 3 Considerações finais Não há uma distribuição perfeita Log Pearson 3 é recomendada oficialmente nos EUA, mas não é adequada quando N é pequeno Gumbel tem a vantagem de ser de simples aplicação ATIVIDADE 7 Para os dados do posto Armazém Capivari (84600000), determine a série de vazões diárias máximas e ajuste as distribuições Log-Normal, Gumbel e Log-Pearson III Calcule as vazões máximas para tempos de retorno até 10.000 anos Escolha a distribuição que melhor se ajustou e faça uma tabela com as vazões para os tempos de retorno: 25, 50, 100, 250, 500, 1000 e 10.000 anos Transponha os valores obtidos no item anterior para o local da usina (A=540km2) Vazões Mínimas Estimativas de vazões mínimas Usos: Disponibilidade hídrica em períodos críticos Legislação de qualidade de água Questões ambientais (sobrevivência de espécies) Vazões mínimas A análise de vazões mínimas é semelhante à análise de vazões máximas, exceto pelo fato que no caso das vazões mínimas o interesse é pela probabilidade de ocorrência de vazões iguais ou menores do que um determinado limite No caso da análise utilizando probabilidades empíricas, esta diferença implica em que os valores de vazão devem ser organizados em ordem crescente, ao contrário da ordem decrescente utilizada no caso das vazões máximas Mínimas de cada ano ATENÇÃO: O ano hidrológico para mínimas deve conter o período de estiagem aproximadamente no seu centro Série de vazões mínimas ano data vazão 1970 4/jun 118.7 1971 24/nov 221.8 1972 3/jun 184 1973 23/ago 250.6 1974 24/ago 143 1975 5/set 198 1976 18/mai 194 1977 14/set 106.3 1978 15/mai 77.5 1979 30/abr 108 1980 5/mai 202 1981 17/set 128.6 1982 23/mai 111.4 1983 3/set 269 1984 19/set 158.2 1985 31/dez 77.5 1986 8/jan 77.5 1987 12/out 166 1988 13/dez 70 1989 27/dez 219.6 1990 17/mar 221.8 1991 24/set 111.4 1992 24/fev 204.2 1993 3/mai 196 1994 27/dez 172 1995 19/set 130.4 1996 31/ago 121.6 1997 13/mai 198 1998 1/ago 320.6 1999 2/dez 101.2 2000 26/jan 118.2 Vazões mínimas em ordem cronológica ano data vazão 1988 13/dez 70.0 1978 15/mai 77.5 1985 31/dez 77.5 1986 8/jan 77.5 1999 2/dez 101.2 1977 14/set 106.3 1979 30/abr 108.0 1982 23/mai 111.4 1991 24/set 111.4 2000 26/jan 118.2 1970 4/jun 118.7 1996 31/ago 121.6 1981 17/set 128.6 1995 19/set 130.4 1974 24/ago 143.0 1984 19/set 158.2 1987 12/out 166.0 1994 27/dez 172.0 1972 3/jun 184.0 1976 18/mai 194.0 1993 3/mai 196.0 1975 5/set 198.0 1997 13/mai 198.0 1980 5/mai 202.0 1992 24/fev 204.2 2001 24/ago 213.0 1989 27/dez 219.6 1971 24/nov 221.8 1990 17/mar 221.8 1973 23/ago 250.6 1983 3/set 269.0 ordem 1 2 3 … N = 32 i p N 1 1 TR p Vazões mínimas ordenadas do menor para o maior valor Probabilidade TR vazão 0.030 33.00 70 0.061 16.50 77.5 0.091 11.00 77.5 0.121 8.25 77.5 0.152 6.60 101.2 0.182 5.50 106.3 0.212 4.71 108 0.242 4.13 111.4 0.273 3.67 111.4 0.303 3.30 118.2 0.333 3.00 118.7 0.364 2.75 121.6 0.394 2.54 128.6 0.424 2.36 130.4 0.455 2.20 143 0.485 2.06 158.2 0.515 1.94 166 0.545 1.83 172 0.576 1.74 184 0.606 1.65 194 0.636 1.57 196 0.667 1.50 198 0.697 1.43 198 0.727 1.38 202 0.758 1.32 204.2 0.788 1.27 213 0.818 1.22 219.6 0.848 1.18 221.8 0.879 1.14 221.8 0.909 1.10 250.6 0.939 1.06 269 0.970 1.03 320.6 Distribuição empírica de vazões mínimas Distr. empírica de vazões mínimas Ajuste de distribuições teóricas Semelhante ao caso das vazões máximas Normalmente as vazões mínimas que interessam tem a duração de vários dias A vazão mínima mais conhecida é a Q7,10 Q7,10 é a vazão mínima de 7 dias de duração com TR de 10 anos. Vazões mínimas RESOLUÇÃO CONAMA Nº 020, de 18 de junho de 1986 O CONSELHO NACIONAL DO MEIO AMBIENTE - CONAMA, no uso das atribuições que lhe confere o art. 7º, inciso IX, do Decreto 88.351, de 1º de junho de 1983, e o que estabelece a RESOLUÇÃO CONAMA Nº 003, de 5 de junho de 1984; … Art. 13 - Os limites de DBO, estabelecidos para as Classes 2 e 3, poderão ser elevados, caso o estudo da capacidade de autodepuração do corpo receptor demonstre que os teores mínimos de OD, previstos, não serão desobedecidos em nenhum ponto do mesmo, nas condições críticas de vazão (Qcrit. " Q7,10 , onde Q7.10, é a média das mínimas de 7 (sete) dias consecutivos em 10 (dez) anos de recorrência de cada seção do corpo receptor). … Vazões mínimas Distribuição Normal também não funciona 350 . 300 Vazão mínima (m3/s) 250 200 150 100 50 0 1.0 10.0 Tempo de retorno (anos) 100.0 Distribuição de Weibull para mínimas Uma distribuição de freqüências teórica mais adequada para a estimativa de vazões mínimas de alto tempo de retorno é a distribuição de Weibull (veja em Naghettini e Pinto, 2007) Na análise de vazões mínimas usando a distribuição de Weibull é usada a equação: x x K S Distribuição de Weibull para mínimas x x K S onde 1 1 K A B ln 1 1 T 1 A 1 1 B e onde: 2 1 2 B 1 1 1 2 1 H0 H1 G H 2 G2 H3 G3 H4 G4 e onde… H0 = 0,2777757913 H1 = 0,3132617714 H2 = 0,0575670910 H3 = -0,0013038566 H4 = -0,0081523408 Weibull G é o coeficiente de assimetria; é a função Gama, que é uma generalização da função fatorial para números reais não inteiros. Uma dificuldade da aplicação da distribuição de Weibul é a necessidade de calcular o valor da função Gama. O valor da função Gama é dada por: w x w1 e x dx 0 Weibull e a função gama O programa Excel permite calcular o valor do logaritmo da função gama através da função LnGama(x). o resultado é o logaritmo natural da função gama, para obter a função gama, basta fazer a operação inversa Exemplo A tabela ao lado apresenta as vazões mínimas anuais observadas no rio Piquiri, no município de Iporã (PR). Considerando que os dados seguem uma distribuição Weibull, determine a vazão mínima de 5 anos de tempo de retorno. ano Vazão mínima 1980 202 1981 128.6 1982 111.4 1983 269 1984 158.2 1985 77.5 1986 77.5 1987 166 1988 70 1989 219.6 1990 221.8 1991 111.4 1992 204.2 1993 196 1994 172 1995 130.4 1996 121.6 1997 198 1998 320.6 1999 101.2 2000 118.2 2001 213 Solução Média = 163 Desvio padrão = 65.2 Além disso é calculado o coeficiente de assimetria. Usando a função do Excel (Distorção(x)) o valor encontrado é G=0,5662 A partir destes dados é calculado o valor de 2,116 Usando a função do Excel LnGama(x) são calculados os valores de B() e A(). B()=2,2726 A()=0,2599 E com estes valores são calculados os termos K para cada tempo de retorno T em anos, conforme a tabela a seguir Exemplo Weibull - tabela TR K Vazão Weibull 2 -0.10153 156.5 5 -0.89405 104.8 10 -1.22803 83.0 25 -1.51140 64.6 50 -1.65317 55.3 100 -1.75422 48.7 1 1 K A B ln 1 1 T Q Q K S Normal x Weibull Considerações finais vazões mínimas Vazões mínimas não seguem uma distribuição normal Distribuição de Weibull pode ser usada nestes casos Normalmente se trabalha com mínimas de vários dias de duração Vazões mínimas na prática 1. 2. 3. 4. Obter dados diários Calcular médias móveis (???!!!!) Encontrar menores valores de cada ano na série da média móvel Usar Weibull com os dados da série de mínimos obtidos no passo 3 do livro Stream Hydrology: An introduction for Ecologists – de Gordon et al. ATIVIDADE 8 Para os dados do posto Armazém Capivari (84600000), determine a série de vazões mínimas médias de 7 dias de duração e ajuste a distribuição de Weibull Utilizando o ajuste da distribuição de Weibull, calcule a vazão Q7,10 (mínima média de 7 dias com 10 anos de tempo de retorno
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