Semana da Matemática 2013
UFJF
Um pouco de
Geometria Tropical
Frederico Sercio Feitosa
DM/UFJF
Geometria Tropical
Que figuras são essas?
RETA TROPICAL
Geometria Tropical
• Por quê tropical ?
• Seria devido a
existência de formas
exóticas ?
• A álgebra tropical era
conhecida como
álgebra max-plus.
• Nome “tropical”
dado por
pesquisadores de
informática da
Universidade Paris 7
Imre Simon (Budapeste - Hungria,
1943 – São Paulo, 2009)
• O mundo clássico pode ser degenerado até o
mundo tropical.
• Um enunciado tropical tem muita chance de
possuir um enunciado clássico similar.
• Os objetos tropicais são lineares por partes,
logo mais simples de estudar que os seus
análogos clássicos.
Objetivo:
Estudar objetos simples, enunciar teoremas
sobre objetos complicados.
Álgebra Tropical
Duas operações (tropicais) no conjunto dos
números reais :
x  y : max{x, y}
x  y : x  y
1 1  1
1 2  3
1 2  3  3
5  3
2
 10
Muitas propriedades em comum com as
operações clássicas dos números reais.
São comutativas, associativas e vale a
distributividade.
Duas diferenças:
• Qual é o elemento neutro da adição tropical?
xe  x
e  
Para isto estendemos o conjunto dos números
reais.
Temos:
x  ()  max{x,}  x
x  ()  x  ()  
é o conjunto dos números tropicais.
• Um número real tem simétrico em relação a
adição tropical ?
x  y  
Consequência: não está definida a subtração
tropical.
Observação: a adição tropical é idempotente, ou
seja,
x x  x
• 0 é o elemento neutro da multiplicação
tropical.
• Abreviamos x  y por xy
Cuidado!!!
2x  x  x
2x  x  2
1x  x
1x  x  1
0x  x
(1) x  x  1
“Polinômios” Tropicais
xx
1  x  max{1, x}
1  x  3 x  max{1, x,2 x  3}
2
1  x  3x 2  (2) x 3  max{1, x,2 x  3,3x  2}
P( x)  a0  a1 x  a2 x  ...  ad x
2
d
 max{a0 , a1  x, a2  2 x,..., ad  dx}
Raízes
• Um polinômio tropical
é uma função afim por
partes.
• Uma raiz de P(x) é
qualquer número x0
para o qual o gráfico
de P(x) tenha uma
“quina”
P( x)  0  x  (1) x
2
• Raízes de P ( x)  0  x
2
P
(
x
)

0

x
• Raízes de
• Raízes de P( x)  x 3  2 x 2  3 x  (1)
Definição:
As raízes tropicais do polinômio tropical P(x) são
os números tropicais x0 para os quais existem i e
j distintos tais que
P(x0) = ai + ix0 = aj + jx0
Curvas tropicais
Polinômio tropical em duas variáveis:
P( x, y )  a00  a10 x  a01 y  a11 xy  a20 x 2  a02 y 2  ...
 max{a00 , a10  x, a01  y, a11  x  y,...}
Curva tropical definida por P(x,y) é o lugar das
“quinas” dessa função.
Exemplo: P( x, y )  x  y  1
Devemos resolver o sistema de inequações:
 x0

 y0
x
 0



1
1
y0



y0
x0
1
A reta tropical é constituída das três semi-retas
(1, y0 ) : y0  1
( x0 ,1) : x0  1
( x0 , y0 ) : x0  1
Exemplo: P( x, y )  3  2 x  2 y  3xy  y 2  x 2
Exemplo:
P( x, y )  0  x  y 2  (1) x 2
Interseções tropicais
Bibliografia:
• Brugallé, Erwan. Um pouco de Geometria
Tropical. Tradução: Éden Amorim (UFMG) e
Nicolas Puignau (UFRJ). Revista Matemática
Universitária nº 46 (2009) 27-40.
• Gathmann, A.
• Mikhalkin, G.