]
MENSAGEM FINAL
Conta-se que no século passado, um turista americano
foi à cidade do Cairo, no Egito.
Seu objetivo era visitar um famoso rabino. Lá chegando,
o turista ficou surpreso ao ver que o rabino morava num
quarto simples, cheio de livros. As únicas peças de mobília
eram uma mesa e um banco.
Onde estão os seus móveis? Perguntou o turista.
E o rabino bem depressa, perguntou também:
E onde estão os seus?
Os meus? Perguntou o turista.
Mas eu estou aqui
só de passagem !
Eu também! Disse o rabino.
A vida na Terra é
somente uma passagem. No entanto, vivemos como se
fôssemos ficar aqui eternamente ! ! !
2
95
]
 DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO
96. Obtenha o domínio mais amplo de f(x) =
(x 2 1)( x 2 x
1).
MENSAGEM INICIAL
AVANCE UM QUILÔMETRO A MAIS
( Richard Carlson )
97. Dê o domínio mais amplo da função cuja lei de formação é:
a) f(x) =
Todos nós já ouvimos dizer muitas vezes "Vai fundo". "Faça o máximo." " Aposte tudo".
1
" Avance um quilômetro a mais". Mas, como nem sempre temos certeza de quanto os nossos
1 x2
esforços vão "valer a pena", às vezes adotamos a atitude de dizer "Para quê" ?
Descobri que é extremamente útil lembrar o seguinte: apesar de nem sempre saber o
que vou ganhar, se é que vou ganhar alguma coisa em um projeto qualquer, estou certo de que
quando me esforço ao máximo no que quer que seja, muitas vezes as recompensas surgem de
fontes inesperadas.
98. Determine o domínio da função f definida por:
Recebi uma história no meu correio eletrônico de uma pessoa anônima que demonstrou
b) f(x) =
x
x
2
2
isso muito bem.
3x
Um carpinteiro estava prestes a se aposentar. Contou para seu patrão que planejava deixar o
negócio de construção para viver tranqüilo com sua mulher e aproveitar sua numerosa família. O
salário ia fazer falta, mas precisava se aposentar. Dariam um jeito.
99. Qual o domínio de f(x) =
x2 x
O patrão lastimou a saída do bom profissional e perguntou se ele podia construir apenas
1
x2
mais uma casa como um favor pessoal para ele. O carpinteiro concordou, mas logo demonstrou
9
claramente que não estava se dedicando ao trabalho com o mesmo afinco de antes. O trabalho
não era bem feito e ele usava materiais de qualidade inferior. Foi uma forma infeliz de terminar
sua ótima carreira.
Quando o carpinteiro terminou a obra, o empregador foi inspecionar a casa. Ele
100. Para que valores de x existe f(x) =
x 1
x
2
4
x
?
x
entregou a chave da porta da frente para o carpinteiro.
Essa casa é sua - disse ele.
O meu presente para você. Foi um choque para o
carpinteiro. Que pena ! Se soubesse que estava construindo a própria casa, teria feito
tudo diferente. O mesmo acontece conosco. Construímos nossas vidas, um dia de cada vez, em
geral sem fazer o melhor possível na obra. Então ficamos chocados quando descobrimos que
temos de morar na casa que construímos. Se pudéssemos fazer tudo de novo, seria diferente. Mas
não podemos voltar atrás.
94
3
]
Você é o carpinteiro. Cada dia você martela um prego, prende uma tábua, ou levanta
uma parede. As suas atitudes e as escolhas que você faz hoje constroem a "casa" na qual vai
morar amanhã.
 INEQUAÇÃO QUOCIENTE
Dadas as funções f(x) e g(x), chamamos de inequação quociente toda inequação que pode
assumir uma das seguintes formas:
Eu não saberia explicar isso melhor, por isso quis contar essa história para você.
Sendo um adolescente, você possui controle absoluto sobre o processo da construção da
f(x)
g(x)
sua casa futura. Tem toda a vida pela frente. Se avançar um quilômetro a mais, se apostar tudo,
f(x)
g(x)
0
f(x)
g( x)
0
0
f(x)
g(x)
0
se viver com integridade, bondade, honestidade e consideração pelos outros, então poderá
construir uma linda casa, da qual sentirá muito orgulho.
EXERCÍCIOS
94. Resolva as inequações:
a)
b)
2 x 2 3x
x
2
5x
2
6
0
(x 2 1)( 3x 2 x) 3
( x
1) 4
0
95. (UE-RJ) No sistema de coordenadas cartesianas abaixo, estão representadas as funções
f(x) = 4x – 4 e g(x) = 2x2 – 12x +10.
Com base nos dados ao lado, determine:
a)
b)
g(x)
f(x)
4
as coordenadas do ponto P.
o conjunto solução da inequação
0, f(x)
93
0.
]
 INEQUAÇÃO PRODUTO
Dadas as funções f(x) e g(x), chamamos de inequação produto toda inequação que pode
HISTÓRICO
assumir uma das seguintes formas:
DO PAPIRO ÀS FUNÇÕES DE 1º GRAU
f(x) . g(x) > 0
f(x) . g(x)
0
f(x) . g(x) < 0
EXERCÍCIOS
93. Resolva as inequações:
a) (x2 - 5x + 6) (x2 - 9)
b) (-x2 + 2x - 1) (x2 - 4x)
0
f(x) . g(x)
0
O surgimento do conceito de função de 1º grau está
diretamente ligado à evolução histórica dos processos de
solução, da formalização e da representação gráfica de equação
de 1º grau.
Os primeiros registros de resoluções de equações de 1º
grau são encontrados na civilização egípcia a constam do papiro
de Ahmés, de aproximadamente 2 000 a.C.
Também são dessa época processos de resolução de
equações e de sistemas de 1º grau, encontrados na civilização
babilônica.
Entre os gregos, que davam ao estudo das equações um
tratamento geométrico, destacam-se os trabalhos de Diofanto de
Alexandria (300 d.C). Ele formulou métodos de solução de
equações de 1º grau, com uma ou duas incógnitas, e de sistemas
de equações de 1º grau.
René Descartes (1596-1650)
Nos séculos VI e VII, entre os matemáticos hindus, encontram-se indicados de regras
para resolver problemas de 1º grau, especialmente nos trabalhos de Aryabhata e Brahmagupta.
Entre os séculos IX e XII, os matemáticos árabes deram um impulso decisivo na solução
de problemas algébricos. As técnicas algébricas desenvolvidas pelos árabes influenciaram
sobremaneira os matemáticos europeus da Idade Média. Entre estes destacou-se também
Fibonacci, que apresenta, em sua obra Liber Abacci, soluções para equações determinadas e
indeterminadas de 1º grau, entre outros trabalhos.
Após a sistematização da notação algébrica, encontramos na obra de René Descartes
(1596-1650) a representação gráfica da equação ax + by + c = 0 por intermédio de uma reta.
0
(Extraído do livro Matemática Conceitos e Fundamentos - Vol. 1 - Editora Scipione)
c) (x - 2)4 (-x2 + 3x)7 (x2 + 1)3 < 0
92
5
]
 INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS DO 2º GRAU
São inequações do tipo:
g(x) < f(x) < h(x)
g(x)
f(x)
Onde pelo menos uma dessas funções é do 2º grau.
EXERCÍCIOS
91. Quantos números inteiros satisfazem o sistema de inequações:
2x 1
3x
2
x2 6x
8
0
92. Resolva as inequações:
a) -1
x2 - 5x + 5 < 1
b) 2x2 - 12x + 16
6
x2 - 5x + 6 < 2
91
h(x)
]
EXERCÍCIOS
87. Resolva as inequações:
a) 2x2 - 5x +2 > 0
b) x2 - 2x
c) -x2 + x - 1
d) x2 - 7x + 12 < 0
0
0
88. Determine m de modo que x2 + mx + 1 = 0 tenha raízes reais.
89. Determine K de modo que x2 + kx + k = 0 tenha raízes reais distintas.
90. Determine p de modo que x2 - px + 4 = 0 não tenha raízes reais.
90
7
]
86. Um sitiante quer construir um galinheiro de forma retangular e para isto aproveita uma
parede já construída. Sabendo que ele dispõe de um rolo de tela de 25 m de comprimento,
quais devem ser as medidas do galinheiro para que sua área seja máxima?
11. INEQUAÇÃO SIMPLES DO 2º GRAU
Dada f(x) = ax2 + bx + c, a
f(x) > 0
0, toda inequação que adquire uma das formas:
f(x) < 0
f(x)
É chamada inequação do 2º grau.
8
89
0
f(x)
0
]
85. Em um pomar em que existem 30 laranjeiras produzindo, cada uma 600 laranjas por ano
foram plantadas n novas laranjeiras. Depois de um certo tempo constatou-se que, devido à
competição por nutrientes do solo, cada laranjeira (tanto nova como velha) estava
produzindo 10 laranjas a menos, por ano, por cada nova laranjeira plantada no pomar. Se f(n)
é a produção anual do pomar, assinale na coluna I as afirmações verdadeiras e na coluna II as
falsas.
I
0
1
2
3
II
0
1
2
3
4
4
A função f é dada por f(n) = -10n2 + 300n - 1800.
Se forem plantadas apenas 15 novas laranjeiras a produção do pomar será máxima.
A produção máxima de laranjas é de 20150 unidades.
Entre a primeira e a sexta, a cada nova laranjeira plantada pode-se prever um
aumento na produção.
Se forem plantados 60 novos pés de laranja a escassez de nutrientes fará com que a
produção se anule.
ÍNDICE
Página
01 - Função constante
11
02 - Função polinomial do 1º grau
16
Gráfico
Comportamento
Sinal
03 - Funções lineares
35
Função identidade
Função simétrico
04 - Inequações do 1º grau
40
Sistemas de inequações
Inequações simultâneas
Inequações produto e quociente
05 - Função racional
88
50
9
]
83. O quadrado externo tem lados 4,2 cm. Em cantos opostos, temos dois quadrados com lados
de x cm. Para que valor de x a área assinalada é máxima?
84. Um quadrado tem lados de 4 cm. Nele, será desenhado um triângulo, de acordo com a figura
(as medidas estão em cm).
a) Calcule x para que a área do triângulo assinalada seja máxima.
b) Qual é essa área máxima?
10
87
]
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
81. Uma artista está planejando vender gravuras assinadas de seu mais recente trabalho. Se 50
gravuras forem oferecidas para venda, ela pode cobrar R$ 400,00 cada. Entretanto, se ela
fizer mais de 50 cópias, ela tem que abaixar o preço em R$ 5,00 por cada cópia acima de 50.
Quantas cópias a mais do que 50 deve colocar à venda para que o seu faturamento seja
máximo ?
01. FUNÇÃO CONSTANTE
É toda função do tipo f(x) = K, que associa a qualquer número real x um mesmo número
real K.
Em símbolos:
f:R
x
R
f(x) = K
K R
ESQUEMA E REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
82. No planejamento de um café, estima-se que, se houver 12 mesas, o lucro diário será de R$
10,00 por mesa. Devido ao excesso de fregueses, para cada mesa adicional, o lucro por
unidade (para cada mesa no café) será reduzido em R$ 0,50. Calcule o lucro total diário
máximo que pode ser obtido acrescentando-se mesas.
Quando o domínio for o conjunto dos reais a representação gráfica será sempre uma reta
paralela ao eixo das abcissas, passando por (0;k).
Nota:
O domínio da função f(x) = k é D f = R.
O conjunto imagem da função constante é Imf = {k}
Exemplos:
Construir o gráfico de f(x) =
86
1 se x 0
1 se x 0
11
]
Solução:
79. Sabe-se que o lucro de uma empresa é dado pela fórmula L = R - C onde L é o lucro total, R é
a receita total e C é o custo da produção. Numa empresa que produziu x unidades, verificouse que R(x) = 6000x - x2 e C(x) = x2 - 2000x. Nessas condições, qual deve ser a produção x para
que o lucro da empresa seja máximo?
Esquema e representação gráfica:
Df = IR
Imf = { -1, 1}
EXERCÍCIOS
80. Um menino está à distância de 6m de um muro de altura 3m e chuta uma bola que vai bater
exatamente sobre o muro se a função da trajetória da bola em relação ao sistema de
coordenadas indicado pela figura y = ax 2 + (1 - 4a) x,determine a altura máxima atingida pela
bola.
01. Esboce o gráfico e analise as funções a seguir:
a) f(x) = 2
12
85
]
10. PROBLEMAS DE MÁXIMO E MÍNIMO DO SEGUNDO GRAU
b) f(x) = -3
EXERCÍCIOS
75. O lucro de um empresa é dado por L(x) = -10x2 + 120x - 200, onde x é a quantidade vendida.
Para que valor de x obtém lucro máximo?
c) f(x) =
3
2
Nas questões 76 e 77 o enunciado é o seguinte:
Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento,
seja h = -t2 + 4t + 6. Pede-se:
76. Em que instante a bola atinge a sua altura máxima?
d) g(x) = 77. Qual é a altura máxima atingida pela bola?
3
2
78. Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de um produto é dado por C = x2 - 80x + 3000.
Nestas condições, calcule o valor mínimo do custo.
e) f(x) = 0
84
13
]
02. Construir o gráfico e analisar as funções f : A
a) f(x) = -
3
, em que A = {x
5
b) f(x) =
7 , em que A = {x
IR
x
-1
IR definidas abaixo:
b)
-2};
x < 4} :
c)
d)
c) f(x) = - , em que A = {x
IR
-
3
4
x
3
}:
4
14
83
]
09. FATORAÇÃO DO TRINÔMIO DO 2º GRAU
Se
e
03. Construa, num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o gráfico das seguintes
funções:
são raízes de uma Função Quadrática de coeficiente dominante a, então:
a) f(x) =
2 se x 1
3 se x 1
b) f(x) =
1, se x
0, se x
f(x) = a (x - ) (x - )
Pois:
Sabemos que:
f(x) = a (x2 - x - x +
)
f(x) = a[x2 - ( + ) x +
]
= b e
+
f(x) = a x 2 b x
a
a
= c
a
c
a
Logo:
f(x)
2
(x
(x-
) ax
bxc
a
-
)



FORMA FATORADA
FORMA POLINOMIAL
0
0
EXERCÍCIOS
74. Dados os gráficos de funções polinomiais do 2º grau, obtenha as suas Leis de Formação:
a)
1, se 0 x 1
c) f(x) = 2, se 1 x 2
3, se 2 x 3
82
15
]
66. Determine o valor de m, de modo que na equação x2 - 15x + m = 0 uma das raízes seja o
dobro da outra.
0, se 0 x 1
d) f(x) =
1, par a x 1
67. Determine o valor de m, de modo que na equação 10x 2 - 19x + m = 0 o produto das raízes
3
seja igual a .
5
68. Determine o valor de m, de modo que na equação 64x 2 - 160x + m = 0 uma das raízes seja o
triplo da outra.
69. Determine o valor de m, de modo que na equação 6x2 -2x + 2m + 1 = 0 o produto das raízes
1
seja igual a .
2
70.Determine o valor de m, de modo que na equação mx 2 + (m - 1) . x - (8m + 1) = 0, sendo m
0, as raízes sejam números opostos.
02. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
71. Determine o valor de m, de modo que na equação 2mx 2 - (4m - 1) . x + 12m = 0, sendo m
a soma das raízes seja igual a 1.
 FUNÇÃO DO 1º GRAU OU AFIM
0,
Função do 1º grau é toda função que associa a cada número real x o número real ax + b,
a
0.
72.Determine o valor de m, de modo que na equação x2 - mx+3 = 0 uma das raízes seja igual a 1.
Em símbolo:
f:R
x
R
f(x) = ax + b, a
aeb R
0
a e b são números reais chamados, respectivamente, de
coeficiente angular e coeficiente linear.
16
73. Calcule o valor de “c” na equação x 2 - 13x + c = 0, para que a soma dos quadrados das raízes
seja 89.
81
]
CONSEQÜÊNCIAS DAS RELAÇÕES DE GIRARD
GRÁFICO NO SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
A equação do segundo grau pode ser expressa sob a forma
x2 - Sx + P = O
O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta não paralela a nenhum dos eixos do
sistema cartesiano.
(. 1)
Exemplos:
Façamos o gráfico de f: R
Dada a equação do 2° grau na forma geral
A tabela mostra-nos alguns pontos do gráfico, que é uma reta. Basta marcar esses pontos e
traçar a reta que passa por eles.
ax2 + bx + c = O
Dividindo ambos os membros pelo coeficiente dominante (a
x2 +
b
x
a
c
a
O
como:
R definida por f(x) = 2x + 1.
x’ + x” = -
b
a
0):
S E x’ +x” =
c
a
P
Então teremos:
x
0
1
2
-1
y = 2x + 1
y= 2.0 + 1 = 1
y = 2.1 + 1 = 3
y = 2.2+ 1 = 5
y = 2.3 + 1 = 7
ponto
(0,1)
(1,3)
(2,5)
(-1,-1)
1 x2 - Sx + P = O
Eis o gráfico de f(x) = -x + 2
PRODUTO DAS RAÍZES
SOMA DAS RAÍZES
x y = -x + 2
0SOMAy DAS
= -0 RAÍZES
+2=2
1
y = -1 + 2 = 1
ponto
(0,2)
(1,1)
EXERCÍCIOS
64. Forme uma equação do 2° grau cujas raízes são:
1
a) x1 =
3
1
b) x1 = 4 3 e x2 =
2
e x2 = 3
Observe que:
O gráfico da função afim, f: R
R, f(x) = ax + b, com a 0 é uma reta.
D = R e Im = R
Intersecção com o eixo 0y. Fazendo x = 0, temos f(0) = a.0 + b
f(0) = b.
A intersecção com o eixo 0y é o par ordenado (0; b).
65. Calcule “n” de modo que soma das raízes da equação x2 - (2n - 1) x + n2 - n - 12 = 0 seja 9.
80
17
]
08. RELAÇÕES DE GIRARD PARA EQUAÇÕES DO 2° GRAU
Intersecção com o eixo 0x.
Fazendo y = 0, temos 0 = ax + b
b
x=a
b
; 0)
a
O valor de x para o qual a função f(x) = ax + b se anula, ou seja, f(x) = 0, denomina-se zero
da função.
O zero da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b é a abcissa do ponto de intersecção do
gráfico da função com o eixo x.
A intersecção com o eixo 0x é o par ordenado (-
São relações estabelecidas entre coeficientes e raízes da equação.
Dada uma equação do 2º grau indicada por ax2 + bx + c = 0 cujas raízes são representadas
por x’ e x”, temos:
Soma das raízes
b
S = x’+ x” =
a
b
e
a
Veja a demonstração de que S =
b
Lembramos que x’ =
Produto das raízes
c
P = x’. x” =
a
e x” =
2a
P=
c
:
a
b
2a
 VARIAÇÃO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
Soma das raízes
Chamamos de coeficiente angular da reta r o número real a, tal que
S=
S=
a = tg
2
b
2a
+
b
2b
2a
b
S=a
b
2a
Produto das raízes
é orientado no sentido anti-horário e obtido a partir do semi-eixo positivo Ox,
P=
b2
4a 2
b2 b2 4ac
c
P=
a
0<
<
18
.
P=
P=
Desse modo, temos sempre:
2a
b
2a
S=
O ângulo
até a reta r.
b
P=
79
4a 2
b
2a
]
62. O gráfico de f(x) = -x2 + x é:
Exemplo 1
a)
c)
Exemplo 2
b)
d)
e)
Assim:
Para 0 <
Para
2
<
<
2
, m é positivo (a tangente é positiva no 1º quadrante)
< , m é negativo (a tangente é negativa no 2º quadrante)
63. O gráfico de f(x)= x2 - 5x - 6 é:
Dos exemplos dados, podemos concluir que:
a)
c)
b)
d)
a>0
a<0
e)
x1 < x2
f(x1) < f(x2)
x1 < x2
f(x) é crescente
78
f(x1) > f(x2)
f(x) é decrescente
19
]
 ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
61. Esboce os gráficos e dê o conjunto imagem das funções:
Estudar os sinais de uma função y = f(x) significa estabelecer, para cada x
das sentenças é verdadeira:
D(f),qual
a) f:
f(x)=x²
b) f:
f(x)=x²
c) f:
f(x)=x²
d) f:[-1;1]
f(x)=x²
e) f: [-1;2[
f(x)=x²
f) f:[1;2]
f(x)=x²
y > 0, y = 0 ou y < 0
Para a função afim f(x) = ax + b temos dois casos a considerar.
Caso a > 0
Seja f(x) = ax + b, a
Caso a < 0
0.
Observe que:
a>0
a<0
Podemos, portanto, resumir a distribuição dos sinais de f das seguinte forma:
20
77
[1;4]
]
EXERCÍCIOS
b) f(x - 2) = x2 + 2x
04. Esboce o gráfico das funções dadas pelas leis de formação abaixo:
a) f(x) =
c) f(x) = x2 - 8x
3 -
x
2
b) y = (x + 3)2 - (x - 2)2
c) fog se f(x) = 3x + 1 e g(x) = -2x +5
d) f(x) = -x2 + 9
76
21
]
d) f(x + 1) = - 3x + 2
p)
x2 1
e) h(x) =
x 1
f) f(x) =
q)
r)
s)
t)
u)
2x 4
x 2
60. Esboce o gráfico e analise as funções abaixo:
a) f(x) = x2 - 4x + 3
22
75
]
g)
h)
i)
j)
l)
m)
05. Para cada gráfico abaixo, dar o sinal de a e b, sendo f(x) = ax + b.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
06. Determine para quais valores de p as funções reais abaixo serão decrescentes:
a) f(x) = (p - 1) x + 9
n)
o)
b) y =(6 + p) x + 3
74
23
]
07. Determine para quais valores de p as funções reais abaixo serão crescentes:
a) y = (5 - 3p) x - 1
59. Dados os gráficos de funções quadráticas e seguir avalie os sinais de “a”, “b”, “c” e “ “
(discriminante). Sendo as mesmas do tipo y = ax 2 + bx + c.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
b) f(x) = -2x + p
c) f(x) = p + 3x
08. Determine a lei da função em cada um dos gráficos, e em seguida analise-as.
a)
24
73
]
EXERCÍCIOS
54. Determine o conjunto imagem das funções reais:
a) y = -2x2 + 5x – 4
b)
b) f(x) = x2 – 2x + 1
55. Determine o valor máximo ou mínimo de cada um das funções em IR:
a) f(x) = -3x2 + x + 2
b) f(x) = x2 - 2x + 4
c)
56. Para que valores de x
IR, f(x) = -x2 – 4x – 12 é crescente ?
57. Determine o intervalo de domínio no qual a função f(x) = 2x 2 + 8x – 9 é decrescente.
09. É dado o gráfico da função horária de um ponto material em movimento retilíneo uniforme,
que se move ao longo de uma trajetória:
Pede-se:
a) a função horária deste movimento.
b) o instante (em horas), em que o ponto material
passa pela origem.
58. (MACK-SP) O vértice da parábola y = x2 + kx + m é o ponto V(-1, -4). O valor de k+m é:
a)
b)
c)
d)
e)
-2
-1
0
1
2
72
25
]
10. Determine a lei de formação das funções cujos gráficos são dados abaixo:
 ORDENADA DO VÉRTICE: IMAGEM DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
a)
A imagem da função quadrática é obtida projetando ortogonalmente os pontos da
parábola no eixo y. Desse modo, a ordenada yv, do vértice sempre será um dos extremos do
intervalo do conjunto imagem.
É o intervalo real que tem como um dos extremos o valor máximo ou mínimo.
 Se a > 0, então Im =
b)
Im (f)
y
26
-
-
4a
4a
y IR y
-
4a
 Se a < 0, então Im =
,
Im (f)
é o valor mínimo da função
y
71
-
-
4a
, -
y IR y
-
4a
4a
é o valor máximo da função
]
 Se a > 0
A função é crescente para qualquer x > xv
A função é decrescente para qualquer x < xv
d)
e)
 Se a < 0
 A função é crescente para qualquer x < xv
 A função é decrescente para qualquer x < xv
f)
70
27
]
11. Um caminhão (C) e um automóvel (A) movimentam-se segundo as seguintes funções horárias:
SC = 20 + 5t e SA = 15t . Determine o instante (em horas) e a posição (em quilômetros) em
que os veículos se encontram.
Para o cálculo de yv devemos substituir este valor de x na função y = ax2 + bx + c.
yv = a .
b
2a
b2
4a
b2
2a
yv =
Como
2
+b
c
b
2a
yv =
2
+c
yv =
ab2
4a
2
b2 2b2 4ac
4a
= b2 - 4ac; então:
b2
2a
yv =
yv =
c
b2 4ac
4a
yv =
(b2 4ac)
4a
4a
Logo:
O vértice da parábola é o ponto V
b
;
2a
4a
abscissa do vértice
ordenada do vértice
12. A reta do gráfico abaixo indica a quantidade de soro (em ml) que uma pessoa deve tomar, em
função de seu peso (dado em kgf), num tratamento de imunização. A quantidade total de soro
a ser tomada será dividida em dez injeções idênticas. Quantos ml de soro receberá em cada
aplicação um indivíduo de 80 kgf?
07. APLICAÇÕES DAS COORDENADAS DO VÉRTICE
 ABSCISSA DO VÉRTICE: CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DA
FUNÇÃO
O ponto-limite entre o crescimento e o decrescimento de uma função é obtida projetando
ortogonalmente o vértice sobre o eixo das abcissas.
28
69
]
53. A parábola no gráfico ao lado é dada pela função f(x) = x 2 – 4x + 3. A reta e a parábola
cruzam os eixos cartesianos nos mesmos pontos, conforme mostra o gráfico. Qual é a lei de
formação da função do 1° grau cuja representação analítica
é a reta dada no gráfico ?
13. A figura 1 mostra uma mola de 5 cm. Ao dependurarmos em sua extremidade um bloco de
massa M, o comprimento  da mola aumenta (figura 2) linearmente em função da massa. A
tabela a seguir mostra os valores de  para alguns valores de M.
M (gramas)
 (cm)
0
5
100
8
200
11
300
14
400
17
Com base nos dados da tabela:
a) Determine a função que fornece  em função de M.
b) Calcule o comprimento da mola para M = 250g
06. COORDENADAS DO VÉRTICE DA PARÁBOLA
O vértice da parábola é um ponto do plano cartesiano dado pelas coordenadas xv e yv do
ponto V:
b
;
2a
O vértice da parábola é o ponto V
4a
abscissa do vértice
xv =
b
2a
14. Em 1998, um paciente pagou R$ 300,00 por dia pelo uso de um quarto semi-privativo de
hospital e R$ 1.500,00 por uma operação de apêndice. Expresse o total pago pela cirurgia
como função do número de dias em que o paciente ficou internado.
ordenada do vértice
yv =
4a
No gráfico, notamos que o vértice da parábola é um ponto localizado sobre o eixo de
simetria; logo:
xv =
x"
x'
2
b
a
2
b
2a
xv =
b
2a
A abscissa do vértice (xv) é a média aritmética das raízes.
68
29
]
15. Entre as escalas usadas para a graduação de um termômetro, as mais usadas são: a escala
Fahrenheit, usada principalmente nos países de língua inglesa (Estados Unidos e Inglaterra), e
a escala Celsius, usada no restante do mundo.
Para graduar um termômetro na escala Celsius, escolhem-se duas temperaturas
determinadas: a da fusão do gelo, à qual se atribui o valor zero, e a da ebulição da água, à
qual se atribui o valor 100. Dividindo-se o intervalo entre os dois pontos fixos (0 e 100) em
100 partes iguais, obtém-se o termômetro graduado na escala Celsius ou centesimal.
Na escala Fahrenheit, divide-se o intervalo entre os pontos fixos em 180 partes iguais.
Atribui-se ao nível inferior o valor 32 e, ao superior, o valor 212; então, o zero dessa escala
está 32 graus Fahrenheit abaixo da temperatura de fusão do gelo.
Observando a figura ao lado, pode-se estabelecer entre as duas escalas uma função
polinomial do primeiro grau para se obter a temperatura, em Fahrenheit conhecida a
temperatura em Celsius. Obter a lei de formação da função.
05. INTERCEPTO DA PARÁBOLA COM O EIXO DAS ORDENADAS
Toda parábola que é gráfico de uma função polinomial do 2° grau intercepta o eixo das
ordenadas em um único ponto.
Observe que:
 Fazendo x = 0 em y = (x) = ax2 + bx + c, temos: y = (0) = c
Isso significa que a parábola intercepta o eixo Oy no ponto cuja ordenada é igual ao
termo independente c do trinômio.
EXERCÍCIOS
52. Calcule o valor de m na função f(x) = 4x 2 – 2x + (3m + 6) para que uma das raízes da função
seja zero.
30
67
]
EXERCÍCIOS
47. Estude o sinal da função dada por f(x) = x 2 – 4x – 5.
16. Determine o valor de p de modo que o gráfico da função f(x) = 3x + p - 2 intercepte o eixo y
no ponto de ordenada 4.
48. Para quais elementos de domínio a função g dada pela lei g(x) = -x2 + 4x – 4 é positiva?
17. Determine m de modo que o gráfico da função f(x) = -2x + 4m + 5 intercepte o eixo x no
ponto de abcissa 3.
49. Analise o sinal de f(x) = x2 + x + 3.
50. Determine os valores do parâmetro m que obrigam a função dada por f(x) = (m – 1) x2 – 6x – 2
a ser uma função estritamente negativa.
18. (FGV-SP) Numa determinada localidade, o preço da energia elétrica consumida é a soma das
seguintes parcelas:
a) parcela fixa de R$ 10,00;
b) parcela variável que depende do número de quilowatts-hora (kWh) consumidos; cada kWh
custa R$ 0,30.
Se, num determinado mês, um consumidor pagou R$ 31,00, então ele consumiu:
51. Ache os valores reais de p para os quais a função g(x) = (p – 1)x2 + (2p – 2)x + p + 1 é positiva
para qualquer valor de x.
66
a) 100,33 kWh
b) mais de 110 kWh
c) menos de 65 kWh
d) entre 65 e 80 kWh
e) entre 80 e 110 kWh
31
]
19. O gráfico mostra a temperatura de uma região do Rio Grande do Sul desde as 5h até as 11h.
2º) Se
a) Em que horário desse período a temperatura atingiu 0o C ?
= 0, a parábola intercepta o eixo x em único ponto.
A função é não-negativa.
A função é não-positiva.
b) Durante quanto tempo desse período a temperatura esteve negativa ?
c) Durante quanto tempo desse período a temperatura esteve positiva ?
3º) Se
< 0, a parábola não intercepta o eixo dos x, pois a função não possui zero real:
A função é estritamente positiva.
32
A função é estritamente negativa.
65
]
46. Quais os valores de k para os quais a função dada pela lei de formação f(x) = (k – 1)x2 – 2x + 4
admite raízes reais.
20. (FAAP-SP) "Admitindo que em uma determinada localidade uma empresa de táxi A cobra
R$ 2,00 a bandeirada e R$ 2,00 por quilômetro rodado e outra empresa B cobra R$ 3,00 por
quilômetro rodado e não cobra bandeirada."
Determine o número de quilômetros rodados para que o valor a ser pago seja o mesmo
independentemente de qual seja a empresa. Faça um gráfico ilustrando a situação.
04. ESTUDO DO SINAL (APLICAÇÃO DAS RAÍZES)
O discriminante (que posiciona a parábola em relação ao eixo das abcissas) e o
coeficiente dominante (que posiciona a concavidade) nos permite fazer a análise do sinal da
função quadrática:
Assim:
1º) Se
> 0, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.
A função é positiva extra-raízes e
negativa intra-raízes.
A função é positiva intra-raízes e
negativa extra-raízes.
64
33
]
21. O custo de transporte de uma certa carga por ferrovia é composto de uma quantia fixa de R$
10.000.00 mais R$ 500,00 por quilômetro rodado. A mesma carga, transportada por rodovia,
tem um custo fixo de R$ 6.000,00 mais R$ 600,00 por quilômetro rodado. Acima de m
quilômetros rodados o custo por ferrovia é inferior ao custo por rodovia. Podemos afirmar
que:
a) m = 5
b) m = 10
c) m = 20
d) m = 30
e) m = 40
Com relação ao sinal do discriminante teremos as seguintes conseqüências:
ALGÉBRICA
∆ > 0: A função possui duas
ANALÍTICA
A parábola é:
raízes reais desiguais
∆ = 0: A função possui duas
raízes reais e iguais.
∆ < 0: A função possui duas
raízes imaginárias
(não possui raízes
reais).
EXERCÍCIOS
43. Determine os valores de k para os quais a função dada pela lei de formação f(x) = x2 – 2x + k
possui raízes reais e diferentes.
Esboce o gráfico que ilustra a situação do problema.
44. Calcule os valores de m que obrigam a função dada pela lei de correspondência
f(x) = (m - 1)x2 – 2x + 1 a não possuir raízes reais.
45. Para quais valores de p a função dada por f(x) = 4x 2 – 4x – p tem por gráfico uma parábola
que tangencia o eixo das abcissas.
34
63
]
03. RAÍZES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
CASOS PARTICULARES
03. FUNÇÕES LINEARES
Toda função polinomial do segundo grau possui duas raízes.
Na função real f(x) = ax + b, com a
função f de R em R é linear quando, a cada x
Se a lei de formação é f(x) = ax2 + bx + c
f: R
Logo, fazendo:
x
ax2 + bx + c = 0
f(x) = 0
0, f(x) = ax é denominado função linear. Uma
R, associa o elemento ax, a 0:
R
f(x) = ax, a
0
Exemplos:
1
x
2
01) f(x) = 2x
03) f(x) =
02) f(x) = -3x
04) f(x) = -
Então: obter as raízes é resolver a equação:
ax2 + bx + c = 0
x
3
Se multiplicamos os dois membros por 4a, temos:
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0
Se somamos - 4ac aos dois membros, temos:
4a2x2 + 4abx = -4ac
Se somamos b2 aos dois membros, ficamos com:
Em toda Função Linear
4x2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac (trinômio quadrado perfeito)
TQP
f(kx) = k . f(x)
(2ax +b)2 = b2 - 4ac
2ax + b =
f(a + b) = f(a) + f(b)
b2 4ac
UMA RAIZ
Logo:
x=
b
b2
2a
4 ac
FÓRMULA DE BHÁSKARA
Fazendo
b
2
x1 =
4ac
DISCRIMINANTE
DA EQUAÇÃO
62
b
2a
OUTRA RAIZ
x2 =
Numa função f(x) = ax, D(f) = Im (f) = R.
b
2a
O gráfico da função linear f(x) = ax é uma reta que passa pela origem (0,0) do sistema
cartesiano.
35
]
39. Determine m para que a parábola que é gráfico da função quadrática f(x) = (2m–5)x2 + 6x + 3
tenha concavidade voltada para cima.
 FUNÇÃO IDENTIDADE
Na função f(x) = ax, se a = 1, f(x) = x é denominada função identidade. Uma função f de R
em R é identidade quando, a qualquer x R, associa o próprio x.
f: R
x
R
f(x) = x
40. Determine o valor de m para que o gráfico da função do 2° grau f(x) = (3m + 4)x2 + 3x tenha
concavidade voltada para baixo.
Numa função f(x) = x, D f(x) = Im (f) = R.
O gráfico da função identidade é a
reta suporte das bissetrizes do
1º e 3º quadrantes.
41. Para quais valores de k e m a função cuja lei de formação f(x) = (2k + 4)x2 + (m +3)x + 4 é
uma:
 FUNÇÃO SIMÉTRICO
Na função f(x) = ax, se a = -1, f(x) = -x denominada função simétrico.
Uma função f de R em R é simétrico quando, a qualquer x R, associa o simétrico x:
f: R
x
a) função quadrática
b) função afim
c) função constante
R
f(x) = -x
Numa função f(x) = -x, D (f) = Im (f) = R.
42. Para quais valores de p a função f, dada por f(x) = (4 + 2p)x2 + 9 possui ponto de máximo ?
O gráfico da função simétrico é a reta
suporte das bissetrizes do
2º e 4º quadrante.
36
61
]
02. POSICIONAMENTO RELATIVO DA CONCAVIDADE
EXERCÍCIOS
22. Esboce o gráfico e analise as funções abaixo:
a) f(x) =
3
x
2
b) f(x) =
3
x
Se o coeficiente de x2 (coeficiente dominante) for positivo (a > 0), a parábola tem
concavidade voltada para cima.
 Se o coeficiente de x2 (coeficiente dominante) for negativo (a < 0), a parábola tem a
concavidade voltada para baixo.

EXERCÍCIOS
38. Determine os valores de p para os quais a função f(x) = (4 – 8p)x2 + x – 7 é quadrática.
c) f(x) = 2x
60
37
]
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2° GRAU
d) f(x) = - 3x
01. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU (FUNÇÃO QUADRÁTICA)
Uma função de  em  é chamada quadrática ou polinomial do 2º grau se, amplamente
definida, definir-se como:
:
x

(x) = ax2 + bx + c , a
0
23. Um botânico mede o crescimento de uma planta, em cm, todos os dias. Ligando-se os pontos
colocados por ele no gráfico, resulta a figura abaixo:
O gráfico de uma função quadrática é sempre uma curva cônica denominada parábola, com
eixo de simetria paralelo ao eixo das ordenadas.
Se for mantida sempre esta relação
entre tempo e altura, determine a
altura que a planta terá no 30º dia.
Secção: PARÁBOLA
A intersecção do eixo de simetria com a parábola é um ponto chamado vértice.
38
59
]
24. (Vunesp-SP) O gráfico mostra o resultado de uma experiência relativa à absorção de potássio
pelo tecido da folha de um certo vegetal, em função do tempo e em condições diferentes de
luminosidade:
Nos dois casos, a função linear y = mx ajustou-se razoavelmente bem aos dados, daí a referência
a m como taxa de absorção (geralmente medida em micromols por unidade de peso por hora).
Com base no gráfico, se m1 é a taxa de absorção no claro e m2 a taxa de absorção no escuro, a
relação entre essas duas taxas é:
a) m1 = m2
b) m2 = 2 m1
c) m1m2 = 1
d) m1m2 = -1
e) m1 = 2m2
25. O gráfico abaixo é formado por dois segmentos de reta e relaciona o valor de uma conta de
água e o correspondente volume consumido.
a) Calcule qual será o valor da conta quando o
consumo for:
1) 20 m3
2) 70 m3
b) Calcule o volume consumido quando o valor
da conta for R$ 18,00.
58
39
]
26. (Uneb-BA) Uma torneira enche um reservatório de água com capacidade de 1500 litros.
Estando aberta a torneira, o volume da água do reservatório aumenta em função do tempo, de
acordo com o gráfico acima.
ÍNDICE
O tempo necessário para que o reservatório fique completamente cheio é igual a:
a) 2h30min
b) 3h
c) 3h30min
d) 4h
e) 4h30min
Página
04. INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
Chama-se inequação do 1º grau na variável x toda inequação se reduz a uma das formas:
ax + b
com a,b
IR e a
ax + b > 0
0
ax + b
0
ax + b < 0
0.
Resolve-se uma inequação do 1º grau aplicando-se as propriedades da desigualdade.
40
01 - Função polinomial do 2° grau
59
02 - Posicionamento relativo da concavidade
60
03 - Raízes da função quadrática
62
04 - Estudo do sinal
64
05 - Intercepto da parábola com o eixo das ordenadas
67
06 - Coordenadas do vértice
68
07 - Aplicações das coordenadas do vértice
69
08 - Relações de Girard
79
09 - Fatoração do trinômio do 2° grau
82
10 - Problemas de máximo e mínimo
84
11 - Inequação do 2° grau
88
57
]
EXERCÍCIOS
27. Resolva as inequações:
a) 4(x + 2)
2(x – 1) + 3(x + 1)
b) (3x – 2)2 + (x – 1)2 > (3x - 1)2 + (x + 2)2
c)
56
x
3
x -1
2
x
x-2
x -3
5
4
41
]
 SISTEMA DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
Duas ou mais inequações que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo formam o que
denominamos sistema inequações.
O conjunto solução de um sistema de inequação é determinado pela intersecção dos
conjuntos soluções de cada inequação do sistema.
EXERCÍCIOS
28. Resolva os sistema de inequações:
a)
b)
2x 1
3x
2
x 1 x
2
3
x
2
1
1
3x 1
2
5
2
0
2x 1
42
55
]
 INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
São inequações do tipo:
ou
g(x) < f(x) < h(x)
g(x)
EXERCÍCIOS
29. Resolva, em R, as seguintes inequações:
a) - 4 < 4 – 2x
b) x + 1
54
3
7 – 3x <
x
-1
2
43
f(x)
h (x)
]
INEQUAÇÃO PRODUTO E INEQUAÇÃO QUOCIENTE
d) f(x)
Há certas inequações dispostas em forma de produto ou em forma de quociente cuja
resolução é baseada no estudo da variação do sinal de uma função do 1º grau e nas regras dos
sinais do produto e do quociente de número reis.
4
x
 INEQUAÇÃO - PRODUTO
Para resolvermos uma inequação do tipo:
f(x) . g(x) > 0
f(x) . g(x) < 0
f(x) . g(x)
0
f(x). g(x)
0
Procedemos da seguinte forma:
-
determinamos os zeros de f e g;
estudamos os sinais de f e g;
efetuamos o produto dos sinais de f por g;
damos, como resposta, os valores de x que satisfazem o sinal de inequação.
Exemplo:
Resolver a inequação (2x -5) (10 - 3x)
0.
e) g(x)
Note que
Como queremos f(x) . g(x)
0, o conjunto-verdade é
x
IR |
5
2
x
5
2
10
3
2 2
x
10
3
.
EXERCÍCIOS
30. Resolva as inequações:
a) (x - 1) (x - 2) (x+4) > 0
44
53
]
EXERCÍCIOS
b) (2x - 1) (-3x + 2) (-x + 3) < 0
37. Esboce o gráfico e analise as funções e determine seus domínio e contra-domínio mais
amplos.
a) f(x)
2x 4
-x 3
c)
b) f(x)
3x 1
2x 4
31. Qual o domínio de f(x) =
c) f(x)
x(x
1)(x
2) ?
4x - 2
- 2x 1
52
45
]
32. Para que valores de x existe f(x) = 3 (x 1)(x
3) .
Exemplo 3:
FUNÇÃO RECÍPROCA
f : IR *
IR
1
f(x)
x
33. Resolva em IN a inequação (x + 2) (x- 3) < 0.
CASOS PARTICULARES
Inequação do tipo:
Exemplo 4:
(ax + b)n > 0
Com n
IN* e n
ocorrer dois casos.
(ax + b)n
0
(ax + b)n < 0
(ax + b)n
0
1, são resolvida examinando-se inicialmente o expoente n. Podem
1º) Se n é par, (ax + b)
n
2º) Se n é ímpar, (ax + b)n
é sempr e positivo , desde que ax
é nulo
quando ax b 0
é positivo par a ax
é negativo par a ax
é nulo par a ax
46
f : IR *
f(x)
b 0
b 0
b
0
b 0
51
IR *
-3
x
]
05. FUNÇÃO RACIONAL
EXERCÍCIOS
34. Resolver a inequação:
É toda função definida amplamente como:
f:-
ax
f(x) =
cx
a, b, c
a) (2x + 1)5 . (x - 3)8 > 0.
d
c

b
d
0 e d
a
c
com
b
d

 EXEMPLOS DE GRÁFICOS DAS FUNÇÕES RACIONAIS:
b) (x - 2)8 (3 - x)5 (4x + 1)7 > 0
Exemplo 1:
f : IR - {2}
f(x)
IR
3x 1
x -2
35. Determine o conjunto solução do sistema:
(x 1)6 (x
2(x
4)(x
2)7
3)
0
0
Exemplo 2:
f :R - 1
f( x)
50
R- -
3
2
3x - 1
- 2x 2
47
]
 INEQUAÇÕES - QUOCIENTE
c)
2x 3
x 2
1
d)
3x 1
x 1
2
Lembrando que a regra de sinais para o produto de dois números reais é a mesma que
para a divisão, que numa fração o denominador tem que ser diferente de zero, temos:
f(x)
f(x)
0
f(x).g(x) 0
0
f(x).g(x) 0 e g(x) 0
g(x)
g(x)
f(x)
g(x)
0
f(x).g(x)
f(x)
g(x)
0
0
f(x).g(x)
0 e g(x)
0
Portanto, em termos de resoluções quociente, a única diferença às do tipo produto e
que os zero das funções que estiverem no denominador devem ser sempre excluído da resposta.
EXERCÍCIOS
36. Resolva as inequações:
a)
b)
(x 1)(x 3)
x 5
1
x -1
0
2
3
x-2
x-3
e)
0
f)
48
(1 x)6 (x
(7 x
1
x-4
4
1) (2
3)5
4 x)3
0
2
x 3
49