Aplicações de Trigonometria Esférica na Astronomia de Posição
PAULO CESAR COSTA 1
ROBERTO JUNIOR BATISTA 2
JOSÉ LUIZ DOS SANTOS (ORIENTADOR)
Resumo. A Astronomia esférica ou Astronomia de Posição diz respeito, basicamente, às direções em
que os astros são vistos, sem se preocupar com sua distância. Assim, é conveniente expressar tais
direções em termos das posições sobre a superfície de uma esfera – a esfera celeste – , com seus
valores medidos unicamente em ângulos. Neste artigo abordamos a trigonometria esférica,
fundamental na Astronomia de Posição, através de uma introdução ao assunto, com a posterior
aplicação em determinação de posições astronômicas.
Palavras-chaves: superfície, trigonometria esférica, esfera celeste, posição astronômica.
Abstract. Spherical Astronomy or Astronomy of Position concerns basically to directions in which
stars are seen, without concerning their distance. Thus, it is convenient to express such directions in
terms of the positions on the surface of a sphere – the celestial sphere – with their values measured
only in angles. In this article we deal with spherical trigonometry, which is fundamental in Astronomy
of Position, through an introduction to the subject and the subsequent application in astronomical
positions determination.
Key-words: surface, spherical trigonometry, celestial sphere, astronomical position.
1. Introdução
O céu sempre encantou o homem pela
sua majestosa regularidade e pelos eventos
extraordinários, tais como os eclipses e
cometas. Por isso, a história da astronomia é
tão antiga quanto o homem primitivo que
ainda nem sabia verbalizar suas percepções
e emoções. Atualmente, há abundantes
publicações especializadas sobre pesquisas
astronômicas.
Este artigo foi escrito com a finalidade
de auxiliar professores e estudantes que
pretendem iniciar o estudo da Astronomia
de Posição, fornecendo-lhes noções sobre
sua principal ferramenta matemática: a
trigonometria esférica. Nessa acepção, a
astronomia compreende apenas o estudo da
1
2
posição precisa e do movimento aparente
dos astros na esfera celeste (astrometria).
Para tanto, serão abordados dois dos
principais sistemas de coordenadas, o
sistema horizontal (figura 1) e o sistema
equatorial (figura 2), os quais se baseiam
no princípio de que a posição de um astro no
céu pode ser definida pela especificação do
valor de dois ângulos, um deles contado ao
longo de um plano de referência, variando
de 0° a 360° e o outro, perpendicular e
contado a partir desse mesmo plano,
variando de –90° a +90°. Ambos sistemas
são denominados sistemas de coordenadas
esféricas.
Licenciado em Matemática pela UFES – [email protected]
Bacharel e licenciado em Física pela UFPR – [email protected]
Figura 1: Sistema Horizontal
A esfera celeste não tem um raio
definido, assim considera-se esse raio
infinito. Como a distância entre um
observador qualquer e o centro da Terra
(cerca de 6.400 km) é muito menor que a
distância aos astros ( a Lua está, em média a
380.000 km, o Sol a 150.000.000 e as
estrelas estão muito além do sistema solar),
o erro que se comete é, na maioria dos
casos, desprezível.
Para melhor entendimento dos conceitos
apresentados neste artigo, temos as
seguintes definições:
1) Grande círculo ou círculo máximo:
um círculo na superfície de uma esfera que a
divide em duas metades (hemisférios).
2) Pequeno círculo:
É qualquer círculo sobre uma esfera que não
seja máximo.
2.2 Sistema Horizontal
Definições importantes:
Figura 2: Sistema Equatorial
2. Conceitos básicos.
2.1 Esfera Celeste
No Universo, os astros se distribuem em um
espaço tridimensional. Devido à imensa
distância que os separam da Terra, ao
observar o céu tem-se a impressão de que
todos se encontram em uma esfera. Essa
esfera aparente, chamada esfera celeste,
está, a princípio, centrada no observador
(porém é mais conveniente admitir que o
centro da esfera celeste esteja em algum
ponto, no centro da Terra ou no centro do
Sol).
1
2
1) Direção vertical
É a direção diretamente acima ou abaixo de
um observador. De forma mais precisa,
direção da aceleração gravitacional no ponto
da superfície terrestre onde ele se encontra.
2) Zênite
É o ponto da esfera celeste que resulta do
prolongamento ao infinito da vertical do
observador no sentido contrário à gravidade.
Ponto da esfera celeste diretamente acima da
cabeça do observador.
3) Nadir:
É a direção diretamente abaixo do
observador, ou seja, o ponto da esfera
celeste diametralmente oposto ao zênite.
4) Plano horizontal
É o plano perpendicular à direção vertical de
um observador e que contém o mesmo.
5) Horizonte
É o círculo máximo que resulta do
prolongamento do plano horizontal do
observador até encontrar a esfera celeste; é
a intersecção entre a esfera celeste e o plano
perpendicular à vertical do observador.
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Bacharel e licenciado em Física pela UFPR – [email protected]
6) Meridiano astronômico
É o grande círculo que passa pelo zênite do
observador e pelos pontos cardeais norte e
sul. É ao mesmo tempo um círculo vertical
(perpendicular ao horizonte) e um círculo
horário. O meridiano de um observador é o
seu mais importante círculo de referência.
7) Plano meridiano
É o plano que contém o meridiano
astronômico. É o mesmo plano que contém
o observador e o eixo de rotação da Terra.
8) Plano vertical:
Qualquer plano perpendicular ao plano
horizontal. Plano vertical de um astro é o
plano que contém o círculo vertical do
mesmo.
9) Círculo vertical:
É qualquer grande círculo que contenha o
zênite e o nadir. Seu nome se deve ao fato
de ser um círculo perpendicular ao
horizonte.
10) Altura (h):
Trata-se de uma das coordenadas do sistema
horizontal (a outra é o azimute). A altura de
um objeto é o ângulo entre a direção ao
objeto e a horizontal, ângulo este contado ao
longo do círculo vertical que contém o astro.
A altura pode ser tanto positiva (h > 0°,
astro acima do horizonte) quanto negativa (h
< 0°, astro invisível, abaixo do horizonte). A
altura do zênite é h = 90° e a do nadir é h =
–90°. Quadrante, sextante, octante ou até
mesmo um astrolábio são instrumentos
utilizados para medir a altura de um astro.
11) Azimute (A):
Outra coordenada horizontal. É o ângulo,
contado ao longo do horizonte, entre a
direção norte e a base do círculo vertical do
astro. Outra forma de defini-lo é como
sendo o ângulo entre o plano meridiano do
observador e o vertical do astro. É
geralmente contado no sentido norte-lestesul-oeste. A=0°: ponto cardeal norte;
A=90°: ponto cardeal leste; A=180°: ponto
cardeal sul; A=270°: ponto cardeal oeste.
12) Almucântar:
Círculo de altura constante paralelo ao
horizonte. Chama-se também de paralelo de
altura.
1
2
2.3 Sistema Equatorial
Definições importantes
1) Pólos celestes:
São os pontos da esfera celeste que resultam
do prolongamento do eixo de rotação da
Terra. Os pólos celestes norte e sul são
pontos fixos da esfera celeste, ou seja, não
se movem no céu de um observador durante
a noite. Para um observador situado em um
dos pólos geográficos da Terra, o pólo
celeste correspondente coincide com o
zênite.
2) Equador celeste:
É o grande círculo que resulta da intersecção
entre o plano equatorial terrestre e a esfera
celeste.
3) Círculo (ou arco) diurno:
É o caminho aparente de uma estrela no céu
durante um dia, devido à rotação da Terra.
Círculos diurnos são paralelos ao equador
celeste e são círculos pequenos (exceto por
uma estrela situada no equador celeste).
4) Círculo horário:
É qualquer grande círculo que contenha os
pólos celestes norte e sul. Os círculos
horários são perpendiculares ao equador
celeste, assim como os círculos verticais são
perpendiculares ao horizonte.
5) Ponto vernal (γ):
É o ponto da esfera celeste onde se situa o
Sol no Equinócio de março (em torno de 21
de março). Este ponto se situa sobre o
equador celeste e, ao passar por ele, o Sol
sai do hemisfério sul celeste e entra no
hemisfério norte celeste. Também é
chamado de Ponto γ ou Ponto de Áries.
6) Ascensão reta (α):
É uma das coordenadas do sistema
equatorial. É o ângulo, medido ao longo do
equador celeste, entre o ponto vernal e a
base do círculo horário que contém o objeto.
Outra definição: ângulo entre o plano que
contém o círculo horário do ponto vernal e o
plano que contém o círculo horário do astro.
A ascensão reta cresce no sentido leste e, em
geral, é contada em unidades de tempo (1h =
15°; 24h = 360°).
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7) Declinação (δ):
É o ângulo entre a direção a um objeto e o
plano do equador celeste, medido ao longo
do círculo horário do objeto. A declinação
pode ser norte ou sul, casos em que δ > 0° e
δ < 0°, respectivamente. Pólo Sul celeste:
δ = −90°; pólo norte celeste: δ = 90°.
8) Ângulo horário (H):
É o ângulo, contado a oeste, entre o
meridiano do observador e o círculo horário
do objeto. Geralmente expresso em unidades
de tempo.
9) Eclíptica:
É o caminho aparente do Sol na esfera
celeste ao longo do ano. O movimento anual
do Sol se deve à revolução da Terra ao
longo de sua órbita em torno do mesmo. A
eclíptica é, portanto, a intersecção entre o
plano orbital terrestre e a esfera celeste. A
eclíptica faz um ângulo de aproximadamente
23.5° com o Equador Celeste. Os dois
pontos de intersecção entre estes dois
grandes círculos são o ponto Vernal (γ ) e o
ponto Ω , o primeiro dos quais marca a
origem da ascensão reta.
2.4 Ângulos esféricos
A seção plana de uma esfera é um círculo.
Este círculo é chamado círculo máximo se o
plano interceptor passa pelo centro da
esfera. As extremidades do diâmetro da
esfera perpendicular ao plano interceptor,
são os pólos do círculo. Dois pontos
distintos de uma superfície esférica que não
sejam as extremidades de um diâmetro,
determinam um círculo máximo. O ângulo
formado pela interseção de arcos de círculos
máximos, é chamado ângulo esférico. Os
arcos dos círculos máximos são chamados
lados e seu ponto de interseção, vértice do
ângulo esférico. Um ângulo esférico é
medido pelo ângulo diedro formado pelos
planos que contém os círculos máximos.
lados e os vértices dos três ângulos esféricos
também são os vértices do triângulo
esférico. Designam-se, usualmente, os
vértices por A, B e C e os lados por a, b e c,
respectivamente.
Exceto
quando
especificado, os triângulos esféricos a serem
considerados serão, apenas, aqueles cujo
lado e ângulo sejam menores que 180°. Para
tais triângulos valem as seguintes
propriedades:
1) A soma de dois lados quaisquer é maior
que o terceiro lado.
2) A soma dos três lados é menor que 360°.
3) Se dois lados são iguais, os ângulos
opostos são iguais e reciprocamente.
4) Se dois lados são desiguais, os ângulos
opostos são desiguais e o maior ângulo está
oposto ao maior lado e reciprocamente.
5) A soma dos três ângulos é maior que
180° e menor que 540° .
O excesso esférico (E) de um triângulo
esférico é a quantidade de que a soma de
seus ângulos excede 180°.
Em qualquer instante, exceto pela passagem
meridiana, um astro forma com o pólo
celeste de seu hemisfério equatorial e com o
zênite um triângulo esférico, denominado
triângulo de posição do astro. Na figura 3
encontra-se representado o triângulo de
posição de uma estrela (cuja posição na
esfera celeste é representada pela letra E). A
figura inclui também a posição do
observador (O), os planos equatorial e
horizontal e o plano meridiano (contendo Z,
N, S e M). Encontram-se indicadas na figura
várias coordenadas associadas à estrela,
como sua altura h, sua distância zenital z,
sua declinação δ e sua distância polar p.
Estão indicados ainda o ângulo horário H da
estrela e, pela altura do pólo celeste elevado
(PN), a latitude φ do observador.
2.5.Triângulos esféricos.
Um triângulo não é qualquer figura de três
lados sobre a esfera; seus lados devem ser
arcos de grandes círculos, ou seja arcos
esféricos. Os arcos acima são chamados
1
2
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Figura 3: Triângulo de Posição de uma estrela
3. Fórmulas de Trigonometria Esférica
Podemos então aplicar inúmeras relações
entre os elementos de um triângulo esférico
ao triângulo de posição de um astro. Estas
relações são deduzidas a seguir para um
triângulo esférico genérico, de lados a, b e c
e ângulos A, B e C. Considere o triângulo
genérico abaixo. Na figura também é
mostrado o centro da esfera, O. Conforme já
mencionado, o lado a do triângulo, por
exemplo, é um arco de grande círculo que
mede o ângulo entre os segmentos de reta
OC e OB, e assim por diante. O ângulo A
(ou seja, com vértice em A), por seu turno,
mede a separação entre os planos OAB e
OAC.
figura 4: Triângulo esférico
Vamos agora deduzir algumas fórmulas
importantes que associam lados e ângulos de
um triângulo esférico. Primeiramente,
consideremos a perpendicular ao plano OBC
e que passa pelo vértice em A do triângulo
da figura 4. Essa reta é representada pelo
segmento AP da figura. A partir do ponto P,
tomemos agora duas retas, PN e PM,
1
2
perpendiculares,
respectivamente,
ao
segmentos OB e OC. Ao tomarmos estas
retas, forma-se na figura vários triângulos
(planos) retângulos: ANP, AMP, ONP,
OMP e OAP. Além desses, são também
triângulos retângulos OAN e OAM. Usando
todos estes triângulos poderemos então
deduzir várias fórmulas.
Considere o triângulo OAN, por
exemplo. O ângulo com vértice em O deste
triângulo mede a separação entre o cateto
ON e a hipotenusa OA. Mas este ângulo é o
lado b do triângulo esférico. Logo podemos
escrever:
cosb =
ON
OA
(01)
senb =
AN
OA
(02)
Analogamente, considerando o triângulo
OAM, cuja hipotenusa é OA (o raio da
esfera), teremos:
OM
cosc =
(03)
OA
AM
senc =
(04)
OA
Sejam agora os triângulos ONP e OMP,
cuja hipotenusa é OP. E sejam novamente os
ângulos com vértice em O, representados
pelas letras gregas α e β. Podemos escrever:
cos α =
OM
(05)
OP
cosβ =
ON
(06)
OP
Podemos
então
escrever
que
OM = OPcosα . Substituindo esta relação
na expressão para cos c acima e lembrando
que α + β = a, temos:
OM = OAcosc = OPcos( a − β )
= OP.( cosa.cosβ + sena.senβ ) (07)
NP
 ON

OAcosc = OP
cosa +
sena 
OP
 OP

= ONcosa + NPsena (08)
OA cosc = OA cosb.cosa + NP sena (09)
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Esta última linha resulta da expressão
para ON usando o triângulo OAN, dada
anteriormente. Precisamos agora encontrar
uma expressão para NP. Usando o triângulo
ANP, temos:
NP = ANcosN =
= ANcosC = OAsenb.cosC (10)
Substituindo na expressão anterior temos
então:
OAcosc = OAcosb.cosa + NPsena =
= OAcosb.cosa + OAsenb.cosC.sena
cosc = cosa.cosb + sena.senb.cosC (11)
Esta é a chamada fórmula dos 4
elementos, em que os 3 lados do triângulo
esférico são associados a um de seus
ângulos. Note que o lado cujo co-seno
aparece no lado esquerdo é aquele oposto ao
ângulo que entra na fórmula. Podemos
escrever outras duas fórmulas análogas (cuja
dedução também é inteiramente análoga):
senb senc sena
=
=
(19)
senB senC senC
4. O Triângulo de Posição
Denomina-se triângulo de posição (figura 5)
o triângulo situado na esfera celeste cujos
vértices são o pólo elevado, o astro e o
zênite.
Os lados e ângulos do triângulo de
posição são:
1) 90 − φ é o arco entre o zênite e o pólo;
2) z é o arco entre o zênite e astro;
3) 90 − δ é o arco entre o pólo e o astro ;
4) A é o ângulo com vértice no zênite (A no
hemisfério norte ou A–180º, no hemisfério
sul);
5) H é ângulo com vértice no pólo; e
6) E é o ângulo com vértice no astro.
cosa = cosb.cosc + senb.senc.cosA (12)
cosc = cosa.cosb + sena.senb.cosC (13)
Há também as fórmulas dos 4 elementos
aplicadas a ângulos:
cosA = −cosB.cosC + senB.senC.cosa (14)
cosC = −cosA.cosB + senA.senB.cosc (15)
Figura 5: Triângulo sobre a esfera celeste
Pelas fórmulas aplicadas aos triângulos
OAN, OAM, ANP e AMP acima, podemos
também deduzir a analogia dos senos.
O triângulo de posição é usado para
obter as coordenadas do astro, quando
conhecida a posição geográfica do lugar, ou
determinar as coordenadas geográficas do
lugar quando conhecidas as coordenadas do
astro.
Também
permite
fazer
as
transformações de um sistema de
coordenadas para outro.
AN = OA senb =
AP
(16)
senC
AM = OA senc =
AP
(17)
senB
Logo:
AP
= senb.senC = senc.senB
OA
senb senc
=
(18)
senB senC
cuja igualdade implica em
1
2
4.1 Relações entre distância zenital (z),
azimute (A), ângulo horário (H), e
declinação (δ):
Eis algumas relações que podem ser obtidas
da lei dos co-senos para os sistemas de
coordenadas acima
cos z = senφ.senδ + cosφ.cosδ.cosH (20.a)
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(
ou, resolvendo para cos H:
cos H = cos z. sec φ. sec δ − tan φ. tan δ (20.b)
sen δ = sen φ cos z + cos φ sen z cos A
) (
)
cosH = − tan − 30 tan − 23 27'
(21.a)
ou, resolvendo para cos A:
cos A = senδ. csc z. sec φ − tan φ. cot z
(21.b)
Nas expressões acima, abandonou-se os
valores em módulo para δ e φ,
convencionando-se sinais positivos no
hemisfério norte e negativo no hemisfério
sul.
Pode-se demonstrar que para uma estrela
de declinação δ em um local de latitude φ
(figura 6), o ângulo horário ao se pôr
(ocaso), de acordo com a expressão (20.a) é
dado por:
cos 90º= senφ.senδ + cosφ.cosδ.cosH
ou seja:
cosH = − tan φ. tan δ (22)
≅ – 0,2504
∴ H = 104,5o ou 2H = 14 horas.
Especificamente, em Porto Alegre, o Sol
estará acima do horizonte aproximadamente
14 h e 10 min em 21 de dezembro, e 10 h e
10 min em 21 de junho. A diferença de 10
minutos é devida à definição de que o dia
começa e termina com a borda superior do
Sol no horizonte, e não o centro do disco
solar, como assumido na fórmula acima.
O azimute do astro no nascer ou no ocaso
também pode ser obtido da expressão
25.b e da figura 06:
cos A = senδ.secφ
cos A = sen (–23° 27') sec (–30°) = –0,46
Logo A = 117o (243o), o que significa entre o
leste e o sul.
4.2 Hora verdadeira Local
Figura 6: Triângulo de posição de uma estrela
Com esta fórmula podemos calcular, por
exemplo, quanto tempo o Sol permanece
acima do horizonte em um certo lugar e em
uma certa data do ano, pois para qualquer
astro o tempo de permanência acima do
horizonte será duas vezes o ângulo horário
desse astro no momento do nascer ou ocaso.
Como ilustração, vejamos quanto tempo
permanecerá o Sol acima do horizonte em
Porto Alegre, cuja latitude é 30o, em um dia
de Solstício de verão no hemisfério sul, em
que a declinação do Sol é de 23o 27'. Usando
a fórmula (22), temos
1
2
Quando o centro do Sol está no meridiano
do observador, H = 0º, é o meio-dia local
para o observador.
A hora média civil do observador, a
qualquer instante, é 12h – H, quando o Sol
está a Leste ou 12h + H, quando o sol está a
Oeste.
Em Nova Iorque, por exemplo (onde φ=
40º42,0’N), quando a altura e declinação do
Sol forem 34º32’ e 12º,54’, respectivamente,
para o triângulo da figura 5,
cos 55,46º = cos 77,10º cos 49,30º +...
...+ sen77,10º.sen49,30º.cosH.
obtendo-se H = 55,18º ou H = 3h40min12s.
Portanto,
12h – 3h40min12s = 8h19min48s (antes do
meio-dia) e
12h + 3h 40min 12s = 15h 40min 12s (após
o meio-dia).
4.3 Determinação da separação angular
entre duas estrelas
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A separação angular entre duas estrelas é a
distância medida ao longo do círculo
máximo passando pelas mesmas. Sejam A e
B as duas estrelas e αA , δA , αB e δB as suas
coordenadas. Pode-se construir um triângulo
esférico em que um dos lados seja a
separação angular entre elas e os outros dois
lados sejam as suas distâncias polares, ou
seja, os arcos ao longo dos meridianos das
estrelas desde o pólo (P) até as estrelas.
Pela fórmula dos co-senos temos:
cos AB = cosPA.cosPB + senPA.senPB
Onde
AB = distância polar entre A e B
PA = distância polar de A = 90º −δ A
PB = distância polar de B = 90º −δ B
APB = ângulo entre o meridiano de A e o
meridiano de B = α A − α B
E, portanto:
cosPA = senδ A ; cosPB = senδ B
senPA = cosδ A ; senPB = cosδ B
cos APB = cos ( α A − α B )
cosAB = senδ A senδ B + ...
...+ cosδ A cosδ B cos( α A − α B ) (23)
Tomando-se como exemplo a determinação
do tamanho da constelação do Cruzeiro do
Sul, sendo o eixo maior da cruz formado
pelas estrelas Gacrux (α = 12h 31min 11s e
δ = – 57º 07') e Acrux (α = 12h 26min 37s e
δ = – 63º 06'),
considerando D o
cumprimento do eixo maior da cruz e
aplicando os valores acima na equação (23),
obtém-se:
δ Gacrux = −57 º 07' = −57,11º
α Gacrux = 12h31 min 11s = 187,80º
δ Acrux = −63º06' = −63,10º
α Acrux = 12h26 min 37 s = 186,65º
cos D = 0,9945 ⇒ D = 6º
5. Conclusão
Neste artigo procurou-se elucidar os
conceitos básicos de observação e conquista
de novos conhecimentos em trigonometria
1
2
esférica, assunto pouco abordado nos meios
acadêmicos.
As
explicações
foram
qualitativas e apenas poucas equações
simples foram colocadas. Os conceitos e
fórmulas apresentados neste artigo podem
perfeitamente ser abordados em aulas
complementares de Matemática ou Física
no Ensino Médio.
Desde a pré-história, as sociedades têm um
grande interesse pela posição e movimento
dos astros. Estes movimentos, ligados aos
ciclos naturais (dia e noite, estações do ano,
etc), regiam as atividades econômicas
(plantação e colheita, criação de animais,
etc).
A necessidade de se localizar durante longas
viagens, medir a passagem do tempo de
modo cada vez mais preciso, estimulou o
desenvolvimento tanto da astronomia como
de outras ciências como a Álgebra e a
Geometria. Este progresso, junto com o
desenvolvimento tecnológico, se faz sentir
em toda a história da astronomia de posição,
dos
monumentos
megalíticos
de
Stonehange, na Inglaterra, ao satélite
espacial Hiparco, lançado pela ESA
(European Space Agency) em 08 de agosto
de 1989 e desativado em março de 1993.
Sendo a Astronomia eminentemente
multidisciplinar, oportunidades não faltarão
ao leitor para obter informações e
estabelecer relações com outros textos.
6. Referências bibliográficas
(1) Boczko R., 1984, Conceitos de
Astronomia, Editora Edgar Blücher Ltda.
(2)
Connaissance
des
Temps.
Éphémerides Astronomiques. Publicação
anual do Bureau des Longitudes de Paris,
França.
(3) Dreyer J.L.E., 1953, A History of
Astronomy from Thales to Kepler. 2ª
Edição, Dover Publications, Inc.
(4) Kovalevsky J., 1995. Modern
Astrometry,
Astronomy
and
Astrophysics. Library Springer Verlag.
(5) Pannekoek A., 19661. A History in
Spherical. Dover Publications, Inc.
Licenciado em Matemática pela UFES – [email protected]
Bacharel e licenciado em Física pela UFPR – [email protected]
(6) Smart W.M., 1977.
Texbook on
Spherical
Astronomy.
6ª
edição,
Cambridge University Press.
(6) Taff L. G., 1981. Computational
Spherical Astronomy. Wiley-Interscience
Publication.
(8) Ayres Jr., Frank. Trigonometria. Livro
Técnico Ltda. Rio de Janeiro-RJ.
Artigos (na ordem dos temas abordados):
Smart 1960, pp. 7-8;
Gellert et al. 1989, p. 264; Zwillinger 1995,
p. 469;
Smart 1960, pp. 9-10;
Gellert et al. 1989, p. 265; Zwillinger 1995,
p. 469;
Gellert et al. 1989, p. 265; Zwillinger 1995,
p. 470;
Beyer 1987; Gellert et al. 1989; Zwillinger
1995, p. 470.
Smart 1960, pp. 18-19; Zwillinger 1995,
p. 471;
Zwillinger 1995, p. 471.;
Beyer 1987; Gellert et al. 1989, p. 266.
1
2
Licenciado em Matemática pela UFES – [email protected]
Bacharel e licenciado em Física pela UFPR – [email protected]