Revista Brasileira de Ensino de Fı́sica, v. 36, n. 4, 4401 (2014)
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Pesquisa em Ensino de Fı́sica
Construção geométrica e demonstração experimental da formação da
“imagem ciclópica” em uma associação de dois espelhos planos
(Geometrical construction and experimental demonstration of the “cyclops image” formation
in an association of two ﬂat mirrors)
Jair Lúcio Prados Ribeiro1
Colégio Marista de Brası́lia, Brasilia, DF, Brasil.
Recebido em 29/4/2014; Aceito em 21/8/2014; Publicado em 23/10/2014
Um observador situado entre dois espelhos planos formando um ângulo diedro particular visualizará duas
imagens parciais contı́guas do seu rosto, com um olho único: uma “imagem ciclópica”. É apresentada uma
explicação sobre a formação dessa imagem, baseada em construções geométricas, além de uma proposta experimental simples, permitindo sua abordagem no ensino médio e buscando renovar o interesse pelo tema da
associação de espelhos planos, o qual se encontra sedimentado nos obras didáticas, levando a uma discussão
acrı́tica da temática.
Palavras-chave: óptica, espelho, reﬂexão.
An observer located between two ﬂat mirrors forming a particular dihedral angle will see two contiguous
partial images of his face, with a single eye: a ”cyclops image”. An explanation on the formation of this picture
is presented, based on geometric constructions, along with a simple experimental proposal, allowing its approach
in high school and trying to renew the interest in the problem of the association of ﬂat mirrors, which seems to
be settled in textbooks, and leads to some uncritical discussions.
Keywords: optics, mirror, reﬂection.
1. Introdução
Um tema tradicional na apresentação do conteúdo
de reﬂexão da luz no ensino médio é a formação de
múltiplas imagens quando um objeto é interposto entre
dois espelhos planos formando um ângulo diedro entre
si. A demonstração experimental dessa multiplicidade
de reﬂexões é facilmente realizada com o uso de dois
espelhos planos interligados, e a expressão que fornece
o número de imagens n, dado um ângulo diedro α (em
radianos) é expressa a seguir
n=
2π
− 1.
α
Segundo a Ref. [1], essa expressão é válida para
qualquer posição do objeto, se o número de imagens n
for ı́mpar; se tal número for par, o objeto deve estar
no plano bissetor do ângulo diedro para a expressão ser
aplicável. Não é citada a possibilidade de existência de
um número não inteiro de imagens, o que se justiﬁca:
aﬁnal, a expressão é deduzida supondo objetos ópticos
equivalentes a pontos materiais, sem dimensão, não podendo ser vistos parcialmente.
Entretanto, essa argumentação sobre o número de
1 E-mail:
[email protected].
Copyright by the Sociedade Brasileira de Fı́sica. Printed in Brazil.
imagens está incompleta: durante a etapa de revisão
desse artigo, nos foi apontado que a real diferenciação
entre n par e ı́mpar reside no fato que os valores ı́mpares
de imagens são discretos, isto é, ocorrem somente para
o ângulo obtido pela expressão, enquanto para valores
pares de n, as imagens ocorrem ao longo do intervalo entre os valores ı́mpares adjacentes. Ao fazermos a direta
observação experimental (Fig. 1), com dois espelhos em
ângulo diedro e um objeto de dimensões reduzidas (esfera plástica com cerca de 1 cm de diâmetro), buscando
a proximidade com um ponto material, essa aﬁrmação
se tornou ainda mais clara: ao dispormos os espelhos
em ângulo de 90◦ (π/2), observamos três imagens, e
para o ângulo de 60◦ (π/3), cinco imagens. Entretanto,
é possı́vel observar quatro imagens não apenas para o
ângulo de 72◦ (2π/5), mas para diferentes ângulos entre
60◦ e 90◦ (Fig. 1). Se o ângulo diedro estiver compreendido entre 60◦ e 75◦ (aproximadamente), uma quinta
imagem pode ser vista (por exemplo, na segunda imagem obtida com ângulo de 65◦ ), caso o objeto pontual
esteja próximo a um dos espelhos e o observador mire as
imagens desse objeto colocando-se junto a esse mesmo
espelho.
4401-2
Ribeiro
Figura 1 - Imagens de um objeto de dimensões reduzidas para ângulos diedros entre 65◦ e 85◦ .
Para um corpo extenso, entretanto, é possı́vel a observação de uma imagem composta de duas imagens
parciais, a primeira sendo formada pelos raios que reﬂetem primeiro em E1 e posteriormente em E2 , e a
segunda conjugada pelos raios que seguirem a ordem
inversa de reﬂexão. Assim, se o observador se colocar
entre os dois espelhos e o ângulo entre os mesmos for
adequado, poderá ser visualizada uma imagem formada
atrás dos planos dos espelhos, diretamente à frente do
observador, a qual parece conter apenas um olho, formada pela justaposição da metade da imagem do olho
direito com a metade do olho esquerdo. O efeito é melhor visualizado se os olhos do observador possuı́rem
a mesma cor, pois pessoas com olhos de cores diferentes verão o “olho único” com uma metade de cada cor.
Nesse trabalho, essa justaposição de imagens parciais é
chamada de imagem ciclópica do observador, em uma
referência aos ciclopes, seres da mitologia grega [2] com
um único olho.
2.
Revisão bibliográﬁca
Dentre os livros-texto voltados para o ensino médio revisados [1,3-8], nenhum menciona a possibilidade de
existência de uma justaposição de imagens parciais. A
Ref. [1] detalha a formação das múltiplas imagens,
propondo inclusive a demonstração experimental da
formação de imagens quando o ângulo entre os espelhos
é 90◦ , e a mesma argumentação também é encontrada
na Ref. [3]. A Ref. [4], por sua vez, nem mesmo cita a
situação de associação de espelhos planos, enquanto a
obra [5] faz apenas uma breve referência à mesma, apenas para expor a Eq (1), sem justiﬁcá-la. O livro-texto
[6] não faz uma exposição detalhada sobre a associação,
preferindo apresentá-la apenas como uma sugestão de
atividade experimental, em uma seção ﬁnal do capı́tulo
dedicado aos espelhos planos; o mesmo ocorre na Ref.
[7]. Finalmente, a obra [8] apresenta uma exposição
detalhada do fenômeno, semelhante ao livro [1], mas
novamente não apresenta a possibilidade de imagens
parciais.
Foram pesquisadas também obras voltadas ao ensino superior [9-13] e textos clássicos da óptica [14-15],
a ﬁm de veriﬁcar se um tratamento mais completo do
tema estaria disponı́vel. A Ref. [9] propõe uma rápida
abordagem do tema, a qual é bastante semelhante à
presente nos livros-texto de ensino médio consultados,
e novamente apenas a situação de um objeto pontual
é discutida. Já a Ref. [10] prefere abordar o tema
mais complexo de labirintos de espelhos planos ao invés
da simples associação, enquanto a obra [11] não cita a
formação de imagens em associações de dois ou três espelhos planos, centrando sua discussão na trajetória da
luz ao reﬂetir em tais sistemas, deixando para o estudante a tarefa de resolver exercı́cios acerca das imagens
formadas. O mesmo é veriﬁcado nos livros-texto [1213]: a associação de espelhos torna-se um único problema proposto na seção de exercı́cios. Até mesmo nas
obras clássicas fundamentais da óptica consultadas [1415] não foram encontradas menções à associação de espelhos em ângulo.
Revisamos então os periódicos da área de ensino
Construção geométrica e demonstração experimental da formação da “imagem ciclópica”...
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de fı́sica,2 buscando abordagens teóricas ou experimentais voltadas ao tema desse trabalho, e novamente
veriﬁcamos que não há preocupação com o estudo
da temática da associação de espelhos planos, apontando para um eventual esgotamento da discussão desse
tópico. A maior parte dos estudos sobre reﬂexão aborda
conteúdos referentes aos espelhos curvos, e poucos são
os artigos que se dedicam aos espelhos planos ou a associações de espelhos. Dentre os trabalhos revisados,
encontra-se a discussão da projeção de imagens reais
do Sol a partir do uso de espelhos planos [16-17], as
condições de ocorrência da reﬂexão especular em superfı́cies irregulares [18], a construção de caleidoscópios
com espelhos de grandes dimensões [19], a obtenção de
uma pseudoimagem com espelhos cilı́ndricos [20] (caso
que pode ser considerado análogo a uma associação), o
uso da simetria presente na arte étnica no estudo das
leis da reﬂexão [21] ou o posicionamento da imagem em
um espelho ou superfı́cie reﬂetora plana [22-23]. Até
mesmo o artigo [24], o qual faz uma extensa abordagem
teórica sobre as imagens formadas em sistemas óticos
com dois espelhos, não traz em seu escopo a possibilidade da associação de espelhos planos em ângulo.
Ao analisar o conjunto de obras didáticas [1,3-8],
percebemos que uma razão pela qual o número não
inteiro de imagens não ser citado tem uma causa comum: nas obras que chegam a trabalhar a associação
de espelhos, o objeto óptico é sempre pontual, e não há
sentido em se conceber imagens parciais de um ponto.
Apesar de usarem esse tratamento geométrico simpliﬁcado, alguns dos livros-texto consultados [1, 3, 5, 8]
apresentam, a tı́tulo de exemplo, fotos de objetos extensos à frente dos espelhos, conﬂitando com a explanação
teórica apresentada.
Pode-se oferecer outra provável razão para a
ausência dessa discussão nas obras didáticas: a situação
descrita nesse trabalho (justaposição de imagens parciais) não possui aplicações tecnológicas imediatas, e
portanto sua contextualização é mais difı́cil de ser realizada, conﬂitando com os objetivos das obras didáticas
recentes. Esse trabalho busca oferecer uma abordagem
complementar desse tema, sanando essa limitação dos
livros-texto consultados.
a associação de espelhos cria no campo visual do observador. Assim, parcelas das imagens conjugadas podem
não estar contidas nesse campo, permitindo ao observador apenas a detecção de frações das mesmas.
A justaposição que gera a imagem ciclópica, entretanto, não ocorre para qualquer número de imagens (e
também para qualquer ângulo diedro), pois é necessário
que as parcelas das imagens se justaponham na região
formada atrás dos planos dos espelhos, fato que somente
ocorre para um número ı́mpar de imagens. Para a construção apresentada a seguir (Fig. 2), considera-se a
formação da imagem ciclópica apenas quando o ângulo
diedro é próximo de 90◦ , mas a mesma imagem poderia
ser observada para ângulos próximos a 60◦ (n = 5), 45◦
(n = 7) ou até mesmo ângulos menores.
A Fig. 2 representa uma vista superior da situação
descrita, onde os espelhos são indicados por E1 e E2 ,
Buscou-se na construção da ilustração a melhor representação possı́vel da construção geométrica da imagem
ciclópica. O rosto foi simpliﬁcado por um segmento de
reta AB, no qual A e B representam os olhos.
3.
Figura 2 - Construção geométrica da imagem ciclópica.
Construção geométrica da imagem
ciclópica
É importante frisar que a imagem ciclópica descrita
nesse artigo não é uma imagem única, nem mesmo
plana: ela é formada pela visualização conjunta de duas
imagens parciais, que se adequadamente justapostas,
são observadas como contı́guas, criando o efeito visual
de um olho único na imagem observada. Tais imagens
parciais, por sua vez, ocorrem devido às restrições que
As duas primeiras imagens do segmento foram obtidas por simetria: a partir das linhas de construção perpendiculares ao espelho (pontilhadas), foram identiﬁcados os pontos imagem A1 ’ e B1 ’, sendo então construı́da
a imagem causada pela reﬂexão no espelho E1 (segmento de reta A1 ’B1 ’). De forma análoga, construiu-se
a imagem reﬂetida no espelho E2 (segmento de reta
A2 ’ B2 ’). Por simetria, foram então obtidas as imagens
A12 ’ e B12 ’ de A1 ’ e B1 ’ em relação a E2 , assim como
2 Periódicos consultados: Caderno Brasileiro de Ensino de Fı́sica, Fı́sica na Escola, Revista Brasileira de Ensino de Fı́sica, The Physics
Teacher e Physics Education.
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as imagens de A21 ’ e B21 ’ de A2 ’ e B2 ’ em relação a E1 ,
e os respectivos segmentos de reta A12 ’B12 ’ e A21 ’B21 ’,
os quais representam as imagens ﬁnais em relação aos
espelhos E1 e E2 .
A Fig. 2 mostra que os segmentos de reta A12 ’B12 ’
e A21 ’B21 ’ se cruzam na bissetriz, pois os pontos A12 ’
e B21 ’ coincidem, gerando um olho único nesse ponto,
o que demonstra a formação da imagem ciclópica. Ao
colocarmos um conjunto de espelhos em ângulo sobre
o esquema da Fig. 2, a ﬁm de veriﬁcar experimentalmente se a ilustração estava correta, foi percebido que
uma pequena alteração no ângulo de visão permite a
visão do ponto, ou até mesmo de parte dos segmentos
A’12 B’12 ou A’21 B’21 . Assim, apesar da Fig. 2 informar
que tais segmentos não são visı́veis, é possı́vel observálos, se a posição do observador não for frontal ao plano
dos espelhos.
Um alerta para os leitores que desejarem reproduzir a construção geométrica apresentada na Fig. 2: a
ﬁgura ﬁnal levou algumas horas para ser corretamente
elaborada. Para sua confecção, foram feitas diversas
tentativas, várias das quais infrutı́feras, usando o software gráﬁco CorelDraw X4, o qual permite uma grande
precisão na correta construção das imagens, em especial nas condições de simetria. Ao longo das diversas
construções, foi percebido que mesmo alterações pequenas no ângulo entre os espelhos podem fazer com que os
segmentos A12 ’B12 ’ e A21 ’B21 ’ não venham a se cruzar
(Fig. 3), fazendo com que não haja justaposição das
imagens e com a visualização apenas de duas imagens
distintas (segmentos A1 ’B1 ’ e A2 ’B2 ’). Uma construção
de boa qualidade também pode ser elaborada de maneira tradicional, com papel, lápis, régua, compasso e
transferidor.
É possı́vel ainda que os segmentos se cruzem em
pontos diversos (Fig. 4), havendo nesse caso apenas
uma proximidade dos pontos A12 ’ e B21 ’ (imagens dos
olhos) e não uma justaposição. Assim, no caso ilustrado
na Fig. 4, a pessoa que estivesse à frente dos espelhos
não observaria a imagem ciclópica, mas sim o rosto mais
ﬁno, com os dois olhos mais próximos que o normal e o
nariz cortado ao meio. Entretanto, essa mesma ﬁgura
pode ser usada para explicar a imagem ciclópica usual:
considerando A e B como os limites à esquerda e à direita da face, o ponto de encontro pode representar os
olhos, e as parcelas visı́veis restantes da face são representadas pelos dois segmentos de reta existentes entre
o ponto de encontro e os pontos A’21 e B’21 .
Quando esse trabalho já era considerado como
pronto para ser submetido ao crivo do periódico, uma
situação adicional para a formação da imagem ciclópica
nos foi apresentada, de forma inusitada: por curiosidade, a esposa de um de nós tentou realizar o experimento, mas sem a informação de como os espelhos deveriam ser dispostos, colocou-os em um ângulo maior
que π (180◦ ), observando a imagem ciclópica descrita
também nessa situação (Fig. 5). Decidimos incluir tal
Ribeiro
condição adicional, pois posteriormente, quando conduzimos a atividade experimental com os estudantes,
vários deles também relataram essa possibilidade.
Figura 3 - Construção geométrica sem justaposição.
Figura 4 - Construção geométrica da proximidade dos olhos, sem
a formação da imagem ciclópica.
É importante frisar, entretanto, que nessa situação
os espelhos não podem ser considerados como espelhos
angulares, já que os raios incidentes em um não se reﬂetem no outro e vice-versa. Durante a demonstração
experimental, essa diferença se tornou evidente: a imagem formada para um ângulo superior a 180◦ entre os
Construção geométrica e demonstração experimental da formação da “imagem ciclópica”...
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planos dos espelhos tem caráter enantiomorfo, tı́pico de
uma única reﬂexão, enquanto para um ângulo próximo
a 90◦ a imagem ciclópica não apresenta caráter enantiomorfo, devido à dupla reﬂexão.
Figura 5 - Construção da imagem ciclópica quando αg¿gπu
4.
Figura 6 - Exemplo de objeto (representação esquemática de uma
face
Demonstração experimental
A ﬁm de apresentar aos estudantes de ensino médio o
efeito descrito, foi utilizado um aparato experimental
tradicional, simples e de baixo custo, já representado
na Fig. 1, composto de dois espelhos independentes
planos e quadrados, os quais podiam ser mantidos verticais, formando diferentes ângulos diedros, que podem
ser medidos com um transferidor comum ou impresso
em papel.3
Para a conjugação da imagem ciclópica em si,
utilizou-se o programa de edição de imagens CorelDraw
X4 para a criação de cinco diferentes objetos quadrados
(Fig. 6), representando faces esquemáticas de formato
quadrado. Esses objetos foram impressos em papel adesivo e ﬁxados a lâminas de madeira de mesmo tamanho,
as quais podiam ser mantidas na vertical. Todos os objetos possuı́am a mesma largura D = 12 cm e olhos de
tamanho idêntico (quadrados de 3,0 cm de lado); entretanto, a distância d entre os centros dos olhos era
diferente em cada um dos objetos, perfazendo diferentes razões d/D. Cada metade dos olhos também foi
pintada de cores diferentes (Fig. 6), amarelo (interior)
e vermelho (exterior), a ﬁm de tornar a observação da
imagem ciclópica mais fácil, por possuir uma única cor
(vermelha). A Fig. 7 representa algumas das fotos obtidas pelos estudantes durante o trabalho experimental.
3 Imagem
Figura 7 - Imagens ciclópicas observadas: αi < π (esquerda) e
αi > π (direita).
Uma outra sugestão experimental, a qual infelizmente não foi conduzida junto aos estudantes, é a impressão das Figs. 2, 3, 4 e 6 desse artigo, para que os
próprios alunos possam dispor sobre elas os espelhos
angulares e veriﬁcarem in loco se as imagens apresentadas nessas ilustrações estão corretas, sejam elas visı́veis
ou não. Essa sugestão nos foi apresentada na etapa de
revisão desse trabalho, e se revelou valiosa, pois permitiu a veriﬁcação imediata sobre eventuais erros de construção das imagens, ao se comparar os desenhos com as
imagens obtidas na prática. Na Fig. 8, estão expostas
as fotograﬁas obtidas ao se executar tal atividade.
do transferidor: http://ecx.images-amazon.com/images/I/71qWDipgw7L._SL1500_.jpg .
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Ribeiro
Figura 8 - Teste experimental das Figs. 2, 3, 4 e 6.
5.
Conclusões e perspectivas
Nesse trabalho, buscamos demonstrar como pequenas
alterações em um aparato experimental simples e tradicional (dois espelhos planos em ângulo) podem levar a novos questionamentos sobre um tema aparente
estéril. O tratamento da associação de espelhos no ensino médio não é recente, mas a nosso ver, é feito de
forma repetitiva e sem muita criatividade. Até mesmo
a exposição teórica do tema parece sedimentada, conforme demonstra a leitura das Refs. [1,3-8], contribuindo para uma visão acrı́tica da temática.
Por vezes, conforme relatado pelos estudantes, há
certa diﬁculdade de visualização da imagem ciclópica
descrita nesse trabalho. Nossa primeira crença (que se
revelou errônea) estava na falta de simetria da face ou
em ajustes da posição do observador. Nenhuma dessas hipóteses, entretanto, está correta: faces simétricas
são comuns e a posição do observador é facilmente
ajustável. Posteriormente, na etapa de revisão desse
trabalho, nos foi apontado que a diﬁculdade de observação dessa imagem deve-se provavelmente ao corte
dos espelhos, o qual deve ser rigorosamente retilı́neo
para que ocorra um acoplamento preciso das faces dos
Construção geométrica e demonstração experimental da formação da “imagem ciclópica”...
mesmos, nem sempre conseguido quando o corte é feito
por vidraceiros. Nos espelhos que utilizamos, de espessura não desprezı́vel dos espelhos (cerca de 4 mm), esse
acoplamento se revelou muito complexo. Uma sugestão
recebida por nós para um melhor acoplamento foi o uso
de espelhos comuns baratos, retirados de quadros.
A inusitada adição de uma nova condição angular, a
qual permitiu obter o mesmo efeito óptico, nos demonstrou a necessidade de estarmos atentos aos questionamentos dos estudantes, ou mesmo de leigos no assunto.
É comum que um professor ou pesquisador esteja tão
absorto em um conteúdo ou experimento que contribuições signiﬁcativas advindas dos estudantes podem
passar despercebidas.
Embora não sejam mostradas fotos da imagem
ciclópica dos estudantes nesse trabalho, para evitar problemas com direitos de imagem, essa foi a principal motivação para a realização do experimento por parte dos
estudantes. A partir da observação do efeito, os alunos
puderam comparar seus próprios rostos com as faces
quadradas estilizadas, usadas como objetos, por vezes
de forma curiosa e até mesmo jocosa, podendo vir a
perceber que a proporção entre a distância dos olhos e
a largura do rosto é variável para cada pessoa, e que o
ângulo entre os espelhos que permite a observação da
imagem ciclópica também é variável. Uma adaptação
do experimento poderia ser proposta, buscando identiﬁcar qual a relação entre a proporção d/D e tal ângulo,
ou mesmo a relação fracionária mais comum no grupo
de estudantes.
Atividades experimentais em fı́sica possuem
inegável importância como recurso educacional [25],
especialmente nas fases iniciais de formação, mas sua
importância é superestimada ou mal compreendida [26].
Uma nova abordagem de um experimento tradicional,
como a exposta nesse trabalho, pode levar o professor
a um melhor entendimento de tal importância.
4401-7
drodinâmica Volume 2 (FTD, São Paulo, 2003), 1a ed.,
p. 152-153.
[4] M. Pietrocola, A. Pogibin, R. Oliveira e T. Romero,
Fı́sica em Contextos: Pessoal, Social e Histórico:
Energia, Calor, Imagem e Som: volume 2 (FTD, São
Paulo, 2011), 1a ed.
[5] I. Anjos, Fı́sica para o Ensino Médio: Volume Único
(IBEP, São Paulo, 2005), 1a ed., p. 269.
[6] A. Máximo e B. Alvarenga, Curso de Fı́sica: Volume
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[7] L. Guimarães e M. Fonte Boa, Fı́sica: Termologia,
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[9] R. Serway e J. Jewett, Physics for Scientists and Engineers (Brooks Cole, Boston, 2003), 6a ed., p. 1129.
[10] D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentals
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Company, Nova Iorque, 2008), 1a ed., p. 1099-1135.
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[13] H. Nussenzveig, Curso de Fı́sica Básica - Vol.
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Blücher, São Paulo, 1998), 1a ed., p. 45.
[14] P. Drude, The Theory of Optics (Dover, Nova Iorque,
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[15] I. Newton, Opticks: Or, a Treatise of the Reﬂections, Refractions, Inﬂections and Colours
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Agradecimentos
[16] F. Silveira e R. Axt, Caderno Brasileiro de Ensino de
Fı́sica 24, 353 (2007).
Os autores gostariam de agradecer ao pessoal técnico
da Vidraçaria Norart, pelas valiosas sugestões a respeito da construção dos espelhos que foram utilizados
no aparato instrumental. O mesmo pode ser dito a
respeito das diversas sugestões e crı́ticas dos árbitros
(anônimos), as quais se revelaram cruciais para a elaboração de uma interpretação fı́sica com maior acurácia
do fenômeno discutido nesse trabalho.
[17] F. Silveira e R. Axt, Caderno Brasileiro de Ensino de
Fı́sica 18, 364 (2001).
[18] H. Fakhruddin, The Physics Teacher 41, 206 (2008).
[19] T. Greenslade, The Physics Teacher 47, 334 (2009).
[20] M. Caussat, H. Rabal and M. Muramatsu, The Physics
Teacher 44, 443 (2006).
[21] M. Bapat, The Physics Teacher 47, 542 (2009).
[22] P. Mansell, The Physics Teacher 45, 119 (2007).
Referências
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da Fı́sica 2 – Termologia, Óptica e Ondas (Moderna,
São Paulo, 2009), 10a ed., p. 250-251.
[2] Hesiod, Theogony (140) Disponı́vel em https://
www.msu.edu/~tyrrell/theogon.pdf . Acesso em
25/3/2014.
[3] R. Bonjorno, V. Bonjorno e C. Ramos, Fı́sica: História
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