Departamento de Matemática
APLICAÇÕES CONFORMES E GEOMETRIA HIPERBÓLICA PLANA
Aluno: Daniel Carletti
Orientador: Ricardo Sá Earp
Introdução
Estudou-se as Aplicações Conformes, dando foco para as Transformações de Möbius e
Inversões com respeito a círculos e retas. Depois, aprofundou-se na teoria da Geometria
Hiperbólica Plana.
Objetivos
Estudar um campo que envolve a Análise Complexa e Geometria Diferencial, e
aprofundar-se nesses dois assuntos enquanto se aprende um tópico que não é abordado com
muito foco na grade de graduação (Geometria Hiperbólica Plana).
Metodologia
O estudo começou com a definição de aplicação conforme.
f : U  C  C é uma aplicação conforme, caso ela preserve os ângulos e orientações.
f : U  C  C é uma aplicação holomorfa, caso z  U , f ( z ) exista.
Considere f : U  C  C holomorfa e f ( z )  0 z  U , então f é uma aplicação
conforme. Para demonstrar isso usamos a regra da cadeia da derivada complexa.
Demonstração: considere duas curvas  e   U , tais que  (0)   (0) ,  (0)  0 e  (0)  0 .
 (0)
) e entre as curvas
O ângulo entre as curvas  e  no ponto  (0)   (0) é igual a arg(
 (0)
( f   )(0)
) . Pela regra da cadeia,
f   e f   no ponto f   (0)  f   (0) é igual a arg(
( f   )(0)
  (0) f ( (0)) 
 , como  (0)  0 e
tiramos que o segundo ângulo é igual a arg
  (0) f (  (0)) 
f (  (0))  0 , temos que o argumento desse número complexo está bem definido. Como
 ( f   )(0) 
  (0) f ( (0)) 
  (0) 
  arg
  arg
 ,
arg
 ( f   )(0) 
  (0) f (  (0)) 
  (0) 
demonstrando que f é uma aplicação conforme.
Com uma base básica de aplicações conformes podemos agora estudar as
Transformações de Möbius ou Transformações bilineares. Essas funções na geometria
hiperbólica plana são importantes, pois todas as isometrias são desse tipo.
As Transformações de Möbius são da seguinte forma:
az  b
w  T ( z) 
, a, b, c, d  C ad  bc  0
cz  d
A transformação está bem definida para todo ponto de C , com exceção de ∞ e
 d c (c  0) . Se c  0, então T ()   , caso c  0, T ()  a / c e T (d / c)  
Pode-se facilmente calcular a inversa dessa função que é outra Transformação de
Möbius:
 (0)   (0) ,
conclui-se
que
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dw  b
 cw  a
Além disso, T 1 ()   , se c  0 e, caso c  0 , T ()  d / c e T (a / c)   . O que
mostra que toda transformação de Möbius é uma bijeção do plano complexo estendido
( C  {}) em si mesmo.
Em seguida foi analisado que as Transformações de Möbius são aplicações conformes.
Caso z  d / c e z   , a derivada T (z ) está bem definida, logo a função é holomorfa e,
portanto, conforme nesses pontos. Caso z   , w  1 / z  0 e T ( w)  (bz  a) /(dz  c) , que
tem derivada bem definida T (w)  (bc  ad ) /(dz  c) 2  0 quando w  0 e c  0 , se c  0 a
aplicação não teria problema na derivada, logo é conforme em w  0 e z   . Caso
z  d / c , w  1 / T ( z ) tem derivada bem definida w  (bc  ad ) /(az  b) 2 e diferente de zero
quando z  d / c . Conclui-se que todas as aplicações de Möbius são aplicações conformes.
Vamos mostrar que a seguinte equação Az z  Bz  B z  C  0 , com A, C   e
z  T 1 ( w) 
AC  B representa um círculo ou uma reta no plano complexo e toda reta ou círculo podem
ser representado dessa forma.
2
Todo círculo pode ser representado pela equação z  z 0  R 2 , onde z0 é o centro e R
2
é o raio. Expandindo essa equação obtemos z z  z z 0  zz 0  z 0 z 0  R 2  0 e, depois,
multiplicando essa equação por A  0 e fazendo B   Az 0 e C  A( z 0 z 0  R 2 ) , obtemos que
o círculo pode ser representado pela equação Az z  Bz  B z  C  0 e respeita a desigualdade
2
AC  B . Fazendo o processo inverso, podemos vemos que qualquer equação da forma
Az z  Bz  B z  C  0 com A  0 e AC  B
raio por
2
representa um círculo com centro  B / A e
( B  AC ) / A 2 (aqui vemos explicitamente o porquê da desigualdade AC  B
2
2
ser necessária).
Vamos mostrar que, quando A  0 , a equação Bz  B z  C  0 representa uma reta.
Uma reta do plano complexo pode ser representada por z  z 0  tv , onde z0 é um ponto da
reta, v é um vetor paralelo à reta e t é um número real. Trabalhando um pouco com essa
fórmula obtemos: ( z  z 0 ) / v  t . Como t é real, também podemos dizer que ( z  z 0 ) / v  t .
Assim
obtemos:
( z  z0 ) / v = ( z  z0 ) / v ,
que
pode
ser
escrito
da
forma
vz  v z  z 0 v  z 0 v  0 e multiplicado por i fica v iz  v i z  ( z 0 v  z 0 v) i  0 . Igualando
B  vi e C  ( z 0 v  z 0 v) i (perceba que B  v i e C é real, pois z0v  z0 v é imaginário
puro), temos que a equação fica da forma Bz  B z  C  0 . Fazendo o processo inverso toda
equação da forma Bz  B z  C  0 equivale a uma reta com diretor igual a B  vi e ponto
inicial igual a C /(B  B) .
Demonstraremos que as Transformações de Möbius levam círculos ou retas em círculos
ou retas. Se c  0 , então podemos dividir o numerador e o denominador por c para
az  b
transformar em outra transformação equivalente da seguinte forma: T ( z ) 
. Perceba
zd
b  ad
que a operação pode ser escrita da seguinte forma: a 
. Considere as seguintes
zd
operações: T1 ( z)  z  d , T2 ( z)  1 / z, T3 ( z)  (b  ad ) z, T4 ( z)  z  a . É fácil perceber que
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T ( z)  T4  T3  T2  T1 ( z) , então para provar que as Transformações de Möbius com c  0
levam círculos e retas em círculos ou retas, só precisa mostrar que as operações do formato
T ( z )  az, T ( z )  z  a e T ( z )  1 / z levam círculos ou retas em círculos ou retas.
A operação T ( z )  z  a claramente leva círculos ou retas em círculos ou retas, pois
essa operação é uma translação no plano complexo. A operação T ( z )  az é uma homotetia
com uma rotação em torno da origem, então também tem a mesma propriedade.
Para perceber que a operação T ( z )  1 / z , considere um círculo ou uma reta
representado pela equação Az z  Bz  B z  C  0 , tal que AC  B . Depois dos pontos
desse conjunto passarem pela transformação w  1 / z eles irão satisfazer a seguinte equação
A  Bw  Bw  Cww  0 , que também representa um círculo ou um reta (Para perceber isso
divida a equação original por z z ).
Caso c  0 , a operação é da forma T ( z )  az  b , logo também leva círculos ou retas
em círculos ou retas.
az  b
Também foi importante estudar os pontos fixos dessas operações. Fazendo
 z,
cz  d
descobriu-se
que
os
pontos
fixos
(diferentes
de
infinito)
satisfazem
2
cz  (d  a) z  b  0 (caso c  0 , infinito é ponto fixo). Analisando todos os casos,
percebeu-se que uma transformação diferente da identidade ( T ( z )  z ) possui um ou dois
pontos fixos (incluindo  ), logo uma transformação pode ser determinada pela imagem de
três pontos e uma transformação com três ou mais pontos fixos deve ser a identidade.
Seguidamente foram calculados todos os mapas conformes do círculo unitário em si
mesmo. Para tal, necessitou-se do lema de Schwarz: seja f : D  D , onde D é o disco
unitário centrado na origem e tal que f (0)  0 , tem-se que f ( z )  z , z  D e f (0)  1 ,
2
caso f ( z )  z para algum número diferente de zero ou f (0)  1 , tem-se que f ( z )  az
com a  1 .
Suponha f : D  D um mapa conforme, tal que f (0)  p , defina a transformação
g ( z )  ( z  p) /( z p  1) ( g ( p )  0 e g é um mapa conforme do disco unitário aberto).
Considere h( z )  g  f ( z ) (tem-se h(0)  0 ). Utiliza-se o lema de Schwarz: h( z )  z , porém
essa função tem inversa ( f e g são mapas conformes de
Assim, temos
D em D ), logo h 1 ( z )  z .
h( z )  z , portanto, pelo lema de Schwarz, h( z)  e i z . Concluindo:
f ( z )  g 1 (e i z )  (e i z  p) /(e i z p  1)  e i ( z  pe i ) /( ze i p  1) . Fazendo
pe i  z 0 ,
percebe-se que f ( z )  e i ( z  z 0 ) /( z z 0  1) . Logo, conclui-se que todo mapa conforme de D
em D é da forma ei ( z  z0 ) /( z z0  1) com z 0  1 e, como toda função da forma anterior é
uma bijeção de D em D e uma operação conforme, toda função desse formato é um mapa
conforme.
Também se podem escrever essas operações da seguinte maneira: (az  c) /(cz  a) ,
aa  cc  1 . Para perceber isso, faça:
f ( z )  e i ( z  z 0 ) /( z z 0  1)  (e i / 2 z  z 0 e i / 2 ) /( ze i / 2 z 0  e i / 2 )
  z0 z0  1
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 e i / 2
z e i / 2   e i / 2 z 0
e i / 2 
f ( z)  
z 0
/
z
 
  

 

e  i / 2 z 0
e i / 2
Fazendo b 
ed
, obtém-se:


f ( z )  (bz  d ) /(dz  b) , com bb  d d  1
Finalmente para achar a forma pretendida, multiplique o numerador ou denominador
por i e faça a  bi e c  di , obtendo:
f ( z )  (az  c) /(cz  a) , com aa  cc  1
Depois de caracterizar bem quais são os mapas conformes do disco, nosso objetivo foi
verificar quais eram os mapas conformes do semi-plano superior em si mesmo. Para tal, foi
necessário entender a Transformação de Cayley.
z i
T ( z) 
z i
Essa é um função que é uma bijeção do semi-plano superior no disco unitário centrado
na origem. Primeiro, percebe-se que essa operação leva a reta real no círculo de raio e centro
na origem.
0i
1 i
T (0) 
 1 , T (1) 
 i e T ()  1
0i
1 i
Como essa é uma Transformação de Möbius, ela leva círculo ou retas em círculos ou
retas. Então a reta real será levada no círculo que passa por -1, -i e 1, que é o círculo unitário
centrado na origem.
Também perceba que ela leva um ponto no interior do semi-plano em um ponto no
interior do disco.
Seja z um número complexo pertencente no semi-plano superior, ou seja, Im( z )  0 .
( z  i ) /( z  i ) , É fácil perceber que
Re( z  i )  Re( z  i ) e
Vamos estudar
Im( z  i )  Im( z  i) , logo z  i  z  i  z  i / z  i  1 .
Como a Transformação de Cayley é uma bijeção de C  {} em C  {} , leva o
interior do semi-plano no interior do disco e leva a fronteira do semi-plano na fronteira do
disco, mostra-se que essa operação é uma bijeção do semi-plano superior no disco unitário
centrado na origem.
Com essas informações é possível caracterizar os mapas conformes do semi-plano
superior em si mesmo. Suponha f : H 2  H 2 ( H 2  {z  C, Re( z)  0} ) uma transformação
conforme. Defina T ( z )  ( z  i) /( z  i) e g ( z)  T  f  T 1 ( z) , logo g é uma transformação
do disco unitário em si mesmo e é da forma g ( z )  (az  c) /(cz  a) , com aa  cc  1 .
Pode-se obter a forma de f :
f ( z)  T 1  g  T ( z)
z i
z 1
(a  c) z  (c  a)i
, T 1 ( z )  i
e g  T ( z) 
.
T ( z) 
z i
z 1
(a  c) z  (a  c)i
(a  a  c  c) z  i (a  a  c  c)
f ( z )  T 1  g  T ( z )  i
(a  a  c  c) z  i (a  a  c  c)
(2 Re(a)  2 Re(c)) z  i(2i Im( a)  2i Im( c)) (Re(a)  Re(c)) z  (Im( a)  Im( c))

f ( z )  i
(2i Im( a)  2i Im( c)) z  i(2 Re(a)  2 Re(c)) (Im( c)  Im( a)) z  (Re(a)  Re(c))
Com   Re(a)  Re(c) ,   Im( a)  Im( c) ,   Im( c)  Im( a) e   Re(a)  Re(c) .
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z  
, com  ,  ,  ,    e     1
z  
Falta demonstrar que toda função dessa forma é um mapa conforme de H 2 em H 2 .
az  b
Seja f : C  {}  C  {} f ( z ) 
, com a, b, c, d   e ad  bc  1 . Considere
cz  d
z  H 2 , vamos provar que f ( z)  H 2 .
1  az  b a z  b  (ad  bc)( z  z )
2i Im( z )
Im( z )

Im( f ( z ))  



0
2
2
2
2i  cz  d c z  d 
2i cz  d
2i cz  d
cz  d
Obtém-se que f ( z ) 
Logo, f ( z )  H 2 .
Durante a iniciação científica foi definido qual era a métrica hiperbólica. Vamos
definir T H 2 como sendo o espaço tangente de H 2 no ponto z 0 , ou seja, o conjunto de
z0
vetores de  2 com ponto base z 0 .
Agora para cada ponto de H 2 , vamos considerar o seguinte produto escalar:
u ,v
u, v H  2
, u, v  T H 2 , onde ,  é o produto escalar euclidiano de  2 .
z0
Im ( zo )
Esse produto escalar tem uma norma associada:
u
uH 
, u, v  T H 2 , onde ,  é a norma euclidiana usual.
2
z0
Im ( z o )
Considere g H a métrica definida pelo produto escalar , 
H
, g H é denominada como a
2
métrica hiperbólica do H .
1
1
1
2
gH 
dz  2 (dx 2  dy 2 )  2 g , onde g é a métrica euclidiana.
2
Im ( z )
y
y
O H 2 munido com a métrica g H é denominado semi-plano de Poincaré e é um dos
modelos do semi-plano hiperbólico. O conjunto que consiste da reta real com o ponto ao
infinito é chamado do bordo infinito do H 2 (   H 2 ).
Também pode ser calculado o ângulo entre u e v nessa métrica:
u, v H
u, v Im 2 ( z 0 )
u, v
cos( ) 

 2

uHvH
u  v Im ( z 0 ) u  v
Daqui se conclui que os ângulos entre u e v na métrica hiperbólica são iguais aos
ângulos na métrica euclidiana. Levando em conta essa informação, foi possível calcular quais
eram as isometrias do semi-plano de Poincaré.
Para que um difeomorfismo T : H 2  H 2 seja uma isometria é preciso que:
g H (u, v)  g H ( Dz T (u), Dz T (v)) u , v  T H 2
z
 u x vx 
, T ( x, y )  (u ( x, y ), v( x, y ))
D z  

u
v
y 
 y
Para ser uma isometria a operação T precisa ser conforme, logo os candidatos a serem
as isometrias positivas, são os mapas conformes de H 2 em H 2 , que são da forma:
az  b
T ( z) 
, com a, b, c, d   e ad  bc  1 .
cz  d
Vamos provar que todas as operações dessa forma são isometrias positivas.
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a(cz  d )  c(az  b)
ad  bc
1


2
2
(cz  d )
(cz  d )
(cz  d ) 2
Im( z )
, já foi calculado anteriormente.
Im(T ( z )) 
2
cz  d
T ( z) 
T ( z)
Im( T ( z ))

1
Im( z )
g H ( Dz T (u ), Dz T (v))  g H (T ( z )  (u ),T ( z )  (v)) 
T ( z )  (u ), T ( z )  (v)
Im 2 (T ( z ))
 T ( z )
2
u,v
Im 2 (T ( z ))
1
 u , v  g H (u, v)
Im 2 ( z )
Logo, provou-se que T é uma isometria positiva (preserva ângulos e orientações). Para
encontrar as isometrias negativas vamos usar a operação w   z que é uma isometria
euclidiana e fixa a parte imaginária de cada z, logo também é uma isometria do plano
hiperbólico. Assim, as isometrias negativas serão as transformações  T (z ) , onde T é uma
isometria positiva de H 2 .
As isometrias negativas são da seguinte forma:
 az  b
, com a, b, c, d   e ad  bc  1 .
T ( z) 
cz  d
Em seguida, foram estudadas as inversões com respeito a círculos e alguma de suas
propriedades. Primeiro vamos defini-la, seja um círculo de raio R e centro a , a inversão de
um ponto z é o ponto z * , pertencente à semi-reta que começa em a e passa por z que
satisfaz:
z*  a  z  a  R2
g H ( Dz T (u ), Dz T (v)) 
Como z * pertence à semi-reta que começa em a e passa por z , ele pode ser escrito da
seguinte forma:
z *  a  t ( z  a) , onde t   e t  0
Das duas equações acima se pode retirar que:
z*  a
R2
t

2
za
za
Logo, podemos obter a seguinte igualdade:
R2
R2
R2
*
z a
( z  a)  a 
a
2
( z  a)
( z  a)
za
A partir da igualdade acima podem ser retiradas algumas propriedades das inversões
com respeito aos círculos, a primeira é que ela preserva ângulos, mas inverte orientações,
porque é a Transformação de Möbius composta com uma conjugação (a conjugação preserva
ângulos e inverte orientação). A segunda propriedade é que a inversão leva círculos ou retas
ou círculos ou retas, pois tanto Transformação de Möbius quanto a conjugação possuem essa
propriedade.
Também é fácil perceber que a inversão com respeito ao círculo de raio R e centro
a fixa os pontos pertencentes a esse círculo.
Considere z pertencente ao círculo, ou seja, ( z  a)( z  a)  R 2 . Vamos calcular z* .
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R2
( z  a)( z  a)
a
z
( z  a)
( z  a)
Em seguida, foi preciso demonstrar que a inversão com respeito ao círculo de raio R e
centro a fixa globalmente os círculos ortogonais a esse.
Considere um círculo de raio r e centro b ortogonal ao primeiro círculo, ou seja,
z *  a 
R 2  r 2  b  a . Sabemos que os pontos de interseção entre os dois círculos estão fixados,
logo só precisamos mostrar que mais um ponto do círculo ortogonal fica no mesmo círculo.
Vamos escolher dois pontos do segundo círculo que estão na reta que passa pelos dois
centros. Esses pontos são:
(b  a )
(b  a )
z1  b 
r e z1  b 
r.
ba
ba
2
z1  a  z 2  a  b 

(b  a)
(b  a)
r
ra  b
r  a  (b  a)1 
ba
ba
ba



  (b  a)1  r


ba






z1  a  z 2  a  b  a  r 2  R 2
2
Logo, o inverso de z1 com respeito ao círculo é z2 , e vice-versa. Como a inversão
com respeito a círculos leva círculos ou retas em círculos ou retas e três pontos determinam
um círculo, temos que os círculos ortogonais ficam globalmente fixados.
Vamos agora caracterizar as inversões com respeito a círculos ortogonais à reta real,
ou seja, o centro  é um número real.

R2  2
z
R2
 z  R2  2 R
R
z*   


z 
z 
z 

R R
 2  R2

1

Igualando a   , b 
, c
e d   , obtemos:
R
R
R
R
2
2
2

 R
 az  b
1
z* 
, onde ad  bc  2 
R
R2
cz  d
Logo as inversões com respeito a círculos ortogonais ao eixo real são isometrias
negativas do plano hiperbólico.
Depois de ter visto todas essas informações, foi possível estudar quais são as
geodésicas do plano hiperbólico. Uma geodésica é uma curva de classe C 1 por partes e
regular, tal que para cada par de pontos dessa curva, a curva que minimiza o comprimento é
essa. No  2 , as geodésicas são as retas. É possível demonstrar que as semi-retas verticais são
geodésicas do plano hiperbólico.
Considere dois pontos da forma a  bi e a  ci , onde a, b, c   e c  b  0 . Perceba
que a curva  : 0,1  H 2 ,  (t )  a  bi  (c  b)it é um segmento de reta vertical que liga os
dois pontos. Vamos calcular o seu comprimento na métrica hiperbólica.
1

LH ( )    (t ), (t )
0

1/ 2
H
 (c  b)i, (c  b)i
dt   
2
0  Im( a  bi  (c  b)it )
1




1/ 2
dt
cb
dt  log(b  (c  b)  1)  log(b  (c  b)  0)
b  (c  b)t
0
1
LH ( )  
LH ( )  log(c)  log(b)
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Agora considere outra curva  : 0,1  H 2 ,  (t )  x(t )  y (t )i de classe C 1 por
partes e regular, tal que  (0)  a  bi e  (1)  a  ci . Como  é uma curva de classe C 1 por
partes, existem números reais 0  s0  s1 ...  sn  1, tais que  é de classe C 1 para cada
intervalo si 1 , si  para cada i  1, 2...n
LH (  ) 
LH (  ) 
n si
 
i 1 s i 1
n si
    (t ),  (t ) 
i 1 si 1
1/ 2
H
n si
dt   
i 1 s i 1
( x (t )) 2  ( y (t )) 2
dt
y (t )
n s i y (t )
n si y (t )
( x (t )) 2  ( y (t )) 2
dt   
dt   
dt
y (t )
i 1 si 1 y (t )
i 1 si 1 y (t )
 log( y (1))  log( y (0))  log(c)  log(b)  LH ( )
Provou-se que qualquer curva tem que liga esses dois pontos tem comprimento
hiperbólico maior ou igual segmento de reta vertical (a igualdade só é válida quando é um
segmento de reta), logo as semi-retas verticais são geodésicas do plano hiperbólico.
Considere dois pontos a e b que não estão na mesma semi-reta vertical, logo existe um
semicírculo de raio R centro x0 , onde x0 é um número real que passa por esses dois pontos.
Seja a inversão I : H 2  H 2 com respeito ao círculo de centro x0  R e raio 2 R . Essa
operação fixa ponto x0  R , pois pertence ao círculo com o qual está sendo feita a inversão, e
leva o ponto x0  R para  , pois é o centro do círculo ao qual está sendo feita a inversão.
Também é possível perceber que ele fixa globalmente o eixo real. Como o semi-círculo é
ortogonal ao eixo real e essa operação é uma isometria, temos que a imagem desse círculo
será ortogonal à imagem da reta real, pelo fato de a reta real ser fixada temos que a imagem
do círculo é ortogonal a ela. Assim, é possível concluir que os semi-círculos ortogonais ao
eixo são geodésicas do plano hiperbólico, porque a transformação I 1 : H 2  H 2 leva as
semirretas verticais em semi-círculos ortogonais.
Conclui-se que as geodésicas do plano hiperbólico são as semi-retas verticais e os
semi-círculos ortogonais ao eixo real, além disso só existe uma geodésica passando por dois
pontos de H 2 .
Vamos fazer uma comparação da geometria hiperbólica com a geometria euclidiana
analisando os postulados de Euclides:
1. Por dois pontos passa somente uma geodésica.
2. Todo segmento de geodésica pode ser prolongado indefinidamente.
3. Dois ângulos retos são iguais.
4. Para cada ponto p e real positivo r , existe um círculo com centro p e raio r .
5. Seja uma geodésica  e um ponto p , existe uma única geodésica passando por
p e paralela a  .
No caso euclidiano, as geodésicas são as retas e esses postulados são facilmente
verificados. Na geometria hiperbólica, só são obedecidos os quatro primeiros postulados e o
quinto não é verificado.
O primeiro postulado já foi verificado, provando que existe somente uma geodésica
passando por dois pontos.
O segundo postulado pode ser verificado percebendo que todo segmento de reta ou
arco de círculos ortogonais ao eixo real no H 2 podem ser estendidos a semi-retas verticais e
semi-círculos ortogonais ao eixo real, respectivamente.
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Para verificar o terceiro postulado, só é preciso mostrar que todo par de geodésicas
 1 ,  2 podem ser levadas através de isometrias para eixo imaginário e o semi-círculo
ortogonal ao eixo real e ao eixo imaginário que passa pelo ponto i. Caso uma das geodésicas
seja uma semi-reta vertical, deve ser feito uma operação da forma z  x0 , onde x0 é onde a
semi-reta intersecta o eixo real, levando essa semi-reta vertical no eixo imaginário. Em
seguida deve-ser fazer uma operação da forma z / R , onde R é o raio do semi-círculo que
corresponde à outra geodésica. Caso as duas geodésicas sejam semi-círculos, deve ser feita
uma inversão na qual o centro é a interseção de uma dessas geodésicas com o eixo real e raio
arbitrário para transformar um semi-círculo em um semi-reta vertical, em seguida se cai no
caso anterior.
O quarto postulado é mais facilmente avaliado usando o modelo do Disco de Poincaré,
então ele será analisado depois de sua definição.
O quinto postulado é falso. Inicialmente, é necessário saber o que são duas geodésicas
paralelas, que pode ser definido como duas geodésicas que tem um ponto no bordo infinito
em comum. Para verificar que esse postulado é falso, vamos considerar o eixo imaginário e
um ponto p que não pertence a ele. É possível traçar por p uma semi-reta vertical e um semicírculo ortogonal ao eixo real e tangente ao eixo imaginário. A semi-reta vertical que passa
por p e o eixo imaginário são paralelos, pois tem o ponto  em comum no bordo infinito e
semicírculo ortogonal e o eixo imaginário p são, pois tem o ponto 0 (zero) em comum. Logo
existem duas paralelas ao eixo imaginário que passam por p, demonstrando que o postulado
não é válido.
Com o conhecimento das geodésicas, agora serão classificadas as isometrias positivas,
a partir de seus pontos fixos.
az  b
Considere a isometria positiva f ( z ) 
, com a, b, c, d   e ad  bc  1 , vamos
cz  d
analisar seus pontos fixos:
az  b
z é ponto fixo se f ( z ) 
z.
cz  d
az  b  cz 2  dz  cz 2  (d  a) z  b  0
Se c  0 , os pontos fixos podem ser obtidos resolvendo a equação de segundo grau.
Vamos analisar o seu discriminante.
  (d  a) 2  4bc  a 2  2ad  d 2  4bc , como ad  bc  1  bc  ad  1 obtém-se:
  a 2  d 2  2ad  4  (a  d ) 2  4
Se (a  d ) 2  4  0 , os dois pontos fixos são números reais diferentes.
Se (a  d ) 2  4  0 , existe apenas um ponto fixo que é um número real.
Se (a  d ) 2  4  0 , existem dois pontos fixos complexos conjugados, dos quais um
tem parte imaginária maior que zero e o outro não.
Caso c  0 , os pontos fixos irão satisfazer a seguinte equação (d  a) z  b  0 e o
ponto  será um ponto fixo.
Nesse caso, se a  d o ponto infinito será o único ponto fixo e se a  d os pontos
b /(d  a ) e  serão pontos fixos.
As transformações hiperbólicas serão aquelas que fixarem dois pontos no bordo
infinito, ou seja, com c  0 e (a  d ) 2  4  0 , ou c  0 e a  d . Considere que os pontos
fixados são x1 e x 2 , existe uma única geodésica  que passa por esses dois pontos. Como os
pontos x1 e x 2 estão fixados, a geodésica  também será fixada. Seja um ponto p pertence à
curva  , f ( p )  p pertence também a  (caso f ( p )  p , a aplicação teria três pontos fixos e
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seria uma aplicação constante). Suponha que a orientação da curva de x1 até x 2 , seja a
mesma que p até f ( p ) . Considere um ponto q qualquer entre p até f ( p ) na curva  . Podese obter:
d H ( p, f (q))  d H ( p, q)  d H (q, f (q))  d H ( p, f ( p))  d H ( f ( p), f (q))
Pelo fato de f ser uma isometria retira-se que d H ( f ( p), f (q))  d H ( p, q) e, portanto,
d H ( p, f ( p))  d H (q, f (q))   .
Agora vamos considerar que q apenas está na curva  . Existe n  Z tal que q está
entre f n ( p) e f n1 ( p) . Para perceber esse fato, considere o eixo imaginário e o ponto i , os
pontos que tem distância  de i são e  i e e   i , quando  tende a infinito e  i vai para
infinito e e   i vai para zero, os pontos tendem a ir aos pontos do bordo infinito. Fazendo o
análogo, f n ( p) vai para x 2 e f  n ( p) vai para x1 , se n tender a infinito. Daí é fácil concluir
d H (q, f (q))  d H ( f n ( p), f n1 ( p))  d H ( p, f ( p))   .
Caso z 0 não pertença à curva  , é possível traçar um geodésica  que passa por esse
ponto e ortogonal a  no ponto z . Sabemos que ponto z será deslocado uma distância  ao
longo da curva  , é a curva  será levada em uma curva ortogonal a  no ponto f (z ) . Como
f é uma isometria a distância entre z 0 e z será mantida e f ( z 0 ) terá essa mesma distância de
f (z ) .
Em seguida foram caracterizadas as Transformações elípticas, que possuem dois
pontos fixos no plano complexo, porém apenas um ponto fixo z 0 em H 2 , o que acontece
quando c  0 e (a  d ) 2  4  0 . Para analisar essa transformação, escolha um ponto z e trace
o segmento de geodésica  entre z 0 e z , a o ponto z 0 é fixo e z será levado em f (z ) , que
preserva a distância ao ponto z . A geodésica será levada em outra geodésica f ( ) que faz
certo ângulo  0 com a geodésica  no ponto z . Com isso é possível caracterizar a
transformação de um ponto genérico p . Primeiro deve ser traçado a geodésica  entre z 0 e
p que faz um ângulo  com a geodésica  no ponto z . Como f é isometria o ângulo entre
f ( ) e f ( ) , também é  , pelo fato de o ângulo entre f ( ) e  ser  0 tem-se que o ângulo
entre f ( ) e  é  0   (Foi considerado que os ângulos são orientados). Finalmente obtém
que o ângulo entre f ( ) e  é  0       0 . A transformação elíptica é uma rotação
hiperbólica de  0 em torno do ponto z 0 .
O último tipo de isometrias positivas são as Transformações parabólicas, que fixam
apenas um ponto no bordo do infinito, c  0 e (a  d ) 2  4  0 , ou c  0 e a  d . Para
discutir essas transformações é cabível a definição de uma classe de curvas no plano
hiperbólico, os horociclos. Os horociclos são os círculos tangentes ao eixo real e as retas
horizontais. Uma propriedade dos horociclos é que a imagem de um horociclo através de uma
isometria é sempre um horociclo. Para provar tal propriedade, só é preciso perceber que as
isometrias levaram um ponto do bordo infinito em outro ponto do bordo infinito, as isometrias
são operações conformes e preservam a tangência entre a curva e o eixo real, e pela
propriedade de retas ou círculo serem levados em retas ou círculos pelas transformações de
Möbius.
Considere as transformações parabólicas que fixam o ponto  , ou seja, são da forma
f ( z )  z  b , é fácil perceber que todos os horociclos tangentes ao  , ou seja, as retas
horizontais, são globalmente fixados. Caso a isometria f fixe um ponto do eixo real x , a
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transformação T : H 2  H 2 , T ( z )  1 /( z  x) é uma transformação que leva o ponto x para
 , portanto a função g ( z)  T  f  T 1 ( z) fixa o ponto  . g fixa cada horociclo tangente ao
 , logo f ( z)  T 1  f  T ( z) terá essa mesma propriedade.
Vamos então definir o Disco de Poincaré, para isso vamos utilizar a transformação de
Cayley e a métrica hiperbólica.

2i
z i
i( z  1)
, T 1 ( z ) 
, T 1 ( z ) 
T ( z) 
(1  z ) 2
zi
 z 1
Im(T ( z )) 
1 z
2
(1  z )(1  z )

T 1 ( z ) u , v
2


g D (u , v)  g H (T 1 ( z )(u ), T 1 ( z )(v)) 
Im(T ( z ))
4
u, v
(1  z ) 2
2
O Disco de Poincaré é o disco unitário centrado na origem dotado com a métrica
acima.
As isometrias do disco de Poincaré serão as aplicações do espaço em si mesmo do
mesmo jeito que o semi-plano de Poincaré.
(az  c)
, com aa  cc  1
f ( z) 
(cz  a)
As geodésicas serão os diâmetros e os arcos de círculos ortogonais ao disco de raio um
centrado na origem, o que pode ser facilmente verificado com o fato de a Transformação de
Cayley ser conforme e levar círculos ou retas em círculos ou retas.
Agora é fácil estudar os pontos que tem uma distância  da origem, que serão os pontos
do círculo euclidiano de centro 0 e raio th(  / 2) . Para perceber isso vamos calcular a
distância de um ponto w até a origem.
A geodésica que passam pela origem são os diâmetros, portanto a curva pode ser
parametrizada como  (t )  tw, t  0,1 , vamos calcular a distância entre 0 e w .
1 w 


dt

log(
1

w
)

log(
1

w
)

log
2 2
1 w 
1

w
t
0
0


Agora, vamos estudar o conjunto de pontos que tem distância hiperbólica  .
1
1
d H (0, w)   g D ( (t ),  (t ))1/ 2 dt  
2w
1 w 
1 w


d H (0, w)    log
 e   w  th 

1 w
2
1 w 
Isso mostra que os pontos que tem distância euclidiana constante da origem igual a

th  . Mostrando isso, podem ser usadas transformações parabólicas para deslocar o centro
2
para outros pontos, provando que todo círculo hiperbólico pode ser representado por um
circulo euclidiano no Disco de Poincaré. Para ver que os círculos hiperbólicos também podem
ser representados por círculos euclidianos no semi-plano de Poincaré, para isso é só utilizar a
Transformação de Cayley levando o disco no semi-plano, e essa transformação tem a
propriedade de leva círculos ou retas em círculos ou retas (para perceber que não leva em uma
reta, perceba que o infinito não pode pertencer a esse conjunto), porém nada garante que
círculos hiperbólicos e os círculos euclidianos que representam têm o raio ou centro em
comum.
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Conclusões
Para abordar o tema, Geometria Hiperbólica Plana, foi necessário obter um
conhecimento básico de diversas áreas da matemática e, além disso, a oportunidade de estudar
assuntos um pouco mais avançados, como por exemplo, Geometria Diferencial que só
costuma ser abordado tardiamente na grade curricular do curso de matemática.
Além disso, toda semana foi pedido ao aluno que apresentasse o tópico estudado em
casa, o que desenvolveu bastante a capacidade expositiva e de reproduzir as demonstrações do
livro.
Referências
1 – LEVINSON, N.; REDHEFFER, R. M. Complex Variables. San Francisco: Holden-Day,
Inc., 1970. 429p.
2 – EARP, R. S.; TOUBIANA, E. Introduction à la géométrie hyperbolique et aux
surfaces de Riemann. Paris: Cassini, 2009.364p.