Portfolio de:
Relacionando vazão mássica com velocidade média e vazão volumétrica
com velocidade média.
Interpretação geométrica:
Usando a matemática para a descrição dos perfis não uniformes ...
m! =
Vazão mássica:
∫ ρ vdA
(*)
∫ vdA
(**)
AST
Vazão volumétrica: Q =
AST
O cálculo da velocidade média (vm) é normalmente feito a partir da definição
matemática de médias, a saber:
1
vm =
vdA (***)
AST ∫AST
Em coordenadas cilíndricas:
em coordenadas cartesianas:
vm =
∫∫
b
a
0
0
vdxdy
ab
vm =
2π
R
0
0
∫ ∫
vrdrdθ
π R2
A questão que surge é como compatibilizar as equações (*), (**) e (***) ...
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Portfolio de:
Exercícios:
Exercício 01: (Adaptado do exercício 3.18 de White, p. 129)
Um fluido incompressível escoa em regime permanente com uma temperatura constante
através de um duto retangular. O perfil de velocidades na saída do duto é dado por:
 y 2  z 2 
u = umax  1 − 2  1 − 2 
 b  h 
sendo, u a velocidade de escoamento, umax é tratado no item b-), b e h, a metade do
valor de cada lado do duto. A origem do sistema de coordenadas é no centro do duto.
Pede-se:
a-) efetuar um esquema do problema
b-) determinar em que ponto a velocidade é máxima? O que é umax?
c-) verificar se o perfil de velocidades satisfaz às condições de contorno
correspondentes à condição de não escorregamento.
d-) encontrar uma expressão analítica para a vazão volumétrica na saída do duto.
16
Resp.:
bhumax
9
e-) calcular a velocidade máxima de escoamento em m/s para um duto quadrado de
lado medindo 20cm se a vazão volumétrica na entrada é de 8.5 m3/min. Indicar as
hipóteses usadas. Resp.: 7.96 m/s
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Portfolio de:
Exercício 02: (adaptado de Geankoplis, ex. 2.6-1 p.106)
Para uma camada de líquido em escoamento laminar ao longo da direção vertical no
sentido descendente sobre uma placa plana vertical, o perfil de velocidades é dado por:
2
ρ gδ 2   x  
vz =
1 −   
2 µ   δ  
onde, δ é a espessura da camada, x a distância ao longo da camada para a superfície da
placa e vz a velocidade de queda a uma distância x da superfície livre da placa.
Pede-se:
a-)
b-)
c-)
d)
efetuar um esquema do problema e indicar onde está origem do sistema de
coordenadas.
a máxima velocidade de queda.
verificar se a distribuição de velocidades satisfaz a condição de não
escorregamento.
a expressão para a velocidade média de queda.
resp.: vmax, z =
ρ gδ 2
2
; vb = vmax, z
2µ
3
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Portfolio de:
Exercícios recomendados da lista:
Exercícios do capítulo 3 de White:
P3.15, P3.17
Mais algumas definições...
Observação:
Neste ponto cabe salientar que além da densidade, também chamada de
massa específica (este último termo é o preferido dos engenheiros mecânicos, os profissionais da
química preferem a densidade...)
, outras grandezas equivalentes são definidas(alguns
livros de mecânica dos fluidos cometem deslizes nas definições a seguir, todas elas originárias das ciências
químicas...)
, a saber:
Densidade molar (no SI mol/m3):
n
; ρ = MM ρ" , sendo MM a
V
massa molar da substância.
Volume molar (V ):
V=
Volume específico:
1
Vˆ =
ρ
Densidade relativa:
S=
ρ" =
V 1
=
n ρ"
ρ (T , P)
,
ρ ref (Tref , Pref )
Sendo, ρ ref , Pref , Tref , respectivamente, a densidade de um fluido de
referência, a temperatura e a pressão em que este fluido se encontra.
Para gases o fluido de referência usualmente adotado é o ar atmosférico
a 20oC e para líquidos a água a 1 atm a 4oC, ou a 20oC ou em alguma
outra temperatura (e.g. 20oF e 60oF também são bastante usadas nas
refinarias)
Peso específico (γ):
γ = ρ g - qual a unidade no SI do
peso específico?
Das grandezas apresentadas, para esta disciplina, há um particular
interesse pelas grandezas, densidade relativa, peso específico e
densidade molar ou volume molar. Muitos dados tabelados de
densidade são apresentados na forma de densidade relativa. É o caso de
óleos e combustíveis. O peso específico está relacionado com o cálculo
de forças (qual força?
). Correlações são normalmente
apresentadas para a densidade molar ou volume molar,
particularmente, aquelas que têm fundamentação em leis físicoquímicas, como vimos para o caso do cálculo da densidade de gases
ideais...
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Portfolio de:
Outras grandezas equivalentes à vazão mássica:
Vazão em peso:
é definida como sendo a vazão mássica multiplicada pela aceleração
da gravidade.
Fluxo mássico:
definido como sendo a vazão mássica dividida pela área normal ao
escoamento.
Observação:
fluxo é uma grandeza definida por fenômenos de transporte como sendo
a taxa de uma grandeza sobre a área. Além dos fluxos mássicos, é muito
usado o fluxo de energia.
Exercícios:
Exercício 01:
Qual a vazão mássica, volumétrica e em peso e também o fluxo
mássico da água a 43oC escoando com uma velocidade média de 2 m/s
em um tubo de aço comercial de diâmetro nominal 1”SC 40ST (lê-se uma
polegada schedule 40ST-consulte o apêndice F para obter o diâmetro desta tubulação)
?
Exercício 02:
Qual a relação entre as velocidades na entrada e
na saída de um bocal divergente de seção de
área circular por onde escoa um fluido
compressível em regime permanente? Se o
comportamento deste fluido puder ser
representado pela equação de estado dos gases
ideais e se o escoamento for isotérmico, como
será a relação das velocidades em termos das
dimensões d1, d2 e das pressões na entrada e na
saída do bocal, P1 e P2, respectivamente?
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Portfolio de:
Exercício 03:
Qual a relação entre as vazões
volumétricas e velocidades médias de
escoamento na entrada e na saída de uma
contração brusca de seção de área
quadrada por onde escoa um fluido
incompressível, isotérmico em regime
permanente?
Exercício 04: (adaptado de exercício da PAFe da turma 3D do 1o semestre de 2002)
Uma sala de reuniões recebe uma corrente
de ar proveniente de um sistema de ar
condicionado instalado em um corredor
adjacente.
Admitindo
escoamento
incompressível e isotérmico para o ar e
sabendo que o ar entra pela porta e sai pela
janela da sala, determine a velocidade com
que o ar deixa a sala através da janela.
Admita perfis de velocidade uniformes na
porta e na janela.
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Portfolio de:
Exercícios recomendados da lista:
Exercícios do capítulo 3 de White:
Exercícios da lista:
P3.19, P3.20, P3.21, P3.24, P3.31, P3.36
04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 12, 14, 16, 18, 19, 20,
23
Generalizando o balanço macroscópico de massa global –
entradas oblíquas e propriedades não uniformes
Termo de Acúmulo:
Lembrando que: m = ρV
dm
∂
na visão de VC homogêneo está associado ao termo
∫ ρ dV na
dt
∂t VC
visão de VC não homogêneo.
O termo
Vazão mássica de E/S:
##
vx = v cos α = nv
##
− ∫ ρ ( nv ) dA
SC
#
x:
∫ ρ v cos α dA
SC
BMG – VC não homogêneo:
∂
##
ρ
ρ
=
−
dV
nv
(
) dA + M! G
∫
∫
∂t VC
SC
leitura recomendada:
Bennett & Myers:
p. 34-38
Brodkey & Hershey: p. 265-275
Exemplos recomendados para leitura:
Wiggert & Potter: exemplo 4.1, 4.2, 4.4, 4.5
White:
exemplo 3.2, exemplo 3.6
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Portfolio de:
Exercícios:
1. Partindo da equação de BM-macro para VC homogêneo, mostre que no
escoamento de um fluido incompressível e isotérmico no interior de uma
tubulação de diâmetro constante a velocidade média não se altera na direção do
escoamento.
2. Repita o exercício anterior, mas partindo da equação de BM-macro para VC
não-homogêneo.
Exercícios recomendados da lista:
Exercícios do capítulo 3 de White:
Exercícios complementares:
P3.16
15, 17
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Portfolio de:
Mais sobre a terminologia científica...
Escoamento interno × externo
Assinale com um (X) a opção mais adequada para cada caso e efetue um esquema do
escoamento em análise.
Escoamento Escoamento
interno
externo
Escoamento de ar no interior de um duto de seção
retangular
Escoamento de água sobre um submarino
Escoamento de vento sobre uma ponte
Escoamento de água suja no Rio Tietê/escoamento de
fluidos em canais abertos
Escoamento de um fluido em um leito
empacotado/escoamento de água em um rio com pedras
Escoamento durante a descarga de uma torneira
Observações sobre as escolhas feitas:
A partir dos exemplos acima defina escoamento interno e externo e discuta a
importância desta classificação. Existem escoamentos mistos?
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Portfolio de:
Metodologia de modelagem – ponto de partida segundo FT
são as leis de conservação (maiores pormenores são
apresentados no Apêndice C):
Seja nc o número de espécies químicas no interior do VC.
BM
BMG
BMC
BQM
BE
BEM
...
...
...
...
...
...
balanço de massa
balanço de massa global
balanço de massa por componente
balanço de quantidade de movimento
balanço de energia
balanço de energia mecânica (combinação de BQM com BE)
Possibilidade A: para cada VC
Uso de:
BM
BE
BQM
Equações a serem escritas:(*)
1 BMG + (nc-1) BMC
1BE
1BQM-linear para cada direção
1BQM-angular
(*) alguma equação pode ser supressa caso não seja necessária para resolver um dado
problema
Possibilidade B: para cada VC
Uso de:
BM
BE
BEM
Equações a serem escritas:
1 BMG + (nc-1) BMC
1BE
1BEM
Possibilidade C: para cada VC
Uso de:
BM
BEM
BQM
Equações a serem escritas:
1 BMG + (nc-1) BMC
1BEM
1BQM-linear para cada direção
1BQM-angular
leitura recomendada:
White: p. 22-23 (item 1.8), p. 125 (resumo)
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Portfolio de:
Lei de Conservação na visão macroscópica aplicada a um VC:
ACÚMULO = ENTRA – SAI + GERADO (equação de balanço)
– entrada/saída: (interpretações distintas por diversos autores)
•
Advecção(alguns autores não distinguem advecção de convecção)
•
Mecanismos de Transporte (condução, convecção e para energia também
radiação)
•
Outros(energia) – trabalho de superfícies móveis, etc.
Seja Ψ a grandeza conservada, então a dimensão de cada termo da equação de balanço é
∆ Ψ
Ψ
. Seja ψ a grandeza conservada específica(em relação à massa) definida como: ψ =
tempo
m
∂
##
!
!
=
−
+Ψ
ψρ
ψρ
dV
nvdA
M /O + ΨG
∫
∫
∂t VC
SC
Mecanismos de Transporte:
Sentido do transporte de uma grandeza física: da maior para menor concentração
•
Condução (difusão ou transporte molecular)
O mecanismo de condução também chamado por alguns autores como
mecanismo difusivo e por outros autores como transporte molecular pode ser
entendido como um mecanismo de transporte decorrente da interação entre
partículas constituintes da matéria (e.g. choques; atração/repulsão
eletrostática...). No tocante ao transporte de quantidade de movimento, este
mecanismo foi estudado anteriormente, sendo que as seguintes conclusões
principais foram estabelecidas:
-
-
o transporte condutivo de QM está associado ao escoamento em regime
laminar, em que a interação entre as moléculas do fluido se dá de forma
cisalhante sem alteração do padrão advectivo de escoamento.
para fluidos Newtonianos o modelo do transporte condutivo foi apresentado
em escoamento unidirecional em coordenadas cartesianas na direção de x:
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Portfolio de:
dvx
, sendo este um caso particular da lei de Newton da
dy
#
# T
viscosidade para fluidos incompressíveis dada por: τ = − µ ∇v + (∇v )  .


τ = −µ
Para fluidos não Newtonianos diversos modelos existem, conforme a
característica reológica do fluido em questão. Por exemplo, temos os
modelos(curiosidade) para escoamento unidirecional também na direção de x:
n
Ostwald-de Waele:
Reiner-Philippoff:
 dv 
τ = K − x 
 dy 

µ −µ

τ = −  µ∞ + o 2 ∞
1+ τ

A

( )

 dvx
 dy


O escoamento de fluidos não Newtonianos é tratado no capítulo 8 de Bird et al. e
no capítulo 15 de Brodkey & Hershey.
Observação: Quando da alteração da temperatura de escoamento, há uma
conseqüente variação na densidade do fluido, o que pode induzir
a formação de um escoamento multidirecional. Neste caso não se
fala mais de transporte puramente condutivo. Fala-se de
transporte convectivo, descrito a seguir. Assim, no transporte de
energia (quando o escoamento não for mais isotérmico), mesmo
em condições de “regime laminar”, o mecanismo de transporte já
não é mais puramente difusional. Contudo, enquanto houver a
caracterização do padrão de escoamento laminar, ainda que em
condições não isotérmicas, a equação (FAT-LA) pode ser usada
para caracterizar o atrito.
•
Convecção
O mecanismo de convecção pode ser entendido como a interação entre as
partículas de forma que haja alteração do padrão advectivo de escoamento, dizse assim que ocorre simultaneamente advecção e condução. Nas palavras de
Brodkey & Hershey (2001, p. 493):
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Portfolio de:
“Convection is defined as the bulk flow of a fluid induced by unequal
molar mass transfer or by the external influence of a pressure difference
or a force field such as gravity.”
É importante salientar que o transporte convectivo é necessariamente associado
à existência de fluidos, uma vez que está associado à ocorrência da advecção.
Embora como salientamos, pode-se falar de um padrão convectivo de
escoamento em regime laminar, a associação do mecanismo de convecção com o
escoamento turbulento é intrínseca pelas definições do mecanismo de convecção
e do padrão de escoamento turbulento. O que ocorre é que o regime de
escoamento turbulento propicia (intensifica) o transporte convectivo, uma vez
que no escoamento turbulento as velocidades de escoamento não são pequenas.
Observação: alguns autores não distinguem o termo convecção de advecção!
•
Radiação (exclusivo para o transporte de energia) – será estudado em FT-II
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