O Modelo de Interação do Multiplicador
e Acelerador de Samuelson (1939)
Prof. Giácomo Balbinotto Neto
UFRGS
Bibliografia
Chiang (1982, cap. 14)
Dowling (1981, cap. 20)
Burda & Wyplosz (2005, cap. 14.3.2)
Samuelson, P. (1939). Interactions Between the
Multiplier Analysis and the Principles of
Acceleration. Review of Economics Statistics: 7578.
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O Modelo de Interação do Multiplicador
e Acelerador de Samuelson (1939)
Maybe the most famous second-order difference
equation in economics is the one associated with
Samuelson’s multiplier accelerator model.
Thomas Sargent (1979, p. 184)
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O Modelo de Interação do Multiplicador
e Acelerador de Samuelson (1939)
O modelo de Samuelson (1939)[Samuelson Oscilator] nos mostra,
de modo simples, como a interação entre o multiplicador e o
acelerador é capaz de gerar flutuações cíclicas endogenamente.
Paul Samuelson credits Alvin Hansen rather than Harrod for the
inspiration behind his seminal 1939 contribution. The original
Samuelson multiplier-accelerator model (or, as he belatedly baptised
it, the "Hansen-Samuelson" model) relies on a multiplier mechanism
which is based on a simple Keynesian consumption function with a
Robertsonian
[http://cepa.newschool.edu/het/essays/multacc/samacc.htm]
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A Estrutura do Modelo
- A renda nacional Yt é composta por três fluxos de
gastos:
Ct – consumo;
It – investimento;
Gt – gastos do governo.
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A Estrutura do Modelo
O consumo corrente [Ct] é assumido ser uma função da renda do
período anterior [Yt-1]. Aqui assumimos que Ct seja estritamente
proporcional a Yt-1.
O investimento é assumido ser do tipo induzido, sendo uma função
da tendência vigente dos gastos de consumo. É através deste
investimento induzido que o princípio da aceleração entra no
modelo de Samuelson (1939).
Os gastos do governo [Gt] são assumidos serem exógenos. Aqui,
por simplificação, supomos que sejam constantes e iguais a Go.
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A Estrutura do Modelo:
As Equações
Yt = Ct + It + Go
Ct = Yt-1
, 0 <  < 1 - propensão marginal a
consumir
It = (Ct – Ct-1) ,  > 0 - é o acelerador
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A Estrutura do Modelo:
As Equações
Dada a equação do consumo, pode-se expressar a
equação do investimento como:
It = (Yt-1 –  Yt-2) =  (Yt-1 – Yt-2)
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A Estrutura do Modelo:
As Equações
Substituindo a equação do investimento e a equação do
consumo na equação da renda, obtemos:
Yt -  (1 +) Yt-1 + Yt-2 = Go
ou
Yt+2 -  (1 +) Yt+1 + Yt = Go
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A Estrutura do Modelo:
As Equações
Yt+2 -  (1 +) Yt+1 + Yt = Go
esta é uma equação em diferenças de segunda ordem
com termo e coeficientes constantes, que pode ser
resolvida encontrado-se a integral particular e a função
complementar. [cf. Chiang (1982, cap. 17)]
A solução deste modelo consiste em achar a integral
particular e a função complementar.
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A Solução do Modelo
A integral particular representa o nível de equilíbrio
intertemporal do Yp.
A função complementar, Yc, especifica, para cada
período de tempo, o desvio em relação ao equilíbrio.
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A Solução do Modelo:
#1 – A Integral Particular
A integral particular, que em termos do modelo de
Samuelson (1939) equivale ao nível de equilíbrio da
renda no longo prazo é resolvido estabelecendo-se que:
Yt = Yt+1 = Yt+2 = Yp
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A Solução do Modelo:
#1 – A Integral Particular
A integral particular é dada por:
Yp = Go/ [1-  (1 + ) + ] = Go/(1- )
[1/ /(1- )] é simplesmente o multiplicador keynesiano simples que
prevaleceria na ausência do investimento induzido.
Assim, [Go/(1- )] – o gasto exógeno vezes o multiplicador da
renda, nos dá a renda de equilíbrio do modelo, no sentido de que
este nível de renda satisfaz a condição de equilíbrio
[renda = demanda agregada].
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A Solução do Modelo:
#2 – A Função Complementar
e a Estabilidade do Equilíbrio
A equação [Yt+2 -  (1 + ) Yt+1 + Yt = Go] possui a seguinte
equação característica:
2
b -  (1 + )b +  = 0
a qual pode ser resolvida para duas raízes b1 e b2.
Contudo, visto que a convergência ou divergência dependem dos
valores de b1 e b2, que por sua vez dependem dos valores dos
parâmetros  e , as condições para convergência ou divergência
devem ser expressas em termos dos valores de  e .
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A Solução do Modelo:
#2 – A Função Complementar
e a Estabilidade do Equilíbrio
A resolução da equação de segundo grau é dada pela
fórmula de Bhaskara:
2
½
r1,r2 = b  (b – 4ac) /2a
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A Solução do Modelo:
#2 – A Função Complementar
e a Estabilidade do Equilíbrio
As duas raízes b1 e b2 são sempre relacionadas entre si
pelas seguintes equações:
b1 + b2 =  (1 + )
b1.b2 = 
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A Solução do Modelo: #2 – A Função
Complementar e a Estabilidade do Equilíbrio
Caso #1 – Raízes Reais e Distintas
Dado que  e  são ambos positivos, isto implica que b1
e b2 são também positivos.
Como  (1+) > 0, temos que b1 e b2 precisam ser
positivos.
Isto implica que, no caso #1, a trajetória temporal de Yt
não admite oscilações.
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Caso #1 – Raízes Reais e Distintas
combinações possíveis dos valores de b1 e b2
(i) 0 < b2 < b1 < 1
  <1 ;  < 1;
(ii) 0 < b2 < b1 = 1
 =1
(iii) 0 < b2 < 1 < b1   > 1 ;
(iv) 1 = b2 < b1
  <1 ;  < 1;
(v) 1 < b2 < b1
  <1 ;  > 1
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Caso #1 – Raízes Reais e Distintas
As combinações possíveis dos valores de b1 e b2
e suas implicações
Para a situação (i), onde b1 e b2 têm, ambos, valores
fracionários e positivos, o produto (1-b1)(1-b2) é positivo.
Isto pode ser escrito como:
1-b1-b2 + b1b2 = 1 -  (1+) +  = 1 - 
Isto por sua vez implica que  < 1, que é consistente
com a especificação do modelo.
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Caso #1 – Raízes Reais e Distintas
As combinações possíveis dos valores de b1 e b2
e suas implicações
Contudo, as possibilidades (ii), (iii) e (iv) violam, todas,
a especificação do modelo, pois implicam num valor de
 1.
Assim, elas devem ser eliminadas pois não satisfazem,
do ponto de vista teórico, as exigências estabelecidas no
modelo. [cf. Chiang (1982,p.516)]
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Caso #1 – Raízes Reais e Distintas
As combinações possíveis dos valores de b1 e b2
e suas implicações
Já a possibilidade (v) é admissível do ponto de vista
teórico. Neste caso temos que b1 e b2 são ambas maiores
do que 1; portanto, o produto (1-b1)(1-b2) = 1- , sendo
o produto de dois termos negativos, é novamente
positivo, implicando que  < 1.
Assim, para o caso #1, temos duas possibilidades
teóricas plausíveis.
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Caso #1 – Raízes Reais e Distintas
As combinações possíveis dos valores de b1 e b2
e suas implicações
Na possibilidade (i) – que envolve raízes fracionárias, temos que a
trajetória temporal gerada será convergente em relação a Y.
Já na possibilidade (v), onde as raízes são maiores que 1, obtemos
uma trajetória temporal divergente.
No que se refere aos valores de  e , a questão da convergência
ou divergência depende de se  < 1 ou  > 1, pois  = b1b2 é
menor (maior) do que a unidade quando b1 e b2 são ambos
frações positivas (maiores do que 1).
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Caso #2 – Raízes Repetidas
As combinações possíveis dos valores de b1 e b2
e suas implicações
As raízes são iguais a b = [(1+)/2] com sinal positivo porque  e
 são positivos. Portanto, temos que, novamente, não são geradas
oscilações neste caso.
O valor de b gera três possibilidades teóricas:
(vi) 0 < b < 1
  <1 ;  < 1;
(vii) b = 1
 =1
(viii) b > 1
  > 1 ;  > 1
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Caso #2 – Raízes Repetidas
As combinações possíveis dos valores de b1 e b2
e suas implicações
Na possibilidade (vi), b é uma fração positiva, o que implica que:
2
2
(1-b) = 1 – 2b+ b = 1 - [(1+)] +  = 1 -  > 0
  <1
2
Na possibilidade (viii) temos que (1-b), temos que  > 0. Por fim,
quando b=1, na possibilidade (vii), temos que:
2
(1-b) = 0 , de modo que =1, o que viola a especificação do
modelo, indicado que ela não é teoricamente plausível e deve ser
eliminada.
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Caso #2 – Raízes Repetidas
As combinações possíveis dos valores de b1 e b2
e suas implicações
O caso # 2 (de raízes repetidas) gera dois casos
teoricamente admissíveis – as possibilidades (vi) e
(viii).
Na possibilidade (vi) é gerada uma trajetória
temporal convergente, ao passo que na possibilidade
(viii) – gera-se uma trajetória divergente.
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Caso #3 – Raízes complexas
As combinações possíveis dos valores de b1 e b2
e suas implicações
No caso de raízes complexas, temos uma flutuação
escalonada (visto que estamos lidando com um modelo
com equações a diferenças) que apresenta ciclos
econômicos endógenos.
Neste caso temos que buscar o valor absoluto de:
1/2
R = (a)
para verificar se a trajetória é convergente
ou divergente.
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Caso #3 – Raízes complexas
As combinações possíveis dos valores de b1 e b2
e suas implicações
O modelo gera três possibilidades teóricas para este caso, onde:
½
R = ()
(ix) R < 1
  <1
(x) R = 1
  = 1
(xi) R > 1
  > 1
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Resumo dos Casos
Caso
#1 – raízes reais e
distintas
2
 > [4/(1+) ]
# 2 – raízes reais e
repetidas
2
 = [4/(1+) ]
# 3 - raízes
complexas
2
 > [4/(1+) ]
Subcaso
Valor de 
1C: 0<b2<b1<1
 <1
ID: 1 <b2<b1
 > 1
2C: 0 < b < 1
 <1
2D: b > 1
 > 1
3C: R <1
 < 1
3D: R  1
  1
Trajetória temporal
de Yt
Não oscilatória e
sem flutuações
Não oscilatória se
sem flutuações
Com flutuação
escalonada
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Resumo dos Casos
Se as raízes características forem complexas
conjugadas, a trajetória no tempo oscilará, isto é,
teremos ciclos econômicos regulares.
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Resumo Gráfico dos Resultados

2
 = [4/(1+) ]
 = 1

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Sites Recomendados
http://cepa.newschool.edu/het/essays/multacc/samacc.htm
http://www.eumed.net/cursecon/textos/samuelson/index.htm
http://www.econlib.org/library/Enc/bios/Samuelson.html
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Curiosidade
Bhaskara é o autor de um dos mais importantes livros de história da
Matemática que tem o nome de sua única filha Lilavati. Conta a
lenda que a única maneira de uma mulher ter uma alma era através
do casamento, mas por causa de um incidente isto não foi possível,
foi quando Bhaskara resolveu honrar a filha dando-lhe uma segunda
chance. Escreveu um livro e deu o nome de Lilavati. Um casamento
teria dado a Lilavati uma alma, mas o amor de Bhaskara pela filha
deu a ela a eternidade. Este é o mundo que rodeia estes homens,
um mundo de mistérios, descobertas, paixões e magia.
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FIM
Prof. Giácomo Balbinotto Neto
UFRGS