MODELAGEM MATEMÁTICA DA CINEMÁTICA DIRETA DO
ROBÔ FANUC LR MATE 200IC COM SIMULAÇÃO NO MATLAB
Sérgio Ricardo Xavier da Silva, M.Sc. – [email protected]
Universidade do Estado da Bahia (UNEB), Departamento de Ciências Exatas e da Terra
Rua Silveira Martins, 2555, Cabula
41150-000 – Salvador – Bahia
Rafael Gonçalves Bezerra de Araújo, M.Sc. – [email protected]
Francisco Henriques de Lemos – [email protected]
Fabien Lisias Alcântara Delebosse – [email protected]
Universidade Salvador (UNIFACS)
Rua Vieira Lopes, 2, Rio Vermelho
41940-560 – Salvador – Bahia
Resumo: O crescimento acelerado da tecnologia permitiu o desenvolvimento de estruturas
eletromecânicas mais complexas e especificas para a demanda da indústria. Os robôs
surgiram para suprir esta demanda. Para o desenvolvimento de robôs industriais foi
necessário o estudo da cinemática com o objetivo de analisar o comportamento da posição e
orientação do robô no espaço em relação a um sistema de coordenadas. O robô em estudo é
o Fanuc LR Mate 200iC, do Laboratório de Sistemas Mecatrônicos e Robótica da
Universidade Salvador. Após a determinação das equações da cinemática direta do robô, foi
implementado um código capaz de comprovar o modelo desenvolvido. Por fim, o trabalho
traz como contribuição uma análise e comprovação da notação de Denavit-Hartenberg.
Palavras-chave: Robótica Industrial, Cinemática Direta, Denavit-Hartenberg, Ensino de
Robótica, Simulação.
1.
INTRODUÇÃO
Nos tempos modernos, a palavra robot foi utilizada pela primeira vez em 1921, quando o
escritor tcheco Karel Capek (1890-1938) estreou no teatro nacional de Praga sua obra
Rossum’s Universal Robot (R.U.R.). Sua derivação é da palavra robota, que é de origem
sérvia, mas que em russo significa “trabalho forçado”.
Para (ULLRICH, 1987), robô é um equipamento multifuncional e reprogramável,
projetado para movimentar materiais, peças, ferramentas ou dispositivos especializados
através de movimentos variáveis e programados, para a execução de diversas tarefas.
Destacam-se, nesta definição, os termos multifuncional e reprogramável, pelo fato de os robôs
serem projetados para executarem, dentro de determinados limites, diversas tarefas.
Ainda, segundo o mesmo autor, os robôs podem ser equipados com sensores para sentir
ou perceber calor, pressão, impulsos elétricos e objetos; e podem ser usados com sistemas de
visão computacional, podendo monitorar as suas tarefas. Podem também aprender e se
lembrar das tarefas, reagir ao seu ambiente de trabalho, operar outras máquinas e se
comunicar quando ocorrem problemas em seu funcionamento. É uma tecnologia que já está
levando a uma reformulação da maneira de pensar e trabalhar.
O presente trabalho está organizado da seguinte maneira. A seção 2 traça uma breve
descrição sobre a cinemática direta de um manipulador e da notação de Denavit-Hartenberg
(D-H). A seção 3 apresenta com detalhes o robô Fanuc LR Mate 200iC, objeto de estudo
desta pesquisa, apresentando as etapas do processo de modelagem da cinemática direta do
mesmo, com o máximo de detalhes. A seção 4 apresenta a simulação desenvolvida no Matlab.
Por fim, a seção 5 conclui o artigo apresentando as considerações finais e perspectivas
futuras.
2.
CINEMÁTICA DIRETA
Robôs industriais possuem, geralmente, seis graus de liberdade. De acordo com (CRAIG,
2004), a localização de seu efetuador final é especificado através do controle de maneira
adequada das suas variáveis articulares, por consequência os valores do conjunto de variáveis
de junta de um robô, determinam o posicionamento de seu elemento terminal no sistema de
coordenadas de trabalho. De maneira geral, os três graus de liberdade iniciais de um robô tem
o papel de posicionar o efetuador final, e os outros três são responsáveis por orientar o
mesmo. Para solucionar o problema da cinemática direta, existem diversos métodos, o escopo
deste trabalho contempla a notação de Denavit-Hartenberg.
2.1. Notação de Denavit-Hartenberg (D-H)
Denavit e Hartenberg propuseram uma notação sistemática para atribuir um sistema de
coordenadas ortonormal com a regra da mão direita, um para cada elo numa cadeia cinemática
aberta de elos. Uma vez que estes sistemas de coordenadas fixados ao elo são atribuídos,
transformações entre sistemas de coordenadas adjacentes podem ser representadas por uma
matriz de transformação de coordenadas homogêneas (DENAVIT, 1955).
De acordo com (TSAI, 1999), na representação D-H original, associa-se o eixo de junta
ao eixo z e cada matriz é representada pelo produto de quatro transformações básicas
envolvendo rotações e translações como podemos observar na Equação (1).
(1)
O termo
representa a rotação θ em torno do eixo z;
, a translação d ao
longo do eixo z;
, a translação a ao longo do eixo x; e por fim,
, representa a
rotação α em torno do eixo x.
Esta operação resulta numa matriz representada pela Equação (2), sendo que através
desta, é realizado o mapeamento de coordenadas entre os elos do robô manipulador.
[
]
(2)
Os quatro parâmetros ak, dk, αk, θk ilustrados na Figura 1 representam: ak, a distância ao
longo de xk, da origem Ok à interseção dos eixos xk e zk-1; dk, a distância ao longo de zk-1, de
Ok-1 à interseção dos eixos xk e zk-1; αk, o ângulo do eixo zk-1 para o eixo zk, medido em torno
de xk; e θk, o ângulo do eixo xk-1 para o eixo xk, medido em torno de zk-1, (sinal obtido pela
regra da mão direita).
Figura 1 - Representação dos parâmetros da notação Denavit-Hartenberg.
Fonte: Adaptado de (SPONG, 1989).
Caso os parâmetros cinemáticos fossem estáticos, ou constantes, a transformação
homogênea também seria constante, fazendo com que o robô ficasse inerte. Dois dos quatro
parâmetros utilizados como referência possuem relação direta com a componente das
variáveis das juntas. Para juntas rotacionais, a variável de junta é o ângulo θk, caso seja
prismática, a variável de junta é a distancia entre os elos dk. Estes parâmetros estão
organizados numa tabela com referência a cada junta e são obtidos a partir do algoritmo
proposto por Denavit-Hartenberg. A Tabela 1 sintetiza os conceitos referentes aos parâmetros
cinemáticos.
Tabela 1 - Relação entre os parâmetros para juntas rotacionais e prismáticas.
Parâmetro
Ângulo de junta
Deslocamento de junta
Comprimento do elo
Ângulo de torção do elo
Símbolo
θk
dk
ak
αk
Junta Rotacional
Variável
Fixo
Fixo
Fixo
Junta Prismática
Fixo
Variável
Fixo
Fixo
Multiplicando todas as matrizes de transformação obtidas pelo algoritmo de D-H, obtémse a matriz de transformação homogênea que vai da base à extremidade do efetuador final, ou
seja, variando de 0 a n. Esta matriz resultante pode ser considerada como a solução do
problema da cinemática direta, mostrada na Equação (4).
(3)
( )
[
( )
( )]
(4)
Sendo q o deslocamento de cada junta representado por θ para juntas rotativas ou d para
juntas prismáticas.
3.
O ROBÔ FANUC LR MATE 200IC
O robô utilizado para estudo faz parte da série 200iC da FANUC Robotics. A FANUC
(Fujitsu Automated Numerical Control) é uma empresa japonesa que atua principalmente na
construção de robôs industriais desde a década de 70. O robô encontra-se disponível para
estudos no Laboratório de Sistemas Mecatrônicos e Robótica (LSMR) da Universidade
Salvador – UNIFACS, e é utilizado pelos alunos da disciplina Robótica do 9º semestre do
curso de Engenharia Mecatrônica. A Figura 2 ilustra o robô real.
Figura 2 - Fanuc LR Mate 200iC.
Fonte: http://www.fanuc.co.jp/en/product/catalog/index.html
Esta versão do robô foi desenvolvida para diversas aplicações, entre elas: manutenção de
máquinas, manuseamento de materiais, montagem, embalagem, remoção de materiais, testes,
amostragem, Educação e entretenimento.
O robô Fanuc LR Mate 200iC tem como características: 6 eixos rotativos, carga máxima
de trabalho de 5kg, alcance de 704mm com repetibilidade de ±0,02mm, massa total de 72kg e
freio mecânico em todas as seis juntas1.
3.1.Cinemática Direta do Fanuc LR Mate 200iC
Inicialmente para determinação da cinemática direta deste robô é preciso realizar uma
análise de posição, ou seja, verificar a relação entre os eixos de cada junta. A Figura 3 mostra
as dimensões do Fanuc LR Mate 200iC. Neste manipulador, a primeira junta {O} está
1
Maiores informações sobre o Fanuc LR Mate
http://www.fanuc.co.jp/en/product/catalog/index.html
200iC,
podem
ser
obtidas
no
endereço:
verticalmente alinhada com o eixo z, a segunda junta {A} é perpendicular à primeira junta
com pequena distância de a1, a terceira junta {B} é paralela à segunda com um deslocamento
de a2, e a quarta junta {C} é perpendicular à terceira junta com uma distancia a3. Pode-se
observar que os eixos das últimas três juntas se interceptam uns aos outros
perpendicularmente no ponto P. Este robô pertence a uma classe especial de manipuladores
que possuem as ultimas três juntas no centro do punho. A solução para o problema da
cinemática deste robô pode ser resolvida em duas etapas: uma associada às três primeiras
juntas de posicionamento e outra com as três ultimas juntas referente à orientação.
Figura 3 - Dimensões em milímetros do Fanuc LR Mate 200iC.
Fonte: Fanuc.com
De acordo com a análise de posicionamento e seguindo o algoritmo proposto por
Denavit-Hartenberg obtêm-se os parâmetros cinemáticos para cada uma das juntas, como
pode ser observado na Tabela 2.
Tabela 2 - Parâmetros D-H do Fanuc LR Mate 200iC.
Junta
1
2
3
4
5
6
αi
90º
0
90º
-90º
90º
0
ai
a1
a2
a3
0
0
0
di
0
0
0
d4
0
d6
θi
θ1
θ2
θ3
θ4
θ5
θ6
Na Figura 4 foram definidos os sistemas de coordenadas referentes a cada junta de 1 a 6,
respectivamente e o ponto Q representando a extremidade da ferramenta.
Figura 4 - Esquema gráfico do procedimento de D-H
Considerando estes sistemas de coordenadas associados aos parâmetros dos elos listados
na Tabela 3 e substituindo os parâmetros de D-H na Equação (2) obtêm-se as matrizes de
transformação homogênea:
,
,
,
,
e
. Multiplicando todas as seis
matrizes obtidas de acordo com a Equação (3), de três em três, obtemos
e
.
[
] [
[
] [
] [
]
] [
]
(5)
(6)
Multiplicando
e
, obtemos a cinemática direta da posição do efetuador. Como
os termos são muito extensos serão representados pelas variáveis descritas na Equação (7).
[
[
[
(
(
]
)
)
(
[
[
(
(
]
]
(7)
(
(
)
)
)
)
)
]
]
(
(
)
)
(7.1)
(7.2)
(7.3)
(7.4)
(7.5)
(
)
)
)
(
(
[
[
(
(
)]
)]
(
Onde abreviamos
sendo
4.
(
)e
( ) para
como sendo
)
( ) para
,
(
, e utilizamos a notação
(7.6)
(7.7)
(7.8)
(7.9)
(7.10)
(7.11)
(7.12)
como
).
SIMULAÇÃO NO MATLAB
A fim de demonstrar e comprovar matematicamente o algoritmo de Denavit-Hartenberg
elaborou-se uma simulação no Matlab® R2010b da empresa Mathworks, software
frequentemente utilizado por pesquisadores para realização de cálculos e sistemas em geral.
Como uma extensão do Matlab, existem as caixas de ferramentas (toolboxes) específicas para
cada área de pesquisa. Para este trabalho foi utilizado a Robotics Toolbox v8, criado por Peter
Corke em 2008.
Inicialmente definiu-se os parâmetros de Denavit-Hartenberg para cada junta e elo,
substituindo os valores reais de relação angular entre uma junta e outra e a translação (em
metros) entre juntas do Fanuc LR Mate 200iC. Os valores foram obtidos a partir do manual
do fabricante mostrado na Figura 3 seção 3.1.
Multiplicando-se estas matrizes obtemos a matriz de transformação homogênea
,
que fornece o mapeamento das coordenadas desde a base até a extremidade da ferramenta. No
Matlab define-se cada elo ‘L’ de 1 a 6 e em seguida o objeto ‘Fanuc’ que representará o robô
com a conexão dos seus elos em série, como podemos observar na Figura 5.
Figura 5 - Parâmetros de D-H descrevendo os tamanhos e relações angulares entre os eixos.
Dentro do toolbox existem diversas funções no campo da robótica que são muito úteis
para calcular e visualizar o comportamento das juntas de um robô. Foi criado um código para
a simulação, que a partir de uma linha de fluxo de tempo realiza a movimentação do robô no
espaço das juntas, sendo que é necessária a utilização da cinemática direta.
Para que o braço robótico possa se mover suavemente, é importante que a sua unidade de
controle seja capaz de controlar corretamente os seus acionadores para que não ocorram
acelerações bruscas que venham a danificar sua estrutura mecânica. Assim, a unidade de
controle do robô deve calcular uma trajetória que seja uma referência segura para os
servomotores de cada junta.
O espaço das juntas compreende a movimentação do robô junta a junta, portanto não
ocorrem singularidades2. No software, foi implementada a geração de trajetória no espaço
juntas definindo-se uma posição inicial e final das juntas. Neste exemplo foi definido um
conjunto de valores de juntas inicial q0 e um conjunto de valores finais qf, em seguida foi
utilizada a função jtraj disponível no toolbox, que recebe como parâmetros a posição inicial e
final das juntas e uma linha tempo de 10 segundos, isto para gerar uma trajetória no espaço
das juntas. A função fkine (forward kinematics) foi utilizada para computar os valores de
juntas ao longo da trajetória (Figura 6).
Figura 6 – Código para geração de trajetória.
Para visualizar outras características das juntas como o comportamento da posição,
velocidade e aceleração no tempo, foram gerados gráficos que correspondem respectivamente
a estas informações e podem ser vistos nas Figuras 7, 8 e 9. Estes foram obtidos criando as
variáveis q, qd, qdd, sendo q a posição, qd a derivada da posição (velocidade) e qdd a
derivada da velocidade (aceleração).
Figura 7 - Variação da posição das juntas 1 a 6 no tempo de 10s.
2
A singularidade existe quando ocorre o alinhamento de dois ou mais eixos do sistema de coordenadas do
manipulador (SCIAVICCO e SICILIANO, 1996).
Figura 8 - Variação da velocidade das juntas 1 a 6 no tempo de 10s.
Figura 9 - Variação da aceleração das juntas 1 a 6 no tempo de 10s.
Estes valores correspondem respectivamente, à posição, velocidade e aceleração de cada
junta e foram encontrados desconsiderando fatores como atrito ou outros esforços mecânicos.
A partir do comando drivebot, foi possível visualizar a movimentação do manipulador no
espaço tridimensional. A Figura 10 mostra a posição final e inicial e os seus valores de juntas
no controle de movimentação.
Figura 10 - Posição inicial e final com os seus valores de juntas – Espaço das juntas.
Os resultados da simulação computacional coincidiram com os obtidos da movimentação
do robô durante os testes no laboratório de Robótica, comprovando desta forma o modelo
desenvolvido.
5.
CONSIDERAÇÕES FINAIS E TRABALHOS FUTUROS
A partir deste trabalho é possível perceber que a cinemática é assunto de grande
importância no domínio da Robótica. Através de algoritmos como o de Denavit-Hartenberg e
a manipulação de equações é possível relacionar o sistema de coordenadas do ponto da
extremidade de um efetuador final ao sistema de coordenadas da base, oferecendo total
controle da posição e orientação.
Após a aquisição do braço robótico Fanuc LR Mate 200iC pela Universidade Salvador,
pouco alunos se interessaram em estudá-la pelo fato desta ser bastante incipiente e ainda não
ter algum grupo de pesquisa formado. Esta foi a maior motivação pela qual se iniciou este
trabalho, que teve por principal objetivo fornecer maior entendimento a respeito do robô, isto
porque a documentação disponibilizada continha apenas informações relativas à programação
e manuseio do teach-pendant. Juntamente com a falta de documentação, não havia nenhuma
literatura referente da modelagem matemática da cinemática direta deste robô.
A implementação da simulação pode servir como ferramenta para virtualizar o robô e
gerar trajetórias no espaço cartesiano, possibilitando aos alunos visualizar a aplicação dos
conhecimentos referentes à cinemática na robótica e com isso obter um maior entendimento
sobre estes conceitos.
Este trabalho apresenta uma contribuição para a comunidade acadêmica da Universidade,
pois foram estudados diversos conceitos referentes à cinemática dos robôs manipuladores e
forneceu uma sólida base para que outros acadêmicos se aprofundem nos estudos desta linha
de pesquisa.
Atualmente estão sendo realizados estudos na disciplina Robótica do curso de Engenharia
Mecatrônica da Universidade Salvador, para que seja apresentado com o máximo de detalhes
o processo de modelagem da cinemática inversa do robô em uma futura publicação, bem
como o desenvolvimento de um código capaz de comprovar o modelo desenvolvido, uma vez
que a cinemática inversa não é algo tão simples de se encontrar em literaturas, podendo servir
de documentação para futuras modelagens que possam vir a ser feitas por outros acadêmicos.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CRAIG, J. J. Introduction to robotics: mechanics and control. 3 ed, Mac Graw Hill, 2004.
DENAVIT, J. Description and displacement analysis of mechanics based on the 2x2 dual
matrices, 1 ed, Evanston, University of Northwestern, 1955.
SCIAVICCO, L., SICILIANO, B. Modeling and control of robot manipulators. Ed. McGraw
Hill, Naples, 1996.
SPONG, M. W. Vidyasagar, M. Robot dynamics and control. Prentice Hall, Inc., New Jersey,
1989.
TSAI, Lung-wen. Robot analysis: The mechanics of serial and parallel manipulators.
Maryland: Wiley-interscience, 1999. 499 p, il.
ULLRICH, R. Robótica - Uma Introdução. O Porquê dos robôs e seu papel no trabalho. Rio
de Janeiro: Editora Campus, 1987.
MATHEMATICAL MODELING OF FORWARD KINEMATICS OF
FANUC LR MATE 200IC ROBOT WITH MATLAB SIMULATION
Abstract: Accelerated growth of technology allowed the development of more complex and
specific electromechanical structures to industry demand. The robots emerged to solve this
demand. To develop industrial robots was necessary the study of kinematics in order to
analyze the behavior of the robot position and orientation in space relative to a coordinate
system. The Fanuc LR Mate 200iC model, is the robot under study, into Mechatronic Systems
and Robotics Laboratory from Salvador University - UNIFACS. After the determination of the
forward kinematic equations, was implemented a algorithm to prove the model developed.
Finally, the paper presents an analysis and proof of Denavit-Hartenberg notation, as a
contribution.
Key-words: Industrial Robotics, Forward Kinematics, Denavit-Hartenberg, Teaching
Robotics, Simulation.