Derivadas
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(24-03-2009 e 31-03-2009)
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Matemática II 2008/2009
Derivadas
Recta Tangente
Seja C uma curva de equação y = f (x). Para determinar a recta
tangente a C no ponto P de coordenadas (a, f (a)), i.e,
P (a, f (a)), começamos por considerar um ponto Q(x, f (x)), com
x 6= a e calculamos a inclinação da recta secante P Q:
f (x) − f (a)
mP Q =
x−a
Depois, ”aproximamos o ponto Q” do ponto P , fazendo x tender
para a. Se mP Q tender para um número m, então definimos a
recta tangente t como a recta que passa por P e tem inclinação
m.
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A recta tangente a uma curva y = f (x) no ponto P (a, f (a)) é a
recta que passa por P e tem inclinação
m = lim
x→a
( ou
f (x) − f (a)
x−a
f (a + h) − f (a)
)
h→0
h
m = lim
desde que esse limite exista.
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Velocidade
Suponha um objecto a mover-se sobre uma linha recta de acordo
com a equação y = s(t), onde s é o deslocamento do objecto a
partir da origem. A função s que descreve o movimento é chamada
função posição do objecto. No intervalo de tempo entre t = a e
t = a + h, a variação na posição será de s(a + h) − s(a)
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A velocidade média nesse intervalo é
velocidade média =
deslocamento
s(a + h) − s(a)
=
tempo
h
que é igual à inclinação da recta secante P Q.
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Suponha que a velocidade média é calculada em intervalos cada
vez menores [a, a + h], isto é, fazemos h tender para 0.
Definimos velocidade (ou velocidade instantânea), v(a), no
instante t = a como o limite dessas velocidades médias:
s(a + h) − s(a)
h→0
h
v(a) = lim
Assim, a velocidade no instante t = a é igual à inclinação da recta
tangente a y = s(t) em P (a, s(a)).
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Taxa de variação
(Recordemos...)
Suponha que y é uma quantidade que depende de outra
quantidade x. Assim, y é uma função de x e escrevemos y = f (x).
Se x variar de a para a + h, então a variação de x é
∆x = (a + h) − a = h
e a variação correspondente de y é
∆y = f (a + h) − f (a)
O quociente
∆y
f (a + h) − f (a)
=
∆x
h
designa-se por taxa média de variação de y em relação a x no
intervalo [a, a + h].
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Consideremos as taxas médias de variação em intervalos cada vez
menores (fazendo h tender para 0, logo ∆x tende para 0). O
limite das taxas médias de variação é designado por taxa
(instantânea) de variação de y em relação a x em x = a.
∆y
f (a + h) − f (a)
= lim
∆x→0 ∆x
h→0
h
se este limite existir.
lim
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Assim, a velocidade de uma partı́cula é a taxa de variação do
deslocamento em relação ao tempo.
Seja R = R(x) a função de receita total para um produto.
Definimos receita marginal para um produto como a taxa de
variação instantânea de R em relação a x. Assim,
Se a função receita total para um produto for dada por y = R(x),
onde x é o número de unidades vendidas, então, a receita marginal
para a unidades é dada por
R(a + h) − R(a)
h→0
h
lim
desde que esse limite exista.
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O limite da forma
f (a + h) − f (a)
h→0
h
surge sempre que calculamos uma taxa de variação em várias áreas
de estudo. Uma vez que este tipo de limite surge amplamente, são
dados a ele um nome e uma notação especiais.
lim
Definição
A derivada de uma função f num ponto a, denotada por f ′ (a), é
f (a + h) − f (a)
h→0
h
f ′ (a) = lim
se o limite existir.
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Algumas notações alternativas para a derivada da função y = f (x):
′
f ′ (x), y ,
dy df
,
dx dx
Por exemplo, sendo
y = f (x) = sin x
então a derivada pode ser designada por
f ′ (x) = cos x, y ′ = cos x,
dy
df
= cos x,
= cos x
dx
dx
Iremos utilizar mais a notação f ′ (x).
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Assim,
A recta tangente a uma curva y = f (x) no ponto P (a, f (a)) é a
recta que passa por P e tem inclinação m = f ′ (a).
(É a recta de equação: y − f (a) = f ′ (a)(x − a) )
Se y = s(t) for a função posição de um objecto, então a
velocidade do objecto no instante t = a, v(a), é s′ (a).
A taxa de variação (instantânea) de y = f (x) em relação a x
quando x = a é f ′ (a).
Se a função receita total para um produto for dada por y = R(x),
onde x é o número de unidades vendidas, então, a receita marginal
para a unidades é R′ (a).
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Em aulas anteriores já determinámos a derivada de algumas
funções. Por exemplo, vimos que a derivada da função f (x) = ex é
f ′ (x) = ex , a derivada de g(x) = ln x é g′ (x) = x1 , a derivada de
h(x) = sin x é h′ (x) = cos x e a derivada de m(x) = cos x é
m′ (x) = − sin x.
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Fazendo uma análise ao gráfico da função constante f (x) = c
observamos que o gráfico é a recta horizontal y = c, cuja
inclinação é 0, logo devemos ter f ′ (x) = 0.
Por definição podemos constatar que tal se verifica:
f (x + h) − f (x)
h→0
h
c−c
= lim
h→0 h
0
= lim
h→0 h
=0
f ′ (x) = lim
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Derivada de uma função constante
Se f (x) = c, para c uma constante, então f ′ (x) = 0.
Exemplos
Se f (x) = 5 então f ′ (x) = 0.
Se f (x) = 13 então f ′ (x) = 0.
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Iremos apresentar a derivada de várias funções sem fazer a
respectiva demonstração.
Regra da potência
Se n for um número real qualquer, então para f (x) = xn vem
f ′ (x) = nxn−1 .
Exemplos
Se
Se
Se
Se
Se
f (x) = x então f ′ (x) = 1x0 = 1
f (x) = x2 então f ′ (x) = 2x1 = 2x
f (x) = x3 então f ′ (x) = 3x2
1
1
2
f (x) = x 3 então f ′ (x) = 13 × x( 3 −1) = 13 × x− 3
f (x) = x12 então f (x) = x−2 logo f ′ (x) = −2x(−2−1) = −2x−3
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Função exponencial f (x) = ex
Se f (x) = ex então f ′ (x) = ex .
Função exponencial f (x) = ax , com a > 0 e a 6= 1
Se f (x) = ax então f ′ (x) = ax ln a.
Exemplos
Se f (x) = 2x então f ′ (x) = 2x ln 2
Se f (x) = ( 23 )x então f ′ (x) = ( 23 )x ln 23
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Função logaritmo neperiano f (x) = ln x
Se f (x) = ln x então f ′ (x) = x1 .
Função logaritmo de base a f (x) = loga x, com a > 0 e a 6= 1
Se f (x) = loga x então f ′ (x) =
1
x ln a .
Exemplos
1
Se f (x) = log3 x então f ′ (x) = x ln
3
Se f (x) = log 1 x então f ′ (x) = x ln1 1
4
4
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Função seno
Se f (x) = sin x então f ′ (x) = cos x.
Função cosseno
Se f (x) = cos x então f ′ (x) = − sin x.
Quando uma função é formada a partir de outras funções (das
quais sabemos a sua derivada) por adição, multiplicação ou
divisão, a sua derivada pode ser calculada em termos das derivadas
dessas funções, pelas regras que se seguem.
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Constante c a multiplicar por uma função g
Se f (x) = cg(x) então f ′ (x) = cg′ (x).
Exemplos
Se f (x) = 3x então f ′ (x) = (3x)′ = 3(x)′ = 3 × 1 = 3
Se f (x) = 2 sin x então f ′ (x) = (2 sin x)′ = 2(sin x)′ = 2 cos x
Se f (x) = 4x3 então f ′ (x) = (4x3 )′ = 4(x3 )′ = 4(3x2 ) = 12x2
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Soma de funções
Se f (x) = g(x) + h(x) então f ′ (x) = g′ (x) + h′ (x), i.e,
[g(x) + h(x)]′ = g′ (x) + h′ (x)
”a derivada da soma é igual à soma das derivadas”
Exemplos
Se f (x) = x2 + ln x e g(x) = 2x4 + cos x − ex então
f ′ (x) = (x2 + ln x)′
= (x2 )′ + (ln x)′
= 2x + x1
g′ (x) = (2x4 + cos x − ex )′
= (2x4 )′ + (cos x)′ + (−ex )′
= 2(x4 )′ − sin x + (−1)(ex )′
= 2(4x3 ) − sin x + (−1)ex
= 8x3 − sin x − ex
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Multiplicação de funções
Se f (x) = g(x)h(x) então f ′ (x) = g′ (x)h(x) + g(x)h′ (x), i.e,
[g(x)h(x)]′ = g′ (x)h(x) + g(x)h′ (x)
”a derivada do produto é igual à
derivada da primeira vezes a segunda
mais
a primeira vezes a derivada da segunda”
Exemplo
Se f (x) = x3 sin x então
f ′ (x) = (x3 sin x)′
= (x3 )′ sin x + x3 (sin x)′
= 3x2 sin x + x3 cos x
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Quociente de funções
Se f (x) =
g(x)
g′ (x)h(x) − g(x)h′ (x)
então f ′ (x) =
, i.e,
h(x)
[h2 (x)]
h g(x) i′
g′ (x)h(x) − g(x)h′ (x)
h(x)
[h2 (x)]
”a derivada do quociente é igual à
=
derivada do numerador vezes o denominador
menos
o numerador vezes a derivada do denominador,
tudo a dividir pelo
quadrado do denominador”
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h g(x) i′
h(x)
=
g′ (x)h(x) − g(x)h′ (x)
[h2 (x)]
Exemplo
cos x
então
2x i′
h cos
x
f ′ (x) =
2x
(cos x)′ (2x) − (cos x)(2x)′
=
[2x]2
(− sin x)(2x) − (cos x)(2)
=
4x2
−2x sin x − 2 cos x
=
4x2
−2(x sin x + cos x)
=
4x2
−(x sin x + cos x)
=
2x2
Se f (x) =
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Composição de funções
Se f (x) = g(x) ◦ h(x) então f ′ (x) = g′ (h(x)).h′ (x), i.e,
[g(x) ◦ h(x)]′ = g′ (h(x)).h′ (x)
Exemplos
h
Se f (x) = sin(3x5 ) então (sin(u))′ =
i
u = 3x5 vem cos(3x5 )
d
du
sin(u) = cos u, fazendo
f ′ (x) = [sin(3x5 )]′
= [cos(3x5 )].(3x5 )′
= [cos(3x5 )].[3(x5 )′ ]
= [cos(3x5 )].[3(5x4 )]
= [cos(3x5 )].(15x4 )
= 15x4 cos(3x5 )
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Tabela de Derivadas
f = f (x), g = g(x) funções, c =constante e α =uma constante
não nula
(c)′ = 0
(ef )′ = f ′ ef
(x)′ = 1
(af )′ = f ′ af ln a,
(cf )′ = cf ′
(ln f )′ =
(f + g)′ = f ′ + g′
(loga f )′ =
(f g)′ = f ′ .g + f.g′
(sin f )′ = f ′ cos f
( fg )′ =
f ′ .g−f.g ′
g2
f′
f
f′
f ln a ,
(cos f )′ = −f ′ sin f
(f α )′ = αf ′ f α−1
Derivadas
a > 0, a 6= 1
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a > 0, a 6= 1
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Exercı́cios
1 Determine uma equação da recta tangente à parábola
y = x2 + 1 nos pontos indicados.
(a) (0, 1)
(b) (−1, 2)
(c) Faça um esboço da parábola y = x2 + 1 e das rectas
obtidas nas alı́neas anteriores.
2
Um projéctil é lançado verticalmente do solo com uma
velocidade inicial de 112 metros por segundo. Após t
segundos, a sua distância ao solo é de 112t − 4, 9t2 metros.
Determine:
(a) a velocidade do projéctil para t = 2.
(b) o instante em que o projéctil atinge o solo.
(c) a velocidade em que o projéctil atinge o solo.
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Derivadas
Monotonia de uma função
Se uma função f ≡ f (x) tiver derivada num intervalo (a, b) e se
cada recta tangente à curva nesse intervalo tiver declive positivo,
então a curva está a subir no intervalo e a função é crescente.
Mas, o declive da recta tangente a f em x é dado pela derivada de
f em x, f ′ (x), logo, se f ′ (x) > 0 num intervalo, então f (x) é
crescente nesse intervalo.
Se uma função f ≡ f (x) tiver derivada num intervalo (a, b) e se
cada recta tangente à curva nesse intervalo tiver declive negativo,
então a curva está a descer no intervalo e a função é decrescente.
Mas, o declive da recta tangente a f em x é dado pela derivada de
f em x, f ′ (x), logo, se f ′ (x) < 0 num intervalo, então f (x) é
decrescente nesse intervalo.
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Derivadas
Extremos de uma função
Máximo
Uma função f ≡ f (x) tem um máximo local (ou máximo relativo)
em c se f (c) ≥ f (x) quando x estiver nas proximidades de c.
Exemplo
A função f (x) = −x2 tem um máximo local em 0 pois
f (0) ≥ f (x) para valores de x próximos de c.
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−3
−3
−2
−1
Derivadas
0
1
2
3
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Mı́nimo
Uma função f ≡ f (x) tem um mı́nimo local (ou mı́nimo relativo)
em c se f (c) ≤ f (x) quando x estiver nas proximidades de c.
Exemplo
A função f (x) = x2 tem um mı́nimo local em 0 pois f (0) ≤ f (x)
para valores de x próximos de c.
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−3
−2
−1
Derivadas
0
1
2
3
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Derivadas
Os valores máximos e mı́nimos locais de uma função f são
chamados extremos locais.
A derivada f ′ (x) pode mudar de sinal somente nos valores de x
onde f ′ (x) = 0 ou f ′ (x) não está definida.
Ponto crı́tico
Um valor crı́tico de uma função f é um número c no domı́nio de f
onde f ′ (c) = 0 ou f ′ (c) não existe. O ponto correspondente ao
valor crı́tico c designa-se por ponto crı́tico.
Se f tiver um máximo ou um mı́nimo local em c então f ′ (c) = 0
ou f ′ (c) não está definida, isto é, c é um valor crı́tico.
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Derivadas
Exemplo
Esta função tem dois máximos locais, um em x = a e outro em
x = c. Em x = a a derivada é zero e em x = c a derivada não
existe. Esta função tem um mı́nimo local em x = b e f ′ (b) = 0.
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Derivadas
Como determinar máximos e mı́nimos locais de uma função f
1
Calcular f ′ (x).
2
Determinar os valores crı́ticos de f , isto é, determinar os x
tais que f ′ (x) = 0 ou f ′ (x) não existe.
3
Calcular f ′ (x) em alguns valores de x à esquerda e à direita
de cada valor crı́tico (fazendo um quadro de sinais).
(a) se f ′ (x) > 0 à esquerda e f ′ (x) < 0 à direita do valor
crı́tico, então f tem um máximo local nesse valor crı́tico.
(b) se f ′ (x) < 0 à esquerda e f ′ (x) > 0 à direita do valor
crı́tico, então f tem um mı́nimo local nesse valor crı́tico.
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Derivadas
Exemplo
Determinar os máximos e mı́nimos locais de
f (x) = 13 x3 − x2 − 3x + 2.
f ′ (x) = x2 − 2x − 3
1
Calculemos f ′ (x).
2
Determinemos os valores crı́ticos de f . Como f ′ (x) existe
para todo o x em R, basta determinar os x tais que f ′ (x) = 0.
2±4
f ′ (x) = 0
x=
2
−2
6
2
x − 2x − 3 = 0
x=
∨x=
2
2
√
2 ± 4 + 12
x = −1 ∨ x = 3
x=
√2
2 ± 16
x=
2
Os valores crı́ticos de f são x = −1 e x = 3.
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Exemplo (cont.)
3
Calculemos f ′ (x) em alguns valores de x à esquerda e à
direita de cada valor crı́tico (fazendo um quadro de sinais).
f ′ (−2) = 5 > 0
f′
f
f ′ (0) = −3 < 0
f ′ (4) = 5 > 0
−1
3
+
0
−
0 +
ր Máx ց min ր
Como f ′ (x) > 0 à esquerda e f ′ (x) < 0 à direita do valor
crı́tico x = −1, então f tem um máximo local em x = −1.
Como f ′ (x) < 0 à esquerda e f ′ (x) > 0 à direita do valor
crı́tico x = 3, então f tem um mı́nimo local em x = 3.
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Exemplo (cont.)
Pela análise gráfica podemos confirmar a localização do máximo e
do mı́nimo.
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Derivadas
Se a primeira derivada de f for zero no valor crı́tico c mas não
mudar de positiva para negativa ou de negativa para positiva
conforme x passa por c, então f não tem nem máximo nem
mı́nimo local em c.
Exemplo
Os valores crı́ticos da função f (x) = 14 x4 − 23 x3 − 2x2 + 8x + 4
são x = −2 e x = 2. A função f tem mı́nimo local em x = −2 e
não tem nem máximo nem mı́nimo em x = 2.
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Derivadas
Aplicação: Rectângulo de área máxima
Suponhamos o seguinte problema.
Pretende-se determinar as medidas dos lados de um rectângulo, de
perı́metro igual a 100 metros, de modo ao rectângulo ter área
máxima.
Designemos os comprimentos dos lados do rectângulo por x e y
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A área é dada por A = xy e o perı́metro por P = 2x + 2y
Observemos que podemos ter rectângulos distintos com o mesmo
perı́metro e áreas distintas. Por exemplo:
para x = 10 e y = 40 vem P = 100 e A = 400
para x = 20 e y = 30 vem P = 100 e A = 600
O que se pretende aqui, é determinar os valores de x e de y para se
ter P = 100 e obter o valor máximo para A.
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Derivadas
Vamos escrever a função área como uma função de uma só
variável.
Como o perı́metro é 100 metros, temos
2x + 2y = 100
x + y = 50
y = 50 − x
Substituindo y por 50 − x em A = xy obtemos
A = x(50 − x)
que é uma função na (única) variável x.
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Determinemos o(s) máximo(s) da função área
A(x) = x(50 − x) = −x2 + 50x
Comecemos por determinar a sua derivada.
A′ (x) = −2x + 50
Determinemos os valores crı́ticos de A. Como A′ (x) existe para
todo o x em R, basta determinar os x tais que A′ (x) = 0.
A′ (x) = 0 ⇔ −2x + 50 = 0 ⇔ x = 25
O (único) valor crı́tico de A é x = 25.
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Calculemos A′ (x) em valores de x à esquerda e à direita de x = 25
(fazendo um quadro de sinais).
A′ (24) = 2 > 0
A′
A
A′ (26) = −2 < 0
25
+
0
−
ր Máx ց
Como A′ (x) > 0 à esquerda e A′ (x) < 0 à direita do valor crı́tico
x = 25, então A tem um máximo local em x = 25.
Uma vez que y = 50 − x, vem y = 50 − 25 = 25.
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Concluı́mos que os quatro lados têm o mesmo comprimento e a
área máxima é atingida se o rectângulo for um quadrado.
O valor máximo da área rectangular que é possı́vel conter dentro
do perı́metro 100 metros será
A = 25 × 25 = 625m2
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Aplicação: Rectângulo de perı́metro mı́nimo
Suponhamos agora o seguinte problema.
Pretende-se determinar as medidas dos lados de um rectângulo, de
área igual a 100 m2 , de modo ao rectângulo ter perı́metro mı́nimo.
Designemos os comprimentos dos lados do rectângulo por x e y
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A área é dada por A = xy e o perı́metro por P = 2x + 2y
Observemos que podemos ter rectângulos distintos com a mesma
área e perı́metros distintos. Por exemplo:
para x = 2 e y = 50 vem A = 100 e P = 104
para x = 5 e y = 20 vem A = 100 e P = 50
O que se pretende aqui, é determinar os valores de x e de y para se
ter A = 100 e obter o valor mı́nimo para P .
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Vamos escrever a função perı́metro como uma função de uma só
variável.
Como a área é 100 metros, temos
xy = 100
y=
100
x
(É claro que x 6= 0, caso contrário a área seria nula. É também
óbvio que 0 < x ≤ 100 e 0 < y ≤ 100)
Substituindo y por
100
x
em P = 2x + 2y obtemos
P = 2x + 2.
100
200
= 2x +
x
x
que é uma função na (única) variável x.
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Determinemos o(s) mı́nimo(s) da função perı́metro
200
x
Comecemos por determinar a sua derivada.
P (x) = 2x +
P ′ (x) = (2x+200x−1 )′ = 2+200(−1)x(−1−1) = 2−200x−2 = 2−
200
x2
Determinemos os valores crı́ticos de P . Como P ′ (x) existe para
todo o x em causa (0 < x ≤ 100), basta determinar os x tais que
P ′ (x) = 0.
P ′ (x) = 0 ⇔ 2 −
200
2x2 − 200
=0⇔
=0
2
x
x2
Assim 2x2 − 200 = 0, logo x2 = 100, e portanto x = ∓10. Mas
x = −10 não faz sentido (uma vez que x representa um
comprimento). Assim, o único candidato a valor mı́nimo de P , que
nos interessa, é x = 10.
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Calculemos P ′ (x) em valores de x à esquerda e à direita de x = 10
(fazendo um quadro de sinais).
P ′ (9) = −
38
<0
81
P′
P
P ′ (11) =
42
>0
121
10
− 0 +
ց mı́n ր
Como P ′ (x) < 0 à esquerda e P ′ (x) > 0 à direita do valor crı́tico
x = 10, então P tem um mı́nimo local em x = 10.
Uma vez que y =
100
x ,
vem y =
Derivadas
100
10
= 10.
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Concluı́mos que os quatro lados têm o mesmo comprimento e o
perı́metro mı́nimo é atingido se o rectângulo for um quadrado.
O valor mı́nimo do perı́metro rectangular que é possı́vel delimitar
uma área de 100 metros quadrados será
P = 2 × 10 + 2 × 10 = 40m
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Exercı́cio
A receita semanal de um filme lançado recentemente é dada por
R(t) =
50t
,
t2 + 36
t≥0
onde R está em milhões de euros e t em semanas.
1
Determine os extremos locais.
2
Durante quantas semanas a receita semanal aumentará?
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