Triângulos
Esféricos
03
11
2011
J. Meléndez/R. Boczko
IAG-USP
Elementos de
Geometria Espacial
Grandes e pequenos
círculos
Círculo
máximo
O
r=R
Polo e planoPolo
fundamentais
fundamental
Eixo
fundamental
P
Plano
fundamental
p
C
O
B
Ângulo entre a porta verde e a
parede violeta
Ângulo
diedro
Ângulo entre os planos a e b
b
i
Linha intersecção
dos 2 planos
i ab
a
Ângulo
diedro
Ângulo diedro
i
b
Q
C
aa
bb
b
a
ai
bi
a
Ângulo diedro entre a e b
é o ângulo C entre a e b
Ângulo diedro A na esfera
A
g
b
O
A
C
B
A  ( b,g )
Reta t tangente a uma
circunferência
r
T
t
O
tr
Ângulo diedro A dado por tangentes
A
A
s // AB
Tangente, por A,
ao arco AB.
Será paralela ao
raio OB.
r // AC
Tangente, por A,
ao arco AC.
Será paralela ao
raio OC.
O
A
C
B
A  ( b,g )
O símbolo  será
usado com o
significado de
"Por definição"
Esfera
trigonométrica
Ângulo central
A
r1
b
b
C
b  AÔC
O
Triângulo
esférico
Triângulo esférico numa
melancia
Triângulo esférico
Definição de
Triângulo Esférico
Triângulo
esférico é a
região da esfera
delimitada pela
intersecção,
dois a dois, de 3
planos
passantes pelo
centro da esfera
A
c
b
O
C
A, B, C = vértices
a
B
a,b,c = lados
Triângulo esférico
A
c
r
b
r
O
B
r
a
C
a , b , c : lados do triângulo esférico = medidas dos ângulos centrais
Lados do triângulo esférico
A
c
r
b
c
b
O
r
B
a
r
a
C
a , b , c : lados do triângulo esférico = medidas dos ângulos centrais
Ângulos do Triângulo Esférico
A
A
B
C
O
A
C’
B’
A,B,C = ângulos diedros = ângulos entre cada um dos pares de círculos
Elementos de um Triângulo
Esférico
c
A
A
b
B
A,B,C = vértices
A,B,C = ângulos diedros
a,b,c = lados do triângulo
B
C
C
a
Fórmula do co-seno num
triângulo plano
Relacionar 3 lados e 1 ângulo
de um triângulo plano
C
Fórmula do co-seno
num triângulo qualquer
b
A
a
a
c
B
a2 = b2 + c2 - 2 . b . c . cos a
Fórmula do
seno & co-seno
num triângulo
esférico
Resumo das Fórmulas
de Trigonometria
Esférica
A
c
B
b
a
C
Co-seno
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A
Seno sen a sen b sen c
---- = ---- = ---sen A sen B sen C
Seno & Co-seno
sen a . cos B = cos b . sen c - sen b . cos c . cos A
Esterorradiano
Ângulo sólido
  A / R2
R
A
Esterorradiano
(esteradiano)
ângulo sólido subentendido no centro da esfera de raio
R por uma porção de superfície de área R2
R
A
  A / R2
A  R2
  1 sr
Ângulo sólido numa esfera
completa
  A / R2
R
A
Aesfera  4 p R2
esfera  4 p sr
Fim