LISTA DE EXERCÍCIOS DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA: SOLUÇÃO ANALÍTICA
E NUMÉRICA
PROFESSOR: SANTOS ALBERTO ENRIQUEZ REMIGIO
FACULDADE DE MATEMÁTICA - UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
Exercise 1. Determine a solução analítica das seguintes EDOs:
a)
dy
dx
= −xy b)
dy
dx
= −λy, λ > 0 c)
dy
dx
= cos(x) + sen(x)
Exercise 2. Use o método de Euler para obter uma aproximação para as soluções de cada um dos seguintes
problemas de valor inicial.
a)
y 0 = te3t − 2y,
b)
y 0 = 1 + (t − y)2 ,
c)
y 0 = 1 + y/t,
d) y 0 = cos(2t) + sen(3t),
0 ≤ t ≤ 1, y(0) = −0.08,
2 ≤ t ≤ 3,
y(2) = 1,
1 ≤ t ≤ 2,
y(1) = 2,
0 ≤ t ≤ 1,
y(0) = 1,
com h = 0.25
com h = 0.5
com h = 0.25
com h = 0.25
Exercise 3. Verifique as soluções reais (analíticas) dos problemas de valor inicial no Exercício 2 são dadas aqui:
a)
b)
c)
d)
y(t)
y(t)
y(t)
y(t)
=
=
=
=
1 3t
te
5
−
1 3t
1 −2t
e − 25
e
25
1
t + 1−t
t lnt + 2t
− 13 cos(3t) +
1
sen(2t)
2
Exercise 4. Dado o problema de valor inicial: y 0 =
y(t) = t2 (et − e), faça:
2
y
t
4
3
+ t2 et , 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 0, com solução exata
(1) Use o método de Euler com h = 0.2 para encontrar a aproximação da solução e compare-a com os valores
reais de y.
(2) Use as respostas geradas na parte (a) e a interpolação linear para encontrar a aproximação dos valores de
y a seguir e compare-os com os valores reais:
i. y(1.04) ii. y(1.55) iii. y(1.97)
Exercise 5. Considere que em um circuito com tensão aplicada ξ e com resistência R, indutância L e capacitância
C em paralelo, a corrente i satisfaz a equação diferencial a seguir:
di
d2 ξ
1 dξ
1
=C 2 +
+ ξ.
dt
dt
R dt L
Suponha que C = 0.3 farads, R = 1.4 ohms, L = 1.7 henries e que a tensão seja dado por ξ(t) = e−0,06πt sen(2t −
π). Se i(0) = 0, encontre a corrente i para os valores t = 0.1j, em que j = 0, 1, 3, 4.
Exercise 6. Use o método de Taylor de segunda ordem para encontrar uma aproximação das soluçoes de cada um
dos problemas de valor inicial a seguir:
a)
y 0 = te3t − 2y,
b)
y 0 = 1 + (t − y)2 ,
c)
y 0 = 1 + y/t,
0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 0, com h = 0.25
2 ≤ t ≤ 3, y(2) = 1, com
h = 0.5
1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 2, com h = 0.25
d) y 0 = cos(2t) + sen(3t), 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1, com h = 0.25
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Exercise 7. Dado o problema de valor inicial y 0 = 2t y + t2 et , 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 0, com solução exata y(t) =
t2 (et − e):
(1) Use o método de Taylor de segunda ordem com h = 0.2 para encontrar a aproximação da solução e
compare-a com os valores reais de y.
(2) Use as respostas geradas na parte (a) e a interpolação linear para encontrar a aproximação dos valores de
y a seguir e compare-os com os valores reais:
i. y(1.04) ii. y(1.55) iii. y(1.97)
Exercise 8. Um projétil de massa m = 0.11 Kg jogado verticalmente para cima com velocidade inicial v(0) = 8m/s
tem sua velocidade diminuída pela força de gravidade, Fg = −mg, e pela resistência do ar, Fr = −kv |v|, em que
g = 9, 8m/s2 e k = 0.002Kg/m. A equação diferencial para a velocidade v é dada por mv 0 = −mg − kv |v|.
(1) Encontre a velocidade após 0.1, 0.2, ..., 1,0s.
(2) Com precisão de um decimo de segundos, determine quando o projétil alcança sua altura máxima e começa
a cair.
Exercise 9. Resolva a equação
dy
dx
=
cos(x)
,
(1+4sen2 (x))1/2
y(0) = 2 no intervalor [1, 2] com h = 0.25, utilizando:
(1) Método de Euler;
(2) Método de Runge-Kutta de 2ª ordem.
Exercise 10. O problema de valor inicial:
(
y0
= −20y,
y(0) = 1,
tem y(x) = e−20x como única solução exata.
(1) Verifique a afirmação acima.
(2) Verifique que o método de Runge-Kutta explícito de segunda ordem, quando aplicado a este problema
fornece:
yn+1 = (1 − 20h + 200h2 )n+1 , n = 0, 1, 2, ...
´x
Exercise 11. Deduza o método implícito do tipo yn+1 = yn + xnn+1 f (x, y(x))dx para resolver o PVI:
(
y0
= f (t, y)
y(x0 ) = y0
usando a regra do trapézio para calcular a integral acima.