MEDIÇÃO E ERRO
CAPÍTULO 1
INSTRUMENTAÇÃO ELETRÔNICA MODERNA
TÉCNICAS DE MEDIÇÃO
Albert D. Helfrick
William D. Cooper
CAPÍTULO 1
PRECISION dc MEASUREMENTS AND STANDARDS
David S. Luppold
1
INTRODUÇÃO
Metrologia é a ciência das medições.
Um simples pedaço de fio metálico sofre alteração
com a idade, temperatura, humidade, pressão e
outras condições ambientais.
A variabilidade das propriedades dos materiais e
equipamentos é um limitante para medidas exatas
e precisas.
2
A Metrologia existe para determinar o valor verdadeiro
das medidas.
Na prática: este objetivo jamais é atingido, apenas é
aproximado.
Base para se chegar ao valor verdadeiro:
Valor medido = Valor verdadeiro + erro
Valor verdadeiro = Valor medido – erro
Diversos tipos de erros: alguns determinados outros estimados.
3
1.1 - DEFINIÇÕES
Sistema: combinação de 2 ou mais elementos, subsistemas e partes necessárias para realizar uma ou mais
funções.
Função de um Sistema de Medição: atribuir de forma
objetiva e empírica um número a uma propriedade ou
qualidade de um objeto de forma a descrevê-lo.
4
Resultado de uma medição: objetivo (independente do
observador) e empírico (baseado em procedimentos
experimentais).
Deve haver uma correspondência entre as quantidades
numéricas e as propriedades descritas.
Para que serve um sistema de medição?
1. Monitoramento de um processo;
2. Controle de um processo.
5
Instrumento: dispositivo através do qual se pode
determinar o valor ou magnitude de uma
grandeza.
Medição:
é
o
processo
que
envolve
um
instrumento para determinar uma variável física.
Medida: é o resultado do processo de medição.
Instrumento eletrônico: baseia-se em princípios
elétricos ou eletrônicos para se efetuar a medição.
6
Erro: é a diferença entre o valor verdadeiro e o
valor lido com o instrumento.
Erro absoluto = Resultado – valor verdadeiro.
Erro relativo = Erro absoluto/valor verdadeiro.
Erro relativo especificado como percentual do
fundo de escala.
Erro relativo especificado como percentual da
leitura.
7
Característica estática de um sistema de medição:
quando a variável medida muda muito lentamente com o
tempo.
Característica dinâmica de um sistema de medição:
quando a variável medida muda rapidamente com o
tempo. É influenciada pelas estáticas.
São estudadas separadamente.
8
ACURÁCIA (EXATIDÃO)
Acurácia: qualidade que caracteriza a capacidade de um
instrumento de medição fornecer resultados próximos ao
valor verdadeiro da grandeza medida.
Valor verdadeiro, ideal ou exato: valor obtido quando as
medições são realizadas utilizando um método ideal.
Método ideal: quando especialistas concordam que os
resultados foram feitos com suficiente acurácia para a
aplicação pretendida para as medidas.
9
Acurácia de um Instrumento: determinada através de um
processo de calibração estática.
Calibração estática: todas as entradas do sensor são
mantidas constantes, exceto a que é estudada, que é variada
lentamente. Os resultados na saída do sensor são
registrados. Curva de calibração.
Valor da quantidade de entrada: deve ser conhecido.
Quantidade conhecida: medida com padrões. Determinada
com pelo menos 10 vezes mais acurácia que o sensor que
está sendo calibrado.
10
Classe (Accuracy Class) : Definido como o erro percentual
da medida, com referência a um valor convencional, que é a
faixa de medida ou o fundo de escala.
Comparação entre instrumentos: todos os instrumentos que
pertencem à mesma classe de acurácia têm o mesmo erro de
medida quando a entrada aplicada não excede sua faixa
nominal e trabalha sob as condições especificadas.
Sensor de deslocamento de classe 0.2 com fundo de escala
de 10 mm.
11
O valor numérico de uma grandeza e seu erro devem ser
expresso com valores numéricos compatíveis.
O resultado numérico de uma medição não deve ter mais
figuras significativas que aquelas consideradas confiáveis
levando em conta a incerteza do resultado.
Exemplos: 35 N ± 1 N
35 N ± 0,1 N
35,5 N ± 1 N
35,5 N ± 10%
12
PRECISÃO (Precision)
Precisão: qualidade que caracteriza a capacidade de um
instrumento de medição fornecer a mesma leitura quando
repetidamente medir a mesma quantidade sob as mesmas
condições prescritas (ambiental, operador, etc) sem
considerar a coincidência ou discrepância entre o resultado
e o valor verdadeiro.
Precisão
implica
em
concordância
entre
medidas
sucessivas.
13
14
15
Acurácia
Baixa
Alta
Precisão
Baixa
Alta
16
SENSIBILIDADE (Sensitivity)
Sensibilidade (ou fator de escala - scale factor) é a
inclinação da curva de calibração, seja ela constante ou
não ao longo da faixa de medida.
Se y = f(x), a sensibilidade S(xa) = dy/dx (p/ x=xa)
Para y = kx + b S=k
Para y = k𝒙𝟐 + b
S= 2kx
17
LINEARIDADE (Linearity)
Linearidade: descreve a proximidade entre a curva de
calibração de um sensor ou instrumento e uma linha reta.
A linearidade indica o quanto a sensibilidade é constante.
Quando a linearidade é constante é mais fácil fazer a
conversão da leitura para o valor medido. Basta se
multiplicar a leitura por um valor constante para se saber o
valor da entrada.
Com o advento dos microcontroladores, este problema já não
é tão complexo.
18
RESOLUÇÃO (Resolution)
Resolução: é a menor variação do sinal de entrada que
resultará em uma variação mensurável da saída.
Sistemas
com
mostradores
digitais:
a
resolução
corresponde ao incremento digital.
Sistemas com mostradores analógicos: a resolução
teórica é zero. Na prática: VD a VD/10.
19
Faixa de Indicação (FI)
É o intervalo entre o menor e o maior valor que o
mostrador do Sistema de Medição (SM) tem condições
de apresentar como indicação direta.
Em um mesmo SM pode-se selecionar várias faixas de
indicação. Cada uma é denominada faixa nominal.
Faixa de Medição (FM): é o conjunto de valores do
mensurando para o qual admite-se que o erro de um
instrumento de medição mantém-se dentro de limites
especificados.
20
Zona Morta: faixa na qual o sinal de entrada varia sem
dar início a uma mudança observável na saída.
Deriva (Drift): mudança indesejável que ocorre no sinal
medido, com o passar do tempo, causada por fatores
ambientais ou por fatores intrínsecos ao sistema. Em
consequência, o zero desta medida é deslocado.
Histerese:
propriedade
de
um
elemento
sensor
evidenciada pela dependência do sinal de saída da
história de excursões anteriores.
21
O ERRO DE MEDIÇÃO
É caracterizado como a diferença entre o valor da
indicação do SM e o valor verdadeiro do mensurando:
E = I – VV
Na prática: valor verdadeiro convencional: VVC
E = I – VVC
VVC: valor conhecido com erro não superior a 1/10 do
erro de medição esperado.
22
Não existe SM perfeito.
Não se consegue eliminar completamente o erro de
medição!
É possível, porém, delimitá-lo!
Mesmo sabendo da existência do erro de medição, é ainda
possível obter informações confiáveis da medição, desde
que a ordem de grandeza e a natureza do erro sejam
conhecidos.
E = Es + Ea + Eg
23
Erro sistemático (Es)
É a parcela do erro sempre presente nas medições
realizadas em idênticas condições de operação.
Ex:
dispositivo mostrador com ponteiro torto.
Causas: Problemas de
1) Calibração
2) Desgaste
4) Princípio de medição
3) Construtivo
5) Condições ambientais.
O valor do erro sistemático pode variar ao longo da faixa
de medição.
24
Erro aleatório (Ea)
Quando uma medição é repetida diversas vezes, nas
mesmas condições, observam-se variações nos valores
obtidos. Valores obtidos: acima e abaixo do valor médio.
O efeito é provocado por erro aleatório.
Causas: folgas, atritos, vibrações, flutuação da tensão da
rede elétrica, instabilidades internas, flutuações das
condições ambientais.
25
Erro grosseiro (Eg)
É decorrente do mau uso ou do mau funcionamento do
SM.
Ex: 1) Leitura errônea
2) Operação indevida do SM
3) Dano do SM.
Valor imprevisível.
Facilmente detectável.
Não é considerado nos textos didáticos.
26
Estimação dos Erros de Medição
Se o erro de medição fosse perfeitamente conhecido,
poderia ser corrigido e sua influência anulada.
Erro sistemático: pode ser bem conhecido.
Erro aleatório: difícil de ser estimado. Pode-se modelá-lo
como tendo distribuição aproximadamente normal com
média zero. Incerteza de uma medição.
Assim, não é possível compensar totalmente o erro de
medição.
27
A incerteza de uma medição é o intervalo, em torno de
um valor determinado, na qual o valor medido e o
valor
verdadeiro
da
quantidade
desconhecida
provavelmente estão.
National Bureau of Standards (NBS): “as incertezas são
baseadas nos limites estimados dos erros sistemáticos mais
3 vezes o desvio padrão dos erros aleatórios ou
randômicos.”
28
Efeitos randômicos instantâneos causam erros
randômicos instantâneos nas medições.
Quando os erros são totalmente randômicos eles
obedecem às leis da Estatística e seu valor médio para um
número infinito de medições é zero.
Em outras palavras, se houvesse possibilidade de se
efetuar um número infinito de medições, o erro
randômico seria zero.
29
Como isto não é possível, o efeito acumulado do erro
randômico instantâneo está presente.
Quando os erros são causados por efeitos completamente
randômicos, as leis da Estatística predizem a forma geral
da curva de distribuição de erros.
Além disso, estas leis tornam possível estabelecer um valor
prático para os erros randômicos em um conjunto finito
de medições.
30
Enfatizamos: não há medidas exatas. Medida mesmo
com acurácia melhor que 1 ppm é aproximada. A
magnitude real do erro é desconhecida.
Alguns limites de erros:
Ponte de Wheatstone 4232-3-B Northrup: ± (0,01% da
leitura + 0,001 Ω) na faixa até 1,1 M Ω.
Potenciômetro Guildline: (0,001% da leitura + 0,5 µV)
Régua de 1 m subdividida em mm: a medição pode ser
feita até o mm mais próximo. Limite do erro: ± 0,5 mm.
Pode ser expresso como: 0,5 mm/1000 mm = ± 0,05 % 31
32
FIGURAS SIGNIFICATIVAS
O número de figuras significativas em que uma medida é
expressa é uma indicação de sua precisão. Quanto maior for
o número de figuras significativas, maior a precisão da
medida.
O resultado numérico de uma medição (medida) não deve ter
mais
figuras
significativas
que
aquelas
consideradas
confiáveis levando em conta a incerteza do resultado.
Exemplos: 82 Ω
82,4 Ω
2 Figuras Significativas
3 Figuras Significativas
33
População de uma cidade: aproximadamente 250 mil
habitantes.
2,5 x 𝟏𝟎𝟓 habitantes
2,50 𝟏𝟎𝟓 habitantes
Velocidade da luz: 299 792 458 m/s
Velocidade da luz: 300 mil km/s
3,0 x 𝟏𝟎𝟓
3,00 x 𝟏𝟎𝟓
“É costume registrar uma medida com os dígitos que
expressam que o valor registrado é aquele que é o mais
próximo do valor verdadeiro”.
34
Tensão da rede elétrica: 127,4 V.
Oura maneira de expressar (Helfrick/Cooper): 127,4 ± 0,05
V. A tensão lida está entre 127,35 V e 127,45 V.
Quando um número de medições é realizada, em um esforço
para se obter a melhor medida possível (mais próxima do
valor verdadeiro), o resultado é usualmente expresso como a
média aritmética de todas as medidas, com a faixa de
valores possíveis expressa como o máximo desvio desta
média.
Exemplo 1.1 .
35
Quando duas ou mais medidas com diferentes graus de
acurácia são adicionadas, o resultado é somente tão exato
quanto a menos exata das medidas.
Exemplo 1.2
Na multiplicação, o número de figuras significativas
pode aumentar rapidamente, mas somente o número de
figuras apropriado deve ser mantido na resposta.
Exemplo 1.3
36
Se dígitos extras são acumulados na resposta , eles devem
ser descartados ou arredondados.
Na prática usual, se o dígito a ser descartado é menor que
5, o dígito anterior permanece inalterado.
Se o dígito a ser descartado é ≥5, o dígito anterior é
incrementado de 1.
Exemplo 113,46 — 113
113,74 — 114
Exemplos: 1.4 a 1.6
37
ANÁLISE ESTATÍSTICA
Uma análise estatística das medidas é uma prática comum
porque ela possibilita a determinação da incerteza das
medidas.
O resultado de um determinado processo de medição pode
ser determinado a partir de uma amostra de dados sem
informação detalhada dos distúrbios e ruídos.
Para se utilizar métodos estatísticos e se fazer interpretações
significativas, é necessário geralmente efetuar-se um grande
número de medições.
38
Também os erros sistemáticos devem ser pequenos
comparado
aos
erros
aleatórios.
Evidentemente,
o
tratamento estatístico não remove os erros sistemáticos.
Média aritmética (Arithmetic mean)
Representa o valor mais provável de uma série de medições
feitas. A melhor aproximação é quando se realiza um grande
número de medições de uma mesma quantidade. (Exemplo 1.1)
Desvio da média (Deviation from the mean)
É a diferença entre uma determinada medida e o valor médio
de um grupo de medidas. Positivo ou negativo.
39
Exemplo 1-9
Desvio Médio (Average Deviation)
É a soma dos valores absolutos dos desvios dividido pelo
número de medições. É uma indicação da precisão dos
instrumentos
utilizados
para
fazer
as
medições.
Um
instrumento altamente preciso tem um baixo desvio médio
entre as medições.
Exemplo 1-10
40
Desvio Padrão ( Standard Deviation)
É a raiz quadrada da soma dos desvios da média elevados ao
quadrado dividido pelo número de medições, se o número de
medições for muito grande, e pelo número de medições menos
um se o número de medições não for muito grande.
A maioria dos resultados científicos são expressos em termos
do desvio padrão. Mesma unidade das medidas.
Variança (Variance or Mean Square Deviation)
É o desvio padrão elevado ao quadrado.
As varianças são aditivas.
41
PROBABILIDADE DOS ERROS
Distribuição Normal dos Erros
Tabela 1-1
Figura 1-1
A Curva Gaussiana ou Normal
A Lei Normal ou Gaussiana forma a base do estudo
estatístico dos efeitos randômicos ou aleatórios. É baseada
nas seguintes afirmações:
42
a) Todas
as
medições
incluem
pequenos
distúrbios
denominados erros randômicos;
b) Erros randômicos podem ser positivos ou negativos;
c) Há igual probabilidade de erros positivos e negativos;
d) Erros pequenos são mais prováveis que erros grandes;
e) Grandes erros são muito improváveis
f) Há igual probabilidade de erros positivos e negativos, de
modo que a probabilidade de um certo erro será
simétrica em torno do valor zero.
43
ERRO PROVÁVEL
A área sob a curva de probabilidade Gaussiana entre os
limites de -∞ e +∞ representa o número total de observações.
A área sob a curva entre –σ e +σ representa os casos que
diferem da média não mais que 1 desvio padrão. 68,28%
dos casos estão entre os limites de –σ e +σ.
Tabela 1-2
A quantidade r=±0,6745σ é denominada erro provável.
Exemplo 1-11
44
ERROS LIMITES
Na maioria dos instrumentos de medida a acurácia é
garantida como um percentual do fundo de escala.
Componentes de circuitos (resistores, capacitores, etc) a
acurácia é garantida como um percentual de seu valor
especificado.
Os limites dos desvios dos valores especificados são
conhecidos como erros limites ou erros garantidos.
Exemplo 1-12
Exemplo 1-13
Exemplo 1.14
45
ERROS LIMITES
É muito comum a necessidade de se realizar medições ou
cálculos combinando erros garantidos (limites).
Exemplo 1-13
É altamente improvável que todos os 3 componentes tenham
erro máximo em seus valores.
Assim sendo, é muito pouco provável que o erro no valor de
tensão no exemplo 1-13 seja 0,3%.
Exemplo 1.14
46