HID023 – Hidrologia II
Determinação de Vazões Extremas
1
PROF. BENEDITO C. SILVA
Tempos de retorno admitidos para
algumas estruturas
Estrutura
TR (anos)
Bueiros de estradas pouco movimentadas
5 a 10
Bueiros de estradas muito movimentadas
50 a 100
Pontes
50 a 100
Diques de proteção de cidades
50 a 200
Drenagem pluvial
2 a 10
Grandes barragens (vertedor)
10 mil
Pequenas barragens
100
Vazões máximas a partir de
séries de vazões medidas
Deve ser obtida uma série histórica de vazões máximas
diárias, considerando:
i. Valores máximos diários de cada ano
ii. Um valor para cada ano hidrológico
iii. O ano hidrológico corresponde ao período de 12
meses, começando no início do período
terminando ao final da estação seca.
chuvoso e
Para o Sudeste do Brasil, o ano hidrológico se inicia
em outubro e termina em setembro do ano seguinte
3
Série de vazões diárias
Seleção dos máximos anuais
Vazões diárias em Morpará (Rio São Francisco)
6000
5000
Máx. de
1996
Máx. de
1995/96
Máx. de
1995
3
Vazão (m /s)
4000
3000
2000
1000
Ano civil
0
31/12/94
31/12/95
5
Ano hidrológico
31/12/96
31/12/97
Séries de vazões máximas
Séries de vazões máximas
Função distribuição de probabilidade
acumulada
Probabilidade de não-excedência
F x   P X  x 
Probabilidade da variável X ser
menor ou igual ao valor x
Probabilidade de excedência
P X  x   1  F  x 
Probabilidade da variável X ser
maior ou igual ao valor x
8
Função de distribuição empírica
9
• Ajuste gráfico dos pontos da amostra, utilizando
equações de posição de locação ou plotagem para
estimativa da probabilidade de excedência. Exemplo:
m
P (Q  qm ) 
n 1
Onde m é ordem dos valores (decrescente) da amostra
n é o tamanho da amostra.
Exemplo de distribuição empírica
10
Ano
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
Vazão
Máxima
145.5
183.8
289.5
131.3
227.3
167.3
104.3
263.3
157.5
240
170.3
210.8
184.5
Ordem
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Vazão
Máxima
289.5
263.3
240.0
227.3
210.8
184.5
183.8
170.3
167.3
157.5
145.5
131.3
104.3
Probabilidade
empírica
0.0714
0.1429
0.2143
0.2857
0.3571
0.4286
0.5000
0.5714
0.6429
0.7143
0.7857
0.8571
0.9286
Tempo
Retorno
14.0
7.0
4.7
3.5
2.8
2.3
2.0
1.8
1.6
1.4
1.3
1.2
1.1
1
1
TR 

 7.0
Para o segundo valor:
P(Q  q) 0.1429
m
2
PQ  q  

 0.1429
n  1 13  1
Exemplo de distribuição empírica
300.0
3
Vazão máxima (m /s)
250.0
200.0
150.0
100.0
50.0
0.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
Tempo de retorno, TR (ano)
11
12.0
14.0
Distribuições teóricas de probabilidade
Distribuições usuais em hidrologia
• Normal (simétrica e utilizada para vazões médias ou
precipitações médias)
• Log-Normal (vazões máximas)
• Gumbel (extremo tipo I) (vazões máximas)
• Extremo Tipo III ou Weibull (vazões mínimas)
• Log Pearson Tipo III (vazões máximas) adotada em
alguns países como padrão . Utiliza três parâmetros
12
Distribuições teóricas de probabilidade
13
Distribuições teóricas de probabilidade
14
Distribuição de Gumbel (Extremos I)
15
A função densidade de probabilidade acumulada é
PQ  q  e
e y
Ou, passando para probabilidade de excedência
PQ  q  1  e
Onde,
y
e  y
q

  0,78s
  x  0,5772
s - desvio padrão da série
de valores máximos
x - média da série de
valores máximos
Distribuição de Gumbel (Extremos I)
PQ  q  1  e
e  y
1
e  y
 1 e
TR
1
e  y
e
 1
TR
Passando o logaritmo 2 vezes

1 

y   ln  ln1 

 TR 

q


1 

qTR     ln  ln1 

 TR 

16

1 

  ln  ln1 

 TR 

Cálculo da vazão máxima q, para o
tempo de retorno TR
Distribuição Log-Pearson Tipo III
Função densidade de probabilidade:
Fórmula alternativa:
A vazão para um tempo de retorno TR é calculada por,
logQTR  logQ  KSlogQ
SlogQ
= Desvio padrão dos logaritmos da vazões
17
Distribuição Log-Pearson Tipo III
O parâmetro K é calculado por:
3


2 
G  G  

K   k1     1  1
G
6
6



 




Com,
2,515517 0,802853t  0,010328t 2
k1  t 
1  1,432788t  0,189269t 2  0,001308t 3
t  2 ln TR
G é o coeficiente de assimetria
18
Usando a distribuição normal
 Calcular a média
Q
 Calcular desvio padrão
SQ
 Obter os valores de z da tabela para probabilidades
de 90, 50, 20, 10, 4, 2 e 1%, que correspondem aos
TR 1,1; 2; 5; 10; 25; 50 e 100 anos (exemplo)
 Calcular a vazão para cada TR por
Q  Q  SQ  z
No MS Excel o valor de Q pode ser
calculado usando a função
INV.NORM.N
Exemplo: Rio Cuiabá em Cuiabá
Exemplo: Rio Cuiabá em Cuiabá
z
P(y>0)
TR
Q
0,000
0,842
1,282
2,054
2,326
50 %
20 %
10 %
2%
1%
2
5
10
50
100
1789
2237
2471
2882
3026
Q  Q  SQ  z
Q  1789
SQ  532
Ajuste da Distribuição Normal aos dados do rio
Cuiabá
Subestima!
Ajuste da Distribuição Normal aos dados do rio
Guaporé
Subestima!
Problema
Distribuição de freqüência de vazões máximas não é normal
Problema
Distribuição de freqüência de vazões máximas não é normal
Usando a distribuição Log - normal
 Calcular os logaritmos das vazões máximas anuais
 Calcular a média x
 Calcular desvio padrão S
 Obter os valores de z da tabela para probabilidades de 90,
50, 20, 10, 4, 2 e 1%, que correspondem aos TR 1,1; 2; 5; 10;
25; 50 e 100 anos (exemplo)
 Calcular o valor de x (logaritmo da vazão) para cada TR por
 Calcular as vazões usando Q = 10x (se usar log) ou Q = ex (se
usar ln) para cada TR
x  xSz
No MS Excel o valor de x pode ser
calculado usando a função
INV.LOGNORMAL
Ajuste da distribuição Log Normal aos dados do rio
Guaporé
Distribuição Normal via Excel
28
Ano
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
Vazão
Máxima
145.5
183.8
289.5
131.3
227.3
167.3
104.3
263.3
157.5
240
170.3
210.8
184.5
Média
190.4 m3/s
Desvio
padrão
53.5 m3/s
Tempo
de retorno
100
90
80
70
60
50
40
30
20
14
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1.01
Probabilidade
0.010
0.011
0.013
0.014
0.017
0.020
0.025
0.033
0.050
0.071
0.100
0.111
0.125
0.143
0.167
0.200
0.250
0.333
0.500
0.990
Vazão (m3/s)
Distrib. Normal
314.9
312.8
310.4
307.6
304.3
300.3
295.3
288.6
278.5
268.8
259.0
255.7
252.0
247.5
242.2
235.4
226.5
213.4
190.4
65.6
Distribuição Normal via Excel
350.0
250.0
3
Vazão máxima (m /s)
300.0
200.0
Empírica
Normal
150.0
100.0
50.0
0.0
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
Tempo de retorno, TR (ano)
29
25.0
30.0
Exemplo de ajuste da Distribuição de
Gumbel
Ano
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
Média
Desvio
padrão
Vazão
Máxima
145.5
183.8
289.5
131.3
227.3
167.3
104.3
263.3
157.5
240
170.3
210.8
184.5
Tempo
de retorno
100
90
80
70
60
50
40
30
20
14
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1.01
Probabilidade
0.010
0.011
0.013
0.014
0.017
0.020
0.025
0.033
0.050
0.071
0.100
0.111
0.125
0.143
0.167
0.200
0.250
0.333
0.500
0.990
Vazão (m3/s)
Distrib. Gumbel
358.39
353.97
349.02
343.41
336.92
329.23
319.81
307.62
290.32
274.95
q
260.26
255.61
250.36
244.37
237.36
228.92
218.31
203.98
181.59
102.41
190.4 m3/s
53.5 m3/s
Alfa
Mi
41.76223
30 166.2795
TR    ln  ln1 


1 

TR 
Exemplo de ajuste da Distribuição de
Gumbel
350.0
250.0
3
Vazão máxima (m /s)
300.0
200.0
Empírica
Normal
Gumbel
150.0
100.0
50.0
0.0
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
Tempo31
de retorno, TR (ano)
25.0
30.0
Exemplo rio Guaporé
Comparação de resultados
TR
Normal
Log Normal Log Pearson 3
Gumbel
2
754
678
685
696
5
1050
1010
1013
1007
10
1204
1245
1236
1212
25
1369
1554
1522
1472
50
1475
1794
1737
1665
100
1571
2041
1953
1856
Considerações finais
 Vazões máximas não seguem distribuição normal.
 Distribuição assimétrica.
 Estimativa de vazões máximas com
 Log
Normal
 Gumbel
 Log Pearson 3
Considerações finais
 Não há uma distribuição perfeita
 Log Pearson 3 é recomendada oficialmente nos EUA,
mas não é adequada quando N é pequeno
 Gumbel tem a vantagem de ser de simples aplicação
ATIVIDADE 7

Para os dados do posto Armazém Capivari (84600000),
determine a série de vazões diárias máximas e ajuste as
distribuições Log-Normal, Gumbel e Log-Pearson III

Calcule as vazões máximas para tempos de retorno até
10.000 anos

Escolha a distribuição que melhor se ajustou e faça uma
tabela com as vazões para os tempos de retorno: 25, 50,
100, 250, 500, 1000 e 10.000 anos

Transponha os valores obtidos no item anterior para o
local da usina (A=540km2)
Vazões Mínimas
Estimativas de vazões mínimas
 Usos:
 Disponibilidade hídrica em períodos críticos
 Legislação de qualidade de água
 Questões ambientais (sobrevivência de espécies)
Vazões mínimas
 A análise de vazões mínimas é semelhante à
análise de vazões máximas, exceto pelo fato que no
caso das vazões mínimas o interesse é pela
probabilidade de ocorrência de vazões iguais ou
menores do que um determinado limite

 No caso da análise utilizando probabilidades
empíricas, esta diferença implica em que os valores
de vazão devem ser organizados em ordem
crescente, ao contrário da ordem decrescente
utilizada no caso das vazões máximas
Mínimas de cada ano
ATENÇÃO: O ano hidrológico para mínimas deve conter o período de
estiagem aproximadamente no seu centro
Série de vazões mínimas
ano
data
vazão
1970
4/jun
118.7
1971
24/nov
221.8
1972
3/jun
184
1973
23/ago
250.6
1974
24/ago
143
1975
5/set
198
1976
18/mai
194
1977
14/set
106.3
1978
15/mai
77.5
1979
30/abr
108
1980
5/mai
202
1981
17/set
128.6
1982
23/mai
111.4
1983
3/set
269
1984
19/set
158.2
1985
31/dez
77.5
1986
8/jan
77.5
1987
12/out
166
1988
13/dez
70
1989
27/dez
219.6
1990
17/mar
221.8
1991
24/set
111.4
1992
24/fev
204.2
1993
3/mai
196
1994
27/dez
172
1995
19/set
130.4
1996
31/ago
121.6
1997
13/mai
198
1998
1/ago
320.6
1999
2/dez
101.2
2000
26/jan
118.2
Vazões mínimas em ordem
cronológica
ano
data
vazão
1988
13/dez
70.0
1978
15/mai
77.5
1985
31/dez
77.5
1986
8/jan
77.5
1999
2/dez
101.2
1977
14/set
106.3
1979
30/abr
108.0
1982
23/mai
111.4
1991
24/set
111.4
2000
26/jan
118.2
1970
4/jun
118.7
1996
31/ago
121.6
1981
17/set
128.6
1995
19/set
130.4
1974
24/ago
143.0
1984
19/set
158.2
1987
12/out
166.0
1994
27/dez
172.0
1972
3/jun
184.0
1976
18/mai
194.0
1993
3/mai
196.0
1975
5/set
198.0
1997
13/mai
198.0
1980
5/mai
202.0
1992
24/fev
204.2
2001
24/ago
213.0
1989
27/dez
219.6
1971
24/nov
221.8
1990
17/mar
221.8
1973
23/ago
250.6
1983
3/set
269.0
ordem
1
2
3
…
N = 32
i
p
N 1
1
TR 
p
Vazões mínimas ordenadas
do menor para o maior
valor
Probabilidade TR
vazão
0.030
33.00
70
0.061
16.50
77.5
0.091
11.00
77.5
0.121
8.25
77.5
0.152
6.60
101.2
0.182
5.50
106.3
0.212
4.71
108
0.242
4.13
111.4
0.273
3.67
111.4
0.303
3.30
118.2
0.333
3.00
118.7
0.364
2.75
121.6
0.394
2.54
128.6
0.424
2.36
130.4
0.455
2.20
143
0.485
2.06
158.2
0.515
1.94
166
0.545
1.83
172
0.576
1.74
184
0.606
1.65
194
0.636
1.57
196
0.667
1.50
198
0.697
1.43
198
0.727
1.38
202
0.758
1.32
204.2
0.788
1.27
213
0.818
1.22
219.6
0.848
1.18
221.8
0.879
1.14
221.8
0.909
1.10
250.6
0.939
1.06
269
0.970
1.03
320.6
Distribuição empírica de
vazões mínimas
Distr. empírica de vazões mínimas
Ajuste de distribuições teóricas
 Semelhante ao caso das vazões máximas
 Normalmente as vazões mínimas que interessam
tem a duração de vários dias
 A vazão mínima mais conhecida é a Q7,10
 Q7,10 é a vazão mínima de 7 dias de duração com TR
de 10 anos.
Vazões mínimas
 RESOLUÇÃO CONAMA Nº 020, de 18 de junho de 1986
 O CONSELHO NACIONAL DO MEIO AMBIENTE - CONAMA, no uso
das atribuições que lhe confere o art. 7º, inciso IX, do Decreto 88.351,
de 1º de junho de 1983, e o que estabelece a RESOLUÇÃO CONAMA
Nº 003, de 5 de junho de 1984;
 …
 Art. 13 - Os limites de DBO, estabelecidos para as Classes 2 e 3, poderão
ser elevados, caso o estudo da capacidade de autodepuração do corpo
receptor demonstre que os teores mínimos de OD, previstos, não serão
desobedecidos em nenhum ponto do mesmo, nas condições críticas de
vazão (Qcrit. " Q7,10 , onde Q7.10, é a média das mínimas de 7 (sete)
dias consecutivos em 10 (dez) anos de recorrência de cada seção do
corpo receptor).
 …
Vazões mínimas
Distribuição Normal também não funciona
350
.
300
Vazão mínima (m3/s)
250
200
150
100
50
0
1.0
10.0
Tempo de retorno (anos)
100.0
Distribuição de Weibull para
mínimas
 Uma distribuição de freqüências teórica
mais adequada para a estimativa de vazões
mínimas de alto tempo de retorno é a
distribuição de Weibull (veja em
Naghettini e Pinto, 2007)
 Na análise de vazões mínimas usando a
distribuição de Weibull é usada a equação:
x  x  K S
Distribuição de Weibull para mínimas
x  x  K S
 onde
1



1 



K  A   B    ln 1    1
 T 





1 

A   1   1    B 
 


e onde:
 
2
1 
2
B    1      1  

 

 
1
2
1

H0  H1  G  H 2  G2  H3  G3  H4  G4
e onde…
 H0 = 0,2777757913
 H1 = 0,3132617714
 H2 = 0,0575670910
 H3 = -0,0013038566
 H4 = -0,0081523408
Weibull
 G é o coeficiente de assimetria;
  é a função Gama, que é uma generalização da
função fatorial para números reais não inteiros.
 Uma dificuldade da aplicação da distribuição de
Weibul é a necessidade de calcular o valor da função
Gama. O valor da função Gama é dada por:

w   x w1  e  x dx
0
Weibull e a função gama
 O programa Excel permite calcular o valor do
logaritmo da função gama através da função
LnGama(x).
 o resultado é o logaritmo natural da função gama,
para obter a função gama, basta fazer a operação
inversa
Exemplo
 A tabela ao lado
apresenta as vazões
mínimas anuais
observadas no rio
Piquiri, no município de
Iporã (PR).
Considerando que os
dados seguem uma
distribuição Weibull,
determine a vazão
mínima de 5 anos de
tempo de retorno.
ano
Vazão mínima
1980
202
1981
128.6
1982
111.4
1983
269
1984
158.2
1985
77.5
1986
77.5
1987
166
1988
70
1989
219.6
1990
221.8
1991
111.4
1992
204.2
1993
196
1994
172
1995
130.4
1996
121.6
1997
198
1998
320.6
1999
101.2
2000
118.2
2001
213
Solução
 Média = 163
 Desvio padrão = 65.2
 Além disso é calculado o coeficiente de assimetria. Usando a função do
Excel (Distorção(x)) o valor encontrado é
G=0,5662
 A partir destes dados é calculado o valor de
  2,116
 Usando a função do Excel LnGama(x) são calculados os valores de
B() e A().
 B()=2,2726
 A()=0,2599
 E com estes valores são calculados os termos K para cada tempo de
retorno T em anos, conforme a tabela a seguir
Exemplo Weibull - tabela
TR
K
Vazão Weibull
2
-0.10153
156.5
5
-0.89405
104.8
10
-1.22803
83.0
25
-1.51140
64.6
50
-1.65317
55.3
100
-1.75422
48.7
1


1  



K  A   B    ln 1    1
 T 




Q  Q  K S
Normal x Weibull
Considerações finais vazões mínimas
 Vazões mínimas não seguem uma distribuição
normal
 Distribuição de Weibull pode ser usada nestes casos
 Normalmente se trabalha com mínimas de vários
dias de duração
Vazões mínimas na prática
1.
2.
3.
4.
Obter dados diários
Calcular médias móveis (???!!!!)
Encontrar menores valores de cada ano na série da
média móvel
Usar Weibull com os dados da série de mínimos
obtidos no passo 3
do livro Stream Hydrology: An introduction for Ecologists – de Gordon et al.
ATIVIDADE 8

Para os dados do posto Armazém Capivari (84600000),
determine a série de vazões mínimas médias de 7 dias de
duração e ajuste a distribuição de Weibull

Utilizando o ajuste da distribuição de Weibull, calcule a
vazão Q7,10 (mínima média de 7 dias com 10 anos de
tempo de retorno