PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
Michele Lana Mourão Fernandes
ESTUDO DE RAÍZES DE EQUAÇÕES NO 3º. ANO DO ENSINO MÉDIO COM
EXPLORAÇÃO DOS ENFOQUES ALGÉBRICO, GEOMÉTRICO E NUMÉRICO
APROXIMADO
Belo Horizonte
2012
Michele Lana Mourão Fernandes
ESTUDO DE RAÍZES DE EQUAÇÕES NO 3º. ANO DO ENSINO MÉDIO COM
EXPLORAÇÃO DOS ENFOQUES ALGÉBRICO, GEOMÉTRICO E NUMÉRICO
APROXIMADO
Dissertação
apresentada
ao
Programa
de
Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
da Pontifícia Universidade Católica de Minas
Gerais, como requisito parcial para a obtenção do
título de Mestre em Ensino de Ciências e
Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda
Belo Horizonte
2012
FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
F363e
Fernandes, Michele Lana Mourão
Estudo de raízes de equações no 3º. ano do ensino médio com exploração
dos enfoques algébrico, geométrico e numérico aproximado / Michele Lana
Mourão Fernandes. Belo Horizonte, 2012.
132f.: il.
Orientador: Dimas Felipe de Miranda
Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.
1. Raízes numéricas. 2. Equações algébricas. 3. Ensino médio. I. Miranda,
Dimas Felipe de. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa
de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.
CDU: 512
Michele Lana Mourão Fernandes
ESTUDO DE RAÍZES DE EQUAÇÕES NO 3º. ANO DO ENSINO MÉDIO COM
EXPLORAÇÃO DOS ENFOQUES ALGÉBRICO, GEOMÉTRICO E NUMÉRICO
APROXIMADO
Dissertação apresentada ao Programa de PósGraduação em Ensino de Ciências e Matemática da
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais,
como requisito parcial para a obtenção do título de
Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.
________________________________________________________________
Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda (Orientador) – PUC Minas
__________________________________________________________________
Prof. Dr. João Francisco de Almeida Vitor- CEFET
___________________________________________________________________
Prof. Dr. João Bosco Laudares – PUC Minas
Belo Horizonte, 09 de Julho de 2012.
Dedico este trabalho a meu querido marido, Geniar, que
deu-me forças e possibilitou que este sonho se realizasse.
AGRADECIMENTOS
A Deus, pela força, pela proteção e por ter me dado saúde e colocado “anjos” em
minha vida durante esta caminhada.
Aos meus pais, Luiz e Célia, por patrocinarem a minha formação na graduação.
Ao meu querido marido, Geniar, pela paciência e pela força nos momentos em que
pensei que não conseguiria chegar ao fim.
Ao professor Dr. Dimas Felipe de Miranda, pelas palavras de otimismo e pela
competente orientação, que culminou com este trabalho.
A minha querida coordenadora Luciane, por ter feito malabarismos no horário para
que eu pudesse fazer o mestrado sem perder aulas.
Aos meus queridos amigos da Escola “Municipal Maria da Conceição Pena Rocha”,
pelo apoio e compreensão nos momentos em que não pude estar presente na escola.
Aos meus cunhados Denis e Sérgio, pela companhia nas viagens.
A minha querida amiga Nícia, por dividir o quarto da pensão e pelas palavras de
companheirismo nos momentos mais difíceis desta caminhada.
A minha querida amiga e Diretora Vânia Lamas, pela compreensão e pelo exemplo de
profissional competente que é. Obrigada!
A minha querida amiga Roselene, pelos belíssimos trabalhos apresentados e pela troca
de experiência.
A todos os professores do Programa de Mestrado, pelas fantásticas aulas.
A todos os colegas do Programa de Mestrado, pela convivência, pelo afeto, pela
paciência, pelos momentos de alegria e de aprendizado.
Aos meus queridos alunos, pela colaboração.
Primeiro é preciso Sonhar,
Depois acreditar muito no sonho que sonhar.
E de repente... Acontecerá.
Vira assim, sem anúncio com o prenuncio de quem quer ficar. E ficará.
Primeiro é preciso Sonhar.
Depois investir nele, para que ele possa vir a ser um sonho real.
Porque ser é ainda melhor, muito melhor do que apenas Sonhar.
É por Sonhos que nos tornamos vida.
É por Sonhos que construímos realidades.
(RABELO, 2008)
RESUMO
Esta pesquisa buscou investigar de que forma as articulações entre os tratamentos analíticos,
geométrico e numérico aproximado podem auxiliar os estudos de raízes de equações
algébricas e transcendentes. Na tentativa de responder à questão da pesquisa, foram
desenvolvidos estudos teóricos, na qual foi elaborada, analisada e aplicada uma sequência de
atividades para os alunos do terceiro ano do Ensino Médio de uma escola particular de Minas
Gerais, que privilegiou o uso de estratégias de ensino diversificadas. Os resultados
evidenciaram que é possível elaborar e realizar estratégias e situações que possam vir a
minimizar as dificuldades apresentadas pelos alunos no estudo de raízes de equações
algébricas no terceiro ano do ensino médio.
Palavras-chave: Raízes de equações. Equações algébricas e transcendentes. Cálculo
aproximado de raízes.
ABSTRACT
This research investigates how the coupling of analytic treatments, geometric and
approximate numerical study can help the roots of algebraic and transcendental equations. In
an attempt to answer the research question, theoretical studies have been developed,
then prepared, reviewed and applied in a sequence of activities for junior year private high
The results showed that it is possible to prepare and implement strategies and situations that
may minimize the difficulties presented by students when studying roots of algebraic
equations in their junior year of high school.
Key Words: Root equation. Geometric method. Root estimate.
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 - GRÁFICO DA FUNÇÃO F(X) = X -2 ............................................................... 24
FIGURA 2 - GRÁFICO DA FUNÇÃO F(X)= 3X6 - 7X5 – X4 + 7X3 - 8X2 + 14X - 4........... 27
FIGURA 3 - GRÁFICO DA FUNÇÃO LOG X ...................................................................... 28
FIGURA 4 - GRÁFICO DA FUNÇÃO F(X) = 4 – X2 ............................................................ 29
FIGURA 5 - PÁGINA DO VCN (ZEROS DE FUNÇÃO) ..................................................... 30
FIGURA 6 - GRÁFICO DA FUNÇÃO F(X) = X3-9X2+23X-15 ............................................ 47
FIGURA 7 - CONCEITO DE RAIZ OU ZERO DE UMA EQUAÇÃO ALGÉBRICA ......... 48
FIGURA 8 - DETERMINAÇÃO DE RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO ALGÉBRICA .......... 49
FIGURA 9 - RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU ........................ 50
FIGURA 10 - GRÁFICO DA FUNÇÃO F(X) = 3X -10 ......................................................... 53
FIGURA 11 - GRÁFICO DA FUNÇÃO H(X) = X2-X-2 ........................................................ 54
FIGURA 12 - REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA DA ÁREA DA BASE E DO VOLUME
DA CAIXA, GRUPO DE KAR ............................................................................................... 61
FIGURA 13 - REPRESENTAÇÃO DO RETÂNGULO DESCRITO NA ATIVIDADE 02
DO BLOCO I, GRUPO DE MAI ............................................................................................. 62
FIGURA 14 - REPRESENTAÇÃO DO RETÂNGULO DESCRITO NA ATIVIDADE 02,
GRUPO DE SET ...................................................................................................................... 63
FIGURA 15 - REPRESENTAÇÃO DO RETÂNGULO DA ATIVIDADE 02, GRUPO DE
HUG ......................................................................................................................................... 64
FIGURA 16 - RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 1, BLOCO I, PELO MÉTODO
TRADICIONAL, GRUPO DE GAB ....................................................................................... 67
FIGURA 17 - RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 1, BLOCO I, PELO MÉTODO DA
INVERSÃO, GRUPO DE CAI ................................................................................................ 67
FIGURA 18 - RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 2, BLOCO I, PELO MÉTODO DA
INVERSÃO, GRUPO DE CAI ................................................................................................ 68
FIGURA 19 - RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 3, BLOCO I, PELO ALUNO GAB ............ 69
FIGURA 20 - RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 3, BLOCO I, PELO ALUNO GAB – PARTE
1 ................................................................................................................................................ 70
FIGURA 21 - RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 3, BLOCO I, PELO ALUNO GAB – PARTE
2 ................................................................................................................................................ 70
FIGURA 22 - RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 3, BLOCO I, PELO GRUPO DE ISA ........ 71
FIGURA 23 - RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 4, GRUPO DE MAI .................................... 71
FIGURA 24 - RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 4, GRUPO DE RAF .................................... 72
FIGURA 25 - REPRESENTAÇÃO DO PROJETO FEITO PELO GRUPO DE FEL,
ATIVIDADE 04, BLOCO I ..................................................................................................... 73
FIGURA 26 - REPRESENTAÇÃO DO PROJETO FEITO PELO GRUPO DE ISA,
ATIVIDADE 04, BLOCO I ..................................................................................................... 74
FIGURA 27 - REPRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 01, BLOCO II, GRUPO DE ISA ...... 80
FIGURA 28 - REPRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 01, BLOCO II, GRUPO DE ISA ...... 81
FIGURA 29 - RESOLUÇÃO DA ATIVIDADE 01, BLOCO II, GRUPO DE MAI .............. 81
FIGURA 30 - RESOLUÇÃO DA ATIVIDADE 02, BLOCO II, GRUPO DE FEL ............... 83
FIGURA 31 - RESOLUÇÃO DO GRUPO DE FEL ............................................................... 84
FIGURA 32 - RESOLUÇÃO DO GRUPO DE KAR .............................................................. 85
FIGURA 33 - CONTINUAÇÃO RESOLUÇÃO DO GRUPO DE KAR ............................... 86
FIGURA 34 - GRÁFICO DA ATIVIDADE GUIADA ........................................................... 89
FIGURA 35 - GRÁFICO DA FUNÇÃO F(X) = 2X -10, GRUPO DE HUG ........................ 90
FIGURA 36 - GRÁFICO REFERENTE À FUNÇÃO, F(X) = X3 – X2 – 3X +2 , GRUPO DE
FEL ........................................................................................................................................... 91
FIGURA 37 - GRÁFICO REFERENTE À FUNÇÃO F(X) = SENX, GRUPO DE FEL ....... 91
FIGURA 38 - GRÁFICO REFERENTE À FUNÇÃO, F(X) = X -8, GRUPO DE PED ......... 92
FIGURA 39 - GRÁFICO REFERENTE À FUNÇÃO F(X) = 4 – X2, GRUPO DE FEL ....... 93
FIGURA 40 - VCN, GRUPO DE MAI .................................................................................... 95
FIGURA 41 - GRÁFICO REFERENTE À FUNÇÃO F(X) = 2X -3, GRUPO DE KAR ....... 96
FIGURA 42 - VCN, GRUPO DE KAR .................................................................................. 96
FIGURA 43 - VCN, GRUPO DE FEL .................................................................................... 98
LISTA DE TABELAS
TABELA 1 - TABELA DA ATIVIDADE 01, BLOCO I........................................................ 59
TABELA 2 - TABELA DO BLOCO DE ATIVIDADES I RESOLVIDO PELO GRUPO DE
FEL ........................................................................................................................................... 60
LISTAS DE QUADROS
QUADRO 1 - PANORAMA DE TESES E DISSERTAÇÕES COM ENFOQUE EM
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS ................................................................................................... 18
QUADRO 2 - EXERCÍCIO RESOLVIDO .............................................................................. 44
QUADRO 3 - EXERCÍCIO DO LIVRO TEXTO ................................................................... 45
QUADRO 4 - EXERCÍCIO DO LIVRO TEXTO (2).............................................................. 46
QUADRO 5 - EXERCÍCIO RESOLVIDO LIVRO TEXTO (3) ............................................. 52
QUADRO 6 - EXEMPLO RESOLVIDO ................................................................................ 55
QUADRO 7 - ENCONTROS COM OS ALUNOS ................................................................. 57
LISTA DE SIGLAS
CBC – Currículo Básico Comum
ENEM – Exame Nacional do Ensino Médio
LDB – Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional
GESTAR II – Programa Gestão da Aprendizagem Escolar
MEC – Ministério da Educação e Cultura
PCNs – Parâmetros Curriculares Nacionais
PNLD – Programa Nacional do Livro Didático
SEE/MG – Secretaria Estadual de Educação de MG
VCN – Visual Cálculo Numérico
SUMÁRIO
1.
INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 15
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ................................................................................. 21
2.1 O que é uma equação? ..................................................................................................... 22
2.2 O que é uma raiz de equação ou zero de função? .......................................................... 24
2.3 Métodos numéricos para determinar as raízes de equações ........................................ 27
2.4 As sequências de atividades segundo zabala .................................................................. 31
2.5 Estratégias de ensino segundo ponte............................................................................... 33
2.6 Registro de representação segundo duval ...................................................................... 35
3. ESTUDO DAS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES NOS
LIVROS DIDÁTICOS ........................................................................................................... 39
3.1 Os livros pesquisados ....................................................................................................... 42
3.1.1 Livro matemática uma nova abordagem (giovanni; bonjorno, 2001) .......................... 43
3.1.2 Livro contexto & aplicações (dante, 2008) .................................................................... 47
3.1.3 Livro de matemática (paiva, 2009) ................................................................................. 51
4. O PLANEJAMENTO PARA A APLICAÇÃO DA SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES
...................................................................................................................................................57
4.1 Aplicação das atividades do bloco I ................................................................................ 59
4.2 Aplicação de atividades do bloco II ................................................................................ 78
4.3 Aplicação da atividade do bloco III ................................................................................ 88
5.
CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................................... 100
REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 102
APÊNDICE A – CADERNO DE ATIVIDADES ............................................................. 105
15
1. INTRODUÇÃO
A prática profissional com estudantes do Ensino Fundamental e Médio tem revelado
certa ineficiência na forma tradicional de se estudar as raízes de equações algébricas e
transcendentes. Expor o conteúdo de equações apenas pelo método algébrico, dar alguns
exemplos e, em seguida, uma bateria de exercícios não tem sido eficaz na construção do
conhecimento, nem no desenvolvimento do conceito que, dessa maneira, torna-se
extremamente abstrato e com pouco significado para o aluno.
Os estudantes têm os primeiros contatos com as equações algébricas no oitavo ano
(antiga sétima série), quando estudam as raízes de equações do 1º grau. Depois, no nono ano
(antiga oitava série), estudam as equações de primeiro e de segundo grau, bem como as suas
funções associadas. Como no Ensino Fundamental esses alunos tiveram contatos com tais
equações algébricas, pressupõe-se que, no Ensino Médio, eles já tenham esses conceitos
interiorizados. Entretanto, percebe-se que a maioria deles não consegue diferenciar uma
equação de uma função e não tem conhecimento de métodos mais gerais (numéricos
aproximados) para determinar as raízes de uma equação.
Um dos problemas detectados entre esses alunos está na falta de compreensão do
resultado de uma equação algébrica (ou seja, ao atribuir significado à sua raiz). Para se chegar
ao resultado, muitos utilizam técnicas mecanizadas. Por exemplo: ao resolver uma equação do
primeiro grau, x + 2 = 0, dizem: “é só passar o dois para o outro lado com o sinal trocado”.
Mas se forem perguntados sobre o que significa este x = -2, eles não sabem dizer e
simplesmente afirmam que “é a resposta”.
Por estarem mais acostumados com a aritmética, os alunos têm dificuldades em lidar
com a álgebra. Como encontrar o valor de “x”, torna-se um grande problema para muitos
alunos. Sendo assim, é importante que o professor não dê ênfase apenas em um método de
resolução, mas permita que o estudante experimente diferentes possibilidades, relacionadas à
solução, interpretação e aplicação das equações.
Procurando buscar “soluções” para algumas dificuldades que, em geral, os alunos do
Ensino Fundamental e Médio encontram em álgebra, resultando em certos bloqueios no
aprendizado da matemática, e que estas dificuldades podem perdurar por muito tempo,
chegando até ao Ensino Superior, surgiu o interesse pelo tema da presente pesquisa.
A maioria dos alunos do Ensino Médio tem dificuldades para utilizar as técnicas
apropriadas na resolução de equações algébricas e transcendentes porque quase sempre
realizaram-nas de forma mecanizada, sem entender o processo, o que se caracteriza pela
16
abordagem de enfocar o conceito apenas pelo conceito. Fiorentini e Miorim em uma de suas
pesquisas afirmaram que
[...] a maioria dos professores trabalha a álgebra de maneira mecânica e automatizada,
dissociada de qualquer significação lógica, enfatizando simplesmente a memorização
e a manipulação de regras, macetes, símbolos e expressões, tal como ocorria há várias
décadas mostram que o seu ensino não tem recebido devida atenção. (FIORENTINI;
MIORIM, 1992, p. 40)
Observou-se em alguns livros didáticos usados, atualmente, no terceiro ano do
Ensino Médio, que não é habitual usar métodos numéricos para determinar as raízes de uma
equação. Assim, foi feita uma experiência com os alunos/sujeitos desta pesquisa: o uso de um
método de aproximação de fáceis manuseio e entendimento conhecido como método da
Bisseção. Além de lhes disponibilizar uma ferramenta matemática mais geral para cálculo de
raízes, a expectativa é de que, ao tomar contato com a dinâmica desse tipo de método, os
alunos estejam mais preparados para enfrentar os cursos superiores de Engenharia ou áreas
afins, em que as ideias de variação e convergência predominam.
Diante dos questionamentos levantados formulou-se a questão principal dessa
pesquisa: De que forma as articulações entre tratamentos analíticos, geométricos e
numéricos aproximados podem auxiliar o estudo de raízes de equações algébricas e
transcendentes no Ensino Médio?
A intenção de explorar um estudo interativo de métodos algébricos, geométricos e
numéricos aproximados, para determinar as raízes de equações algébricas e transcendentes
numa turma de alunos do Ensino Médio constituiu-se no objetivo geral de investigação deste
trabalho, o que pareceu pertinente pela sua importância, tanto na matemática, como em áreas
afins. Além disso, alguns alunos do Ensino Médio, que farão curso superior em áreas de
exatas, necessitarão desses conceitos.
Foram destacados ainda, três objetivos específicos:
a) trabalhar a diferenciação entre função e equação, visando retomar o significado do
valor numérico encontrado como raiz de uma equação;
b) levar o aluno a lidar com equações e suas raízes em situações e problemas,
alternando tratamentos (dentro do mesmo registro) e conversões (entre registros
diferentes);
c) explorar o ensino do método numérico da Bisseção, como síntese das
representações algébricas, geométricas e numéricas aproximadas e convergentes.
17
A proposta é o desenvolvimento de um tópico do programa de equações algébricas:
estudo das raízes de uma equação, através de atividades que desafiam a curiosidade, evitando,
assim, que o professor utilize o tempo em sala de aula apenas com atividades de natureza
tradicional.
Nesse sentido, foi feita uma análise em documentos oficiais, pois esses, em termos
teóricos, devem ser parâmetros para o estudo de tópicos matemáticos em sala de aula. Nessa
análise foram pesquisados os seguintes documentos:
a) Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), que constituem uma proposta
curricular, com orientações para o processo de ensino e de aprendizagem da
matemática, levando em consideração as demandas da atualidade, e como são
abordados o tema “de estudo de raízes de equações algébricas e transcendentes”;
b) Currículo Básico Comum (CBC), que estabelece conhecimentos, habilidades e
competências a serem adquiridos pelos alunos na Educação Básica;
c) Três livros didáticos para o ensino da Matemática, nos quais foi feito o
levantamento de dados acerca do assunto proposto.
Além desses estudos, também foram feitas leituras de dissertações, teses e artigos
publicados no Brasil, para um breve levantamento das pesquisas produzidas acerca do ensino
aprendizado da álgebra.
Iniciou-se o estudo buscando os significados da noção de equação no ensino da
matemática, por meio de pesquisas em programas de pós-graduação em Educação Matemática
em instituições como PUC-SP, PUC Minas e UFMG, dentre outras, além de trabalhos
relacionados ao tema em questão. Cada texto foi fichado, considerando informações como
títulos, autores e ano de defesa das dissertações e teses.
É importante ressaltar que, nas pesquisas realizadas foram encontrados poucos
estudos destinados aos ensinos fundamental e médio mostrando estratégias de métodos mais
gerais (métodos numéricos) para resolver equações.
A partir da leitura e da análise dos textos, foi possível encontrar alguns trabalhos com
o enfoque em do tema de interesse, conforme mostra o quadro 1:
18
Quadro 1 - Panorama de Teses e Dissertações com enfoque em Equações algébricas
Título da Dissertação
Autor
Ano da defesa
Ensino-Aprendizado da Álgebra Linear: as pesquisas
brasileiras na década de 90.
Analisando o desempenho de alunos do Ensino
Fundamental em Álgebra.
Equações do primeiro grau: Métodos de resolução e
análise de erros no Ensino Médio.
Celestino
2000
Ribeiro
2001
Freitas
2002
Ensino-Aprendizagem das Equações
através da resolução de problemas.
Algébricas
Azevedo
2002
Construindo significado para a linguagem Algébrica
com o auxilio do jogo de codificação-decodificação.
Oliveira
2004
Um
estudo
sobre
Equações:
Identificando
Conhecimento de alunos de um curso de formação de
professores de matemática.
Pereira
2005
Explorando Equações cartesianas e Paramétricas em
um ambiente informático.
Silva
2006
As equações Algébricas no Ensino Médio: Um estudo
de uma sequência utilizando software gráfico.
Inafuco
2006
Polinômios no Ensino Médio: Uma investigação em
livros didáticos.
Borges
2007
Equações e seus multissignificados no Ensino de
Matemática:
Contribuições
de
um
estudo
epistemológico.
Ribeiro
2007
Uma Metanálise qualitativa das dissertações sobre
equações algébricas no Ensino Fundamental.
Martins
2008
A aprendizagem de Polinômios através da resolução
de Problemas por meio de um ensino contextualizado.
Morais
2008
Equações Algébricas no Ensino Fundamental: Um
Panorama de Dissertações da PUC-SP
Pereira
2010
Fonte: Arquivo Pessoal
Um aspecto a ser observado é a utilização do microcomputador e da calculadora nas
aulas de Matemática, pois são instrumentos valiosos, especialmente quando a proposta
envolve lidar com método de aproximação numérico associado a interpretações algébricas e
geométricas. Nessa pesquisa, fez-se o uso dessas tecnologias ao desenvolver o conjunto de
atividades, cujo objetivo foi o de despertar nos alunos interesse e entendimento de resolução
de Equações.
19
As atividades em forma de sequência didática, conforme Zabala (1998), apresentamse como uma maneira de encadear e articular os diferentes conteúdos ao longo de uma
unidade didática, de forma que se possa analisar as tarefas realizadas e as possíveis
intervenções a serem empregadas.
Dessa forma, buscou-se o desenvolvimento de uma sequência didática de atividades
que fosse incorporada à metodologia de estudo, permitindo aproveitar os conhecimentos
prévios que cada aluno tem em relação ao conteúdo de aprendizagem. Esta sequência buscou,
também, promover uma atitude favorável, motivadora em relação à aprendizagem de novos
conteúdos, de forma que estimulasse a autoestima e a construção do conhecimento, ajudando
o aluno a adquirir habilidades relacionadas ao aprender a aprender, que lhe permitam ser cada
vez mais autônomo em suas aprendizagens, conforme a teoria de Duval (2003).
As atividades foram desenvolvidas com os alunos em sala. As aulas estavam
previamente programadas, conforme o quadro de horários da Instituição, com tempo
determinado de início e término de execução das atividades, encerrando-se com uma
socialização dos resultados.
A partir da abordagem de ensino que foi desenvolvida, o propósito era verificar se a
aprendizagem seria mais significativa, se fosse promovida a articulação desejada entre os
métodos algébricos, geométricos e numéricos aproximado. Para isso, o conteúdo foi
trabalhado em uma turma do terceiro ano do Ensino Médio, em uma escola particular da
cidade de Timóteo, Minas Gerais. A sala era composta por 25 alunos, divididos igualmente
em cinco grupos. Um dos professores de matemática que lecionava naquela turma é a
pesquisadora deste trabalho. Ao longo da pesquisa a professora pesquisadora atuou como
observadora participante, conforme Ponte (2009), questionando e evitando dar respostas
prontas às perguntas dos alunos durante o processo, mas sistematizando o conhecimento nos
momento de socialização.
Para o registro dos dados foram utilizadas gravações das falas dos alunos e da
professora pesquisadora, registros dos alunos nas folhas de atividades e anotações da
professora-pesquisadora. Após a gravação, que foi feita em cada grupo, tais diálogos foram
transcritos para análise.
Foi feita, ainda, uma seleção dos dados obtidos após a aplicação e da correção das
atividades. Em seguida, realizou-se uma análise qualitativa (LUDKE, 1986; BOGDAN e
BIKLEN, 1982) dos resultados, através de observações das atitudes e das reações dos sujeitos
da pesquisa, visando à melhoria do ensino e da aprendizagem de raízes de Equações
Algébricas e transcendentes. Os resultados alcançados com esta pesquisa consistiram em:
20
a) uma nova proposta metodológica para o ensino-aprendizagem de raízes de
Equações Algébricas e transcendentes;
b) elaboração de um texto (produto) contendo uma base teórica para os tópicos
relacionados e as atividades redigidas e desenvolvidas nesta pesquisa.
Com o objetivo de explorar as articulações entre tratamentos analítico, geométrico e
numérico aproximado no estudo de raízes de equações no Ensino Médio, foram direcionados
alguns questionamentos: Como ocorre a abordagem metodológica do objeto de estudo nos
livros didáticos de matemática do terceiro ano do Ensino Médio? Quais recursos podem
contribuir para articular a resolução destas equações na prática pedagógica da matemática?
Para estruturar os resultados da investigação aqui proposta, este estudo foi
organizado em cinco capítulos, descritos da seguinte forma:
a) no primeiro capítulo, discutem-se os aspectos gerais necessários à compreensão do
objeto de estudo, o que vem a ser uma pequena introdução levantando a problemática
e justificando a relevância do tema;
b) no segundo capítulo, apresenta-se a fundamentação teórica da pesquisa, pautando
os
desdobramentos
e
as
perspectivas
teóricas
que
caracterizam
o
seu
desenvolvimento.
c) o terceiro capítulo relata a pesquisa realizada nos livros didáticos escolhidos e
apresenta uma análise da abordagem do tema nos documentos oficiais;
d) o quarto capítulo apresenta a sequência de atividades, com destaque para o método
da bisseção, e o relato de tais aplicações;
e) as considerações finais são pontuadas no quinto capítulo, com abordagens dos
resultados obtidos.
21
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
A álgebra tem sido foco de muitas pesquisas no campo da Educação Matemática,
como os estudos de Miorim (1995), Lins e Gimenez (1997) e Fiorentini (2006), que buscam
compreender os problemas de Ensino e Aprendizado desse assunto. A base de tais discussões
está nas dificuldades encontradas tanto pelos alunos dos diferentes níveis de ensino, para a
resolução de exercícios, quanto pelos educadores, para propor atividades significativas para o
ensino da álgebra.
Não existe consenso no que se refere à concepção de álgebra entre os estudiosos no
assunto, ou seja, há sempre uma dúvida sobre o fato de os gráficos serem ou não parte da
álgebra (Lins e Gimenez, 1997). Esta falta de consenso sobre a sua concepção, e até por
definir tópicos que fazem ou não parte do estudo da álgebra, acaba trazendo dúvidas quanto à
importância destinada a cada assunto no estudo algébrico.
A aprendizagem significativa da álgebra, segundo Lins e Gimenez (1997), só será
eficaz se o professor conseguir conectar os conhecimentos novos aos conhecimentos prévios
que os alunos já possuem e centrar a aprendizagem da álgebra apenas na manipulação de
expressões e símbolos. Caso contrário, os alunos, muito cedo, encontrarão dificuldade nos
cálculos algébricos e passarão a apresentar atitudes negativas em relação ao estudo da álgebra
que, para muitos, fica desprovida de significação.
O estudo da álgebra para os PCNs (1998) se constitui em um espaço bastante
significativo para que o educando desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e
generalização, além de lhe possibilitar a aquisição de uma poderosa ferramenta para resolver
problemas. Esses processos de abstração e generalização passam pelo entendimento dos
registros de representações, pois o acesso aos objetos matemáticos necessita de registro das
representações semióticas, conforme Duval (2003).
Ao se depararem com uma equação algébrica, os alunos encontram grandes
dificuldades, principalmente na interpretação, pois estão habituados somente com a
aritmética, e precisam exercitar o “pensar algebricamente”, ou seja, analisar e interpretar
dados da equação para, então, estabelecerem estratégias de resolução.
A resolução dessas equações através do processo de “mecanização”, ou seja, quando
o aluno resolve, mas não tem “ideia” do que está fazendo, é um dos fatores que os leva a não
gostar da álgebra por achá-la sem significado.
22
Nesse sentido, apresenta-se a seguir alguns tópicos que serviram de base teórica para
a elaboração da sequência de atividades, com ênfase no modelo de sequência didática
apresentado por Zabala (1998).
2.1 O que é uma equação?
As primeiras noções de “o que é uma equação” surgem logo nos primeiros anos do
Ensino Fundamental, com o estudo das equações algébricas do primeiro e do segundo graus.
Giovanni Castrucci & Giovanni Jr. (2007) definem equação do primeiro grau, apresentando
um problema envolvendo velocidade média, e pedem para que o aluno calcule a distância
percorrida. Logo após a montagem da equação que representa a distância percorrida,
apresentam a seguinte definição: “Equações deste tipo são chamadas equações do primeiro
grau na incógnita x. Aplicando os princípios de equivalência das equações, chegamos à forma
reduzida ax = b, com a,b  IR e a ≠ 0, o que simplifica a resolução” (CASTRUCCI &
GIOVANNI JR., 2007, p.96).
Para resolver uma equação do primeiro grau, como por exemplo, a equação 3x + 1
=7, basta subtrair 1 do resultado 7, obtendo-se 6; em seguida, divide-se 6 por 3, obtendo 2,
que é o valor da incógnita x. O sinal de igualdade em equações, dessa forma, é visto como
sinal operacional, em que a expressão do primeiro membro deve ser operada de forma que se
obtenha o segundo membro. Porém, não é possível resolver a equação 3x + 1 = 4x - 5
desfazendo operações. Para resolvê-la é necessário operar com a incógnita, para que haja
manipulação simbólica.
Modelos concretos em equações, como o modelo geométrico de comparação de área
de figuras planas e o modelo da balança (baseado em uma balança de dois pratos onde cada
prato representa um dos membros da equação, e o equilíbrio entre os pratos representa a
igualdade), mesmo que não suportem situações que envolvam números negativos – no caso
do modelo da balança – e números inteiros – no caso do modelo geométrico –, pretendem dar
significado ao sinal de igualdade e à técnica de resolução de equação do primeiro grau.
Entretanto, eles são bem-sucedidos apenas num primeiro momento, com equações simples,
não sendo eficiente para os outros tipos de equações que necessitam de um modelo diferente
para o seu entendimento.
No Ensino Médio, são estudados alguns tipos simples de Equações Trigonométricas
e as Equações Polinomiais, sendo abordadas algumas técnicas para determinar ou reduzir o
grau de uma equação: Dispositivo prático de Briot-Ruffini, Raízes Racionais, Teorema da
23
Decomposição, entre outras. Por outro lado, houve uma minimização em resolver Equações
Algébricas e Transcendentes utilizando os Métodos Numéricos.
As equações mais simples que podem ser encontradas são as equações algébricas de
primeiro e de segundo graus, escritas na forma: ax + b = 0, com a ≠0, e ax2 + bx + c = 0, onde
a, b e c  IR, com a ≠ 0. Para determinar o conjunto solução dessas equações existem fórmulas
práticas, porém o professor não deve limitar os alunos a resolverem esses tipos de equações
apenas por fórmulas, pois eles precisam ter entendimento do processo a ser desenvolvido para
resolverem uma equação.
Ao aplicar o Bloco de atividade1 para os alunos do terceiro ano do ensino médio, a
professora pesquisadora selecionou uma questão envolvendo equações do primeiro grau,
porém foi solicitado aos alunos que não resolvessem pelo método algébrico e, sim, pelo
método conhecido como método da inversão2. Os alunos ficaram surpresos com tal
orientação, uma vez que não tinham conhecimento de como resolver uma equação de
primeiro grau sem ser pelo método algébrico. Na discussão geral, chegaram a relatar que
estavam tão acostumados a resolver essas equações que nem se preocupavam em entender o
processo. Alguns, inclusive, afirmaram que nunca entenderam o processo.
As equações algébricas de terceiro e quarto graus são, respectivamente, escritas na
forma: ax3 + bx2 + cx + d =0 e ax4 + bx3 +cx2 + dx + e =0, com a, b, c, d, e  IR e a≠0 têm
história de solução algébrica bastante parecidas e que aconteceram, ao mesmo tempo, na Itália
no século XVI, envolvendo estudiosos como Girolamo Cardano (1501-1576) e Nicolo
Fontana (1499-1557). Quando estas equações são propostas no ensino médio, acabam sendo
resolvidas por outros meios, que não essas fórmulas.
As equações transcendentes são do tipo: sen (x) + x – 1 = 0, ex – 2cos(x) = 0, uma
vez que as funções seno e logarítmica são funções transcendentes e susceptíveis de se
expressar por desenvolvimento em série de potência x. Neste caso, não existe formula
resolvente para essas equações e, por isso, as equações algébricas racionais inteiras também
são designadas, por sua vez, por equações polinomiais.
1
2
As atividades constam do apêndice deste trabalho.
Retirado de GESTAR II - Programa de Gestão
Brasília: MEC, 2008.
da Aprendizagem Escolar: Ensino Médio.
24
Um dos objetivos desta pesquisa foi o de apresentar para os alunos do terceiro ano do
Ensino Médio o método numérico da Bisseção, para conhecerem uma alternativa de
determinar as raízes aproximadas de equações de grau maior que dois.
A sequência de atividades proposta pretendeu relacionar a álgebra ao estudo de
funções e, para tal, utilizou-se a definição de Dante: “Dados dois conjuntos não vazios A e B,
uma função de A em B é uma regra que indica como associar cada elemento de x  A a um
único elemento y  B” (DANTE, 2007, p.59).
Os gráficos, por sua vez, apresentam-se como instrumentos úteis para o estudo de
funções e para a visualização de seus elementos característicos, o que pode aprimorar o estudo
dos elementos de uma função com o auxilio de calculadora ou de softwares.
2.2 O que é uma raiz de equação ou zero de função?
De acordo com Dante (2007), o valor de x para o qual a função f(x) = ax + b se
anula, ou seja, para o qual f(x) =0, denomina-se zero da função afim. Graficamente, os zeros
de uma função f(x) correspondem aos valores de x em que a função intercepta o eixo das
abscissas. Considerando a função f(x) = x - 2, pode-se observar que o gráfico desta função
intercepta o eixo das abscissas em x =2.
Figura 1 - Gráfico da Função F(x) = x -2
Fonte: Dados da Pesquisa
O grande desafio dos matemáticos era o de encontrar as raízes de equações
polinomiais em função apenas de seus coeficientes. Para isso, é possível resolver equações
polinomiais através de tentativas e erros, procurando intervalos possíveis onde se pode
25
encontrar uma das raízes da equação. Porém, existem equações que possuem método
algébrico para resolvê-las. Entre essas equações polinomiais que têm métodos para resolver
estão: Equações de primeiro grau, Equações de segundo grau, Equações biquadradas,
Equações de terceiro grau com termo independente igual a zero, Equações que podemos
verificar com as Relações de Girard, Raízes no conjunto dos complexos, entre outras.
Considerando a equação do primeiro grau que apresenta a incógnita em um único
membro, pode-se resolvê-la, como já mencionado, desfazendo cada uma de suas operações
até que o valor da incógnita seja obtido. Por exemplo, a equação 4x + 1 = 9, pode ser
resolvida subtraindo-se 1 do resultado 9, obtendo-se 8; em seguida, divide-se 8 por 4, obtendo
2, que é o valor da incógnita x que representa a raiz desta equação. Para determinar as raízes
de uma equação do segundo grau, é importante induzir o aluno a solucioná-las por tentativa,
para que se atenham, inicialmente, ao significado de resolvê-las. Focando-se a atenção em
satisfazer a igualdade (x +1)2 = 4, vê-se que tanto os valores 2 e quanto -2 elevados ao
quadrado dão 4; logo, o aluno pode concluir que x deve valer 1 ou x deve valer -3.
Podem-se determinar as raízes de uma equação do segundo grau através da fórmula
 b  b 2  4.a.c
x
, mas outra maneira de determiná-las é pelo processo da soma e do
2a
produto de suas raízes. Sabe-se que toda equação do segundo grau pode ser escrita na forma
x2-Sx + P = 0, onde S representa a soma de suas raízes com o sinal oposto e P representa o
produto de suas raízes. No exemplo x2 + 3x - 4= 0, para se determinar o conjunto solução temse que pensar em dois números cuja soma seja -3 e o produto seja -4. Logo, o resultado será 1
e
-4. Têm-se, assim, diversas possibilidades de representar as raízes de uma equação do
segundo grau e o professor não deve utilizar apenas a fórmula resolvente.
Para as equações algébricas de terceiro e quarto graus existem também fórmulas
resolventes. Em qualquer dos casos, as fórmulas são muito complicadas e, por isso, essas
equações acabam sendo resolvidas por outros meios, que não essas fórmulas.
Não é possível obter fórmulas resolventes para encontrar a raiz de equações
algébricas de grau superior a quatro. Por isso, houve a necessidade de encontrar outros meios
para determinar as raízes dessas equações algébricas que são:
a) os métodos numéricos;
b) os métodos globais de cálculos, em que utilizou-se a calculadora e os programas
computacionais.
26
A metodologia conhecida por alguns alunos do Ensino Médio para resolver uma
equação polinomial resulta em determinar as raízes inteiras, fracionárias, irracionais ou
imaginárias. O exemplo a seguir mostra como um aluno do terceiro ano do Ensino Médio
determinaria
os
zeros
de
uma
função
do
sexto
grau
na
incógnita
x,
F(x)= 3x6 - 7x5 - x4 + 7x3 - 8x2 + 14x - 4 .
Como todos os coeficientes são reais, se existirem raízes imaginárias, elas terão de
ser conjugadas duas a duas. Para pesquisar a existência de raízes inteiras, se existirem, elas
serão os divisores do termo independente, ou seja, terão de ser do conjunto{±1,±2,±4}.
Recorrendo ao Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, percebe-se que a única raiz inteira
existente é 2, sobrando, pois, a equação de quinto grau:
3x5 – x4 – 3x3 + x2 – 6x + 2 = 0
Para determinar as raízes fracionárias, o que se faz é substituir x por x-1 , obtendo-se
a seguinte equação:
2 x 5  6 x 4  x 3  3x 2  x  3
=0, isto é, 2x5 – 6x4 + x3 -3x2 – x + 3=0 e x ≠ 0 .
5
x
As soluções fracionárias que se pretende encontrar são os inversos das soluções
inteiras, se existirem.
Dado que as raízes inteiras desta última serão os divisores do termo independente,
que estão no conjunto {± 1,± 3}, aplicando novamente a Regra de Ruffini constata-se que a
única solução existente é 3; logo, ela apresenta a solução fracionária 1/3 . Assim chega-se à
equação de quarto grau em x: 3x4 – 3x2 – 6 = 0 ↔ x4 _ x2 – 2 = 0, que é uma equação
biquadrada.
A sua resolução pode ser feita substituindo-se x2 por z, obtendo-se a equação em z,
z2 – z – 2 = 0 , cuja solução é z = 2 e z = -1. Uma vez que z = x2 , então x =  2 e
x=
 i , resolve-se, portanto, a equação polinomial inicialmente dada.
Foi possível determinar, assim, as soluções irracionais e imaginárias, pelo fato da
equação encontrada ser biquadrada. Se assim não fosse, para determinar as raízes irracionais
deveria-se determinar os intervalos em que cada um dos quais se sabe estar apenas uma raiz
irracional. Pode-se representar o gráfico desta função, com o auxilio do GeoGebra3.
3
O GeoGebra é um software de matemática dinâmica que reúne geometria, álgebra e cálculo. É desenvolvido,
principalmente, para o ensino e o aprendizado da matemática nas escolas básicas e secundárias, por Markus
Hohenwarter, na universidade americana Florida Atlantic University. É um sistema de geometria dinâmica que
permite construir vários objetos, que podem ser modificados dinamicamente. Permite, ainda, a inclusão de
equações e coordenadas diretamente com o teclado. Tem grande vantagem de se poder trabalhar com variáveis
vinculadas a números, vetores e pontos. Determina derivadas e integrais de funções. Oferece um conjunto de
27
Figura 2 - Gráfico da função F(x)= 3x6 - 7x5 – x4 + 7x3 - 8x2 + 14x - 4
Fonte: Dados da Pesquisa
Ao estudar os zeros de qualquer função, não foram detectadas fórmulas como as
resolutivas para a equação de segundo grau, mas sabe-se que seus zeros são pontos onde o
gráfico intercepta o eixo das abscissas. Dessa forma, pode-se tentar encontrar intervalos onde
esses pontos estão localizados.
2.3 Métodos Numéricos para determinar as raízes de equações
As raízes de equações ou zero de Funções podem ser encontradas analiticamente, ou
seja, resolvendo-se a equação f(x)=0 de maneira analítica ou algébrica como foi mostrado nos
exemplos acima. Porém, nem sempre é possível determinar analiticamente a raiz de uma
equação e, para isso, precisa-se de um método numérico para encontrar um valor aproximado
para a raiz da função estudada.
O objetivo deste estudo foi o de determinar a raiz de uma equação ou zero de uma
função através do método algébrico, geométrico e numérico aproximado, porém os
participantes desta pesquisa foram alunos do terceiro ano do ensino médio. Como os mesmos
não possuíam conhecimento de algumas nomenclaturas, como por exemplo, convergência e
teorema de Bolzano, utilizaram-se outros termos para que os alunos entendessem o processo.
comandos próprios da análise matemática, para identificar pontos singulares de uma função, como raízes ou
extremos.
28
Em qualquer função, a raiz ou zero é o ponto do gráfico de f(x), onde ele intercepta o
eixo x, isto é, onde y vale zero. Isto vale para uma reta, parábola, função logarítmica,
trigonométrica etc. Considere-se o gráfico a seguir:
Figura 3 - Gráfico da Função log x
Fonte: Dados da Pesquisa
Ponderando que 1 é a raiz de uma função f(x), ou seja, f(1)=0, nota-se que as
imagens à direita e à esquerda de 1 tem sinais trocados, isto é, quando se pretende determinar
as raízes aproximadas de uma função qualquer, por exemplo, f(x) = 3x - 6, ao escolher valores
para x como x = 1, com imagem de -3 e x = 3 com imagem de 3, pode-se dizer que existe
pelo menos uma raiz desta função neste intervalo de [1,3].
Por intuição, pode-se concluir da propriedade anterior que: “Dado um intervalo de x
= a até x = b, em que a função f(x) é definida, a linha do gráfico não sofre interrupções, e
sendo f(a) e f(b) de sinais contrários, então existe pelo menos uma raiz da equação f(x) = 0
neste intervalo.” Se numa função qualquer, f(a) e f(b) tiverem sinais iguais, nada estará
garantido: as raízes poderão existir ou não. Por exemplo, na equação 4 - x2 = 0, se escolher-se
o intervalo de x1 = -3 a x2 = 5, ter-se-á y1= 4 - (-3)2= -5 e y2 = 4 - (-5)2 = -21. Nesse caso, -5 e
-21 são de mesmo sinal, no entanto, como se sabe, há duas raízes no intervalo de x1 = -3 a x2 =
5, que são x = 2 ou x = -2, como mostra o gráfico 4 da função.
29
Figura 4 - Gráfico da Função F(x) = 4 – x2
Fonte: Dados da Pesquisa
A equação 4 - x2= 0 tem, por exemplo, uma raiz no intervalo de x1 = 1 a x2 = 4,
porque y1= 3 e y2= -12 têm sinais contrários. Para se chegar mais perto da raiz, pode-se
utilizar a fórmula de ponto médio de um segmento x3 
se
( x 2  x1 )
. Sendo x1= 1 e x2= 4, tem2
x3 = 2,5 → y3= -2,25. Observa-se que este valor de x3 está mais perto da raiz, no
caso x = 2, do que estavam os valores de x1 e x2. Entre as imagens anteriores a y3, na
sequência, y1 tem sinal contrário a y3, tendo x1 como seu correspondente no domínio.
Calculando-se, então,
encontra-se x4 =1,75. Vê-se, assim, que x4 está mais perto
da raiz x=2 que estavam os valores dos x anteriores. O mais importante é que o valor de y4
será y4= 0,9375 e pode-se notar que os valores absolutos de y vão se diminuindo até se se
aproximar do valor zero. A este processo descrito, dá-se o nome de Método da Bisseção.
Na prática é mais fácil levar estes valores para uma tabela e continuar as operações,
buscando aproximar os valores de y de zero, conforme for estipulado. Por exemplo, para
continuar a solução desta equação pelo método da Bisseção, em se tratando de Ensino Médio,
pode-se combinar de parar com os cálculos quando encontrar o valor absoluto de uma
imagem |y| ≤0,01 (neste momento, é possível ter um valor de x próximo da raiz 2).
Na descrição a seguir há a solução completa da equação dada acima, usando o
método da Bisseção. Observe 4 - x2 = 0:
30
x
y
x
y
1,0000
3
1,9844
0,0622
4,0000
-12
2,0078
-0,0313
2,5000
-2,25
1,9961
0,0156
1,7500
0,9375
2,0020
-0,0080 imagem |y|≤0,01 Parar!
2,1250
-0,5156
1,9375
0,2461
2,0313
-0,1262
RESPOSTA: raiz x=2,0020, com erro ≤0,01
Pode-se determinar as raízes aproximadas de uma equação com o auxílio do
programa VCN (Visual Cálculo Numérico)4. Segue o cálculo da raiz da função f(x) = 2x – 3.
Figura 5 - Página do VCN (Zeros de Função)
Fonte: Programa VCN, 2006
4
Uma ferramenta educacional que determina as raízes aproximadas de uma equação, além de possuir outras
ferramentas. Foi criada pelos professores da PUC-Minas: Célio Humberto Vasconcelos, Dimas Felipe de
Miranda (orientador), Luiz Carlos Picoreli Araújo, Pedro Américo Almeida Magalhães, Cristina Almeida
Magalhães, Lamounir Josino de Assis, Marcos Almeida Magalhães, Pedro Américo Almeida Magalhães Júnior.
31
2.4 As sequências de atividades segundo Zabala
As atividades em forma de sequência didática, conforme Zabala (1998), se
apresentam como uma maneira de encadear e articular os diferentes conteúdos ao longo de
uma unidade didática, de forma que se possa analisar as tarefas realizadas e as possíveis
intervenções a serem empregadas. Foi utilizado este modelo para a montagem da sequência de
atividades, que se encontra no apêndice deste texto.
Zabala (1998) elabora um modelo com o objetivo de disponibilizar instrumentos para
a análise da prática educativa. Utiliza-se do modelo de interpretação, que se contrapõe àquele
em que o professor é um mero aplicador de fórmulas, fundamentando-se no pensamento
prático e na capacidade reflexiva do docente, recomendando que o professor avalie seu
trabalho constantemente.
Dentre esses instrumentos, Zabala (1998) usa de uma perspectiva processual dando
ênfase as fases do planejamento, aplicação e avaliação, assegurando um sentido integral às
variáveis metodológicas que caracterizam as unidades de intervenção pedagógica.
As atividades ou tarefas, unidades básicas do processo de ensino e de aprendizagem
tem seus significados ampliados para além da questão do que ensinar, encontrando sentido na
indagação sobre por que ensinar. Esses conteúdos passam a envolver todas as dimensões da
pessoa caracterizando as seguintes tipologias de aprendizagem: factual e conceitual (o que se
deve aprender?) procedimental (o que se deve fazer?) e atitudinal (como se deve fazer?).
Segundo o autor, o primeiro aspecto característico de um método é o tipo de ordem
em que se propõem as atividades sendo este o elemento diferenciador das metodologias,
considerando a importância das interações educacionais definidas dos conteúdos de
aprendizagem e o papel das atividades propostas. Esse teórico orienta que, na construção da
sequência, certos questionamentos são elementares, tais como:
a) Que atividades nos permitem determinar conhecimentos prévios?
b) Quais são as atividades cujos conteúdos sejam propostos de forma significante e
funcional?
c) Em quais atividades podemos inferir sua adequação ao nível de desenvolvimento
de cada aluno?
d) Que atividades representam um desafio alcançável?
e) Que atividades provocam um conflito cognitivo e promovam a atividade mental?
32
f) Quais as atividades são motivadoras em relação à aprendizagem dos novos
conteúdos?
g) Que atividades estimulam a autoestima e o autoconceito?
h) Que atividades ajudam o aluno a adquirir habilidades relacionadas como o
aprender a aprender sendo cada vez mais autônomos em suas aprendizagens?
Zabala (1998) expõe o valor das relações estabelecidas entre professor e aluno e os
conteúdos no processo de ensino e de aprendizagem, visto que eles possuem certo grau de
participação nesse processo, diferenciado do ensino tradicional, caracterizado pela
transmissão/recepção e a reprodução do conhecimento.
O papel do professor nesse processo é o de diversificar as estratégias de ensino,
propor desafios, comparar, dirigir e estar atento à diversidade do discente, além de possuir
uma série de funções como o planejamento e a plasticidade na aplicação do plano, levando em
conta as contribuições deles no início e durante as atividades. Deve, ainda, auxiliá-los a
encontrar sentido no que fazem, oferecer ajuda adequada no processo de construção do aluno,
promover o estabelecimento de relação com o novo conteúdo ensinado apresentado e exigir
deles análise, síntese e avaliação do trabalho.
Um modelo de sequência de atividade proposto por Zabala (1998), relevante a essa
pesquisa, é o modelo do meio composto das seguintes fases:
a) atividade motivadora relacionada com uma situação conflitante da realidade
experiencial dos alunos;
b) explicação das perguntas ou problemas que esta situação provoca;
c) resposta individual ou hipóteses;
d) seleção e esforço das fontes de informação e planejamento da investigação;
e) coleta, seleção e classificação dos dados;
f) generalização das conclusões tiradas;
g) expressões e comunicação
Utilizou-se esse modelo elaborado por Zabala (1998) para a construção da sequência
de atividades e organização dos dados desta pesquisa.
33
2.5 Estratégias de ensino segundo Ponte
As estratégias de Ponte (2003) foram seguidas nos momentos em que antecederam a
aplicação das atividades e no momento de aplicação das atividades. Para este autor, o
professor precisa conhecer bem os seus alunos e estabelecer um bom ambiente de
aprendizagem.
O planejamento e a execução de uma atividade didática dependem de diversos
fatores, sejam de ordem curricular ou de especificidades da turma de alunos. Esses fatores
pressupõem a definição de uma estratégia de ensino, que considerem as ações do professor e
as ações dos alunos, segundo as quais se estabelece um período temporal para a realização das
atividades (PONTE, 2003).
Dentre outros tipos de atividades, Ponte (2009) destaca as atividades de investigação
e as classifica como fundamentais na construção do conhecimento matemático. Para este
autor, as investigações matemáticas são um tipo de atividade que todos os alunos devem
experimentar, porém, para realizá-las na sala de aula surgem algumas indagações do tipo:
Como organizar o trabalho? Que etapas percorrer? O que se pode esperar do desempenho dos
alunos? Qual pode ser o papel do professor? (PONTE, 2009)
Pode-se sempre programar o modo de começar de uma atividade de investigação,
mas nunca se sabe como ela irá acabar. A variedade de percurso que os alunos seguem, os
avanços e recuos, as divergências que surgem entre eles e o modo como a turma reage às
intervenções do professor são elementos largamente imprevisíveis numa aula de investigação
(PONTE, 2009).
O sucesso de uma investigação, segundo Ponte (2009), depende, também, como
qualquer outra proposta do professor, do ambiente de aprendizagem que se cria na sala de
aula. É fundamental que o aluno se sinta à vontade e lhe seja dado tempo para questionar,
pensar, explorar as suas ideias e exprimi-las tanto ao professor quanto aos seus colegas. O
discente deve sentir que as suas ideias são valorizadas e que se espera que as discuta com os
colegas, não sendo necessária a validação constante do professor (PONTE, 2009).
Assim, o professor, durante a atividade de investigação, comporta-se como um
mediador, não fazendo grandes intervenções quando os alunos estiverem trabalhando em
grupos, pois as interações entre eles são determinantes no rumo que a investigação irá tomar.
Na fase inicial da atividade, é importante que o professor informe aos alunos do papel que vão
desempenhar na pesquisa, eles devem saber que podem contar com o apoio do professor, mas
que a atividade depende, essencialmente, de sua própria iniciativa.
34
Para Ponte (2009), a exploração inicial da situação é uma etapa na qual os alunos,
muitas vezes, precisam gastar algum tempo. Aos olhos do professor, porém, pode parecer que
nada está acontecendo e que os alunos estão com dificuldades quanto a essa atividade. No
entanto, essa etapa é decisiva para que depois os alunos comecem a formular questões. É
nessa fase que eles vão se embrenhando na situação, familiarizando-se com os dados e
apropriando-se mais plenamente do sentido da atividade (PONTE, 2009).
Ao propor a atividade em grupo, é necessário que o professor fique atento, pois
algumas vezes, na fase inicial dos trabalhos, um ou dois alunos tomam a liderança e levam o
grupo a centrar-se em certas ideias, não permitindo a todos exporem a sua opinião.
Terminada a atividade, o balanço do trabalho realizado constitui um momento
importante para que os alunos possam expor suas estratégias, suas dúvidas, justificar as suas
questões, cabendo ao professor desempenhar o papel de moderador. Segundo Ponte (2009),
essa fase deve permitir, também, uma sistematização das principais ideias e uma reflexão
sobre o trabalho realizado. É ainda um momento privilegiado para despertar os alunos para a
importância da justificação matemática das suas conjecturas. No caso de alunos pouco
familiarizados com as investigações, o modelo que o professor oferecer nessa fase da aula
será determinante para que eles comecem a perceber o sentido de uma demonstração
matemática (PONTE, 2009).
A discussão da atividade é fundamental para que os alunos desenvolvam a
capacidade de comunicar matematicamente, refletindo sobre o seu trabalho, suas estratégias,
suas dúvidas, seus erros. Para Ponte (2009), sem a discussão final corre-se o risco de perder o
sentido da investigação.
O professor, realizando um trabalho investigativo, estimula nos alunos na
comunicação das suas ideias e na argumentação com os colegas. A aula de matemática não é
um lugar em que os alunos estão habituados a fazer este tipo de comunicação e, desse modo, é
natural que o docente sinta algumas dúvidas sobre como tirar partido das potencialidades do
trabalho investigativo.
De acordo com Ponte (2009), o professor tem um papel determinante nas aulas de
investigação. Contudo, a interação que ele tem de estabelecer com os alunos é bem diferente
da que ocorre em outros tipos de aula, levando-o a confrontar-se com outros tipos de dilemas.
Tais aulas representam um desafio adicional à sua prática, mas, certamente, traduzem-se,
também, em momentos de realização profissional (PONTE, 2009).
A interação com os alunos, por parte do professor, precisa respeitar a particularidade
de cada um, dando autonomia para que o estudante compreenda a sua autoria no trabalho de
35
investigação, desafiando-o a avaliar o seu progresso, procurando criar um ambiente adequado
ao trabalho investigativo.
Para Ponte (2009), o professor necessita dar uma atenção cuidadosa à própria tarefa,
escolhendo questões ou situações iniciais que, potencialmente, constituam um verdadeiro
desafio para os alunos.
O professor necessita recolher informações sobre o modo como vai se desenvolvendo
o trabalho dos alunos, desde o primeiro momento. Na fase inicial, torna-se imprescindível
observar se eles compreenderam bem a tarefa e como reagiram a ela, isto é, se a tarefa
constitui realmente um desafio. À medida que se vão embrenhando na investigação, o
professor deve estar atento à forma como os alunos encaram o trabalho, pois pode acontecer
deles procurarem obter uma resposta como se tratasse de um simples exercício. Uma pergunta
é necessária: será que eles já se apropriaram do conceito de investigação ou estão trabalhando
de forma puramente convencional (PONTE, 2009)?
Em uma atividade investigativa o professor deve assumir uma postura interrogativa,
ajudando os alunos a compreenderem que o principal papel dele é o de apoiar o trabalho e não
simplesmente validá-lo como certo ou errado, promovendo, com isso, a reflexão do aluno a
respeito da sua atividade.
É importante que o professor conheça bem os seus alunos e estabeleça com eles um
bom ambiente de aprendizagem, para que a atividade investigativa seja realizada com
sucesso. No entanto, essas aulas investigativas exigem do professor grande flexibilidade para
lidar com situações novas, que poderão surgir.
2.6 Registro de Representação segundo Duval
Com o objetivo de verificar se os enfoques geométricos e numéricos aproximados
podem ser úteis e enriquecer o enfoque analítico, que se supõe mais tradicional e frequente na
forma de ensino e nos textos de raízes de equações, pretende-se fazer uma articulação entre
estes três registros de representação.
A passagem da aritmética à álgebra é fonte de conflitos e fracassos na matemática
escolar. As causas dessas dificuldades têm diversos fatores. Um deles é que a aprendizagem
em matemática necessita de diferentes registros de representações, porém para que esta
aprendizagem ocorra é preciso que seu ensino seja pautado em atividades de conversão.
Do ponto de vista matemático, a conversão intervém somente para escolher o registro
no qual os tratamentos a serem efetuados são mais econômicos, mais potentes, ou para obter
36
um segundo registro que serve de suporte ou guia aos tratamentos que se efetuam em outro
registro. Em outros termos, a conversão não tem papel intrínseco nos processos matemáticos
de justificação ou de prova, pois eles se fazem baseados num tratamento efetuado em um
registro determinado, necessariamente discursivo (DUVAL, 2003).
Do ponto de vista cognitivo, é a atividade de conversão que desencadeia as
transformações representacionais fundamentais para a elaboração conceitual. Isso significa
que enquanto docentes não se pode considerar que a atividade de conversão de um registro de
representação a outro seja uma atividade simples e local (OLIVEIRA, 2004).
Ao analisar o desempenho dos alunos, os educadores que se propõem a refletir sobre
o ensino da álgebra apontam a necessidade de uma metodologia de ensino que lhe dê
significado. A grande maioria dos educadores concebe a álgebra como ramo da matemática
ligado ao “cálculo literal” ou “generalização da aritmética”. Estes conceitos se referem a uma
determinada habilidade de desenvolvimento pelo uso da álgebra, mas não abrange os
processos cognitivos envolvidos em seu aprendizado.
No decorrer do processo, é importante extrapolar o proposto no livro didático,
considerando a possibilidade de organização e exploração de outros conceitos ligados à
álgebra a partir dos diferentes registros de representação.
Um dos desafios do professor é buscar estratégias que facilitem a ação pedagógica
em sala de aula, propiciando ao aluno situação que envolva conteúdos essenciais à
aprendizagem e garantam a autonomia do pensamento. Para que essa autonomia se
desenvolva, é necessário propor atividades que possibilitem ao aluno interpretar situaçõesproblema do cotidiano e desenvolver habilidades de concentração e de abstração.
O aluno não deve aprender a álgebra de forma mecânica ou repetitiva, fazer sem
saber o que faz e porque faz. Esse estudo não deve ser um “aprender” que se esvazie em
brincadeiras, mas sim um aprender significativo, do qual o aluno participe raciocinando,
compreendendo, reelaborando.
Ao estabelecer situações de aprendizado que levem o educando a perceber que a
transformação de uma expressão algébrica em outra equivalente e mais simples, facilita a
solução de um problema é o que torna o trabalho significativo.
É necessário que o docente busque situações que potencializem as atividades de
conversão entre os registros algébricos para o entendimento matemático. De acordo com
Duval, “passar de uma equação à sua representação gráfica constituiria uma codificação em
que seria suficiente aplicar a regra segundo o qual um ponto está associado a um par de
números sobre o plano quadriculado por dois eixos graduados” (DUVAL, 2003, p.17).
37
O professor não pode se ater às regras de codificação, permitindo uma apreensão
pontual ou local do objeto matemático, mas deve levar em conta as variáveis visuais, o
registro figural (gráfico) e as variáveis algébricas e o registro funcional, possibilitando uma
apreensão global e qualitativa. São essas variáveis que permitem determinar quais as unidades
de significados pertinentes que devem ser levadas em consideração em cada um dos registros.
A conversão das representações, quaisquer que sejam os registros considerados, é irredutível a
um tratamento (DUVAL, 2003).
A teoria sobre o registro de representação oportuniza a reflexão sobre o ensinar e o
aprender matemática, entendendo que a atividade matemática, diferentemente das outras áreas
do conhecimento como Física, Biologia, Química, necessita de representações para o seu
acesso, pois os objetos matemáticos não podem ser acessados perceptivelmente e nem
instrumentalmente. Duval discute que a “compreensão em matemática supõe a coordenação
de ao menos dois registros de representações semióticas” (DUVAL, 2003, p. 15). O autor
considera que a importância da atividade matemática está na possibilidade de mobilização de
vários registros de representação do mesmo objeto matemático e, também, na possibilidade de
trocar a todo o momento o registro de representação.
Segundo Duval (2003), a diferença entre a atividade cognitiva requerida pela
matemática e aquela requerida em outros domínios do conhecimento não pode ser procurada
nos conceitos, mas nas seguintes características:
a) a importância primordial das representações semióticas;
b) a grande variedade de representações semióticas utilizadas em matemática.
O acesso aos objetos matemáticos necessita de representações semióticas que foram
se ampliando com o desenvolvimento do conhecimento matemático. Diante dessas reflexões,
Duval (2003) pontua que os fracassos dos alunos, nos diferentes níveis de ensino, aumentam
consideravelmente cada vez que uma mudança de registro é necessária ou que a mobilização
simultânea de dois registros é requerida. Segundo o autor, existe um “enclausuramento” que
impede o aluno de reconhecer o mesmo objeto matemático em duas de suas representações. É
preciso não confundir o objeto matemático com suas representações, justificando a
importância de mobilizar, no mínimo, dois registros de representação para um mesmo objeto.
Nas ações cognitivas estabelecidas, passar de um registro de representação a outro
não é somente mudar de modo de tratamento, é também explorar as propriedades ou os
aspectos diferentes de um mesmo objeto. No ensino da Álgebra, são mobilizados vários
38
registros de representação, como as equações, os gráficos, as figuras, a língua materna, etc.
Essas representações de um mesmo objeto têm sentidos e tratamentos diferentes, que exigem
um esforço cognitivo do aluno no sentido da mobilização e da coordenação destes registros.
As únicas variações de representação que são cognitivamente importantes no registro
de partida são aquelas que provocam uma modificação da representação concomitantemente
no registro de chegada porque isso implica um novo objeto denotado.
Algumas atividades dos livros didáticos envolvem mais de um registro de
representação, ou seja, tratamentos diferentes. Esta situação já mostra a complexidade do
trabalho com conceitos algébricos. Uma característica marcante das situações propostas em
alguns livros didáticos é o trabalho com os tratamentos (que são transformações de
representação dentro de um mesmo registro) e não com as conversões (que são
transformações de representações que constituem em mudar de registro conservando os
mesmos objetos denotados).
Há uma pluralidade de registros de representação de um mesmo objeto, e a
articulação desses diferentes registros é condição para a compreensão em matemática, embora
várias abordagens didáticas não levem em conta esse fato.
Um dos aspectos importantes da álgebra foi a evolução das representações simbólica.
A passagem da álgebra retórica para a álgebra simbólica, onde as equações são expressas
totalmente em símbolos enfatiza a passagem da aritmética à álgebra.
O docente tem um papel marcante, no sentido de extrapolar o proposto no livro
didático, considerando a possibilidade de organização e de exploração de outros conceitos
ligados a álgebra, como por exemplo, propor atividades exigindo a organização de um
tratamento através de uma tabela e/ou do gráfico, a partir da coleta do peso e da altura dos
alunos. Essa tabela poderia ser comparada com a tabela padrão dos pesos e medidas e tal
elaboração poderia desencadear a exploração de mais um registro, a partir da identificação das
relações entre as variáveis (peso e altura), desencadeando a construção de modelos
matemáticos. É este procedimento que se ressalta como de competência do docente, na
organização dos planejamentos de ensino, tendo em vista que o livro didático é uma das
fontes de pesquisa para a organização das situações de ensino. Destaca-se a importância da
identificação dos registros de representação, considerando os tratamentos propostos nas
situações de ensino e estas desencadeando efetivamente atividades de conversão.
Entende-se que muitos estudos precisam desencadear discussões, no sentido de
aproximação com as práticas escolares, contribuindo com reflexões sobre o ensino da álgebra
em que os docentes precisam considerar:
39
a) os tratamentos propostos, entendendo que é importante o trabalho com diferentes
tratamentos, ainda que isso não garanta a apreensão conceitual;
b) a conversão como atividade que está em processo de aprendizagem, tendo o
professor o papel de organizar atividades de ensino que mobilizem diferentes
registros, reconhecendo-os e mobilizando-os. Isso mostra que a mudança de registro
de representação a outro não é somente mudar de modo de tratamento, é também
explicar as propriedades ou aspectos diferentes de um mesmo objeto.
Então, pode-se afirmar que duas representações de um mesmo objeto matemático em
dois registros diferentes envolvem conteúdos diferentes. Em função disso, é importante a
proposição, pelo docente, de diferentes registros de representação. Caso contrário, o aluno vai
entender que a álgebra é simplesmente uma forma de “calcular com letras”.
3. ESTUDO DAS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES NOS LIVROS
DIDÁTICOS
O Ensino Médio é a etapa intermediária entre o Ensino Fundamental e o Ensino
superior e, portanto, deve atender a seus alunos visando à melhoria na qualidade de vida, na
empregabilidade, entre outros (PNLD, 2009).
A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional- LDB Nº 9394/96 assim explicita
a finalidade do Ensino Médio:
Art. 35. O ensino médio, etapa final da educação básica, com duração mínima de
três anos, terá como finalidades:
I - a consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos no ensino
fundamental, possibilitando o prosseguimento de estudos;
II - a preparação básica para o trabalho e a cidadania do educando, para continuar
aprendendo, de modo a ser capaz de se adaptar com flexibilidade a novas condições
de ocupação ou aperfeiçoamento posteriores;
III - o aprimoramento do educando como pessoa humana, incluindo a formação ética
e o desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crítico;
IV - a compreensão dos fundamentos científico-tecnológicos dos processos
produtivos, relacionando a teoria com a prática, no ensino de cada disciplina.
(BRASIL, 2006)
Na primeira metade do século passado, os conteúdos escolares, bem como as
metodologias de ensino, vinham do professor. Nas décadas seguintes, com o processo de
40
democratização do ensino, esses conteúdos escolares e metodologias passaram a ser
vinculados aos livros didáticos (ROMANATTO, 2009).
O acesso aos livros didáticos contribui para a qualidade da educação promovendo a
inclusão social e, para que essa contribuição se verifique, é fundamental a preocupação no
processo de escolha deste livro. Os professores seguem diferentes metodologias para isso:
alguns escolhem pela quantidade de exercícios, outros pela maneira como é apresentado o
conteúdo, outros pelo autor e editora do livro, etc.
Gérard e Roegiers definem o livro didático como “um instrumento impresso,
intencionalmente estruturado para se inscrever num processo de aprendizagem, com o fim de
lhe melhorar a eficácia” (GÉRARD e ROEGIERS, 1998, p.19). No entanto, a sua eficácia só
é comprovada conforme as condições, os lugares e as situações em que ele é utilizado nos
âmbitos escolares.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) recomendam que o professor utilize,
além do livro didático, outras fontes de informação (revistas, jornais, computadores, filmes,
por exemplo), para ampliar o seu conhecimento e enriquecer o conteúdo das aulas.
O livro didático é um importante suporte de conhecimento servindo como orientação
para o trabalho do professor, sendo, muitas vezes, o único suporte de pesquisa para diversos
educadores. Nesse sentido, esses livros não podem conter informações erradas ou
desatualizadas.
Ainda de acordo com a LDB, são princípios do ensino:
Art. 3º. (...)
I – igualdade de condições para o acesso e permanência na escola;
II – liberdade de aprender, ensinar, pesquisar e divulgar a cultura, o pensamento, a
arte e o saber;
III - pluralismo de idéias e de concepções pedagógicas;
(...)
IX - garantia de padrão de qualidade;
(...)
XI - vinculação entre a educação escolar, o trabalho e as práticas sociais. (BRASIL,
2006)
Com o intuito de melhorar a seleção de livros escolhidos pelas escolas, o MEC criou
o Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), que veio substituir o PLIDEF em 1985, com
edição no decreto Nº 91.542, de 19 de agosto de 1985.
O livro precisa oferecer uma orientação para que o professor busque outras fontes de
experiências a fim de complementarem seus trabalhos, objetivando a construção do
conhecimento dos alunos. O livro didático não deve ser o único objeto de estudo para os
41
alunos. É preciso, por isso, ter muito cuidado na sua escolha que, por ser uma mercadoria do
mundo editorial, está sujeito às influências do mundo social, econômico e cultural. É
fundamental que o professor tenha autonomia na escolha que melhor atende a realidade de sua
escola, contribuindo para a utilização em suas aulas.
Mesmo considerando a importância dos livros didáticos, percebe-se que muitos
estudantes preferem fontes mais rápidas de pesquisa, como a internet, o que limita o uso do
livro. Entretanto, muitas escolas públicas possuem apenas o livro didático como material para
consulta. Neste sentido, Santos e Carneiro destacam que:
O livro didático assume essencialmente três grandes funções: de informação, de
estruturação e organização da aprendizagem e, finalmente, a função de guia do aluno
no processo de apreensão do mundo exterior. Deste modo, a última função depende
de o livro permitir que aconteça uma interação da experiência do aluno e atividades
que instiguem o estudante desenvolver seu próprio conhecimento, ou ao contrário,
induzi-lo á repetições ou imitações do real. Entretanto o professor deve estar
preparado para fazer uma análise crítica e julgar os méritos do livro que utiliza ou
pretende utilizar, assim como para introduzir as devidas correções e/ou adaptações
que achar conveniente e necessárias (SANTOS e CARNEIRO 2006, p. 206).
O professor necessita ter experiência para superar as limitações dos livros que, por
muitas vezes, podem contextualizar saberes não adequados para realidade de sua turma.
Sendo um instrumento importante na organização das aulas, e por ser uma ferramenta
acessível a todos os estudantes, ela se torna fundamental para a sala de aula.
O livro didático, no Ensino Médio, tem sido utilizado de diversas formas pelos
professores, pois alguns o segue de forma rigorosa enquanto outros não o utilizam por
considerá-lo inadequado e fora da realidade para suas turmas. Cabe ao professor utilizá-lo de
forma adequada não o deixando esquecido, como salienta Romanatto:
O livro didático ainda tem uma presença marcante em sala de aula e, muitas vezes,
como substituto do professor quando deveria ser mais um dos elementos de apoio ao
trabalho docente. ...os conteúdos e métodos utilizados pelo professor em sala de aula
estariam na dependência dos conteúdos e métodos propostos pelo livro didático
adotado. Muitos fatores têm contribuído para que o livro didático tenha esse papel
de protagonista na sala de aula. (...) um livro que promete tudo pronto, tudo
detalhado, bastando mandar o aluno abrir a página e fazer exercícios, é uma atração
irresistível. O livro didático não é um mero instrumento como qualquer outro em
sala de aula e também não está desaparecendo diante dos modernos meios de
comunicação. O que se questiona é a sua qualidade. Claro que existem as exceções
(ROMANATTO, 1987, p.85).
42
Portanto, faz-se necessário que professores e alunos utilizem o livro didático como
auxiliador no processo de ensino aprendizado, entendendo que ele não representa a única
fonte de referência e acesso ao conteúdo escolar.
3.1 Os Livros Pesquisados
Alguns livros didáticos do Ensino Médio, escolhidos entre vários livros atuais 5,
foram examinados, buscando-se verificar como o conteúdo de Equações Algébricas
(Equações Polinomiais) e Transcendentes é apresentado. Os autores e as respectivas obras
pesquisadas, cujas análises compõem esse trabalho, foram os seguintes:
a) Matemática: uma nova abordagem, de José Ruy Giovanni e José Roberto
Bonjorno, publicado pela editora FTD em 2001;
b) Matemática: contexto & aplicação, de Luiz Roberto Dante, publicado pela
editora Ática em 2008;
c) Matemática, de Manoel Paiva, publicado pela editora Moderna em 2009.
Esse estudo teve como mote analisar como é feita a abordagem sobre das raízes
destas equações e se a articulação entre o modo analítico, geométrico e numérico aproximado
está estabelecida nestas obras. Além disso, a pesquisa se debruçou sobre a abordagem acerca
do corpo de exercícios nestes livros.
Foram examinadas nas coleções as abordagens do conteúdo Estudo de raízes de
Equações Algébricas (Polinomiais), para determinar quais conceitos são considerados
relevantes por diferentes autores, levando-se em consideração a faixa etária dos sujeitos desta
pesquisa. Também se pensou, para fins de análise, na forma que estes conceitos são abordados
e qual a estratégia de ensino adotada e se esses livros apresentam uma proposta de ensino
diferenciada para este conteúdo em questão, muitas vezes vistos, nestas séries, apenas como
cumprimento de currículo.
5
O objeto de estudo desta pesquisa é o trabalho com estudo de raízes de equações algébricas e transcendentes.
Durante esse trabalho foram pesquisados diversos livros didáticos, mas para fins de análise foram escolhidos três
volumes. O trabalho também se pautou na pesquisa de literatura não didática, bem como na orientação dos PCN
(Parâmetros Curriculares Nacionais).
43
3.1.1Livro Matemática uma nova abordagem (GIOVANNI; BONJORNO, 2001)
A coleção é dividida em três volumes, contemplando conteúdos de Álgebra,
Geometria, Funções, Matemática Financeira, Estatística e Probabilidade. A seleção de tópicos
ordenados por capítulos corresponde a temas tradicionalmente abordados no Ensino Médio.
Os conteúdos, sempre iniciados pela formalidade matemática, não apresentam um problema
ou desafio ao aluno para que ele reflita e utilize seus conhecimentos prévios na construção do
conhecimento. O capítulo é finalizado com seções de exercícios de fixação e de revisão.
Os três volumes desta coleção têm a mesma estrutura, começando com uma breve
apresentação seguida do sumário, que apresenta a divisão dos capítulos, bibliografia, siglas e
respostas. No volume 03 encontram-se reproduzidas questões de vestibular e do ENEM. Para
dialogar com a proposta desta pesquisa, a análise de direcionou para o estudo do capítulo que
trata das Equações Polinomiais, constantes do terceiro volume desta coleção.
A abordagem dos conteúdos de cada tópico é feita de maneira sucinta, iniciando,
geralmente, com o conceito seguido de alguns exemplos resolvidos. Nota-se, contudo, que em
relação à validação de resultados das proposições, elas são plenamente justificadas,
facilitando o entendimento do aluno no que diz respeito a algumas propriedades com o
Teorema fundamental da álgebra, Raízes complexas, Relações de Girard, Raízes Racionais.
Percebe-se, no entanto, que ao tratar o tópico de raiz ou zero da equação os autores não fazem
uso de gráficos, o que acaba acontecendo poucas vezes no decorrer daquele capítulo.
A articulação dos conteúdos de cada tópico é executada de forma variada e permeia
todo texto. Percebeu-se, no entanto, a ausência de exercícios provocantes destinados a motivar
o aluno e despertar nele a curiosidade. Em geral, opta-se por uma abordagem simples e direta.
Para determinar o conjunto solução de uma equação de grau maior ou igual a três, por
exemplo, escolhe-se o dispositivo prático de Briot-Ruffini (para abaixar o grau da equação) e
pesquisa de Raízes Racionais. A atividade aqui tomada como exemplo, e descrita a seguir no
quadro 2, faz parte de um conjunto de atividades “exemplos” destinadas à compreensão do
conteúdo do capítulo.
44
Quadro 2 - Exercício Resolvido
Para determinar o conjunto solução da equação: x5+2x4-2x3+2x2-3x=0, os autores dão as
seguintes instruções:
Colocando x em evidência, tem-se: x (x4+2x3-2x2+2x-3)=0, portanto uma raiz é 0 e as
outras raízes são soluções da equação x4+2x3-2x2+2x-3=0, os coeficientes são todos
inteiros, logo:
p é divisor de -3  p  1 ou p  3
q é divisor de 1  q  1
p
 {1,3}
q
Fazendo uso da verificação, encontram-se as raízes -3 e 1. Portanto, a equação pode ser
colocada na forma x(x+3)(x-1)Q(x) =0
Aplicando-se Briot-Ruffini, tem-se:
-3
-1
1
1
1
2
-1
0
-2
1
1
2
-1
0
-3
0
Fazendo Q(x) = x2+ 1 = 0 tem-se:
x2+ 1 = 0  i
S= {-3,0,1,-i,i}
Fonte: Giovanni & Bonjorno, 2001, p.227
Analisando esta questão do ponto de vista da articulação (entre o método algébrico,
geométrico e numérico aproximado), desejado para essa pesquisa, percebe-se que os autores
determinam as raízes desta equação apenas pelo método algébrico, não fazendo menção aos
métodos geométrico e numérico.
Na sistematização do conteúdo aplica-se o modelo clássico: apresentação das
definições e das afirmações, destituídas ou não de validação, seguidas de procedimentos, de
regras e de aplicações. Essa estrutura não é acompanhada de figuras, gráficos e tabelas,
dificultando a apresentação dos conceitos envolvidos. Entretanto, ao trazer exemplos
resolvidos acerca de cada tópico, o livro facilita o estudo individualizado. Em muitos trechos
do capítulo, percebe-se a preocupação com a contextualização do conteúdo e são muitos os
exercícios propostos ou resolvidos com esta característica.
Foram encontrados, no capítulo, apenas dois exercícios envolvendo o método
geométrico, conforme evidencia a análise no quadro 3.
45
Quadro 3 - Exercício do Livro Texto
Determinar os coeficientes a,b,c,d da função polinomial: P(x) = ax3+bx2+cx+d,
sabendo-se que as raízes da equação x2+x+0,5=0 são as raízes de P(x) =0 e que o
gráfico de P(x) tem a forma do desenho, onde o gráfico de P intercepta o eixo
horizontal no ponto (2,0) e o eixo vertical no ponto (0,-2)
Tabela 1: Análise do Exercício, página 217, Livro do Giovanni e Bonjorno
Fonte: Giovanni & Bonjorno, 2001, p.217
A proposta da atividade parece simples, pois o aluno deveria determinar as raízes da
equação do segundo grau através do método conhecido: se são raízes de P(x), poderiam
substituir os valores encontrados e igualar a equação à zero. Como apresentado na imagem do
exercício, os alunos poderiam extrair deste gráfico duas coordenadas, que também foram
apresentadas no exercício, substituir na função P(x), montar um sistema e determinar os
coeficientes desejados.
Em uma situação como essa, o professor pode incentivar uma boa discussão em sala
de aula levantando os seguintes aspectos:
a) quando o exercício apresenta a equação do segundo grau e afirma que as raízes da
equação são também as raízes do polinômio P(x) =0, pode-se discutir com a turma a
relação de função e equação, explicando que as raízes de uma equação são valores
particulares que tornam a função igual a zero;
b) foi apresentado o gráfico da função do terceiro grau e, portanto, pode-se avaliar
que, sendo uma função do terceiro grau, têm-se três raízes; e ainda pode ser feita a
seguinte pergunta: se os zeros de uma função são os pontos que o gráfico intercepta o
eixo das abscissas, porque é que o gráfico está interceptando o eixo apenas uma vez?
46
A seguir, no quadro 4, apresenta-se outra análise do livro em questão, na qual se tem
uma atividade que aborda o conceito geométrico para determinar as raízes de uma equação.
Quadro 4 - Exercício do Livro Texto (2)
A figura abaixo representa o polinômio p definido por: P(x) = x3-4x.
a) Determine as raízes desse polinômio
b)Substituindo, em P(x), x por x-3, obtém-se um novo polinômio definido por
P(x-3), determine as raízes desse polinômio.
Fonte: Giovanni & Bonjorno, 2001, p.229
A figura abaixo representa o polinômio p definido por: P(x) = x3-4x.
Diante do exercício mostrado no quadro acima, pode-se afirmar que o aluno que
possui conhecimentos acerca do método geométrico para determinar os zeros de uma função,
ao analisarem o gráfico, vão concluir que os zeros são {-2,0,2}. O aluno que não possuir tal
conhecimento e quiser resolver pelo algébrico também não encontrará grandes dificuldades,
bastando colocar “x” em evidência e resolver a equação do segundo grau. O professor pode
enriquecera atividade ao resolver a proposta “b”, levando os alunos à sala de informática para
que, após a determinação do polinômio P(x-3), eles possam construir, com o auxílio do
GeoGebra, o gráfico desta função, conforme mostra a figura 6.
a) Determine as raízes desse polinômio
b)Substituindo, em P(x), x por x-3, obtém-se um novo polinômio definido por
determine as raízes desse polinômio.
P(x-3),
47
Figura 6 - Gráfico da função F(x) = x3-9x2+23x-15
Fonte: Resolvido pela pesquisadora
As raízes apresentadas no gráfico são {1,3,5}, para determinar o conjunto solução
pelo método algébrico. Como os coeficientes são todos inteiros, eles podem determinar o
conjunto solução utilizando a técnica das raízes racionais.
A proposta metodológica do capítulo segue o modelo tradicional, com exposição do
conteúdo, exemplos e atividades de fixação e sugestões de atividades indicadas no final do
livro, que pouco acrescentam à metodologia de ensino aprendizado.
3.1.2 Livro Contexto & Aplicações (DANTE, 2008)
A obra, volume único, apresenta normalmente os tópicos abordados no Ensino
Médio e sua organização obedece à seguinte estrutura: breve apresentação, sumário, unidades
divididas em capítulos, assuntos optativos e questões de vestibular, além de conter, no final,
questões do ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio).
O conteúdo analisado é inserido no capítulo que trata sobre os Polinômios. A
abordagem realizada mostra que o estudo discute acerca das raízes de equações polinomiais
de maneira sucinta, e não percebeu-se o estudo de raízes destas equações através do método
geométrico. Ao observar o corpo de exercícios, nota-se que o livro só apresenta uma atividade
englobando o método geométrico.
48
A figura 07 mostra como o conceito de raiz ou zero de uma equação polinomial ou
algébrica é apresentada por Dante (2008):
Figura 7 - Conceito de Raiz ou Zero de uma Equação Algébrica
Fonte: DANTE, 2008, p.622
Não foi encontrada, no livro, a abordagem do método numérico aproximado para
determinar as raízes de uma equação. Por outro lado, as estratégias que o autor apresenta para
determinar raízes de equações de grau maior que dois é por meio de:
a) decomposição em fatores do primeiro grau;
b) relações de Girard;
c) raízes complexas não reais numa equação algébrica de coeficientes reais;
d) pesquisa de raízes racionais de uma equação algébrica de coeficientes inteiros;
e) dispositivo prático de Briot-Ruffini, para abaixar o grau de uma equação.
49
Ainda na análise desta obra, observa-se que Dante (2007), para determinar as raízes
de uma equação algébrica, apresenta algumas instruções, de modo peculiar, como evidencia a
figura 08.
Figura 8 - Determinação de raízes de uma Equação Algébrica
Fonte: DANTE, 2008, p.622
A figura 09 ilustra um exemplo de como o livro apresenta a resolução de uma
equação do segundo grau.
50
Figura 9 - Resolução de uma equação do segundo grau
Fonte: DANTE, 2008, p.623
No final do capítulo são apresentadas diversas questões de vestibular, envolvendo o
conteúdo de polinômios e equações polinomiais. Neste capítulo, notou-se uma falta de
gráficos, exemplos muito diretos, pouca situação problema, além de não haver menção de um
método para determinar as raízes aproximadas de uma equação.
51
3.1.3 Livro de Matemática (PAIVA, 2009)
Esta obra é dividida em três volumes e traz os conteúdos usualmente abordados no
Ensino Médio. Cada capítulo desses volumes inicia-se com uma aplicação da matemática,
seguida do assunto que será estudado no referido tópico, efetivando a participação do aluno na
construção do conhecimento, conforme mostra o exemplo: segue o exemplo do capítulo 10 de
Equações Polinomiais, que se inicia com o seguinte problema:
O departamento de Trânsito de uma cidade descreve a velocidade média do tráfego
no centro da cidade, no período de rush (15h ás 20h) de um dia normal de trabalho,
por meio da função: v(t) = at3+bt2-9t+20, em que v é a medida em quilômetros por
hora e t é o número de horas transcorridas após o inicio do período de rush, e a e b
são constantes. Sabendo que, após duas horas do início do período de rush, as
velocidades médias são, respectivamente, 18Km/h e 20 Km/h, qual é a velocidade
média do tráfego às 15 h e 30 mim”? (PAIVA, 2009, p.413)
Os tópicos do capítulo são muito bem estruturados, ao apresentar, por exemplo, o
conceito de “Equações”. Isso não se dá de maneira direta, pois o texto aborda a equação da
teoria da relatividade de Albert Einstein E=m.c2como sendo a equação mais conhecida de
todos os tempos e, no final, relata aos alunos que: “Estudaremos, a seguir importantes
teoremas que surgiram nesse fecundo período da História da Matemática”.
A abordagem do conteúdo é satisfatória, relacionando cada tópico do capítulo com a
História da Matemática, além de apresentar, ainda, muitos exercícios resolvidos e
contextualizados, como se observa no quadro 5:
52
Quadro 5 - Exercício Resolvido Livro Texto (3)
Duas caixas-d’água têm a forma de um paralelepípedo reto-retângulo. A maior tem dimensões internas
em metros, 3x+2, x+2,2x+1, e a menor tem as dimensões internas, em metros, 4,x,e x. Sabendo que a
capacidade da caixa maior é de 10 vezes a capacidade da menor, calcular as dimensões da caixa maior.
Resolução
Indicamos por VM e Vm os volumes internos da caixa maior e da menor respectivamente, temos:
VM = (3x+2).(x+2).(2x+1)
VM= 6x3+19x2+16x+4
e
Vm= 4.x.x = 4x2
Logo:
VM = 10.Vm → 6x3+19x2+16x+4 = 10. 4x2, portanto:
6x3-21x2+16x+4 = 0
Se essa equação tiver raiz racional p/q, com p e q inteiros primos entre si e q≠o, então p é divisor de 4 e q
é divisor de 6 ou seja:
p/q pertence {±1, ±1/2, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3}
Testando cada um desses valores, concluímos que 2 é raiz da equação, pois:
6.23-21.22+16.2+4 =0
Dividindo o polinômio 6x3-21x2+16x+4 = 0 por x- 2, obtemos:
2
6
6
-21
-9
16
-2
4
0
Portanto:
6x3-21x2+16x+4=0→(x-2).(6x2-9x-2)=0
Pela propriedade do produto nulo, temos:
x-2 = 0 ou 6x2-9x-2= 0
Resolvendo as equações obtemos:
x = 2 ou
9  129
9  129
ou
(não convém)
12
12
Concluímos, então, que há duas possibilidades da caixa maior: 8m; 4m; 5m ou:
17  129
m ,
4
33  129
15  129
m,
m
12
6
Fonte: Paiva, 2009, p. 426
Duas caixas-d’água têm a forma de um paralelepípedo reto-retângulo. A maior tem dimensões internas em
metros, 3x+2, x+2,2x+1, e a menor tem as dimensões internas, em metros, 4,x,e x. Sabendo que a capacidade da
caixa maior é de 10 vezes a capacidade da menor, calcular as dimensões da caixa maior.
Nota-se que o exercício resolvido
é contextualizado com a Geometria e, para resolvêResolução
Indicamos por VM e Vm os volumes internos da caixa maior e da menor respectivamente, temos:
lo, o aluno necessita de conhecimentos
sobre volume de paralelepípedo e das propriedades
VM = (3x+2).(x+2).(2x+1)
VM= 6x3+19x2+16x+4
para determinar raízes de grau maior que edois. Pode-se dizer que essa a atividade é riquíssima,
Vm= pesquisa,
4.x.x = 4x2 que busca explorar de forma satisfatória as
uma vez atende à proposta da dessa
Logo:
VM = 10.Vm → 6x3+19x2+16x+4 = 10. 4x2, portanto:
relações entre os conceitos.
6x3-21x2+16x+4 = 0
Ao
tratar
do
tema
“Raízes
reais de
umaentre
função
polinomial
real de
real”, o
Se essa equação tiver raiz racional p/q, com p e q inteiros
primos
si e q≠o,
então p é divisor
de variável
4 e q é divisor
de 6 ou seja:
autor explica que não existe
fórmula
geral±2,
para
a ±4,
resolução
p/q pertence
{±1, ±1/2,
±2/3,
±4/3} de uma equação polinomial de
Testando cada um desses valores, concluímos que 2 é raiz da equação, pois:
6.23-21.22+16.2+4 =0
Dividindo o polinômio 6x3-21x2+16x+4 = 0 por x- 2, obtemos:
Portanto:
53
grau n, n>4, porém existem métodos de pesquisa de raízes racionais ou irracionais, o que é
explicado por meio do exemplo a seguir:
A figura 10 mostra o gráfico da função F: R→R, com F(x) = 3x-10.
Figura 10 - Gráfico da função F(x) = 3x -10
Fonte: Dados da Pesquisa
Considere-se no eixo Ox um intervalo aberto (a,b) ao qual pertença a raiz 10/3 da
função f. Assim, tomando como base o intervalo (3,4) e calcula-se F(3) = 3.3 -10 = -1 e
F(4) =3.4-10 = 2. Nota-se, portanto, que f(3) < 0 e f(4) > 0. Como o gráfico não tem
interrupções e passa de um ponto de ordenada negativa para um ponto de ordenada positiva,
conclui-se que esse gráfico cruza o eixo Ox no intervalo (3,4), isto é, a função f tem raiz no
intervalo (3,4).
Paiva segue a explicação do método numérico apresentando ao leitor outro exemplo,
agora com uma equação do terceiro grau. Após explicitar este exemplo, mostra o seguinte
conceito para o leitor: “Quando os valores numéricos de uma função polinomial real de
variável real, calculados nos extremos de um intervalo real (a,b), têm sinais opostos, podemos
concluir que existe em (a,b) um número ímpar de raízes reais dessa função (PAIVA, 2009,
p.435)”.
Paiva apresenta, também, o seguinte exercício resolvido (figura 11):
O gráfico da função h:R→R, com h(x)=x2-x-2
54
Figura 11 - Gráfico da função h(x) = x2-x-2
Fonte: Dados da pesquisa
Tome-se no eixo Ox um intervalo real (a,b) ao qual pertençam as raízes -1,2 da
função h. Considere-se, por exemplo, o intervalo (-3,3). Calculando-se :h(-3)=(-3)2-(-3)-2=10
e h(3) =, tem-se que (3)2-3-2=4.Nota-se,portanto, que h(-3)>0 e h(3)>0. O fato de o gráfico da
função h ser uma linha contínua e ter apenas duas raízes no intervalo de (-3,3) garante que h(3) e h(3) tenham o mesmo sinal. De modo geral pode-se dizer que: “Quando os valores
numéricos de uma função polinomial real de variável real, calculados nos extremos de um
intervalo (a,b), não vazio (a<b), têm o mesmo sinal, podemos concluir que a função possui
um número par de raízes nesse intervalo ou não possui raiz nesse intervalo (PAIVA, 2009,
p.437)”.
De acordo com o texto do autor, após a análise desses exemplos, o professor estará
quase no momento de apresentar o teorema de Bolzano aos alunos. É preciso, antes, estudar
um lema, que poderá auxiliar na demonstração do teorema. Para fins de esclarecimentos,
Paiva (2009) explica que lema é uma proposição preliminar cuja demonstração prévia é
necessária para demonstrar a tese que se pretende esclarecer.
Se P(x) é um polinômio de coeficientes reais com raízes reais e raízes imaginárias,
então P(x) pode ser fatorado como produto de Q(x).T(x) de polinômios de
coeficientes reais, em que todas as raízes de Q(x) são reais, todas as raízes de T(x)
são imaginárias e, para qualquer x real, temos T(x)>0. (PAIVA, 2009, p.438).
55
Em seguida enuncia o Teorema de Bolzano para polinômios:
Sendo P(x)=0 uma equação polinomial de coeficientes reais no universo U=C e
sendo (a,b) um intervalo real não vazio (a<b):
Se P(a) e P(b) têm o mesmo sinal, então existe um número real par de raízes em
(a,b)ou não existe raiz nesse intervalo;
Se P(a) e P(b) tem sinais contrários, então existe um número ímpar de raízes em
(a,b).(PAIVA, 2009, p.438)
Na sequência dessa enunciação, Paiva (2009) apresenta quatro exemplos resolvidos
após a construção das informações, conforme se comprova no quadro 6:
Quadro 6 - Exemplo resolvido
4
Mostrar que a equação 2x -3x2+6x-80=0 tem pelo menos uma raiz no intervalo (3,2).
Resolução:
Calculando o valor numérico da função P(x) = 2x4-3x2+6x-80 nos extremos do intervalo (3,2),
temos:
P(2) = 2.24-3.22+6.2-80 = -48
P(3) = 2.34-3.32+6.3-80 = 73
Como P(2) e P(3) têm sinais contrários, concluímos pelo teorema de Bolzano, que a equação
de coeficientes reais P(x) = 0 tem pelo menos uma raiz no intervalo (a,b)
Fonte Paiva, 2009, p. 440
Pode-se verificar que, apesar de o exercício explorar de forma satisfatória os
conceitos estudados, não há questões desafiantes, pois falta um método para determinar essas
raízes nestes intervalos. Além disso, seria importante que o autor tivesse sugerido a utilização
de ferramentas computacionais para determinar as raízes neste intervalo.
No que se refere ao corpo de exercícios, além de questões propostas acerca de cada
tópico apresentado, no final do capítulo há vários tipos de questões: técnicas,
contextualizadas, desafio, de revisão cumulativa. Neste final apresenta, ainda, um tópico
chamado “Matemática sem fronteiras”, modelando fenômenos por meio de equação. Nesse
sentido, percebe-se, novamente, a preocupação do autor em apresentar uma aplicabilidade
para o tema estudado.
56
Apesar de haver um tópico abordando raízes aproximadas em intervalos reais, não
foi detectada a articulação desejada, embora o livro apresente explicações riquíssimas,
atividades contextualizadas com a geometria, usando o departamento de trânsito como
exemplo, liga metálica e situações que envolvem empréstimo em bancos. Nesse caso, pode-se
afirmar que a abordagem do conteúdo é satisfatória, pois a articulação dos conteúdos diz
respeito a uma articulação entre o conhecimento novo e o já estudado e há muitos exemplos
que enriquecem a apresentação dos assuntos estudados.
Quanto à sistematização, os conteúdos são abordados a partir de demonstrações
como visto nos exemplos das figuras 10 e 11. Em seguida, os alunos são convidados a
resolverem exercícios de fixação, consolidando, assim, o aprendizado, com exercícios
complementares.
Esse levantamento de diversas formas de apresentação de estudos de raízes de
equações algébricas em uma amostra de livros didáticos de matemática teve como intuito
analisar como é feita a abordagem do estudo de raízes de equações de grau maior que dois ou
de equações transcendentes e verificar se os objetivos propostos em nesta pesquisa
(articulação entre o modo algébrico, geométrico e numérico aproximado) são contemplados
nos livros didáticos.
Constatou-se que os livros didáticos em questão não contemplam a articulação entre
os tratamentos analítico, geométrico e numérico aproximado. Apenas o livro de Paiva (2009),
em seu terceiro volume trata do tema de raízes aproximadas, utilizando o teorema de Bolzano
(restrito a polinômios). Nas obras, percebeu-se que as atividades propostas livros apresentam
pouca ilustração gráfica, priorizando o método analítico para determinar as raízes de uma
equação.
Com relação à abordagem do conteúdo, verificou-se que o tema é abordado nos três
livros investigados de forma bastante interessante, através de assuntos atuais. Além disso,
houve, em todos eles, a demonstração de alguns teoremas.
O resultado dessa análise mostra, afinal, que os livros didáticos analisados não fazem
uma abordagem acerca do estudo do método numérico para determinar as raízes de uma
equação, o que é importante para se compreender como resolver uma equação onde não se
aplica o estudo de raízes racionais.
57
4. O PLANEJAMENTO PARA A APLICAÇÃO DA SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES
O projeto de pesquisa apresentado nesta dissertação foi desenvolvido numa escola da
rede particular da cidade de Timóteo, em Minas Gerais, entre setembro e dezembro de 2011.
Nesse período, seguindo o calendário escolar, pode-se desenvolver 14 aulas, as quais foram
ministradas em horário extra turno e distribuídas em sete encontros, ou seja, duas aulas
semanais, conforme evidencia o quadro 7. Os participantes da pesquisa eram de uma turma do
terceiro ano do Ensino Médio composta por 25 alunos, com idade de 16 e 17 anos. A
professora de Matemática foi a professora pesquisadora.
Para alcançar os objetivos inicialmente propostos, organizou-se esta sequência de
atividades em três blocos. O texto completo das atividades encontra-se no Apêndice, que
constitui o produto desta pesquisa.
Quadro 7 - Encontros com os alunos
BLOCO DE ATIVIDADES I
Encontros
Atividades Realizadas
Primeiro encontro
Realização da Atividade 01
Segundo encontro
Realização das Atividades 02 e 03
Terceiro encontro
Realização das Atividades 04 e 05
Quarto encontro
Realização da Atividade 06
Quinto encontro
Discussão do Bloco de Atividades I
BLOCO DE ATIVIDADES II
Sexto encontro
Realização das Atividades 01, 02e 03
Discussão do Bloco de Atividades II
BLOCO DE ATIVIDADES III
Sétimo encontro
Realização da Atividade Guiada,
Método da Bisseção. Discussão da
Atividade Guiada.
Fonte: Dados da pesquisa
Para a aplicação das atividades e a construção do conhecimento discente, a turma foi
dividida em grupos de cinco componentes, porém, cada integrante deveria desenvolver a sua
atividade e socializar os resultados encontrados com a professora pesquisadora e com a turma.
Essa ação serviu para corroborar as ideias de Ponte (2009). As atividades propostas
foram elaboradas levando-se em consideração o objetivo geral desta pesquisa, que é o de
explorar um estudo interativo de métodos algébricos, geométricos e numéricos aproximados,
58
para determinar as raízes de equações algébricas e transcendentes numa turma de alunos do
Ensino Médio.
A professora pesquisadora assumiu, durante a resolução das atividades, o papel de
questionadora, fazendo perguntas que contribuíram com a prática. Foram observadas as
estratégias utilizadas, e sugestões, quando necessárias, foram dados. Quando os alunos faziam
perguntas, a professora replicava com outra, levando-os a pensar em novas estratégias para a
solução de uma questão (Zabala e Ponte, 2009).
Com o término da atividade, e passado o tempo determinado pela pesquisadora, os
grupos entregaram por escrito as atividades e desenvolveram uma discussão a respeito dos
resultados encontrados e das diferentes estratégias de resolução.
No quinto encontro, junto com todos os alunos reunidos em um único grupo, os
trabalhos feitos foram analisados, observando-se os aspectos relevantes que cada grupo
identificou. Os alunos puderam apresentar à professora e aos colegas seus pontos de vista e
dificuldades, tendo a chance de identificar os próprios erros.
Os objetivos para o Bloco de Atividades I podem ser assim expressos:
a) recuperar ou introduzir noções do que é uma equação;
b) saber identificar os elementos de uma equação;
c) saber diferenciar os tipos de equações;
d) perceber a relação entre função x equação;
e) explorar o estudo de gráficos, calculando os pontos interessantes com o auxílio da
calculadora;
f) identificar e entender o que é a raiz de uma equação com ênfase na visualização
gráfica;
g) apresentar atividades acessíveis aos alunos como ponto de partida e lançar mão de
conceitos geométricos, de forma a obter equações, saber defini-las e representá-las
em variadas formas.
No que diz respeito ao relato da experiência em sala de aula, ao fazer referências às
falas dos participantes, a professora pesquisadora será identificada por “PROF”, já os alunos,
pelas três primeiras letras de seus nomes. O registro das aulas foi feito através de um gravador
para facilitar a compreensão dos diálogos.
59
4.1 Aplicação das Atividades do Bloco I
1o Encontro – Foram apresentadas aos alunos as instruções para a realização das
atividades. Foi-lhes informado que se tratava de uma pesquisa e que não haveria grandes
intervenções. A partir daí, as atividades foram entregues a todos e orientou-se que formassem
os grupos para que, posteriormente, acontecesse a socialização das estratégias encontradas.
Nesse dia foi trabalhada a Atividade 01, conforme consta abaixo:
Atividade 01
Desenhe um retângulo de 30 cm de comprimento por 15 cm de largura em uma
folha de papel A4, utilizando, como instrumentos, lápis, borracha, esquadro e régua.
Depois, corte quatro quadrados em suas laterais. O objetivo é montar uma caixa sem
tampa e conseguir o maior volume possível com essa caixa. Para os cálculos, utilize uma
calculadora.
A estratégia esperada, com base nas teorias de Zabala (1998) e Ponte (2003), era que
os alunos investigassem um tamanho para os lados dos quadrados a serem tracejados, com o
objetivo de conseguir o maior volume para a caixa.
Percebeu-se, ao longo dessa atividade, que alguns grupos fizeram o maior lado
possível para o quadrado em cada canto do retângulo inicial, enquanto outro grupo fez o
menor quadrado possível e não criou uma estratégia para determinar o volume máximo. Além
disso, os lados dos quadrados foram feitos de forma aleatória.
Em seguida, foi solicitado aos alunos que voltassem ao problema do volume da
caixa. Era necessário que variassem o tamanho do quadrado das quinas e registrassem os
resultados encontrados na tabela abaixo:
Tabela 1 - Tabela da Atividade 01, Bloco I
Tamanho do lado do quadrado da quina
Volume da caixa
Fonte: Dados da Pesquisa
60
Com esse item foi possível fazer a relação entre a medida do lado do quadrado e o
volume da caixa, facilitando, assim, a determinação do volume máximo. Um grupo não levou
em consideração o comprimento de 30cm e a largura de 15cm da caixa, e colocou valores
considerados impossíveis para o lado do quadrado, como mostra a tabela 5 a seguir,
preenchida pelo grupo.
Tabela 2 - Tabela do Bloco de Atividades I resolvido pelo grupo de FEL
Fonte: Dados da Pesquisa
A professora pesquisadora entregou outra folha de papel A4 para um dos alunos do
grupo e fez a seguinte intervenção:
PROF: “Desenhem o retângulo inicial de 30cm por 15cm e façam, nos quatro cantos
deste retângulo, o quadrado de 15cm de lado, como vocês sugeriram na última linha da
tabela”.
FEL: “Não tem como, professora, fica impossível fechar a caixa. Aliás, não tem nem
como desenhar os quatro quadrados”.
PED: “Ah! Os quadrados têm que ter medidas de maneira a comportar os 30cm de
comprimento e os 15 cm de largura. Acho que podemos determinar uma fórmula geral para
encontrar esse volume. Vamos chamar o lado do quadrado a ser construído de x, e assim
teremos a seguinte fórmula: V = (30-2x).(15-2x).x”.
Após montarem a tabela, ficou claro para todos os grupos qual era o volume máximo
aproximado, e chegaram à conclusão que o primeiro item da atividade foi feito de maneira
aleatória, ou seja, não utilizaram nenhuma estratégia para sua construção.
Foi solicitado, então, que apresentassem os resultados através de um gráfico e
analisassem, a partir dele, o volume máximo. Esse item foi muito interessante, pois alguns
grupos perceberam que o gráfico encontrado era de uma função de terceiro grau, e
61
concluíram, assim, que o volume máximo é representado pelo ponto mais elevado do gráfico.
Um dos alunos fez o seguinte comentário:
FEL: “Através do esboço do gráfico que construímos com o auxilio do GeoGebra,
ficou muito claro o entendimento dos cálculos feitos na tabela. Olha só, aumentando os lados
dos quadrados das quinas até 3cm, o volume vai aumentando, e após 3cm o volume volta a
diminuir, ou seja, a curva do gráfico volta a decrescer. Podemos concluir que, quando o lado
do quadrado for 3cm, teremos o volume máximo. No gráfico fica muito mais fácil de chegar a
essa conclusão”.
PED: “Quer dizer que 3cm é o maior lado que deveríamos ter colocado para
determinarmos esse volume máximo” ?
FEL: “É isso mesmo, não raciocinamos. O volume é como uma função do terceiro
grau, por isso não conseguimos determinar o valor” .
Ao propor que eles fizessem a representação algébrica da expressão que representa a
área da base da caixa e o volume, os grupos começaram uma discussão, fato que, segundo
Ponte (2003), é benéfico ao processo de ensino-aprendizagem.
O grupo de KAR, após um acordo, representou a área e o volume pelas expressões
abaixo.
Figura 12 - Representação algébrica da área da base e do volume da caixa, grupo de
KAR
Fonte: Dados da Pesquisa
Os integrantes do grupo de MAI não chegavam a um consenso sobre a representação
algébrica da área da base da caixa.
MAI: “KAR, não pode ser uma expressão do primeiro grau como você está
pensando. Você não está levando em conta a altura da caixa ao multiplicar (30-2x).15”.
KAR: “Estou levando em consideração sim, pois a base da caixa é um retângulo. É
só desconsiderar os lados dos dois quadrados, que designamos por x do comprimento, e a
62
largura continua a mesma, que é de 15cm. Como a figura da base da caixa é representada por
um retângulo, é só fazer base, que é ( 30 -2x), vezes a largura, que é 15”.
STF: “Vamos fazer o esboço do desenho, MAI, como a PROF sugeriu. Fica mais
fácil para a KAR visualizar, olha só”.
Figura 13 - Representação do retângulo descrito na atividade 02 do Bloco I, grupo de
MAI
Fonte: Dados da Pesquisa
MAI: “Você, KAR, não estava levando em conta que da largura também têm que ser
retirados os 2x, porque a caixa será dobrada”.
KAR: “Ah, realmente, quando fechamos a caixa, a largura do retângulo também tem
que tirar os lados dos quadrados. Compreendi: é um retângulo, como eu já havia pensado, só
que a área é (30 -2x).(15 -2x). Realmente, MAI, uma equação do segundo grau”.
MAI: “Para determinar o volume é só multiplicar a área da base pela altura da caixa,
que já sabemos, que é x. De cabeça mesmo eu consigo montar a expressão do volume: V =
4x3-90x2+450x”.
MAR: “Compreendo agora o gráfico que fizemos para determinar o volume máximo.
Ele realmente é de uma expressão do terceiro grau. A área representa uma expressão do
segundo grau, e consequentemente, seu gráfico é uma parábola”.
O último item desta atividade questionou se a expressão do volume dessa caixa
representava uma função ou uma equação. As respostas dos grupos foram variadas, como se
pode observar pelos diálogos:
KAR: “Representa uma função, pois o volume da caixa depende do valor dos seus
lados, que designamos por x. Podemos observar isso claramente na montagem da tabela, pois
quando estávamos variando o lado do quadrado, o volume ia mudando”.
63
GAB: “Representa uma equação do terceiro grau, porque tem x 3, e para
determinarmos o valor de x é só igualarmos o volume a zero”.
LET: “Se você igualar o volume a zero e tentar determinar o valor dos lados desta
figura, o lado será negativo. Portanto, não pode ser uma Equação, é uma Função”.
PED: “Eu não consigo perceber a diferença de uma equação para uma função, para
mim é tudo a mesma coisa”.
KAR: “A função tem sempre uma variável que depende da outra, como é o caso do
volume, da área e da base. Note, PED, que a medida da área da base vai mudando na medida
em que mudarmos o valor de x. Isso fica claro na tabela”.
Como o objetivo era fazer com que os alunos percebessem a diferença entre Função
e Equação, e ainda incentivar que explorassem o estudo de gráficos, calculando os pontos
interessantes com auxílio da calculadora e do GeoGebra, pode-se afirmar que a atividade foi
válida e muito enriquecedora. Entretanto, os alunos ainda tinham dúvidas sobre o assunto.
2o Encontro – Os alunos estavam reunidos nos mesmos grupos do primeiro
encontro. Mas neste, trabalhou-se as Atividades 02 e 03 do Bloco I. Elas foram entregues aos
grupos e a eles foi dado um tempo para a resolução.
Na Atividade 02, solicitou-se que os alunos desenhassem em uma folha um
quadrado qualquer e denominassem os seus lados de x. Em seguida, em cada um dos lados
deste quadrado deveriam construir retângulos de lado 3, completar o quadrado, calculando a
área de cada parte, e representar a expressão algébrica da área total, identificando se essa
expressão representava uma função ou uma equação.
Essas orientações não foram muito bem compreendidas logo de início. A inquietação
era geral na sala de aula em torno de como desenhar o retângulo de lado 3. Os alunos não
compreenderam onde deveriam desenhar esse retângulo. Abaixo, há a figura do grupo de
SET, seguida das falas dos alunos e da professora.
Figura 14 - Representação do retângulo descrito na atividade 02, grupo de SET
Fonte: Dados da Pesquisa
64
SET: “Este nosso desenho está estranho. Para mim, não teremos um quadrado para
completar, e sim um retângulo, porque teremos um comprimento x e uma altura 3”.
BRU: “Não, eu acho também que o desenho está errado, só que teremos, na minha
visão, dois quadrados e dois retângulos”.
SET: “Então, de todo modo, a nossa atividade está errada”.
Frente a essa situação, optou-se por intervir, explicando, na lousa, as instruções
iniciais da atividade (ZABALA, 2007; PONTE, 2003).
PROF: “Pessoal, quais e quantos são os lados desse quadrado”?
SET: “São quatro, óbvio”.
PROF: “Designamos estes lados por...”?
SET: “Chamamos de x”.
PROF: “Vocês deverão construir quatro retângulos, nos quatro lados desse quadrado,
e cada lado do retângulo deve ter um tamanho de 3”.
BRU: “Ah! No retângulo ele tem dois de seus lados iguais, ou seja, um dos lados
será x e o outro 3”.
HUG: “Esta atividade está me fazendo lembrar os produtos notáveis, quando
aprendemos pela técnica de completar quadrados”.
Observou-se, nessa última fala, que o aluno utilizou-se de seus conhecimentos
prévios (LINS e GIMENEZ, 1997).
BRU: “É mesmo! Segue o mesmo raciocínio dos produtos notáveis. Que legal”!
Percebeu-se que, após a intervenção, todos os grupos começaram a discutir e não
encontraram mais dificuldades para desenvolver os comandos da atividade. O grupo de BRU
fez a representação da expressão da área total através de um produto notável, como havia
sugerido o aluno HUG:
HUG: “Olhem só, a figura que construímos representa um quadrado de lado x+ 6”.
Figura 15 - Representação do retângulo da atividade 02, grupo de HUG
Fonte: Dados da Pesquisa
65
Na figura 15 pode-se ver como o grupo de HUG representou a atividade e como,
através do diálogo, os alunos chegaram a uma conclusão.
BRU: “Não compreendi”.
HUG: “No lado da figura temos um retângulo e dois quadrados. O retângulo tem o
lado medindo x, e o quadrado o lado medindo 3. Logo, o lado desta figura que é um quadrado
mede x+6. Para representar a expressão algébrica desta área é só fazermos x+6 ao quadrado”.
SET: “Eu pensei diferente: calculei a área de cada parte da figura, tive uma área de
2
x , quatro áreas 3x e quatro áreas 9. E juntando a área de cada parte temos também a área
total, que é At=x2+12x+36”.
HUG: “Desenvolva o produto notável de (x+6)2 e teremos a mesma área que a SET
encontrou, que é At=x2+12x+36”.
O grupo de TAH resolveu desenvolver a Atividade 02, embora tenha encontrado
muita dificuldade na execução.No último tópico dessa atividade os alunos deveriam utilizar
uma estratégia para determinar os possíveis lados da figura. No diálogo abaixo, há
participação de dois grupos:
ISA: “Não é possível determinar o lado dessa figura, pois fiz a expressão da área é
igual a zero, e os resultados encontrados foram negativos. Isso foi um erro, porque como o
lado da figura vai ser negativo” ?
MAC: “Claro, tem que ser negativo mesmo, tem que dar um absurdo. Como você
coloca uma área igual a zero?”
MAI: “Ah! Se o lado deu negativo quando você igualou a zero, quer dizer então que
essa expressão representa também uma função, PED”?
PED: “Acho que estou começando a perceber a diferença entre uma equação e uma
função. Eu achava que equação era tudo o que tinha ‘x’ elevado a alguma coisa”.
PED: “Vamos determinar um valor para a área e tentar determinar os lados. Esta área
pode variar. Portanto, podemos perceber que o lado está em função da área, ou vice-versa, a
área está em função do lado. Logo, trata-se de uma função mesmo, MAI. Estou começando a
entender”.
ALE: “Vocês perceberam que sempre que estamos trabalhando com área chegamos a
uma expressão do segundo grau”?
PED: “Ou seja, a expressão do segundo grau, provavelmente, veio do conceito de
área, MAI. Quer dizer que, toda vez que eu perceber que, para calcular uma expressão, uma
variável vai depender da outra, trata-se de uma função”?
MAI: “Sim, é isso mesmo”.
66
PED: “E quando será uma equação”?
MAI: “Acho que equação é quando igualamos a zero e determinamos o valor de ‘x’,
que é a tal raiz”.
PED: “Porém, no caso de área e volume, se igualarmos a zero, fica um valor
absurdo”.
MAI: “Por isso que é função”?
PED: “Isso é confuso. Eu entendi perfeitamente o que é função, mas ainda tenho
dúvida sobre equação. Vamos ver se até o final deste projeto da PROF eu consigo entender”.
MAI: “Temos essa dúvida porque ninguém nunca ensinou matemática dessa forma,
PED. Estas aulas estão muito interessantes. Estou conseguindo perceber um monte de coisas
que antes eu tinha dúvida, e as atividades são simples”.
Ao analisar a atividade realizada pelos alunos, verificou-se que eles não
apresentaram dificuldades que merecessem destaque. Durante o trabalho houve interação
entre os alunos dentro dos grupos a partir de discussões importantes, e eles conseguiram
chegar aos resultados esperados. Todos os grupos foram beneficiados com a declaração do
aluno PED, quando ele tentava diferenciar uma função de uma equação, o que era um dos
objetivos da atividade do Bloco I. Para os alunos que tiveram um pouco mais de dificuldade, a
interação no grupo foi relevante para o processo de conhecimento que era esperado no
exercício, conforme previsto por Ponte (2003).
Na Atividade 03 foram trabalhados os conceitos de “equações” e método de
resolução de equações através da resolução de problemas. Os grupos deveriam resolver cada
um dos quatro problemas da atividade utilizando, primeiro, o método da inversão, que
consiste em retirar as informações do enunciado e realizar as operações inversas àquelas que
estão descritas. Em seguida, deveriam retornar ao problema inicial escrevendo uma equação
do primeiro grau e resolvendo-a por um método algébrico conhecido.
Problema 1: A distância da minha casa à escola, em metros, é tal que, se eu
adicionar 100 a ela e multiplicar por 3 o resultado, obtenho 900. Qual é a distância?
Este problema exigia conhecimento de equações do primeiro grau. O grau de
dificuldade era muito baixo, e todos os conceitos envolvidos na atividade já haviam sido
devidamente explorados durante o trabalho com equações do primeiro grau. O que se
pretendia verificar era:
67
a) se os alunos estavam entendendo o método da inversão;
b) se conseguiam montar uma equação simples através de um problema dado. Alguns
grupos não entenderam como deveriam utilizar o método da inversão. Então, de
início, montaram a equação e resolveram pelo método tradicional, e somente depois
tentaram o método da inversão.
Abaixo, seguem alguns diálogos registrados durante a resolução dos problemas:
GAB: “Vamos chamar a distância entre a casa dele e a escola de ‘x’. Depois vamos
adicionar os 100, colocar isso entre parênteses e multiplicar o resultado por três. Agora é só
igualar a 900. Resolvendo esta equação encontraremos a distância procurada”.
As duas figuras a seguir mostram a equação do grupo de GAB, acompanhadas da
transcrição das falas dos alunos:
Figura 16 - Resolução do Problema 1, Bloco I, pelo método tradicional, grupo de GAB
Fonte: Dados da Pesquisa
ISA: “Como vamos fazer para resolver agora, por esse tal método da inversão”?
BET: “Vamos inverter as operações, como foi sugerido no início do problema. Já que
o resultado final foi multiplicado por três, vamos dividi-lo por três, e depois, como foi somado
por 100, vamos subtrair por 100, encontrando assim o mesmo resultado inicial, que é 200m”.
Figura 17 - Resolução do Problema 1, Bloco I, pelo método da inversão, grupo de CAI
Fonte: Dados da pesquisa
ISA: “Que legal! Agora eu compreendo porque, ao resolver uma equação do
primeiro grau, invertemos as operações. Será que foi assim que surgiu o modo tradicional de
resolver uma equação do primeiro grau”?
68
Problema 2: Juntei o meu dinheiro com o seu. Você tinha R$ 2,00 a mais que eu;
em seguida, dividi o total por 2 e obtive R$ 7,00. Quanto tínhamos?
Este problema é semelhante ao primeiro, e nele os alunos deveriam encontrar,
através dos dois métodos, a solução desejada. Todos os grupos tiveram dificuldade ao resolvêlo pelo método da inversão. Novamente, fizeram primeiro pelo método tradicional, e alguns
grupos não conseguiram inverter as operações.
A discussão a respeito da resolução, mais a figura que a representa, seguem abaixo:
CLA: “Eu entendi que, primeiro, vamos multiplicar o 7por 2, fazendo a operação
inversa, e encontraremos R$ 14,00, que representa o total de dinheiro dos dois. Mas eu não sei
como representar os R$ 2,00 a mais”.
PED: “Eu também não sei, mas podemos fazer assim: sabemos que o total é 14.
Então, dividindo ao meio, temos 7para cada um. Como um tem que ter dois a mais que o
outro, podemos concluir que um tem R$ 6,00 e o outro R$ 8,00, totalizando os R$ 14,00”.
CLA: “Mas será que você utilizou o método da inversão?”
PED: “Acredito que sim.”
Figura 18 - Resolução do Problema 2, Bloco I, pelo método da inversão, grupo de CAI
Fonte: Dados da pesquisa
CLA: “É interessante quando fazemos essa analise, porque muitas vezes acabamos
resolvendo estas equações mecanicamente. Fazendo dessa maneira conseguimos entender
todo o processo”.
Problema 3: Dona Aparecida resolveu pedir ajuda aos seus santos de devoção, e
veja o que aconteceu:
69
- Se você dobrar o dinheiro que trago nesta bolsa, deixo R$ 10,00 na tua
caixinha de esmolas.
Assim foi feito. O santo dobrou o valor e ela lhe deixou R$ 10,00.
Repetiu a oferta para um segundo santo e obteve o mesmo favor. Lá ficaram
outros R$ 10,00.
Para o terceiro santo, ela propôs o mesmo negócio. Repetiu-se o milagre, e Dona
Aparecida deixou mais R$ 10,00 de esmola. Em seguida, ela despediu-se com uma
oração, benzeu-se e, lampeira, foi conferir o lucro. Mas não tinha um tostão na bolsa.
Desiludida, concluiu:
-Puxa vida, estou precisando de aulas de Matemática.
Dona Aparecida entrou na igreja com que quantia?
A situação-problema envolvia uma “charada”, e todos os grupos procuraram resolvêla utilizando o método da inversão. A inquietação na sala foi geral e houve muita discussão
nos grupos. Eles tiveram dificuldade para determinar uma solução, porém, demonstraram
vontade de chegar ao resultado. As falas a seguir e as figuras mostram o momento da
interação:
CLA: “Como faremos as operações inversas, GAB, sem utilizar incógnita”?
GAB: “Eu acho que sei o que fazer”.
Neste momento, toda turma parou para ouvir GAB, e o aluno foi convidado para
resolver o problema na lousa.
GAB: “Vamos começar com o terceiro santo. Como Dona Aparecida não ficou com
nenhum tostão no bolso, e como seu dinheiro foi dobrado e dele retirado R$10,0, podemos
concluir que ela chegou ao terceiro santo com R$5,00”.
Figura 19 - Resolução do Problema 3, Bloco I, pelo aluno GAB
Fonte: Dados da Pesquisa
70
GAB: “Voltando ao segundo santo, ela deveria ter uma quantia que, dobrada e
subtraída por R$10,00, sobrasse cinco, que foi o valor que ela chegou ao terceiro santo.
Podemos concluir, com isso, que ela, ao chegar ao segundo santo, tinha R$7,50”.
Figura 20 - Resolução do Problema 3, Bloco I, pelo aluno GAB – parte 1
Fonte: Dados da Pesquisa
GAB: “Logo, ao fazer o pedido para o primeiro santo, Dona Aparecida deveria ter
um valor que, ao ser dobrado, e dele retirado R$10,00, deveria sobrar R$7,50. Então, vamos
fazer a operação inversa para determinar o valor inicial. Metade de R$7,50 é R$3,75. Vamos
somar com R$5,00 e encontraremos a quantia com que Dona Aparecida chegou na igreja”.
Figura 21 - Resolução do Problema 3, Bloco I, pelo aluno GAB – parte 2
Fonte: Dados da Pesquisa
Após a resolução do aluno GAB, todos os grupos voltaram a atenção para o
problema, tentando determinar a solução através de uma equação do primeiro grau. ISA, a
partir da fala de GAB, chegou a uma conclusão:
ISA: “Consideremos o valor que Dona Aparecida tinha na bolsa de ‘x’. Este valor foi
dobrado e retirado R$10,00, que colocaremos entre parênteses. Em seguida, foi dobrado
novamente e retirado R$10,00, que colocaremos entre colchetes, e depois, foi dobrado e
retirado R$10,00. Como ela não ficou com nada, igualaremos a zero. Temos uma equação do
primeiro grau. É só resolver”.
A equação a seguir, que foi desenvolvida pelo grupo de ISA, comprova o resultado
ao qual chegou também o aluno GAB:
71
Figura 22 - Resolução do Problema 3, Bloco I, pelo grupo de ISA
Fonte: Dados da Pesquisa
PED: “Olhem, a equação não apresenta variável dependente e independente. Nessa
expressão que montamos temos que determinar simplesmente um valor para a incógnita, que,
neste caso, é único. O valor da incógnita não pode variar. Por isso não é uma função, é uma
equação”.
FEL: “Isso mesmo, este valor é a tal raiz”.
Problema 4
Pensei em um número n. Logo em seguida, multipliquei por 2, somei 2 ao
resultado, multipliquei tudo por 3, depois subtraí 6 e, ao fim, dividi tudo por 4. Descubra
qual é o número n, sabendo que o resultado final dos cálculos é 12.
O problema 4 também enuncia uma “charada”. Todos os grupos queriam conseguir
determinar o resultado, e começaram pelo método da inversão. Somente após encontrarem a
solução para essa etapa, voltaram para o método algébrico. O aluno MAI descreveu como
encontrou o primeiro resultado:
MAI: “Multipliquei o 12 por 4. Do resultado, somei 6e dividi por 3. Depois, peguei o
18, subtraí 2, encontrei 16 e multipliquei por 2, resultando em 32.”
Figura 23 - Resolução do Problema 4, grupo de MAI
Fonte: Dados da Pesquisa
72
Após esse momento, outro aluno interferiu na discussão:
RAF: “MAI, lembre-se que é uma operação inversa. Você não vai multiplicar por 2,
vai dividir o 16 por 2, e encontrará o número procurado, que é 8. E eu fiz pelo método
algébrico e encontrei 8 também.”
Figura 24 - Resolução do Problema 4, grupo de RAF
Fonte: Dados da Pesquisa
Ao final da atividade, foi solicitado que os grupos analisassem os dois métodos de
resolução. A respeito disso, a aluna CLA fez a seguinte declaração:
CLA: “(...) o modo de desfazer as operações me fez compreender a resolução de uma
equação do primeiro grau, pois quando resolvemos este tipo de equação, na verdade estamos
desfazendo operações. Fiquei curiosa para conhecer um método diferente para resolver
equações do segundo e terceiro graus...”
Nesse segundo encontro, pretendia-se observar como os alunos dariam tratamentos
diferentes a um mesmo conteúdo matemático (DUVAL, 2003), e as discussões ocorreram
conforme os objetivos esperados. Os discentes, ao comentarem sobre a Atividade 3,
afirmaram que muitos deles não tinham conhecimento do método da inversão. Uma
intervenção foi feita neste momento para que a professora pesquisadora discorresse um pouco
sobre outros métodos de resolução de equações, como o numérico. Todos mostraram grande
interesse em saber mais sobre o assunto.
73
3º Encontro – Neste dia, foram discutidas as Atividades 04 e 05. A turma estava
ansiosa para realizá-las, e o objetivo da Atividade 04era que fizessem o projeto de uma
piscina e deduzissem uma fórmula para a área da calçada, com uma Função do 2º grau. O
conceito de função, já trabalhado em anos anteriores, bem como o conceito de equações, não
parecia, inicialmente, oferecer dificuldade aos alunos. Segue, então, o problema:
Atividade 04
a) A piscina da casa de Ana tem 10 m de largura e 16m de comprimento. Ao
redor dela, Ana pretende construir uma calçada de largura y metros e revesti-la
com pedras. Faça o esboço do projeto da piscina.
Nas figuras abaixo pode-se perceber como os grupos representaram a atividade e
como dialogaram para chegar à resolução do problema.
FEL: “Podemos relacionar esta atividade com aquela em que a PROF pediu para
montarmos um quadrado de lado x e construir retângulos de lado 3, depois completar os
quadrados”.
GAB: “Não entendo que relação podemos fazer desta atividade proposta com a de
completar os quadrados”.
FEL: “Olha só o desenho. Teremos quatro quadrados de lado y, dois retângulos de
área 10y e dois retângulos de área 16y. Somado as áreas de cada parte, teremos a área total da
calçada, que é: At = 4y2 + 52y”.
Figura 25 - Representação do projeto feito pelo grupo de FEL, Atividade 04, Bloco I
Fonte: Dados da Pesquisa
74
GAB: “Esta área representa uma função do segundo grau, porque a área da calçada
vai depender da largura y da calçada”.
Já o grupo de ISA utilizou uma estratégia diferente do grupo de FEL para determinar
a área da calçada, como pode-se perceber nas falas seguintes:
ISA: “MAI, podemos determinar a área da calçada fazendo assim: Vamos, primeiro,
calcular a área total do terreno, que tem 16+2y de comprimento e 10 +2y de largura.
Multiplicando o comprimento pela largura, determinamos a área total do terreno. Em seguida,
podemos calcular a área da piscina, que é de 160m². E agora, para determinarmos a área da
calçada, podemos subtrair a área total do terreno da área da piscina. Teremos: At = 4y2 +
52y.”
Figura 26 - Representação do projeto feito pelo grupo de ISA, Atividade 04, Bloco I
Fonte: Dados da Pesquisa
MAI: “Muito legal, ISA! Esta área representa uma função! Olha só, se igualarmos a
zero, os valores de y serão zero, mas não pode haver um número negativo”.
ISA: “A área resultou novamente em uma Função do segundo grau”.
LET: “O gráfico da área da calçada será uma parábola, com a concavidade voltada
para cima”.
O item “b” dessa atividade solicitava que os grupos montassem outra fórmula que
fornecesse o custo da pedra e da mão de obra para a feitura da calçada. Segue a pergunta:
Atividade 04
b) Cada metro quadrado de pedra custa R$22,50 e, para colocá-la, o pedreiro
cobra R$10,00 por metro quadrado. Escreva a fórmula que fornece o custo C da
pedra e da mão-de-obra em função de y.
75
Abaixo, seguem as discussões feitas pelos alunos:
BRU: “Já sei que a expressão que vamos encontrar é uma função, não é uma
equação, pois temos variável dependente e independente”.
HUG: “Vamos pensar em uma maneira de determinar esta fórmula”.
ICA: “É tranquilo. Sabemos que a área total da calçada é de (4y2 + 52 y) metros
quadrados. Então, o custo total da pedra será o valor da área total multiplicado por R$ 22,50.
E para calcularmos o preço pago ao pedreiro, vamos multiplicar a área total por R$ 10,00.
Para fazer a fórmula do custo total é só somar os dois custos”.
HUG: “Isso mesmo, temos novamente uma função do segundo grau. Portanto, o
gráfico será uma parábola”.
BRU: “Pelo item c, percebemos que o custo total é uma função, pois o custo C vai
depender do valor y em metros, e o gráfico será uma parábola”.
Já a Atividade 05 tinha como objetivo trabalhar o conceito de função, levar o aluno a
fazer representações algébricas de situações-problemas e construir tabelas e gráficos. Foi
muito tranquila a realização dessa atividade, pois todos já estavam familiarizados com a
diferença entre uma equação e uma função.
Segue a transcrição do problema:
Atividade 05
Ana Carolina precisa terminar sua toalha de crochê, que já está com 40 cm de
comprimento, e deseja que ela fique com 1,6 m. Ela consegue tricotar 20 cm por dia.
a) Faça uma tabela que mostre o comprimento da toalha em cada dia.
b) Esta tabela representa uma função? Justifique sua resposta.
c) Represente algebricamente essa situação.
d) Em quantos dias Ana Carolina terminará a toalha?
e) Faça a representação gráfica da tabela do item‘b)’.
A discussão registrada entre os discentes encontra-se abaixo:
LAR: “Bom, primeiro vamos transformar 1,6m em centímetros para sabermos o
comprimento total da toalha”.
76
LET: “É só multiplicar por 100. Logo, o comprimento da toalha é de 160cm. Como
ela consegue tricotar 20cm por dia, ela irá gastar 8 dias”.
IGO: “Sabemos que é uma função porque o tamanho da toalha depende do número
de dias”.
LAR: “Tenho dúvida sobre qual é o grau desta função e como vamos fazer para
representar algebricamente esta situação”.
IGO: “Eu acho que é do primeiro grau. Vamos fazer a representação e testar para ver
se encontramos os resultados da tabela”.
LAR: “Não consigo pensar em uma maneira de determinar algebricamente”.
CLA: “Meninos, vocês fizeram errado. Não são oito dias. Esqueceram da informação
inicial? A toalha já tem 40cm, logo, serão seis dias, porque no primeiro ela já chega aos
60cm”.
LAR: “Nossa, é mesmo. CLA, você já pensou em uma maneira de representar
algebricamente”?
CLA: “Eu fiz o gráfico primeiro e sei que é do primeiro grau, porque gerou uma reta.
Sei também que é crescente. Pela forma geral, sabemos que toda função do primeiro grau é do
tipo Y= ax + b. Montando um sistema através da tabela, determinamos essa função. Vamos
pegar dois pontos: (1, 60) e (2,80). Substituindo e resolvendo o sistema, temos que: C = 20
x+40”.
LAR: “Que interessante! Se você não tivesse feito o gráfico primeiro, não saberia
resolvê-la”.
CLA: “Não sei”.
Todos os grupos realizaram as atividades propostas para este encontro. Os objetivos
foram alcançados e o aprendizado foi além do esperado. Percebeu-se, ainda, que alguns
alunos superaram algumas dificuldades, como a de diferenciar uma função de uma equação.
Os resultados colhidos nesse dia foram válidos e enriquecedores.
4o Encontro – Neste encontro foi discutida a Atividade 06, que abrangia o conteúdo
de função e zero de função através do gráfico. Os grupos receberam a atividade e foi dado o
tempo de 50 minutos para a resolução.Em comparação às outras, a Atividade 06 foi realizada
quase que automaticamente, e sem obstáculos, por quase todos os grupos. Os alunos
detectaram que as sentenças matemáticas do item “a” se tratavam de funções do primeiro grau
e traçaram o gráfico sem grandes dificuldades. A atividade está descrita abaixo:
77
Uma operadora de telefonia celular oferece para seus clientes dois planos
básicos de pagamento.
a) Plano I: Assinatura de R$ 35,00 e R$ 0,50 por minuto de conversação;
b) Plano II: Sem cobrança de assinatura e R$ 1,20 por minuto de conversação.
Nessas condições:
a) obtenha a sentença matemática que permite encontrar o valor cobrado em
cada um dos planos;
b) trace o gráfico das funções definidas por essas sentenças matemáticas em um
mesmo plano cartesiano;
c) determine o tempo de conversação para que o valor cobrado seja igual nos
dois planos.
A seguir, estão os comentários feitos pelos alunos:
STF: “Determinar as sentenças matemáticas, que na verdade são funções do primeiro
grau, é simples. Vamos chamar o preço total de y e o minuto de conversação de x. Logo, para
o Plano I, temos y = 0,50 x + 35, e para o Plano II, temos y = 1,20x”.
LET: “É isso mesmo, duas funções do primeiro grau. Então, o gráfico das duas
representa uma reta”.
STF: “Para determinarmos o valor igual nos dois planos é só igualar uma função a
outra. Iremos encontrar x = 5, ou seja, cinco minutos de conversação. O valor é igual para os
dois planos”.
LET: “Nem precisava fazer isso. É só olharmos o ponto de encontro dos dois
gráficos. Este é o valor igual, que realmente é de cinco minutos”.
STF: “Nossa! Muito simples”.
Considerou-se que neste encontro os grupos apresentaram mais facilidade para
resolver as questões propostas, e neste dia não houve grandes discussões.
5o Encontro – Neste encontro foi feita a socialização do trabalho realizado até então.
Todos os participantes da pesquisa concordaram que a dinâmica adotada nas atividades foi
muito interessante. Disseram que trabalhar a álgebra relacionando-a com a geometria quebra a
barreira existente entre esses dois tópicos da matemática que, para muitos, constituem campos
78
completamente diferentes. Afirmaram, ainda, que construir e analisar gráficos facilita o
entendimento da atividade.
Quando questionados sobre o momento da atividade em que tiveram mais
dificuldade, a maioria dos grupos afirmou que foi ao resolver os primeiros problemas pelo
método da inversão. Os alunos comentaram sobrea importância de conhecer e saber resolver
equações por outros métodos que não fosse o tradicional, e mostraram grande interesse em
conhecer o método numérico.
O trabalho em grupo e as atividades pouco repetitivas foram elogiados por todos. Os
discentes alegaram que, trabalhando em grupos, é possível fazer interações por meio das
discussões, permitindo o surgimento de diferentes ideias e estratégias de resolução.
Acredita-se que a realização deste primeiro bloco de atividades, organizado e
sustentado pelas teorias dos autores escolhidos, foi muito válida e enriquecedora para a turma,
que ficou ansiosa para continuar o trabalho proposto. Todos demonstraram muito interesse em
conhecer novos métodos de determinar as raízes de equações algébricas e transcendentes.
Assim, considera-se que os objetivos das atividades foram atingidos.
4.2 Aplicação de Atividades do Bloco II
Os objetivos para a construção do Bloco de Atividades II eram:
a) verificar se os alunos sabem identificar as raízes de uma equação algébrica;
b) explorar os métodos de resolução de uma equação algébrica de grau maior que
dois;
c) estender a atividade com caixas ao conceito de raízes de equações algébricas;
d) compreender os conceitos de equações algébricas;
e) identificar as equações algébricas em problemas do dia-a-dia;
f) verificar se os alunos compreenderam que o lado de um quadrado a ser recortado
em um retângulo representa a altura de uma caixa;
g) relacionar a geometria com as equações algébricas;
h) verificar quais concepções os alunos têm sobre os conceitos de raízes de equações;
i) explorar o trabalho com gráficos e calculadora.
j) compreender o conceito de equações algébricas.
79
O planejamento para a aplicação das atividades do Bloco II seguiu as mesmas
estratégias de planejamento utilizadas nas atividades do Bloco I: os grupos e os apelidos
(usados para que não fossem identificados), tanto dos alunos quanto da professora
pesquisadora, mantiveram-se os mesmos das atividades. No Bloco de Atividades II,
participaram os mesmos 25 alunos. Sobre a mesa de cada grupo foi colocado um gravador.
Este projeto foi desenvolvido em um encontro de duas horas e meia de duração.
Durante a execução, muitas ideias novas poderiam ser trabalhadas, levando a diversas
discussões e permitindo a abordagem de novas estratégias e o enfoque de novos conceitos.
A aplicação do Roteiro de Atividades na sala de aula
6o Encontro – Os alunos se reuniram em grupos de cinco. Foram desenvolvidas,
neste encontro, as Atividades 01, 02 e 03, visando a atender os objetivos sugeridos. As
atividades foram entregues aos grupos e a eles foi dado um tempo para a resolução.
Atividade 01
a) Desenhe um quadrado de 10cm de lado;
b) corte quadrados de 2cm de lado nos cantos deste quadrado. Dobrando-os,
será obtida uma caixa sem tampa. Calcule o volume desta caixa;
c) existe algum outro valor a ser recortado em cada canto para que o volume da
caixa resultante seja o mesmo volume inicial? Qual é esse valor, caso exista?
Utilize uma calculadora. Registre todos os procedimentos utilizados para
determinar esse valor.
Ao sugerir essa atividade, pretendia-se verificar se os alunos identificariam o volume
da caixa como uma equação do terceiro grau e se utilizariam um dos métodos aprendidos em
sala para determinar as raízes desta equação. O conceito de volume de sólidos já havia sido
trabalhado em anos anteriores, bem como a montagem de uma expressão algébrica que
representa o volume de uma caixa, muito explorada na atividade do Bloco I. Dessa maneira,
tais ações não ofereciam maiores dificuldades aos alunos. Já o método para a resolução de
uma equação de grau maior que dois, embora trabalhado pela professora pesquisadora no
primeiro semestre de 2011, poderia apresentar algum estranhamento.
80
Como previsto, todos souberam fazer o esboço da caixa, e não encontraram
empecilhos para identificar o lado do quadrado de 2cm como sendo a altura da caixa.
Entretanto, a maioria dos alunos, ao resolver a equação do terceiro grau, esqueceu-se de
considerar o lado de 2cm como sendo uma das raízes da equação.
Nas transcrições das gravações feitas, pode-se observar as discussões entre eles:
ISA: “Bom, os lados dos quadrados de 2cm são a altura da caixa. Como o lado todo
mede 10cm, temos comprimento e largura igual a 8cm, por se tratar de quadrado”.
MAI: “Você não está observando o desenho. O comprimento e a largura não são
8cm, e sim 6cm, pois devemos subtrair 4”.
ISA: “É mesmo, deixe-me desenhar”.
Figura 27 - Representação da Atividade 01, Bloco II, grupo de ISA
Fonte: Dados da Pesquisa
MAI: “Agora, para determinarmos o volume, vamos multiplicar o comprimento e a
largura de 6cm pela altura de 2cm, e teremos como resultado um volume de 72 cm3”.
MAR: “Para determinarmos os outros possíveis valores para a altura, vamos chamar
o lado de cada quadrado de x cm”.
ISA: “O desenho fica assim”.
81
Figura 28 - Representação da Atividade 01, Bloco II, grupo de ISA
Fonte: Dados da Pesquisa
ISA: “O comprimento e a largura correspondem a (10 – 2x), e a altura, x”.
MAI: “O volume será: (10 – 2x)2.x”.
ISA: “Como ele tem que ser igual ao inicial, vamos igualar a função do volume a
72cm3”.
MAR: “Teremos uma equação do terceiro grau: 4x3-40x2+100x-72 = 0”.
ISA: “Podemos dividir tudo por quatro”.
LET: “Como faremos para determinar os possíveis valores de x se sabemos que x
pode ter três valores”?
MAI: “Será que dá para resolver pelo método da decomposição”?
ISA: “Acho que não. Temos que fazer Briot-Ruffini”.
LET: “Para fazermos Briot-Ruffini, temos que ter pelo menos uma raiz, mas não
temos”.
MAI: “Podemos ver se essa equação possui raízes racionais”.
ISA: “Pelas raízes racionais percebemos que o 2 é raiz. Podemos aplicar BriotRuffini e determinarmos as outras possíveis raízes. Resolvendo, encontraremos x = 6,6 e x =
1,4”.
Figura 29 - Resolução da Atividade 01, Bloco II, grupo de MAI
Fonte: Dados da Pesquisa
82
MAI: “O valor de 6,6cm não é possível, porque estamos considerando um quadrado
inicial de lado 10cm”.
ISA: “Logo, outro possível valor para o lado do quadrado deste problema é 1,4cm”.
É importante dizer que a intervenção da professora pesquisadora não foi necessária
em nenhuma dessas ações. O grupo de FEL identificou o lado de 2cm como uma das
possíveis raízes da equação, atingindo um dos objetivos dessa atividade, conforme evidencia
o diálogo:
FEL: “Chegamos a uma equação do terceiro grau”.
GAB: “Podemos resolver por Briot-Ruffini. Já que estamos querendo determinar
outro valor para o lado do quadrado das quinas, e como utilizamos 2cm para determinar o
volume inicial, podemos constatar que o lado de 2cm é uma raiz da equação”.
FEL: “Isso mesmo, agora é só utilizarmos o método de Briot-Ruffini e determinar as
outras raízes”.
Ao iniciar a discussão na socialização do exercício, perguntou-se aos grupos se
algum havia encontrado dificuldade para determinar a expressão do volume da caixa. O grupo
de LET relatou que, como as atividades do Bloco I já haviam sido trabalhadas, eles já sabiam
que a expressão seria do terceiro grau. E quando igualaram o volume a 72cm3, sabiam que se
tratava de uma equação. Perguntou-se, ainda, se algum dos grupos havia encontrado
empecilhos ao resolver a equação do terceiro grau, pois percebeu-se que somente o grupo de
FEL identificou o lado de 2cm como uma das possíveis raízes. Os outros grupos
determinaram as outras raízes pelo método das raízes racionais, e apenas um não conseguiu
resolver a equação, apesar de ter conseguido montar a expressão.
A Atividade 02 foi adaptada do terceiro volume do livro de Paiva (2009). Segue
abaixo a descrição desta atividade:
As medidas, em centímetros, dos lados de um triângulo retângulo são dadas
pelas raízes da equação 4x3-24x2+47x-30 = 0. Determine os lados desse triângulo
retângulo e também a sua área em centímetros quadrados. Registre todos os
procedimentos utilizados para encontrar os lados do triângulo.
O grupo de KAR resolveu a equação utilizando o processo de raízes racionais. Nas
discussões para a resolução do problema, todos os participantes do grupo foram unânimes em
eliminar as raízes negativas por se tratarem de lados de triângulos. Segue, abaixo, a resolução
do grupo:
83
Figura 30 - Resolução da Atividade 02, Bloco II, grupo de FEL
Fonte: Dados da Pesquisa
Pode-se perceber que o grupo cometeu um erro ao encontrara área do triângulo
retângulo sem determinar os catetos e a hipotenusa, chegando ao resultado errado com relação
à área.
O grupo de FEL sabia resolver este exercício pelo método de raízes racionais e
também pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini. Porém, os alunos queriam determinar a área
do triângulo de uma maneira diferente da adotada pelos outros. Segue, portanto, o raciocínio
utilizado pelo grupo:
84
Figura 31 - Resolução do grupo de FEL
Fonte: Dados da Pesquisa
85
Por fim, segue a figura que demonstra a resolução do grupo de KAR, o qual
conseguiu chegar ao resultado correto:
Figura 32 - Resolução do grupo de KAR
86
Figura 33 - Continuação Resolução do grupo de KAR
Fonte: Dados da Pesquisa
Na discussão geral com os grupos, os alunos relataram que foi fácil resolver a
questão. O grupo de KAR percebeu o erro, e o de FEL afirmou que tentou solucionar o
problema de uma maneira diferente do convencional. Os objetivos da atividade foram
atingidos e considerou-se muito útil e interessante a intervenção do grupo de FEL, que mesmo
não conseguindo chegar ao resultado, tentou resolver a atividade utilizando outro método, o
que pode ser considerado um avanço.
Já a Atividade 03 apresentava o polinômio do quarto grau P(x) = = x4-3x32x2+12x+m, com x=2 como raiz dupla, e solicitava que os alunos determinassem as outras
raízes deste conjunto.
Os grupos substituíram o x por 2 para determinar o valor de m. Logo em seguida,
levando em consideração que 2 é raiz dupla da equação, utilizaram o dispositivo de Briot-
87
Ruffini para determinar as outras raízes da equação. Nenhum grupo encontrou dificuldade
para resolver esta questão.
O item 2 desta atividade exigia que os alunos relacionassem as raízes encontradas a
uma situação do dia-a-dia. Seguem, abaixo, alguns dos problemas descritos pelos grupos.
Grupo I
Seu João fez uma promoção em seu supermercado: Apresentou a equação do quarto
4
graux -3x3-2x2+12x-8 =0 em um painel e disse que a soma de suas raízes é a quantidade de
picanha que o primeiro cliente que resolver o problema irá ganhar. Sabendo que 2 é uma das
raízes da equação, quantos Kg de picanha irá ganhar o cliente que acertar o resultado?
Grupo II
O irmão de Pedro gosta de brincar com os números. Ele ganhou um terreno de
forma retangular em um bingo e disse que, se Pedro adivinhasse as dimensões do local,
poderia ficar com ele. O irmão de Pedro deu duas informações a respeito do terreno:
a) O comprimento e a largura são representados por duas raízes da equação x4-3x32x2+12x-8=0.
b) A equação que representa as dimensões do terreno possui raiz dupla.
c) Como Pedro não conseguia descobrir a solução, seu irmão deu mais uma dica:
d) A largura do terreno é de 2 unidades de comprimento.
e) Com essa dica, Pedro conseguiu determinar o comprimento do local. Porém, ficou
só com a metade dele. Qual foi a área do terreno que Pedro ganhou?
Grupo III
Uma escola pretende diminuir os gastos com papel. Para os recados será construído
um painel retangular de 2m de comprimento. Aproveitando a ocasião, a professora lançou
um desafio para os alunos do terceiro ano do Ensino Médio: as dimensões do painel são as
raízes positivas da equaçãox4-3x3-2x2+12x-8=0. Para acertar o desafio e ganhar o ponto
extra, responda qual deve ser a altura do painel.
A respeito dessa atividade, os grupos foram unânimes em considerá-la muito
enriquecedora, pois ela os levou a construir problemas que contemplassem a equação do
quarto grau. Segundo Zabala (1998) e Ponte (2003), os alunos devem ser conduzidos e
incentivados a expressarem-se matematicamente e a avaliarem seus próprios trabalhos.
88
4.3 Aplicação da Atividade do Bloco III
Este bloco compunha-se de uma atividade guiada6 em que os alunos acompanharam,
lendo e participando, a exposição de uma teoria e a estrutura de solução de um conteúdo a ser
estudado. Ela foi desenvolvida nos dias 13 e 14 de Dezembro de 2011, com os mesmos 25
alunos do terceiro ano do Ensino Médio de uma escola particular da cidade de Timóteo, em
Minas Gerais. Eles, que realizaram os Blocos de atividades I e II, foram, mais uma vez,
divididos em cinco grupos com cinco componentes cada. Estavam ansiosos para desenvolver
esta atividade, pois, em encontros anteriores, foi falado sobre este método diferente de se
encontrar a raiz de uma equação ou o zero de uma função, chamado de Bisseção.
O encontro teve duração média de 2 horas e 40 minutos e a atividade foi
desenvolvida no período da tarde, no laboratório de informática, para que os alunos pudessem
utilizar o GeoGebra e o VCN. Solicitou-se que os grupos levassem também uma calculadora,
como nos demais encontros. Novamente, as aulas foram gravadas para facilitar a identificação
das falas.
Ao final do encontro, os resultados encontrados foram socializados pelos grupos,
assim como as dúvidas levantadas por eles. Pediu-se que os alunos anotassem as dificuldades,
as dúvidas ou alguma informação que não tivesse ficado clara no enunciado de cada questão.
Recolheu-se uma atividade de cada grupo para ser arquivada pela pesquisadora. Como já
estavam acostumados com o processo de resolução destas atividades, sabiam que pouca
intervenção seria feita por parte da professora. Os alunos pegaram a folha do exercício,
fizeram uma leitura geral e partiram para a resolução.
Na atividade, foi apresentada a função do primeiro grau y = 2x -10, e solicitado aos
alunos que completassem a tabela abaixo:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y ou f(x)
-8
-6
...
...
...
...
...
...
Este item foi desenvolvido por todos os grupos sem dificuldades e discussões. Não
foi identificada nas gravações nenhuma fala referente à resolução da tabela. Ao serem
6
A atividade relativa ao método da Bisseção usou como suporte um texto da aula do prof. Dimas Felipe de
Miranda, da disciplina Matemática Discreta do curso de Mestrado da PUC Minas, 2010.
89
recolhidas as atividades resolvidas dos grupos referentes a esse item, não foram encontrados
erros.
Abaixo está a resolução da tabela, de acordo com todos os grupos:
X
1
2
3
4
5
6
7
8
Y ou f(x)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
Logo em seguida, o texto da atividade trouxe algumas informações a respeito dos
resultados que eles haviam encontrado e também sobre um valor muito importante de x para o
qual a imagem y é igual a zero. Segue a transcrição da atividade:
Veja que podemos escrever, por exemplo: f(1)=-8; f(2)=-6 etc... (se lembra desta
linguagem?). Mas, há um valor de x, nesta tabela, muito importante na matemática:
é o valor de x para o qual a imagem y vale zero. No caso, quando x=5, temos y=0,
ou, escrevendo de forma sintética: f(5)=0 x=5 ou r=5 é uma raiz (ou zero) da
equação 2x-10=0.Em qualquer função, a raiz ou zero é o ponto do gráfico de f(x),
onde ele intercepta o eixo x , isto é, onde y vale zero. Isso vale para uma reta, uma
parábola, uma função logarítmica ou trigonométrica, etc, conforme mostra a figura a
seguir (em que se escolheu r para simbolizar o valor da raiz x) 7:
Figura 34 - Gráfico da Atividade Guiada
Fonte: Figura do texto de aula do professor Dimas
O item “a” solicitou que os alunos observassem a figura do gráfico genérico acima e
traçassem, manualmente, o gráfico da função do início da atividade. Como esse encontro
estava sendo realizado no laboratório de informática, os grupos tomaram a iniciativa de
desenhar este gráfico no software GeoGebra, embora ainda não tivesse sido solicitado. A
figura abaixo mostra o resultado:
7
Atividade desenvolvida em aula ministrada pelo professor Dr. Dimas Felipe, no Programa de Pós-Graduação
em Ensino de Ciências e Matemática da PUC-Minas, em 2012
90
Figura 35 - Gráfico da função F(x) = 2x -10, grupo de HUG
Fonte: Dados da Pesquisa
O grupo de FEL relatou que, antes mesmo de traçarem o gráfico, já sabiam que seria
uma reta por se tratar de uma função do primeiro grau, e que o gráfico interceptaria o eixo das
abscissas no valor de x =5.
Terminada esta etapa, o item “b” da atividade, descrito abaixo, foi dado aos alunos:
No gráfico que você construiu, a raiz é x=5. Então, olhe para o gráfico e ajudeme a pensar: “será verdadeiro dizer que as imagens (valores de y) à esquerda de uma
raiz são sempre de sinais contrários às imagens (valores de y) à direita? Sim ou não?”
A seguir, estão transcritos os diálogos gravados durante o processo de resolução da
atividade e reproduzidas as figuras dos gráficos traçados pelos grupos:
FEL: “Analisando o gráfico, podemos constatar que a afirmação é verdadeira. Mas
tenho dúvida se esta propriedade é valida, por exemplo, para uma função do terceiro grau, ou
para uma função transcendente”.
GAB: “Podemos constatar construindo estes gráficos”.
91
Figura 36 - Gráfico referente à função, f(x) = x3 – x2 – 3x +2 , grupo de FEL
Fonte: Dados da Pesquisa
FEL: “É, no gráfico da função do terceiro grau, podemos analisar as três raízes e
constatar também que a propriedade é válida”.
PED: “Vamos testar agora em uma função trigonométrica, para tirarmos a dúvida”.
Figura 37 - Gráfico referente à função f(x) = senx, grupo de FEL
92
Fonte: Dados da Pesquisa
FEL: “Podemos perceber que as imagens à esquerda e à direita das raízes da função
trigonométrica também têm valores diferentes”.
PED: “Vocês leram o item d desta atividade”?
GAB: “Sim, quer dizer que, se escolhermos um intervalo qualquer para uma função,
e se as imagens tiverem valores diferentes, há pelo menos uma raiz neste intervalo”.
FEL: “Vamos utilizar a função F(x) = x – 8 para testarmos esta propriedade.
Sabemos que o zero desta função é 8, então, vamos pegar dois valores para testarmos a
propriedade. Utilizaremos x = 6 e x = 9.Para x = 6, temos: 6-8 = -2; e para x = 9, temos: 9 – 8
= 1”.
Como os sinais são contrários, existe pelo menos uma raiz real neste intervalo. Segue
o gráfico desta função para análise (figura 37):
Figura 38 - Gráfico referente à função, f(x) = x -8, grupo de PED
Fonte: Dados da Pesquisa
PED: “Estou com uma dúvida”.
FEL: “Qual”?
PED: “A atividade está pedindo para verificarmos se há pelo menos uma raiz real da
equação 4-x2=0. No intervalo de x = 1 até x =4, não deveria ser F(x) = 4-x2, pois se
substituirmos, por exemplo, x = 1, vai ficar 3 = 0, e não vai gerar imagem”.
93
FEL: “Vamos seguir a atividade, pois está muito interessante. Nesta letra e
percebemos que não há raízes no intervalo de x =1 até x =4 porque os sinais foram iguais. Já
no intervalo de x = 0,5 até x = 2,3 tem raízes, pois os sinais foram contrários”.
PED: “Isso é claro de entender. As raízes são -2 e 2, logo, há mesmo uma raiz neste
intervalo. Essa propriedade ficou bem comprovada. Então, vamos traçar o gráfico para nós a
identificarmos”.
Figura 39 - Gráfico referente à função f(x) = 4 – x2, grupo de FEL
Fonte: Dados da Pesquisa
GEO: “Tem que ser uma função mesmo”.
FEL: “Vocês viram a letra f. Quer dizer que não podemos descartar. Logo, se os
sinais forem iguais, pode existir ou não uma raiz neste intervalo”.
As discussões estavam bem produtivas, principalmente quando chegaram ao item g,
que explicou sobre o método da Bisseção. Os grupos fizeram os cálculos com o auxilio de
uma calculadora para verificar e acompanhar os resultados já fornecidos pela tabela
apresentada na atividade.
94
Observe, 4 - x2 = 0:
xy
xy
1,0000
3
1,9844
4,0000
-12 2,0078
2,5000
-2,25 1,9961
1,7500
0,9375 2,0020
2,1250
-0,5156
1,9375
0,2461
2,0313
-0,1262
0,0622
-0,0313
0,0156
-0,0080 imagem |y|≤0,01 Parar!
RESPOSTA: raiz x=2,0020, com erro ≤0,01
Não foram levantadas dúvidas a respeito do método da Bisseção, pois o texto
apresentado na atividade foi suficiente para que os alunos entendessem tal método. Os alunos
utilizaram-no para resolver a equação 4-x 2 = 0, com aproximação de  0,01. A seguir,
consta o diálogo registrado nos grupos:
KAR: “Vamos, inicialmente, definir um intervalo para nossa função”.
ISA: “Podemos pegar o intervalo do item e, x =0,5 e x = 2,3. A imagem de x1 = 0,5 é
y1 = 3,75 e a imagem de x2 = 2,3 é y2 = -1,29”.
KAR: “Pelo que eu entendi, para utilizarmos o método da Bisseção, temos que
determinar outro valor de x, que é o ponto médio do intervalo que já definimos. No caso, será
x3 
0,5  2,3
, que será igual a: 1,4. Vamos determinar y3 = 4 – (1,4)2 = 2,04. Como o valor
2
é positivo, podemos redefinir o intervalo”.
MAI: “O novo intervalo, se eu entendi direito, será x2 = 2,3 cuja imagem é y2 = -1,29
e
x 3 = 1,4 cuja imagem é y3= 2,04, pois os sinais são diferentes”.
KAR: “É isso mesmo. Faremos outro ponto médio x 4 
2,3  1,4
= 1,85, cuja imagem
2
será y4= 4- (1,85)2= 0,5775. Podemos concluir que a raiz se encontra entre o intervalo de
x2= 2,3, cuja imagem é y2 = -1,29 e x4= 1,85 cuja imagem é y 4 = 0,5775”.
MAI: Vamos fazer novamente o ponto médio e redefinir o intervalo x 5 
2,3  1,85
=
2
2,075, cuja imagem é y5 = 4 – (2,075)2 = -0,305625”.
KAR: “Logo, o novo intervalo é x 4 = 1,85 cuja imagem é y 4 = 0,5775 e x5 = 2,075
cuja imagem é
y5 = - 0,305625. Faremos novamente x 6 
1,85  2,075
= 1,9626, cuja
2
95
imagem é y 6 = 4 – (1,9626)2=0,1482. Logo, o novo intervalo será x5= 2,075, cuja imagem é
y5= - 0,305625 e y6 = 4 – (1,9626)2=0,1482”.
MAI: “Faremos isso até nos aproximarmos de zero. Vamos fazer agora no VCN,
para verificarmos os nossos cálculos”.
Figura 40 - VCN, grupo de MAI
Fonte: VCN, 2007
KAR: “Nossa, como é rápido! Vamos verificar se nossos cálculos estão corretos”.
Foi solicitado aos alunos que determinassem uma raiz da equação 2x -3 =0 utilizando
o método da Bisseção e adotando tolerância de = 0,01.
O grupo de TAI escolheu o intervalo x1= 1 e x2 = 4, encontrando as imagens y1= -1 e
y2 =5. Os alunos constataram que existe uma raiz neste intervalo. Fizeram, pois, a média do
intervalo escolhido, x3 
1 4
= 2,5 e, substituindo este valor na equação, encontraram y 3 = 2.
2
Então, redefiniram o intervalo para x1=1 e x3= 2,5.
TAI: “Faremos, novamente, o ponto médio x 4 
1  2,5
=1,75 e encontraremos como
2
imagem, y4= 0,5. Redefinindo o intervalo, teremos x1= 1 e x4 = 1,75. Faremos, novamente, o
ponto médio x 5 
1  1,75
=1,375, e encontraremos como imagem y5= -0,25. Logo, o novo
2
intervalo será x4= 1,75 e x5= 1,375. E, mais uma vez, faremos o ponto médio x6= 1,5625,
cuja imagem será y6= 0,125. Redefiniremos o intervalo para x5= 1,375 e x6= 1,5625. Fazendo
96
o ponto médio, teremos x7= 1,46875, cuja imagem será y7= -0,0625, e redefinindo o intervalo
para x6= 1,5625 e x7= 1,46875, teremos x8= 1,515625, cuja imagem será y8= 0,03. Podemos
concluir que a raiz é aproximadamente 1,51”.
Os grupos fizeram o gráfico para conferir o resultado, como pode-se ver abaixo:
Figura 41 - Gráfico referente à função f(x) = 2x -3, grupo de KAR
Fonte: Dados da Pesquisa
TAH: “Vamos fazer no VCN para conferirmos nosso resultado.”
Figura 42 - VCN, grupo de KAR
Fonte: Dados da Pesquisa
97
O grupo de FEL resolveu o exercício utilizando um intervalo diferente do grupo de
TAI. Segue a resolução:
a) F(x) = 2x- 3
X1= 0,5 e x2= 2
F(0,5) = 2.(0,5) – 3 = -2
F(2) = 2.2-3 = 1
FEL: “Pela propriedade estudada, sabemos que existe pelo menos uma raiz neste
intervalo. Para refinarmos o intervalo, aplicaremos o método da Bisseção, determinando o
ponto médio do intervalo.
x3
0,5  2
= 1,25F(1,25) = 2.(1,25) – 3 = -0,5
2
O novo intervalo é x2= 2 de imagem F(2) = 2.2-3 = 1 e x3= = 1,25 de imagem
F(1,25) = 2.(1,25) – 3 = -0,5
- Aplicando o método da Bisseção pela segunda vez.
x4
1,25  2
= 1,625F(1,625) = 2.(1,625) – 3 = 0,25
2
- O novo intervalo é x3 = 1,25, de imagem F(1,25) = 2.(1,25) – 3 = -0,5, e x4= 1,625
de imagem F(1,625) = 2.(1,625) – 3 = 0,25.
- Aplicando o método da Bisseção pela terceira vez.
x5
1,25  1,65
= 1,4375,F(1,4375) = 2.(1,4375) – 3 = -0,125
2
- O novo intervalo é x4= 1,625, de imagem F(1,625) = 2.(1,625) – 3 = 0,25, e x5 =
1,4374, de imagem F(1,4375) = 2.(1,4375) – 3 = -0,125.
- Aplicando o método da Bisseção pela quarta vez.
x6
1,4375  1,625
= 1,531,F(1,531) = 0,0625
2
- O novo intervalo é x5 = 1,4374, de imagem F(1,4375) = 2.(1,4375) – 3 = -0,125,e x6
= 1,531, de imagem F(1,531) = 0,0625.
98
- Aplicando o método da Bisseção pela quinta vez.
x7
1,4375  1,531
= 1,49
2
F(1,49) = -0,02
Como a imagem é menor que 0,01, podemos constatar que a raiz aproximada é
1,49”.
FEL: “Vamos conferir os nossos cálculos no VCN.”
Figura 43 - VCN, grupo de FEL
Fonte: Dados da Pesquisa
Os demais grupos escolheram outros intervalos, como por exemplo, [1,2], e quando
fizeram o ponto médio para aplicar o método da Bisseção, o zero da função foi encontrado de
forma imediata.
Avaliando a atividade guiada, elaborada e conduzida conforme as orientações e
teorias de ensino/aprendizagem dos autores assumidos neste trabalho de pesquisa, percebeu-se
que os grupos não apresentaram grandes dificuldades para realizá-la, e ainda entenderam
perfeitamente o método da Bisseção e como utilizar o software VCN. Porém, alguns alunos
ficaram inseguros quanto ao critério de parada, isto é, quando interromper o procedimento
repetitivo do método da Bisseção. Durante a socialização, em plenária, foi esclarecido como
eles deveriam usar o critério de parada adotado, limitando seus comentários ao público do
Ensino Médio e restringindo-se ao único critério de parada proposto. A atividade foi muito
99
enriquecedora e houve grande contentamento por parte dos alunos, os quais levaram várias
equações simples para casa, para desenvolver por esse método.
A manipulação do método da Bisseção levou os alunos a perceberem que não se
tratava de usar uma única fórmula ou um só registro ou modelo de representação matemática
para solucionar um problema, mas que seria necessário reunir vários registros e aplicá-los,
após reflexão, em um único objeto matemático (Duval, 2003). Assim, eles trabalharam
numericamente, seja na calculadora ou no computador, as expressões algébricas das equações,
e foram capazes de compreender que a raiz procurada seria, geometricamente, a abscissa do
ponto de interseção do gráfico com o eixo associado à variável independente. Os alunos
acompanharam, também, o refinamento, isto é, as sucessivas reduções do intervalo da raiz,
sempre atentos às variações dos sinais das imagens, e usaram, repetidas vezes, a fórmula de
ponto médio da Geometria Analítica. As tabelas, construídas passo a passo por eles,
permitiram-lhes a visualização do fenômeno da convergência de uma sequência numérica,
trabalhada no campo discreto, mas que, na realidade, é a representação de uma situação
contínua por natureza.
100
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esta dissertação procurou atender as características de uma pesquisa qualitativa,
tendo como fonte de dados o ambiente natural da sala de aula. O trabalho investigativo foi o
principal instrumento utilizado.
Na teoria metodológica de Ludke (1986), Bogdan e Biklen (1982), o pesquisador e
os sujeitos da pesquisa qualitativa se situam num espaço comum e estabelecem contatos
muito diretos, participando de um trabalho intensivo de campo. Tal fato, em concordância
com os autores, favorece a busca de uma compreensão mais ampla e interpretativa da situação
estudada, e a análise da pesquisa, como ocorreu neste trabalho, consequentemente, enfatiza
mais o processo do que o produto, auxiliando o ensino aprendizado.
Em sala de aula, para atingir os objetivos desejados, foi utilizada a metodologia de
resolução de uma sequência de atividades com o auxílio de softwares, como o GEOGEBRA e
o VCN, e ainda instrumentos mais comuns, como a calculadora, ou mesmo lápis e papel.
Nesta metodologia, é importante que o aluno seja um construtor do conhecimento, não se
colocando apenas como receptor. O professor apenas conduz o processo, de modo a
possibilitar um ambiente de ensino que favoreça a aprendizagem (PONTE, 2009).
Dentro dessa metodologia, teve-se o cuidado de enfocar atividades desafiadoras.
Assim, os alunos trabalharam em grupos com cooperação, aprendendo Matemática mesmo
enquanto resolviam atividades com o auxílio dos softwares.
Na condução da sequência de atividades, foram utilizadas as estratégias descritas por
Ponte (2009), obedecendo-se às três fases sugeridas pelo autor para se desenvolver a
investigação em sala de aula. Na primeira fase, a proposta da pesquisa e da tarefa foi levada
aos alunos. Já na segunda, os sujeitos realizaram as atividades investigativas em grupos, com
a participação e a colaboração ativa dos membros. Na fase três, os grupos socializaram e
discutiam, oficialmente, os resultados, sendo coordenados e esclarecidos em suas dúvidas pela
professora pesquisadora.
Havia, ainda, interesse em verificar como se daria a aprendizagem do estudo de
raízes de equações algébricas e transcendentes, e a articulação entre o tratamento analítico,
geométrico e numérico aproximado. A partir das teorias de Zabala (1998) e de Duval (2003)
foi feito o planejamento das atividades, sempre considerando os alunos como principais
responsáveis pela construção do conhecimento, e o professor pesquisador como responsável
por dirigir o processo.
101
Desde a formulação da questão de pesquisa e do estabelecimento dos objetivos que
serviram de base para a elaboração e o desenvolvimento das atividades, foram levados em
conta os conhecimentos prévios que os alunos tinham a respeito de Álgebra, Sólidos
Geométricos, além de suas experiências não ligadas, necessariamente, à escola.
Assim, um dos objetivos específicos desta pesquisa, que era trabalhar a diferenciação
entre função e equação visando retomar o significado do valor numérico encontrado como
raiz de uma equação, foi satisfatoriamente alcançado pelos alunos, sem que se retomasse, por
exemplo, o estudo de funções. Um outro objetivo, o de levar o aluno a lidar com equações e
suas raízes em situações e problemas, alternando tratamentos (dentro do mesmo registro) e
conversões (entre registros diferentes) também foi atingido. Isso pode ser percebido através
das falas dos alunos nas transcrições ao longo do trabalho, assim como pelos protocolos com
soluções de questões. Os alunos estabeleceram relações com seus conhecimentos prévios e
visualizaram formas diferentes para solucionar questões matemáticas. Por fim, pretendia-se
explorar o ensino do método numérico da Bisseção, como síntese das representações
algébrica, geométrica e numérica aproximada e convergente. Para alcançar este objetivo com
compreensão, os alunos basicamente sintetizaram seus conhecimentos prévios e habilidades
adquiridas em um algoritmo: a sequência de passos e de decisões a serem tomadas. Eles
foram disciplinados na leitura e no desenvolvimento da atividade guiada. Suas falas e
protocolos registrados nesta dissertação demonstram que a aprendizagem foi eficaz e
realizada em um ambiente descontraído.
Essa concepção inerente a presente pesquisa está de acordo Lins e Gimenez (1997).
Os autores, que discutem sobre a aprendizagem significativa da álgebra, afirmam que, se não
conectarmos os novos conhecimentos aos conhecimentos prévios que os alunos já possuem;
ou ainda, se os objetos algébricos não forem associados a nenhum sentido; e se a
aprendizagem de álgebra for centrada na manipulação de expressões simbólicas a partir de
regras que se referem a objetos abstratos, muito cedo os alunos encontrarão dificuldades nos
cálculos e passarão a apresentar atitudes negativas em relação à aprendizagem matemática,
que para muitos fica desprovida de significação.
A intenção deste trabalho, desde o seu início, era contribuir para que as aulas de
matemática fossem realizadas em um ambiente favorável e mais agradável ao processo de
ensino-aprendizagem. A professora pesquisadora e os alunos, sujeitos da pesquisa,
vivenciaram este ambiente.
102
REFERÊNCIAS
AZEVEDO, Elizabeth, Quirino de. Ensino-aprendizagem das equações algébricas através
da resolução de problemas. 2002. 176f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) –
Instituto de Geociências e Ciências Exatas, UNESP, Rio Claro (SP).
BARRETO, A. Camargo: Matemática Funcional (III). Belo Horizonte: Vega, 1973.
BRASIL. Lei n.º 9.394. Estabelece as diretrizes e bases da educação nacional. Brasília:
DOU, 1996.
BRASIL. Ministério da Educação e Cultura. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino
Médio. Brasília: MEC, 1998.
BRASIL. Secretaria de Educação Básica. Orientações curriculares para o ensino médio,
volume 2. Brasília: MEC, 2006. p. 67-98
BRASIL. Programa Nacional do Livro Didático. PNLEM/2005: Matemática. Brasília: MEC,
SEMTEC, FNDE, 2004.
BRASIL, Ministério da Educação e Cultura. GESTAR II - Programa de Gestão da
Aprendizagem Escolar: Ensino Médio. Brasília: MEC, 2008.
CELESTINO, M.R. Ensino-aprendizagem da Álgebra Linear: as pesquisas brasileiras na
década de 90. 2000. 114f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Programa de
Pós- Graduação em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo,
SP.
COXFORD, Arthur F.; SHUKTE, Albert.P. (org). As idéias da Álgebra. Trad.Hygino
H.Domingues. São Paulo: Atual, 1995.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto & Aplicações V.3. São Paulo: Ática, 1999.
DUVAL, R. Registros de Representação Semiótica e Funcionamento Cognitivo da
Compreensão em Matemática. In: MACHADO, Silvia Dias Alcântara (org.). Aprendizagem
em Matemática: registros de representação semiótica. São Paulo: Papirus, 2003. p. 11-33
FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em Educação Matemática: percursos
teóricos e metodológicos. Campinas: Autores Associados, 2006.
FREITAS, M. A. de. Equação do 1º grau: métodos de resolução e análise de erros no
ensino médio. 2002. 146f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Programa de
Pós- Graduação em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo,
SP.
GEOGEBRA.Wikipédia. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Geogebra>. Acesso
Em 17 set. 2011.
103
GÉRARD, F.; M, ROEGIERS, X. Concevoir et évaluer des manuels scolaires. 1993.
Bruxelas. De Boeck-Wesmail (tradução Portuguesa de Júlia Ferreira e de Helena Peralta,
Porto: 1998).
GIOVANNI, Castrucci; GIOVANNI Jr. A conquista da Matemática. São Paulo: FTD, 2007.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO Roberto. Matemática Completa. Segunda edição. São
Paulo: FTD, 2005.
LIMA, Elon Lages. Exame de Textos: Análise de Livros de Matemática para o Ensino
Médio. Rio de Janeiro: SBM, 2001.
LINS, Rômulo Campos e GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em aritmética a álgebra para
o século XXI. Campinas: Papirus, 1997.
LÜDKE, M & outros. Pesquisa em educação: abordagens qualitativas. São Paulo: EPU,
1986.
MARTINS, A. de M. Uma metanálise qualitativa das dissertações sobre equações
algébricas no Ensino Fundamental. 2008. 142 p. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática). Programa de Pós- Graduação em Educação Matemática, Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo, SP.
MIRANDA, Dimas Felipe et al. Virtual cálculo numérico (VCN). Software para o Ensino.
2007. Disponível em www.matematica.pucminas.br.
MORAIS, Rosilda dos Santos. A Aprendizagem de Polinômios através da Resolução de
Problemas por meio de um ensino Contextualizado. 2008. 258f. Dissertação (Mestrado).
Departamento de Metodologia de Ensino, Universidade Federal de São Carlos, SP.
MINAS GERAIS. Secretaria de Estado da Educação. Proposta curricular: Currículo Básico
Comum. MG: SEE, 2006.
MINAS GERAIS. Secretaria de Estado da Educação. Novo Plano Curricular: Ensino
Médio. MG: SEE, 2006.
MIORIN, Maria Ângela. O ensino da Matemática: evolução e modernização. 2005. 231f.
Tese (Doutorado em Educação). Faculdade de Educação, Universidade de Campinas,
UNICAMP, SP.
OLIVEIRA, Marília Barros de. Construindo significados para a linguagem Algébrica com
o auxílio do jogo Codificação-Decodificação. 2004. 177p. Dissertação (Mestrado em
Educação Matemática). Programa de Pós- Graduação em Educação Matemática, Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, SP.
PONTE, J. P., Brocardo, J., & Oliveira, H. Investigações matemáticas na sala de aula. Belo
Horizonte: Autêntica, 2003.
RIBEIRO, A. J. Analisando o desempenho de alunos do ensino fundamental em Álgebra,
com base em dados do SARESP. 2001.145p. Dissertação (Mestrado em Educação
104
Matemática). Programa de Pós- Graduação em Educação Matemática, Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo, SP.
RIBEIRO, A. J. Equação e seus multisignificados no ensino de Matemática: contribuições
de um estudo epistemológico. 2007. 141f. Tese (Doutorado em Educação Matemática).
Programa de Pós- Graduação em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica de
São Paulo, SP.
ROMANATTO, Mauro Carlos. O livro didático: alcances e limites. In: ENCONTRO
PAULISTA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 7., 2004, São Paulo. Anais eletrônicos...
São Paulo: USP, 2004. Disponível em:
http://www.sbempaulista.org.br/epem/anais/mesas_redondas/mr19-Mauro.doc>. Acesso em:
13/04/2009.
SILVA, Carlos Roberto da. Explorando Equações Cartesianas e Paramétricas em um
Ambiente Informático. 2006. 254p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática),
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, SP.
ZABALA, A. A prática educativa: como ensinar. Porto Alegre: Artmed, 1998.
ZABALA, A. A prática educativa: como ensinar. Reimpressão. São Paulo: Artmed, 2007.
105
APÊNDICE A – CADERNO DE ATIVIDADES
PUC Minas
UMA PROPOSTA METODOLÓGICA PARA O ESTUDO DE RAÍZES DE EQUAÇÕES
NO TERCEIRO ANO DO ENSINO MÉDIO, UTILIZANDO O MÉTODO ALGÉBRICO
GEOMÉTRICO E NUMÉRICO APROXIMADO
AUTORES:
Michele Lana Mourão Fernandes
Dimas Felipe de Miranda
Belo Horizonte
2012
106
PREFÁCIO
Esse produto é o resultado de uma pesquisa realizada no Mestrado em Ensino de
Ciências, área de concentração: Matemática, da Pontifícia Universidade Católica de Minas
Gerais- PUC-Minas, como parte da exigência para a obtenção do título de Mestre em Ensino
de Matemática da Professora Michele Lana Mourão Fernandes, sob a orientação do Professor
Dr. Dimas Felipe de Miranda.
Constitui-se em um caderno de atividades para se trabalhar com o estudo de raízes de
equações, utilizando o enfoque, algébrico, geométrico e numérico aproximado-, destinado a
alunos do terceiro ano do Ensino Médio, cujas atividades propostas pretendem contribuir para
o ensino e aprendizagem dessas equações e suas aplicações.
As atividades foram organizadas de modo a resgatar alguns conceitos fundamentais
de equações e de funções, necessários para o estudo das raízes de equações algébricas, ao
mesmo tempo em que introduz e desenvolve o estudo de raízes dessas equações e explora os
diferentes tipos de registros de representações semióticas para uma equação fazendo o uso de
diversas estratégias de ensino e aprendizagem da matemática.
Dessa forma, os objetivos dessas atividades se resumem, basicamente, em oferecer
subsídios que levem os alunos do terceiro ano do Ensino Médio a revisar os principais
métodos de resolução de uma equação algébrica, ao mesmo tempo em que permite construir e
compreender o conceito formal de o que significa zero de uma função ou raiz de uma
equação.
Durante a elaboração desse produto, em consonância com os objetivos descritos, nos
referenciamos em alguns livros do Ensino Médio, nos quais buscamos inicialmente fazer uma
revisão dos principais conceitos desse conteúdo, fundamentais ao ensino/aprendizagem dessas
equações.
A estrutura do texto foi organizada em três blocos de atividades seguidos por uma
sugestão de exercícios propostos.
Os blocos apresentam, propositalmente, algumas informações e definições, formais
ou não, com a pretensão de que os alunos recuperem conceitos importantes ao entendimento
dos conteúdos. Buscamos, também, fazer uma ligação entre os conhecimentos geométricos e
algébricos e, em nossas atividades, procuramos incluir atividades que envolvessem áreas e
volumes.
O caderno apresenta atividades bem diversificadas, com questões guiadas, aplicadas
às novas tecnologias de ensino.
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Com as atividades do Bloco I, pretendemos que os alunos:
a) construam ideias de o que é uma equação, fazendo a relação com volume de
sólidos;
b) saibam identificar os elementos e tipos de equações;
c) percebam a relação entre Função x Equação;
d) explorem o estudo de gráficos, calculando os pontos interessantes com o auxilio da
calculadora.
Através do Bloco de atividades II, pretendemos que os alunos:
a) explorem os métodos de resolução de uma Equação Algébrica;
b) identifiquem o método utilizado para determinar as possíveis raízes desta equação;
c) resolvam uma equação do quarto grau;
d) identifiquem as Equações Algébricas em problemas do dia-a-dia;
e) relacionem a Geometria às Equações Algébricas.
Com as atividades do Bloco III, convidamos os alunos para uma descoberta guiada
do método da Bisseção para resolver uma equação. Devem ser resolvidas com o uso do
GeoGebra e do VCN, por seu softwares livres e de fácil manuseio.
Como último tópico, apresentamos uma sugestão de exercícios onde os alunos
possam se divertir enquanto aprendem os diferentes métodos de resolução para uma equação.
Os autores.
108
SUMÁRIO
1. BLOCO DE ATIVIDADES I .....................................................................................110
1.1 OBJETIVOS............................................................................................................110
2. BLOCO DE ATIVIDADES II.....................................................................................117
2.1 OBJETIVOS...........................................................................................................117
3. BLOCO DE ATIVIDADES III...................................................................................120
3.1 OBJETIVOS............................................................................................................120
109
SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES
1. Bloco de Atividades I
1.1 Objetivos
a) Introduzir os alunos em ideias de o que é uma equação;
b) saber identificar os elementos e tipos de equações;
c) perceber a relação entre função x equação;
d) explorar o estudo de gráficos, calculando os pontos interessantes com o auxílio da
calculadora;
e) identificar e entender o que é a raiz de uma equação com ênfase na visualização
gráfica;
f) traduzir situações-problema usando a linguagem algébrica;
g) possibilitar o uso de métodos alternativos;
h) resolver situações-problema usando equações;
i) apresentar atividades acessíveis aos alunos como ponto de partida, fazendo uso da
“descoberta guiada” e lançando mão de conceitos geométricos, de forma a obter
equações, saber defini-las, representá-las e resolvê-las de variadas formas.
Atividade 01
a) Desenhar um retângulo 30cm por 15 cm ,utilizando como instrumento: lápis, borracha,
esquadro e régua. Depois de desenhar o retângulo, corte quatro quadrados em suas
laterais. O objetivo é montar uma caixa sem tampa e conseguir o maior volume
possível com essa caixa. Para os cálculos, utilize uma calculadora.
b) Voltando ao problema do volume, use o mesmo retângulo, variando o tamanho do
quadrado das quinas e encontre o volume máximo. Use uma calculadora para fazer os
cálculos.
110
Registre os resultados na tabela abaixo:
Tamanho do lado do quadrado da quina
Volume da caixa
De acordo com seus cálculos, qual o volume máximo encontrado? Relacione o resultado
encontrado na tabela com o resultado encontrado na letra a?
c) Registre suas observações a respeito da relação entre o tamanho do quadrado das
quinas e a altura da caixa.
d) Faça a representação algébrica da expressão que representa área da base da caixa.
e) Faça a representação algébrica da expressão que representa o volume desta caixa.
111
f) A expressão do volume desta caixa representa uma função ou uma equação?
(Justifique)
g) Com o auxilio do GeoGebra, construa o gráfico da expressão do volume desta caixa, e
relacione com o volume máximo encontrado em sua tabela.Registre suas observações.
Atividade 02
a) Construir em uma folha de papel, utilizando: lápis, borracha e régua um quadrado
qualquer e chamar os seus lados de x.
b) Em seguida, vamos construir, em cada um dos lados deste quadrado, retângulos de
lado 3. Após fazer esta construção, quantos x você obteve?
c) Em seguida, vamos completar o quadrado. E calcular a área de cada parte desta figura.
112
d) Represente a expressão algébrica da área total desta figura. Esta expressão representa
uma equação ou uma função? Justifique.
e) Utilize uma estratégia e encontre os possíveis lados desta figura.
Atividade 03
Para resolver os problemas abaixo, siga as seguintes instruções:
- Resolva-os primeiro utilizando o método da inversão, que consiste e, retirar as informações
do problema iniciando pela última informação e realizando as operações inversas;
- Depois retome aos problemas, e escreva para cada um dele, uma equação. Resolva a
equação pelo método que você conhece e compare os resultados.
a) A distância da minha casa à escola, em metros, é tal que, se eu adicionar 100 a ela e
multiplicar por 3 o resultado, obtenho 900. Qual é a distância?
113
b) Juntei o meu dinheiro com o seu. Você tinha R$ 2,00 a mais que eu; em seguida,
dividi o total por 2 e obtive R$ 7,00. Quanto tínhamos?
c) Dona Aparecida resolveu pedir ajuda aos seus santos de devoção; e veja o que
aconteceu:
- Se dobrasse o dinheiro que trago nesta bolsa, deixo R$ 10,00 na tua caixinha de
esmolas.
Assim foi feito. O santo dobrou e ela lhe deixou R$ 10,00.
Repetiu a oferta para um segundo santo e obteve o mesmo favor. Lá ficaram outros R$
10,00.
Para o terceiro santo, ela propôs o mesmo negócio; repetiu-se o milagre, e dona
Aparecida deixou mais R$ 10,00 de esmola.
Em seguida, dona Aparecida despediu-se com uma oração, benzeu-se e, lampeira, foi conferir
o lucro. Mas, qual, não tinha um tostão na bolsa. Desiludida concluiu:
- Puxa vida, estou precisando de aulas de Matemática.
Dona Aparecida entrou na igreja com que quantia?
a) Pensei em um número n. Logo em seguida, multipliquei por dois, somei dois ao
resultado, multipliquei tudo por três, depois subtraí seis e, ao fim, dividi tudo por
quatro. Descubra qual é o número n, sabendo que o resultado final dos cálculos é 12.
114
e) Analise os dois modos de resolução, e registre as suas conclusões.
Atividade 04
A piscina da casa de Ana tem 10 m de largura e 16m de comprimento. Ao seu redor
ele pretende construir uma calçada de largura y metros e revesti-la com pedras. (Faça o
esboço do projeto da piscina)
O valor de y não está decidido, pois depende dos custos envolvidos. Por isso, Ana
precisa fazer alguns cálculos.
a) Deduza uma fórmula para área da calçada.
b) Cada metro quadrado de pedra custa R$ 22,50 e para colocá-la o pedreiro cobra R$
10,00 por metro quadrado. Escreva a fórmula que fornece o custo C da pedra e da
mão-de-obra em função de y.
115
c) Use a fórmula e uma calculadora e preencha a tabela:
y(em metros)
1,0
2,0
3,0
4,0
C(em reais)
d) Com o auxilio do GeoGebra, represente graficamente o valor y em metros e o custo C
em reais. Registre as suas observações para ajudar Ana a tomar a sua decisão.
116
2. Bloco de atividades II
2.1 Objetivos
a) Verificar se os alunos sabem identificar as raízes de uma equação algébrica;
b) explorar os métodos de resolução de uma equação algébrica de grau maior que doi;
c) estender a atividade com caixas ao conceito de raízes de equações algébricas;
d) compreender os conceitos de equações algébricas;
e) identificar as equações algébricas em problemas do dia-a-dia;
f) relacionar a geometria com as equações algébricas;
g) verificar quais concepções os alunos tem sobre os conceitos de raízes de equações;
h) explorar o trabalho com gráficos e calculadora.
Atividade 01(Adaptado do Livro do Dante- Volume 03)
a) Desenhar um quadrado de 10 cm de lado.
b) Corte quadrados de 2cm de lado nos cantos deste quadrado. Dobrando-os vamos obter
uma caixa sem tampa. Calcule o volume desta caixa.
117
c) Existe algum outro valor a ser recortado em cada canto para o qual o volume da caixa
resultante seja o mesmo do inicial? Qual é esse valor caso ele exista? Registre todos os
procedimentos utilizados para determinar este valor. (Utilize uma calculadora)
Atividade 02 (Adaptado do Livro Matemática Paiva- Volume 03)
As medidas em centímetros, dos lados de um triângulo retângulo são dadas pelas
raízes da equação 4x3-24x2+47x-30 = 0. Determine os lados deste triângulo retângulo e
determine a sua área, em centímetros quadrados. Registre todos os procedimentos utilizados
para determinar os lados deste triângulo.
118
Atividade 03
O polinômio P(x) = x4-3x3-2x2+12x+m tem uma raiz dupla para x = 2, determine as
outras raízes deste conjunto.
Relacione esta equação e as raízes encontradas a uma situação do dia-a-dia.
119
3. Bloco de Atividades III
3.1 Objetivos

Resolver uma equação algébrica utilizando o método algébrico, geométrico e numérico
aproximado;

definir, sem o rigor matemático o teorema de bolzano e o método da bisseção;

utilizar o programa vcn para determinar as raízes aproximadas de uma equação;

avaliar, na visão do aluno, as sequências de atividades aplicadas.
Atividade Guiada
Caro aluno! Você já sabe calcular raízes de algumas equações por fórmulas, como a
equação do 2o Grau, por exemplo. Mas, não há fórmulas para todos os tipos de equações,
então aqui, apresentaremos um método geral, próprio para se calcular, por
aproximação, uma raiz de uma equação num intervalo dado.
Vamos lá!!! Exige-se um pouco de concentração!!!
Se tivermos y = 2x -10, estamos diante de uma função, que também pode ser escrota
na forma f(x) = 2x -10. Neste caso, trata-se de uma conhecida função do primeiro grau (claro
que você conhece muitas outras, até mais “robustas”, mas o que vamos falar neste texto vai
servir para esta e para outros tipos também, então de ligue!)
Considerando a função dada acima, podemos calcular valores de y, do conjunto
imagem, caso sejam dados valores de x, do seu conjunto domínio. Por exemplo, vou iniciar a
tabela e você vai ajudar-me a completá-la (nem precisa de calculadora, agora, mas depois
sim!):
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y ou f(x)
-8
-6
...
...
...
...
...
...
Veja que podemos escrever, por exemplo: f(1) = -8; f(2)= -6 etc... (se lembra desta
linguagem?)
Mas, há um valor de x, nesta tabela, muito importante na matemática: é o valor de x
para o qual a imagem y vale zero. No caso, quando x =5, temos y =0, ou, escrevendo de forma
sintética: f(5) = 0.
120
X= 5 ou r = 5 é uma raiz (ou zero) da equação 2x -10 =0
Em qualquer função, a raiz ou zero é o ponto do gráfico de f(x), onde ele intercepta o
eixo x, isto é, onde y vale zero. Isto vale para uma reta, parábola, função logarítmica,
trigonométrica etc..., conforme mostra a figura a seguir ( em que escolheu-se r para simbolizar
o valor da raiz x):
Agora, pegue seu lápis e vamos trabalhar um pouco:
a) Aproveite o espaço à direita da figura acima e trace o gráfico da nossa função dada no
primeiro item, usando todos os pontos da tabela que você completou (vai ser uma reta)
b) No gráfico que você construiu, a raiz é x=5. Então, olhe para o gráfico e ajude-me a
pensar: “será verdadeiro dizer que as imagens (valores de y) à esquerda de uma raiz
são sempre sinais contrários às imagens (valores de y) à direita?” Sim ou não?
c) Se você teve dúvida na questão anterior, basta experimentar. Por exemplo, se escolho
x =3; vem y =4; se escolho x =6, vem y =2 (veja que -4 e 2 são imagens de sinais
contrários). Observando o gráfico, vê-se que podemos escolher até valores não inteiros
para x, teremos sempre os valores de y com sinais contrários, em torno da raiz. Ok!
121
Guarde bem esta propriedade!!!!!!
d)IMPORTANTE! Por intuição, pode-se concluir, da propriedade anterior, que: “Dado um
intervalo de x =a até x =b, em que a função f(x) é definida, e sendo f(a) e f(b) de sinais
contrários, então existe pelo menos uma raiz da equação f(x)=0 neste intervalo”.
Por exemplo, nossa função acima, y = 2x -10, ainda que eu não olhasse para o seu gráfico,
se fosse dado o intervalo x1= 2,8 e x2 = 6,5, bastaria calcular
Y1 = 2(2,8) -10 = -4,4
e Y2 = 2(6,5) -10 = 3
Como -4,4 e 3 têm sinais contrários, logo há pelo menos uma raiz da equação no intervalo
de x1= 2,8 e x2 = 6,5 (já sabemos que a raiz é x =5). Tudo legal?
e) Para você fazer! Verifique se há pelo menos uma raiz da equação 4-x2 =0 no intervalo
de x1= 1 até x2= 4.
Observe que esta equação tem duas raízes: x = -2 e x =2 (você já sabia, né?). Faça o gráfico
da função e mostre essas duas raízes.
f) CUIDADO!!! Se numa função qualquer, f(a) e f(b) tiverem sinais iguais, nada está
garantido; as raízes podem existir, ou não. Por exemplo, na equação do item e), se
escolhermos o intervalo x1= -3 e x2= 5, temos y1= 4 – (-3)2= -5 e y2= 4-(-5)2= -21.
Veja que -5 e -21 são de mesmo sinal, no entanto, como se sabe, há 2 raízes no intervalo
de x1= -3 e x2= 5.
g) Agora vamos estudar o esperado método da Bisseção!
A equação 4 – x2 = 0 tem, por exemplo, uma raiz no intervalo de x 1= 1 até x2= 4, por que y1=
3 e y2= -12 têm sinais contrários, conforme verificamos no item e) acima, então para tentar
122
chegar mais perto da raiz, calcule x 3 
( x1  x 2 )
(é a fórmula de ponto médio de um
2
segmento).
Resposta: x3 = 2,5 (confira!). Observe que este valor x3 está mais perto da raiz, no caso x =2,
do que estavam os valores de x1 e x2.
Então calcule y3. Resposta y3 = -2,25 (confira!)
Entre as imagens anteriores a y3, na sequência, qual tem sinal contrário a y3?
Resposta: será y1(tendo x1 como seu correspondente no domínio)
Então, calcule, agora x 4 
( x3  x 1 )
. Resposta: x4 = 1,75 (confira!). Veja que x4 está mais
2
perto da raiz x=2, do que estavam os valores dos x anteriores. O mais importante é que o valor
de y4= 0,9375 (confira!) e se você observar, os valores absolutos dos y estão diminuindo, e
eles irão, paulatinamente, se aproximando de zero.
Na prática, é mais fácil levar estes valores para uma tabela e continuar as operações, buscando
aproximar os valores de y de zero, conforme for estipulado. Por exemplo, para continuar a
solução desta equação pelo método da Bisseção, podemos combinar de parar com os cálculos
quando acharmos o valor absoluto │y│≤ 0,01 (neste momento teremos um x próximo da raiz
2).
Na tabela a seguir temos a solução completa da equação dada acima, usando o método da
Bisseção (confira os cálculos usando uma calculadora para você aprender)
Vejamos, 4 - x2 = 0:
x
1,0000
y
x
3
y
1,9844
4,0000
-12 2,0078
2,5000
-2,25 1,9961
1,7500
0,9375 2,0020
2,1250
-0,5156
1,9375
0,2461
0,0622
-0,0313
0,0156
-0,0080 imagem |y|≤0,01 Parar!
RESPOSTA: raiz x=2,0020, com erro ≤0,01
Você acabou de usar o que a matemática chama de método numérico da Bisseção para se
calcular uma raiz de uma equação, com a aproximação pedida. Quando a imagem y atingir a
aproximação pedida, o valor de x é uma raiz aproximada da equação.
123
h) Use o VCN e resolva por Bisseção a equação do item f, confira com a tabela acima
(veja que o VCN usa muitas casas decimais, mas a resposta confere)
i) Você sozinho! Encontre uma raiz da equação 2x -3 =0 utilizando o método da
Bisseção, adotando a tolerância de  = 0,01, ou seja │y│≤ 0,01.
j) Confira seus cálculos utilizando o VCN.
Bom Divertimento!