Funções algébricas do 1º grau
Maurício Bezerra Bandeira Junior
Funções algébricas do 1º grau
Definição
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer
função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b
são números reais dados e a ≠ 0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o
número b é chamado termo constante.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
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Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a ≠ 0, é uma
reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los
com o auxílio de uma régua:
a)
Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1)
b)
Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, x = 1/3, e outro ponto é (1/3, 0).
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Marcamos os pontos (0, -1) e (1/3, 0) no plano cartesiano e ligamos os dois com uma
reta. Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
x
y
0
-1
1/3
0
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos
adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0,
temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que
a reta corta o eixo Oy.
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Zero da função do 1º Grau
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a ≠ 0, o número real x tal
que f(x) = 0.
Temos:
f(x) = 0
ax + b = 0
x = -b/a
Vejamos alguns exemplos:
•
•
•
Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
f(x) = 0
2x - 5 = 0
Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
g(x) = 0
3x + 6 = 0
x = 2/5
x = -2
Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das
abscissas:
O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:
h(x) = 0
-2x + 10 = 0
x=5
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Crescimento e decrescimento
• Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez
maiores a x e observar o que ocorre com y:
x aumenta
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-10
-7
-4
-1
2
5
8
y aumenta
Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes
valores de y também aumentam.
Dizemos, então que a função y = 3x - 1 é crescente.
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Observamos novamente seu gráfico:
Regra geral:
• a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);
• a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);
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Sinal
Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valor de x
para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os
valores de x para os quais y é negativo.
Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu
sinal. Já vimos que essa função se anula para a raiz x = –b/a . Há dois
casos possíveis:
1º) a > 0 (a função é crescente)
y>0
y<0
ax + b > 0
ax + b < 0
x > –b/a
x < –b/a
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo
para valores de x menores que a raiz
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2º) a < 0 (a função é decrescente)
y>0
ax + b > 0
x < -b/a
y<0
ax + b < 0
x > -b/a
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo
para valores de x maiores que a raiz.
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Proporcionalidade na função afim
• Toda função afim do tipo y = ax (o gráfico é uma reta que passa pela origem)
é chamada de função linear.
• Em toda função linear os valores de x são proporcionais aos valores
correspondentes de y.
Exemplo:
A função y = 3x é linear. Se (m, n) é um ponto da função, então (km, kn)
também é ponto da função, para qualquer k real. Isso ocorre em qualquer
função linear.
• Em toda função afim y = ax + b, a razão entre a variação dos valores de y, ∆y,
e a variação correspondentes dos valores de x, ∆x, é uma constante não-nula
k, isto é (∆y/ ∆x)= k, ou ainda, ∆y = k(∆x).
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Exemplo:
Dada a função: y = 3x – 2
Se atribuirmos dois valores reais distintos (x´ e x´´)
temos, como correspondentes valores de y, os
números distintos y´= 3x´-2 e y´´ = 3x´´- 2.
Observe a variação dos valores de y e a variação dos
valores correspondentes de x:
(∆y/ ∆x) = ´(y´´- y´)/(x´´-x´)
(∆y/ ∆x) = 3, ou ainda, ∆y = 3 ∆x.
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Função definida por mais de uma sentença
Um projeto de lei propôs novas alíquotas para o imposto de renda, apresentadas
pela tabela:
Renda mensal
Alíquota
Até R$ 1.000,00
Isento
Acima de R$ 1.000,00 até R$2.000,00
10%
Acima de R$ 2.000,00 até R$5.000,00
15%
Acima de R$5.000,00
20%
De acordo com esta proposta, se a renda mensal de um cidadão é x reais, então o
imposto mensal f(x) a pagar pode ser descrito pela função:
f(x) =
0, se x ≤ 1000
0,1x, se 1.000 < x ≤ 2.000
0,15x, se 2.000 < x ≤ 5.000
0,2x, se > 5.000
Perceba, por esse exemplo, nem sempre é possível
definir uma função por uma única sentença. O
exercício resolvido a seguir mostra com construir o
gráfico de uma função com essa.
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Exemplo:
4, se x ≤ 3
Construir o gráfico da função: f(x) = x + 1, se x > 3
e determinar seu domínio e conjunto- imagem.
Resolução:
Para construir o gráfico, analisamos cada uma das sentenças separadamente:
I.
f(x) = 4, se x ≤ 3, ou seja, essa parte do gráfico é uma semi-reta de origem (3,
4), paralela ao eixo Ox, cujos pontos têm abscissas no intervalo ] - ∞, 3].
II. f(x) = x + 1, se x > 3, ou seja, essa parte do gráfico é uma semi-reta contida
na reta de equação: f(x) = x + 1, cujos pontos têm abscissas no intervalo ]3,
+∞[. Para obter essa semi-reta, atribuímos a x o valor 3 e um outro valor
qualquer maior que 3, conforme mostra a tabela ao lado. (Embora a variável x
não possa assumir o valor 3, pois x >3, atribuímos a ela o valor 3 para
obtermos um extremo dessa parte do gráfico.)
x
x+ 1
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3
4
5
6
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A reunião das duas partes do gráfico obtidas em (|) e (||) é o gráfico da
função f:
6
4
3
5
O domínio e o conjunto-imagem de f são, respectivamente:
D=IR e Im= [4, +∞[
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Variação de sinal da função afim
Dada a função f(x) = 2x-6.
• A função se anula para x=3;
• A função é positiva para todo x real, com x > 3;
• A função é negativa para todo x real, com x < 3.
3
f(x)=2x-6
-
+
Podemos estudar o sinal da função da seguinte forma:
• a raiz da função f é a raiz da equação: 2x-6=0
x=3
• os valores de x para os quais f(x) é positivo (f(x) > 0) são as soluções da
inequação: 2x-6 > 0
x>3
• os valores de x para os quais f(x) é negativo (f(x) <0) são as soluções
da inequação: 2x-6 < 0
x<3
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Inequação-produto
Sendo x € IR, consideremos os números 2x-10 e –x +3. Para que valores de x
o produto desses números é positivo? Ou seja, quais as soluções reais da
inequação (2x-10)(-x+3)>0?
Ganhando tempo (dispositivo prático)
3
5
f(x)=2x-10
-
-
+
g(x)=-x+3
+
-
-
f(x) g(x)=(2x-10)( -x+3)
-
+
o
-
o
S={x  IR I3 < x < 5} ou ]3, 5[.
Genericamente, inequação-produto é toda aquela apresentada sob uma das
formas:
f(x) g(x)>0
f(x) g(x) <0 f(x) g(x) ≥ 0
f(x) g(x) ≤ 0
f(x) g(x)≠0
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Inequação-quociente
Chama-se Inequação-quociente toda inequação apresentada em uma das seguintes formas:
f(x)
g(x)
>0
f(x) < 0
g(x)
f(x) ≥0
g(x)
f(x) ≤0
f(x) ≠ 0
g(x)
g(x)
Em que f e g são funções quaisquer, com g não identicamente nula.
Exemplo:
Determine o conjunto – solução da inequação x+1 > 0 .
x+2
-1
-2
x+1
-
-
+
x+2
-
+
+
(x+1)/(x+2)
+
o
-
o
S= {x €IR| x < -2 ou x >-1}
+
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Fim
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