Data: 03/11/2008
Duração da prova 90 min
Escola Secundária Afonso Lopes Vieira
Nome: .................................................................... Nº: ... 11º Ano Turma A
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1.
Relativamente ao triângulo obtusângulo [ABC] representado na figura, qual a resposta certa?
A] sen α = cos β, ∀α, β∈ [0 , π/2]
C
B] AC sen α = BC sen β
C] AC = BD , quaisquer que sejam α e β
D] α + β =90º
2.
α
A
β
D
B
Considere α a amplitude de um ângulo tal que 0 ≤ α ≤ π e cos(π + α) > 0. Qual das seguintes
afirmações é verdadeira?
A] O seno de α é negativo e a sua tangente é positiva;
B] O seno e o co-seno de α são ambos positivos;
C] α é um ângulo do 2º Quadrante;
D] sen α = sen(π + α).
3.
Considere x, no universo das amplitudes. Qual das seguintes condições é verdadeira?
A] sen x . cos x > 0 ^ tg x < 0;
B] sen (π+ x) = sen x;
C] sen x + cos x = tg x.
D] cos (3π/2 – x) = –sen x;
4.
Qual o valor exacto da expressão sen(630º) – 3cos(480º) + tg (–765º) ?
A] –1
B] –1/2
C] 1/2
D]
5.
1
Na figura, acerca do ângulo de amplitude α do 3º quadrante sabe-se que sen α = –2/3 .
Qual a amplitude – α, aproximada em graus?
A] – 42º
B]
222º
C]
138º
D] –138º
y
α
x
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)
(
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1. Do alto de prédios circundantes, foram feitas algumas
medições, de distancias e amplitudes, com vista a
determinar a altura da torre Eiffel.
Tendo em conta todas as medições apresentadas na figura,
determine a altura total da torre, incluindo a antena.
60º
20m
45º
126,3m
2. Calcule o valor exacto ou simplifique, se for caso disso, as seguintes expressões:
2.1 sen (5π/2) + cos(π/6) + 2tg (2π/3) + cos 3π
2.2 cos (π – α)+ 2cos (2π – α) + tg (–π + α) + sen(α – π/2)
3. Determine os valores exactos de cos α e tg α sabendo que sen α = – 1/4 e α ∈ 3º Quadrante.
4. Resolva cada uma das seguintes equações trigonométricas.
4.1 2 cos x + 2 = 1 (amplitude em graus)
4.2 3 – sen (2x – π/2) = 5/2
5. Na figura encontra-se desenhado num referencial xOy uma
circunferência de centro O e raio 5 cm e o trapézio [ABCD].
À medida que o ponto B se desloca sobre a circunferência,
α toma diferentes valores, no intervalo ]0, π/2], fazendo
variar consequentemente a forma e a área do trapézio [ABCD].
y
C
D
B
O
α
A
x
5.1 Mostre que a área do trapézio é dada, em função de α,
pela expressão:
A(α) = 25 sen α . cos α + 25 sen α
Considere a expressão anterior para resolver as duas questões seguintes.
(v. s. f. f.)
5.2 Calcule a área do trapézio quando α = π/6 aproximada a uma casa decimal.
5.3 Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determine para que valor de α a área do
trapézio é máxima.
Apresente um esboço do gráfico obtido na calculadora e assinale as coordenadas dos pontos
relevantes para a resolução do problema.
Formulário
Tabela de razões trigonométricas
α
0
π/6
π/4
sen
0
1/2
2
/2
cos
1
3
2
/2
/2
Área do trapézio =
tg
base maior + base menor
× altura
2
0
3
/3
1
COTAÇÕES
Grupo I ....................................................................................................50
Cada resposta certa ............................................................................... 10
Cada resposta errada ............................................................................... 0
Cada questão não respondida ou anulada ............................................... 0
Grupo II .................................................................................................150
1. ............................................................................................................. 20
2. ............................................................................................................. 32
2.1. ........................................................................................... 16
2.2. ........................................................................................... 16
3. ............................................................................................................. 15
4. ............................................................................................................. 33
4.1. ........................................................................................... 15
4.2. ........................................................................................... 18
5. ............................................................................................................. 50
5.1. ........................................................................................... 20
5.2. ........................................................................................... 15
5.3. ........................................................................................... 15
TOTAL .................................................................................................. 200
O Professor:
ESCOLA SECUNDÁRIA AFONSO LOPES VIEIRA
FICHA SUMATIVA MATEMÁTICA – A
Proposta de resolução
Escola Secundária Afonso Lopes Vieira
Nome: ..................................................................
Data: 03/11/2008
Nº: ... 11º Ano Turma A
I
1. B] sen α =
CD
AC
<=> CD = AC sen α e sen β =
CD
BC
<=> CD = BC sen β, logo AC sen α= BC sen β
2. C] Se α ∈ 1º Q, π + α ∈ 3º Q e cos (π + α) > 0. Se α ∈ 2º Q, π + α ∈ 4º Q e cos (π + α) < 0, logo α ∈ 2ºQ.
3. D] Por recurso ao circulo trigonométrico conclui-se que cos (3π/2 – α) = –sen α, ∀α ∈
{amplitudes}
4. B] sen(630º) – 3cos(480º) + tg (–765º) = sen(–90º) – 3(–sen 60º) + tg (–45º) = –1 +3 x 1/2 –1 = –1/2
5. C] α = sin–1(–2/3) <=> α ≅ – 41,8º v α ≅ 221,8º , α ∈ 3º Q. α = 222º <=> – α = –222º ou α = 138º
II
1.
h
h = (126,3+ x)tg 45
= tg 45
126,3+ x
<=>
<=> 126,3tg 45 + x tg 45 = x tg 60
h
h = x tg 60
= tg 60
x
<=> x tg 45 – x tg 60 = – 126,3tg 45 <=> x (tg 60 – tg 45) = 126,3tg 45
<=> x =
126,3 tg 45
<=> x ≅ 172,529
tg 60 − tg 45
h
45º
126,3 m
60º
x
h = x tg 60 <=> h = 298,829 e h + 20 = 318,829
R: A altura da torre, incluindo a antena deverá ser, aproximadamente 318,8 metros
2.1 sen (5π/2) + cos(π/6) + 2tg (2π/3) + cos 3π = sen (π/2) + cos(π/6) + 2tg (–π/3) + cos π =
=1+
3
3
4 3
3 3
–2 3 –1=
–
=–
2
2
2
2
2.2 cos (π – α)+ 2cos (2π – α) + tg (–π + α) + sen(α – π/2)
cos (π – α)+ 2cos (– α) + tg (α) + sen(– π/2 + α)
– cos α + 2cos α + tg α – cos α = tg α
π/2
π–α
π
α
–α
–π+α
3π/2
–π/2+α
3.1 sen α2 + cos2 α = 1 <=> cos2 α = 1 – (–1/4)2 <=> cos2 α = 1 – 1/16 <=> cos2 α = 15/16
cos α = ±
tg α =
15
16
sen α
=
cos α
<=> cos α = –
− 14
− 15
4
=
1
15
15
∧ α ∈ 3º Q
4
=
15
15
!
4.1 2 cos x + 2 = 1 <=> 2 cos x = 1 – 2 <=> cos x = –1/2 <=> x = ± 120º + k380, k ∈
4.2 3 – sen (2x – π/2) = 5/2 <=> – sen (2x – π/2) = 5/2 – 3
<=> – sen (2x – π/2) = –1/2 <=> sen (2x – π/2) = 1/2
<=> 2x – π/2 = π/6 + 2kπ v 2x – π/2 = π – π/6 + 2kπ , k ∈
<=>2x = π/6 + π/2 + 2kπ
v 2x = π + π/2 – π/6 + 2kπ , k ∈
<=>2x = 4π/6 + 2kπ
v 2x = 8π/6 + 2kπ , k ∈
<=>x = 4π/12 + kπ
v x = 8π/12 + kπ , k ∈
<=>x = π/3 + kπ
v x = 2π/3 + kπ , k ∈
5.1 A área do trapézio é dada por
A[ABCD] =
Base maior + base menor
× altura
2
y
AD + BC
× BE
2
C
B
AD = 10 ; BC = 2 x 5 cos α; BC = 5 sen α
A(α) =
10 + 10cos α
× 5sen α = (5 + 5cos α) 5sen α
2
D
α
O
E
A
x
A(α) = 25 sen α + 25sen α cosα
5.2 A(π/6) = 25sen (π/6) cos (π/6) + 25 sen (π/6)
A(π/6) = 25 x 0,5 x
3
+ 25 x 0,5 = 23,325
2
R: Quando α = π/6 a área é, aproximadamente, 23,3 cm2
5.3 A área atinge o valor máximo de 32,48 cm2
quando α ≅ 1,047 rad ou seja, α = π/3 = 60º
Nota:
Se Xmin = 0 e Xmáx = 90, com a calculadora
configurada para graus, o minimizante da
função apresentado seria 60.
y
32,476
30
20
10
x
0
1,047
0,5π