CENTRO UNIVERSITÁRIO DA FEI
RAPHAEL GERALDO DOS REIS
REAÇÃO DA RADIAÇÃO NO VÁCUO QUÂNTICO DETERMINA A FORMA DE LINHA ATÔMICA
São Bernardo do Campo
2011
RAPHAEL GERALDO DOS REIS
REAÇÃO DA RADIAÇÃO NO VÁCUO QUÂNTICO DETERMINA A FORMA DE LINHA ATÔMICA
Relatório Parcial apresentado ao Programa de
Iniciação Científica do Centro Universitário da FEI.
Orientador: Prof. Dr. Roberto Baginski B. Santos
São Bernardo do Campo
2011
RESUMO
A reação da radiação é a responsável pela emissão espontânea de radiação por um átomo
mas, quando aplicada ao movimento de um elétron, leva a fenômenos acausais como
autoaceleração e pré-aceleração. Neste relatório, estudamos a existência de soluções
acausais em duas equações propostas para descrever o movimento de um elétron, a
equação de Abraham-Lorentz e a equação de Eliezer, uma aproximação de primeira ordem
da equação de Abraham-Lorentz, e concluímos que enquanto aquela apresenta soluções
acausais, esta última está livre deste problema. Determinamos a forma de linha atômica a
partir da seção de choque de espalhamento de radiação para cada uma destas equações.
Observamos que as seções de choque de Abraham-Lorentz e de Eliezer são praticamente
indistinguíveis em torno da frequência de transição atômica e comparamos a largura de
linha prevista com resultados experimentais. Estudamos os limites de baixas e de altas
frequências das seções de choque e obtivemos uma divergência no limite de altas
frequências da seção de choque de Eliezer. Generalizamos a equação de Eliezer
incorporando consistentemente aproximações de todas as ordens e mostramos que a
equação generalizada de Eliezer apresenta soluções acausai.
Palavras-chave:
1. Reação da radiação
2. Espalhamento de radiação
3. Forma de linha atômica
4. Acausalidade
SUMÁRIO
1 OBJETIVO .............................................................................................................................................. 6
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ...................................................................................................................... 6
2.1 Força de reação da radiação e a equação de Abraham-Lorentz ................................................... 6
2.2 Soluções acausais da equação de Abraham-Lorentz .................................................................... 8
2.3 Efeitos acausais e os polos da transformada de Fourier ............................................................... 9
2.4 Equação de Eliezer ...................................................................................................................... 10
3 METODOLOGIA................................................................................................................................... 11
4 RESULTADOS PARCIAIS E DISCUSSÃO ................................................................................................ 13
4.1 Seção de choque de espalhamento da radiação......................................................................... 13
4.1.1 Estimativa de
.................................................................................................................. 13
4.1.2 Cálculo da seção de choque ................................................................................................. 14
4.1.3 Largura de linha .................................................................................................................... 16
4.1.4 Espalhamento Rayleigh e o azul do céu ............................................................................... 18
4.1.5 Espalhamento Thomson ....................................................................................................... 18
4.2 Equação de Eliezer generalizada ................................................................................................. 19
4.2.1 Soluções acausais na equação de Eliezer generalizada ....................................................... 20
5 PRÓXIMAS ETAPAS ............................................................................................................................. 21
6 CONCLUSÃO ....................................................................................................................................... 22
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................................................... 22
1 OBJETIVO
O objetivo deste projeto é descobrir se a largura de linha para emissão de radiação
pode ser obtida em um tratamento clássico da radiação com o campo eletromagnético de
vácuo. O objetivo deste relatório é apresentar a determinação da largura de linha atômica a
partir de duas equações de movimento para as cargas elétricas. Estas equações de
movimento incorporam a força de reação da radiação mas não incorporam o campo
eletromagnético de vácuo.
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Nesta revisão bibliográfica, apresentaremos a dedução da força de reação da
radiação a partir da energia transferida ao campo eletromagnético por uma partícula
acelerada e a equação de Abraham-Lorentz que descreve o movimento de uma carga
elétrica na presença de uma força externa e da força de reação da radiação. Em seguida,
mostraremos que a equação de movimento obtida tem soluções acausais com
autoaceleração e com pré-aceleração e mostraremos como é possível obter uma equação de
movimento aproximada, a equação de Eliezer, que não possui soluções acausais.
2.1 Força de reação da radiação e a equação de Abraham-Lorentz
Trocas de energia entre as partes de um sistema físico estão associadas à emissão ou
à absorção de radiação. Quando, por exemplo, um átomo emite radiação, parte de sua
energia interna é transferida para o campo eletromagnético. O campo eletromagnético,
porém, além de possuir energia transporta momento linear. A alteração do momento linear
do campo eletromagnético pela emissão de radiação só é possível se, por sua vez, uma força
agir sobre o átomo alterando seu momento linear.
6
A força de reação da radiação pode ser deduzida a partir da potência emitida pela
partícula. Considere uma partícula puntiforme de carga
aceleração
e massa
que se move com
. Neste caso, a partícula emite radiação e transfere energia para o campo
eletromagnético a uma taxa dada pela potência de Larmor[1-4]
(1)
Como
, podemos integrar entre os instantes de tempo
e
,
(2)
A integral de
pode ser desenvolvida como
(3)
e, por integração por partes, obtemos
(4)
O argumento encontrado na literatura[1-4] para que
(5)
é supor que o movimento da carga é periódico com período
. Substituindo o
resultado da equação (4) na equação (2), obtemos
(6)
e, rearranjando os dois lados da equação,
7
(7)
A equação (7) sugere que a força de reação da radiação é dada por
(8)
Esta força é única entre as forças da natureza pois depende da derivada da aceleração da
partícula. Definindo a constante
(9)
para um elétron de massa
e carga
, a força
de reação da radiação se torna
(10)
Se a partícula está sujeita a uma força externa
, a equação de movimento é
(11)
que é conhecida por equação de Abraham-Lorentz.
2.2 Soluções acausais da equação de Abraham-Lorentz
A equação de Abraham-Lorentz admite soluções acausais que apresentam
autoaceleração e pré-aceleração. Quando a partícula não está submetida a qualquer força
externa, a equação (11) admite a solução
(12)
8
A menos que a aceleração inicial seja nula, a equação (12) prevê que uma partícula que não
está submetida a qualquer força externa deve sofrer um aumento exponencial da sua
aceleração. Como a velocidade da partícula também aumenta exponencialmente,
(13)
a partícula receberia energia sem que qualquer causa externa agisse sobre ela, o que é um
efeito acausal. A solução da equação de Abraham-Lorentz no caso de força externa nula é
não física.
Se a partícula está submetida a uma força externa, então a solução da equação (11)
é[5]
(14)
Neste caso, o problema é que o movimento do elétron no instante de tempo
é
influenciado pelo valor da força externa em instantes de tempo posteriores a . Esta préaceleração se manifesta apenas em intervalos de tempo da ordem de , mas, sendo um
efeito acausal, a solução geral da equação de Abraham-Lorentz é uma solução não física.
2.3 Efeitos acausais e os polos da transformada de Fourier
É possível identificar a ocorrência de efeitos acausais nas soluções de uma equação
diferencial como a equação de Abraham-Lorentz sem precisar obter uma solução explícita,
bastando descobrir a localização dos polos da transformada de Fourier [6]
(15)
da solução da equação. Se
tem um polo em
, então o integrando de
(16)
9
é igual a
(17)
no polo. Se
, então o fator
aumenta exponencialmente com o tempo, indicando a
existência de efeitos acausais. Se há algum polo da transformada de Fourier no semiplano
superior, a equação de movimento terá soluções acausais[7].
Para analisar a equação de Abraham-Lorentz, precisamos substituir a aceleração
(18)
a derivada da aceleração
(19)
e a força externa
(20)
na equação (11):
(21)
Para que esta equação seja verdadeira sempre, é preciso que
(22)
A transformada de Fourier tem três polos:
(duas vezes) e
. Este último polo
possui parte imaginária positiva e leva a efeitos acausais, confirmando os resultados da
seção 2.2
2.4 Equação de Eliezer
10
Os efeitos acausais da equação de Abraham-Lorentz vêm do fato de que a força de reação da
radiação é proporcional à derivada da aceleração. Se a força de reação da radiação for
pequena, é possível tratá-la como uma pequena perturbação à força externa. Neste caso,
(23)
e obtemos uma aproximação para a força de reação da radiação:
(24)
Com esta aproximação, a equação de Abraham-Lorentz fica
(25)
que é a equação de Eliezer[8].
Para verificar se a equação de Eliezer tem soluções acausais, devemos descobrir a
posição de seus polos. Desta vez, obtemos
(26)
o que leva a
(27)
Como os dois polos desta transformada de Fourier são
, as soluções da equação de
Eliezer não são acausais.
3 METODOLOGIA
A metodologia a ser empregada consistiu de revisão bibliográfica e dos
desenvolvimentos teóricos descritos a seguir.
11
A) Revisão bibliográfica da reação da radiação
Revisamos o modelo clássico do elétron puntiforme, obtendo a força de reação da radiação
a partir da potência de Larmor. Em seguida, resolvemos a equação de Abraham-Lorentz e
discutimos os efeitos acausais encontrados em suas soluções. Tratando a radiação como
uma pequena perturbação, obtivemos a equação de Eliezer para o movimento da carga e
mostramos que as soluções desta equação não exibem comportamento acausal.
B) Determinação da seção de choque de espalhamento de radiação
A partir das soluções das equações de Abraham-Lorentz e de Eliezer, calculamos o espectro
de potência da radiação emitida e, a partir da intensidade espectral da radiação incidente,
determinamos a seção de choque para o espalhamento de radiação. A largura do pico da
seção de choque foi interpretada como a largura da linha atômica e comparada com
resultados experimentais para a transição
do hidrogênio. Os limites de baixas
frequências e de altas frequências foram estudados. No limite de baixas frequências, o
espalhamento Rayleigh foi obtido; contudo, no limite de altas frequências, enquanto a
equação de Abraham-Lorentz levou corretamente ao espalhamento Thomson, a equação de
Eliezer levou a uma seção de choque divergente.
C) Soluções acausais na equação de Eliezer generalizada
Generalizamos a equação de Eliezer incorporando derivadas da força externa de todas as
ordens com o objetivo de eliminar o comportamento divergente da seção de choque da
equação de Eliezer para frequências altas. Em seguida, determinamos a posição dos polos da
transformada de Fourier da solução da equação generalizada e verificamos a existência de
soluções acausais.
12
4 RESULTADOS PARCIAIS E DISCUSSÃO
Nesta seção, apresentaremos resultados para a seção de choque de espalhamento da
radiação obtida a partir das soluções das equações de Abraham-Lorentz e de Eliezer e
mostraremos que uma generalização da equação de Eliezer volta a apresentar efeitos
acausais.
4.1 Seção de choque de espalhamento da radiação
Um modelo simples para o espalhamento de luz por um átomo é um elétron de carga
e massa
angular natural
sob a ação de uma força elástica –
e de uma força elétrica
caracterizada pela frequência
, em que
é o campo elétrico da luz
incidente sobre o átomo, como mostra a figura 1.
Figura 1. Espalhamento de radiação por um átomo.
4.1.1 Estimativa de
Para estimar um valor para a frequência de oscilação
, usamos o modelo de Bohr
para o átomo de hidrogênio. Neste modelo, o momento angular vale
, em que
é o número quântico principal[9]. Como o momento angular de uma partícula em
movimento circular de raio
com velocidade
é
, descobrimos
que
13
(28)
Além disso, no modelo de Bohr, as órbitas permitidas têm raios
Bohr vale
, onde o raio de
Assim,
(29)
Outra forma de estimar um valor para
é aproximar o potencial efetivo que prende
o elétron ao próton por um potencial harmônico em torno da posição de equilíbrio:
(30)
Para determinar a posição de equilíbrio, resolvemos a equação
e obtivemos
(31)
onde usamos
. Em seguida, calculamos
na posição de equilíbrio e
obtivemos
(32)
Como
, encontramos novamente
(33)
o que confirma o resultado encontrado anteriormente.
4.1.2 Cálculo da seção de choque
A seção de choque de espalhamento da radiação é[2,3]
(34)
onde
é o espectro de potência da radiação espalhada, que pode ser obtido a partir de
14
(35)
e a intensidade espectral da radiação incidente pode ser obtida a partir do Teorema de
Parseval[6]:
(36)
A transformada de Fourier da aceleração pode ser obtida a partir da transformada de
Fourier da posição:
.
Usando a equação de Abraham-Lorentz e o procedimento apresentado
anteriormente, obtemos
(37)
o que significa que
(38)
Neste caso, a seção de choque de espalhamento da radiação é
(39)
onde
(40)
é a seção de choque do espalhamento Thomson.
Usando a equação de Eliezer, obtemos
(41)
para a aceleração,
(42)
para o espectro de potência da radiação espalhada e
15
(43)
para a seção de choque. A figura 2 mostra as seções de choque encontradas em torno de
. Apesar das seções de choque serem diferentes, os resultados não diferem por mais do
que 0,2 partes por milhão em torno de
, como mostra a figura 3.
Figura 2. Seção de choque de espalhamento da radiação.
Figura 3. Diferença relativa entre as seções de choque. Na figura,
e
.
4.1.3 Largura de linha
16
A seção de choque de espalhamento pode ser usada para estimar a largura de linha.
Para isso, devemos fazer uma aproximação na seção de choque em torno de
:
(44)
que devemos reescrever na forma[2,3]
(45)
para identificar
(46)
para o primeiro nível excitado do átomo de hidrogênio
usando
(
). Isto corresponde a uma largura de linha
(46)
que
é
várias
ordens
de
magnitude
maior
do
que
o
resultado
observado
experimentalmente[10] e mostrado na figura 4.
Figura 4. Forma de linha atômica associada ao estado
do átomo de hidrogênio[10].
Em nossa análise, este resultado se deve ao fato de que há vários caminhos possíveis
para a emissão de radiação em um modelo clássico enquanto a física quântica limita a
quantidade de caminhos para a emissão de radiação a alguns poucos modos de decaimento.
Havendo mais caminhos possíveis para o decaimento, a probabilidade de emissão por algum
dos caminhos é grande e, portanto, o tempo médio necessário para que ocorra emissão de
radiação por um átomo excitado é muito pequeno. Como, pelo princípio da incerteza,
, a incerteza na energia da radiação emitida é muito grande. Consequentemente, a
17
incerteza na frequência da linha espectral, a largura de linha, muito grande se há vários
caminhos possíveis para a emissão de radiação.
4.1.4 Espalhamento Rayleigh e o azul do céu
O espalhamento Rayleigh é o limite de baixas frequências da seção de choque de
espalhamento da radiação. Para as duas expressões que obtivemos,
(44)
A figura 5 mostra a seção de choque para o espalhamento Rayleigh na faixa da luz visível.
Podemos observar que o espalhamento de luz é mais intenso na região do azul e do violeta
em comparação com a região do vermelho e do amarelo. Por este motivo, o céu é azul [2].
Figura 5. Seção de choque de espalhamento Rayleigh.
4.1.5 Espalhamento Thomson
18
O espalhamento Thomson é o limite de altas frequências da seção de choque de
espalhamento da radiação. Neste caso, para a seção de choque de Abraham-Lorentz,
que é constante, como esperado
[2,3]
(45)
. A interpretação física para este caso é que quando a
radiação oscila com frequência muito elevada, os elétrons não conseguem acompanhar a
oscilação e se comportam como elétrons livres.
No caso da seção de choque de Eliezer,
(46)
que é divergente, isto é, tende a infinito quando a frequência é muito alta. Este resultado
significa que a equação de Eliezer, apesar de não possuir soluções acausais, não é adequada
para descrever fenômenos que envolvem altas frequências, para os quais a força de reação
da radiação deve ser muito importante.
4.2 Equação de Eliezer generalizada
A equação de Eliezer não possui soluções com características não causais mas a seção
de choque de espalhamento não apresenta o comportamento esperado para altas
frequências, regime no qual a força de reação da radiação pode ser dominante, pois
em um movimento com frequência
. É possível este comportamento se deva ao
fato de que a equação de Eliezer é uma aproximação de primeira ordem, na derivada da
força externa, da equação de Abraham-Lorentz, que apresenta soluções acausais mas leva a
uma seção de choque com comportamento esperado nos limites de baixa e de alta
frequência.
Para tentar remediar esta situação, generalizamos a equação de Eliezer. O ponto de
partida é rever o procedimento que levou à equação de Eliezer. O primeiro passo foi tratar a
força de reação da radiação como uma pequena perturbação,
19
(47)
para obter uma aproximação para a própria força de reação da radiação
:
(48)
Com esta aproximação, obtivemos a equação de Eliezer,
(49)
Para seguir adiante, derivamos novamente a equação de Eliezer:
(50)
para obter nova aproximação para a força de reação da radiação:
(51)
Com esta nova aproximação, a equação de Abraham-Lorentz fica
(52)
Repetindo este procedimento infinitas vezes, chegamos à seguinte aproximação para a força
de reação da radiação:
(53)
e obtivemos a equação de Eliezer generalizada
(54)
4.2.1 Soluções acausais na equação de Eliezer generalizada
20
Para analisar a existência comportamento acausal, devemos descobrir a posição dos polos
da transformada de Fourier da solução da equação de Eliezer generalizada. Com a força
externa
(55)
obtivemos
(56)
A série pode ser substituída por sua soma[11]
(57)
para obter
(58)
Como
,
simplifica para
(59)
Para encontrar os polos, devemos resolver a equação
(60)
que, de acordo com o Matlab, possui uma única raiz com parte imaginária positiva
(
para os parâmetros
e
. Isso
já é suficiente para mostrar que a equação de Eliezer generalizada apresenta
comportamento acausal e, portanto, não físico.
5 PRÓXIMAS ETAPAS
Nas próximas etapas do projeto, faremos uma revisão bibliográfica do campo
eletromagnético de vácuo. Nesta revisão, estudaremos as propriedades físicas e estatísticas
21
deste campo aleatório e entenderemos como o campo eletromagnético de vácuo permite
entender alguns fenômenos associados com a física quântica. Em seguida, acrescentaremos
o campo de vácuo à equação de movimento do elétron, verificaremos se continuam
existindo soluções não causais e calcularemos a seção de choque de espalhamento para
obter uma nova estimativa da largura de linha. Esta nova estimativa será comparada aos
resultados experimentais[10].
6 CONCLUSÃO
Estudamos o efeito da força de reação da radiação sobre o movimento das cargas
elétricas usando a equação de Abraham-Lorentz, que apresenta soluções acausais, e de
Eliezer, que não apresenta soluções acausais. Determinamos a seção de choque de
espalhamento de radiação para cada uma destas equações e comparamos a largura de linha
obtida desta maneira com os resultados experimentais. Descobrimos que este tratamento
clássico da radiação leva a uma largura de linha da ordem de mil vezes maior do que o
observado. Atribuímos esta discrepância ao fato de que, classicamente, há uma grande
número de maneiras pelas quais um átomo pode absorver ou emitir radiação.
Generalizamos a equação de Eliezer para eliminar uma divergência da seção de choque em
altas frequências e descobrimos que esta generalização leva a comportamento acausal.
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] LORENTZ, H.A. The Theory of Electrons. Leipzig: Teubner, 1909.
[2] FRENEKL, J.Princípios de Eletrodinâmica Clássica. São Paulo: Editora da Universidade de
São Paulo, .1996.
[3] JACKSON, J.D. Classical Electrodynamics. 3.ed. New York: Wiley, 1998.
[4] GRIFFITHS, D.J. Introduction to Electrodynamics. 3.ed. Upper Saddle River, NJ: PrenticeHall, 1999.
[5] ERBER, T. Fortschritte der Physik v.9, p.343, 1961.
22
[6] ARFKEN, G.B.; WEBER, H.J. Mathematical Methods for Physicists. 5.ed. San Diego:
Academic, 2001.
[7] NUSSENZVEIG, H.M. Causality and Dispersion Relations. New York: Academic, 1972.
[8] ELIEZER, C.J. Proceedings of the Royal Society A v.194, p.543, 1948.
[9] YOUNG, H.D.; FREEDMAN, R.A. Sears e Zemansky Física IV: ótica e física moderna. 12.ed.
São Paulo: Addison Wesley, 2009.
[10] UDEM, T. et al. Physical Review Letters v.79, p.2646, 1997.
[11] GRADSHTEYN, I.S.; RYZHIK, I.M. Table of Integrals, Series, and Products. 5.ed. San
Diego: Academic, 1994.
23