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DINÂMICA DO MODELO FERMIÔNICO AUTO-INTERAGENTE
SOB A INTERAÇÃO DE UM CAMPO MAGNÉTICO
CARLONI, R. S.1; AGUIAR PINTO, A. C.2
RESUMO. A dinâmica do modelo fermiônico de um único sítio auto-interagente na
presença de um campo magnético pode ser obtida de forma exata e algébrica. Diversos
sais orgânicos possuem a parte eletrônica descrita por modelos fermiônicos com
pouquíssimos graus de liberdade. Nesse trabalho, escrevemos a representação matricial
da hamiltoniana do modelo fermiônico, além de calcular seus autovalores (energia) e
seus autovetores (autoestados instantâneos) para dois casos de representação de um
campo magnético externo: (i) o campo magnético é constante em módulo e direção e (ii)
o campo depende harmonicamente no tempo e tem direção fixa no espaço.
PALAVRAS-CHAVE: Férmions, Autovalores e Autovetores, Mecânica Quântica.
DYNAMICS OF SELF-INTERACTING FERMIONIC MODEL UNDER THE
INTERACTION OF A MAGNETIC FIELD
ABSTRACT: The dynamic model of a single fermionic self-interacting site in the
presence of a magnetic field can be obtained accurately and algebraic. Several organic
salts have the electronics described by fermionic models with very few degrees of
freedom. In this paper, we write the matrix representation of the Hamiltonian of the
fermionic model, and calculate its eigenvalues (energy) and its eigenvectors
(eigenstates) for two cases of representation of an external magnetic field: (i) the
magnetic field is constant modulus and direction and (ii) the field harmonically depends
on time and has fixed direction in space.
KEYWORDS: Fermions, Eigenvalues and Eigenvectors, Quantum Mechanics.
INTRODUÇÃO
É sempre possível calcular a dinâmica exata de sistemas fermiônicos com
poucos graus de liberdade sob qualquer condição inicial, pois os férmions, tais como o
elétron, obedecem ao princípio de exclusão de Pauli, tornando finita a dimensão de sua
base. Na literatura é possível encontrar a aplicabilidade dos modelos fermiônicos. O
modelo fermiônico com dois ou três sítios espaciais tem sido usado para descrever as
1
Aluno do Curso de Engenharia Física, Bolsista de IC da UEMS. E-mail:
[email protected]
2
Professor Adjunto da UEMS na área de Física. E-mail: [email protected].
1,2
Curso de Engenharia Física – Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Rodovia Itahum-Dourados, km 12, Caixa Postal: 351 – Cidade Universitária de
Dourados - CEP 79804-970 – Dourados – MS.
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propriedades eletrônicas e/ou óticas de certos sais orgânicos que possuem transferência
de carga elétrica, por exemplo, veja as referências (RICE, 1979; RICE; YARTSEV;
JACOBSEN, 1980; LIEBSCH; ISHIDA; MERINO, 2009; MERINO et al., 2008).
Em modelos fermiônicos com férmions auto-interagentes dotados com graus de
liberdade de spin e com interação entre os sítios espaciais, a vida média de um elétron
em um sítio é inversamente proporcional ao módulo da constante de transferência,
caracterizada pela constante ¯t, veja a referência (COSTA JUNIOR; THOMAZ, 1997).
Quando essa constante ¯t que caracteriza o deslocamento do elétron para o sítio vizinho,
ou seja, a transferência de carga, é muito pequena, em primeira ordem, podemos
aproximar esse modelo por dois ou três modelos fermiônicos de um sítio espacial com
férmions auto-interagentes independentes. Esta aproximação justifica o interesse de
estudar o modelo fermiônico com apenas um sítio espacial, levando em conta a autointeracão dos férmions, representada pela interação coulombiana. Este é o modelo mais
simples na Mecânica quântica em que ocorre a auto-interação dos férmions.
O sistema fermiônico de um sítio auto-interagente (GIRARDEAU, 1980) na
presença de um campo magnético externo dependente do tempo
descrito pela
hamiltoniana:
(1)
onde
e
são os operadores de criação e destruição de spin , respectivamente, que
satisfazem as relações de anticomutação,
e
e
,
(2)
, representa o operador número de férmions com componente de
spin . A hamiltoniana (1) tem somente graus de liberdade fermiônicos internos e U(>0)
pode ser pensado como representando a interação repulsiva entre os férmions no mesmo
sítio espacial. Na hamiltoniana (1) utilizamos o acoplamento Zeeman para levar em
conta a interação entre o sistema e o campo magnético externo. Temos que
onde g é o fator de Landé,
,
é o magnéton de Bohr e B(t) representa o campo
magnético externo. Adotamos que a direção do vetor campo magnético é paralela ao
eixo z.
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METODOLOGIA
Para obter a dinâmica exata desse modelo fermiônico auto-interagente sob a
interação de um campo magnético externo, inicialmente, escrevemos a representação
matricial da hamiltoniana (1) na base completa do operador número total de férmions N,
onde
(3)
Seja {
}, com i = 0, 1, 2 e 3, uma base completa dos autoestados desse
operador número total de férmions,
(4)
onde
representa o estado sem a partícula fermiônica com spin ,
e
,
.
Nessa base, escrevemos a representação matricial da hamiltoniana e calculamos
as energias
desse sistema e seus respectivos autoestados
, com i = 1, ..., 4.
Ao obter os autoestados instantâneos da hamiltoniana (1), podemos escrever a
representação de um vetor de estado físico
na base completa desses autoestados
(BERRY, 1984; DITTRICH; REUTER, 1994):
(5)
onde
é um autoestado da hamiltoniana (1) com energia
. Os coeficientes
representam a amplitude de probabilidade de, ao realizar uma medida de energia,
encontrar o sistema com energia
de estado
e são determinados pela condição de que o vetor
que descreve esse sistema quântico satisfaz a equação de Schrodinger:
(6)
Ao substituir a equação (5) na equação (6), após alguma álgebra, podemos
encontrar as equações diferencias acopladas ou não para cada coeficiente
, j = 1, ...,
4.
É fácil demonstrar que a hamiltoniana (1) comuta com o operador número total
de férmions N. Portanto, a dinâmica dos sistemas não mistura estados pertencentes a
diferentes sub-espaços de Fock (espaços vetoriais com número bem definido de
partículas). Por conseguinte, podemos calcular, independentemente, a dependência no
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tempo dos coeficientes dos vetores de estados
da eq.(5) pertencentes a diferentes
sub-espaços de Fock.
RESULTADOS E DISCUSSÕES
Revisão sobre o procedimento matemático na Mecânica Quântica
Na Mecânica Quântica, o estado de um sistema pode ser representado por uma
função de onda complexa da posição ou momento das partículas que constitui esse
sistema. Existe também outra representação criada por Paul Adrien Maurice Dirac, onde
formula-se a Mecânica Quântica em termos de um espaço vetorial complexo, em geral
de dimensões infinita, esta é comumente chamada de notação de Dirac.
Vetor Ket e vetor Bra
Um vetor do espaço dos estados
é descrito por um
Um elemento do espaço dual desse espaço é denotado por
O produto escalar dos estados
e
, denominado vetor ket.
e denominado vetor bra.
é chamado bracket e denotado por:
(7)
A correspondência é antilinear entre kets e bras denominada de conjugação
hermitiana
(COHEN-TANNOUDJI;
DIU;
LALOË,
1977).
um ket formado pela combinação linear dos
Considerando
e
, a
correspondência desse ket com o seu bra é:
(8)
onde
é o complexo conjugado de
. Algumas propriedades do produto escalar desses
vetores estão listadas abaixo:
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
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Um vetor físico é um vetor ket que contém toda a informação do estado
quântico. Esse vetor físico pode ser representado através de uma base vetorial formado
por vetores escolhidos convenientemente que, em geral, são ortonormais entre si. A
escolha da base depende do problema em questão. Pode-se utilizar, por exemplo, a base
dos autoestados de energia, de momentum angular, etc (COHEN-TANNOUDJI; DIU;
LALOË, 1977).
Considerando a base {
} formada por vetores discretos e ortonormais, onde a
condição de ortonormalização é,
(16)
Onde
é a delta de Kronecker, que se comporta de tal maneira,
(17)
Assim é possível escrever o ket qualquer pertencente ao espaço
expansão em {
como uma
}.
(18)
Onde
é a projeção de
na base {
}, ou seja,
(19)
A representação matricial do ket vetor é formada pelo conjunto de
números
onde cada linha da matriz coluna representa a projeção do ket em um dos vetores dessa
base,
(20)
Considerando a mesma base discreta {
}, podemos escrever um bra vetor
:
(21)
onde é
é o complexo conjugado de
, este que é a projeção do
na base
,
assim
(22)
Da mesma maneira que o ket, podemos representar o bra na forma matricial, ele
é descrito por uma matriz linha:
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(23)
Operadores Hermitianos
O formalismo de Dirac faz uso de operadores matemáticos. Estes são
extremamente importantes para o formalismo, pois estabelecem uma relação funcional
entre dois espaços vetoriais, sendo essa relação funcional chamada de transformação
linear.
Consideremos
um operador linear de modo que o resultado de sua operação
em um ket genérico é
(24)
O ket é formado pelo conjunto de suas componentes em casa base de acordo
com a (18), o operador atua igualmente em casa uma das bases. Para isso ser garantido o
operador deve ser linear e a condição de linearidade é:
(25)
O mesmo deve acontece para o bra vetor, pois se para todo ket
correspondente. Então, atuando um operador
temos um
em um bra, tem-se
(26)
O
é denominado operador adjunto do operador .
A correspondência entre um ket e um bra e entre um operador e o seu adjunto é
nomeada conjugação hermitiana, sendo expressa por,
(27)
Esses operadores apresentam algumas relações, sendo elas:
(28)
(29)
(30)
(31)
O operador
vetorial discreta {
pode ser representado na forma matricial. Considerando uma base
} podemos escrever o elemento:
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(32)
Assim, temos a representação matricial do operador :
O índice i corresponde a linha e o j corresponde a coluna.
O operador hermitiano é definido quando o operador
é igual a seu adjunto,
assim
(33)
Admitindo que
seja um operador hermitiano e utilizando a (32), temos que,
(34)
assim temos que a diagonal principal, quando i = j, é formada apenas por números reais.
Consideremos um vetor
que seja ortonormalizado, definido um operador:
(35)
onde
é chamado de operador projetor.
Aplicando o projetor num ket vetor
qualquer obtemos,
(36)
Notemos que o termo
é a projeção
um subespaço formado pelos vetores
,
na base de
, ...
, se for considerado
ortonormalizado, o projetor
torna-se:
(37)
O projetor é um exemplo de operador hermitiano, a (37) é denominada relação
de completeza, ela atua num ket gerando o próprio ket.
Autovalor e Autoestado de Operadores Hermitianos
Um ket
operação de
é autoestado de um operador qualquer
quando o resultado da
no ket é um número que pode ser complexo, e o próprio ket, ou seja,
(38)
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O número
é o autovalor do operador .
Atuando o operador
o bra
no,
ortonormalizado, e fazendo o produto escalar com
podemos escrever,
(39)
Logo:
(40)
Isso implica que
é um número real, assim o autovalor de um operador
hermitiano é sempre um número real. Isso indica que é possível medi-lo. Essa
propriedade faz com que o operador hermitiano seja utilizado no estudo de sistemas
quânticos caracterizado-o como um observável.
Para sabermos os autovalores de um operador, é necessário conhecer a estrutura
do operador. Vamos considerar uma base discreta {
}, a projeção do ket
nessa
base, fazendo uso da eq. (38), é dada por
(41)
Aplicando a relação de completeza (37) na (41) obtemos,
(42)
com
e
, assim manipulando a expressão temos,
(43)
Substituindo as (42), (43) na (41), temos
(44)
O sistema descrito pela (44) possuirá solução não trivial, isto é,
quando
(COHEN-TANNOUDJI; DIU; LALOË, 1977),
(45)
com A sendo uma matriz quadrada com elementos
,
é o autovalor do operador e I é
a matriz identidade. Essa equação é denominada equação característica e fornece uma
equação de ordem igual a N e suas raízes são os autovalores do operador .
O vetor de estado do modelo fermiônico
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Nessa seção, escreveremos o vetor de estado (5) para o modelo representado
pela hamiltoniana (1) nos dois casos de configuração do campo magnético externo.
Para encontrarmos os autovalores (energias), aplicamos a Hamiltoniana (1)
(1)
Na base finita de estado de número de partículas bem definido:
,
,
e
,
e usando as propriedades dos operadores de criação e de destruição, obtemos que
Vendo o resultado acima, observamos que, independente da forma do campo
magnético, os autoestados do operador número, também são autoestados da
hamiltoniana (1). Dessa forma, as energias (os autovalores) da hamiltoniana são:
Os respectivos autoestados são
Tendo obtido os autoestados e autovalores da hamiltoniana, podemos escrever o
vetor de estado
(5) que carrega toda a informação do sistema fermiônico
(BERRY, 1984; DITTRICH; REUTER, 1994).
Para o caso em que o campo magnético é constante,
de estado
:
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, temos que o vetor
40
(46)
Para o caso em que o campo depende harmonicamente no tempo e tem direção
fixa no espaço na forma
, onde
e
são constantes, temos
(47)
Obtenção dos coeficientes do vetor de estado do modelo
Utilizando a equação de Schrodinger (6), temos ao substituir o vetor de estado
(46):
(48)
Após alguma álgebra:
Aplicando os BRA
;
equações diferenciais para cada coeficiente
;
e
podemos encontrar as
, j = 0, ..., 3.
Portanto, a amplitude de probabilidade de um sistema permanecerá sempre
constante. Logo, não há evolução temporal dos coeficientes.
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No caso do vetor de estado com campo magnético dependente harmonicamente
no tempo (47) aplicando na equação de Schrodinger e após um pouco de álgebra temos:
(49)
Aplicando os BRA
;
;
e
encontramos as equações
diferenciais:
Vemos que, como no caso anterior, a probabilidade também permanece
constante.
AGRADECIMENTOS.
Os autores agradecem a UEMS pelo suporte técnico. CARLONI agradece a
Universidade Estadual do Mato Grosso do Sul (UEMS) e a Fundação de Apoio ao
Desenvolvimento do Ensino, Ciência e Tecnologia do Estado de Mato Grosso do Sul
(FUNDECT) pela bolsa concedida, através do Programa Institucional de Bolsas de
Iniciação Científica (PIBIC).
REFERÊNCIAS
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Of Royal Society A, v. 392, n. 1802, p. 45-57, 1984.
COHEN-TANNOUDJI, C.; DIU, B.; LALOË, F. Quantum Mechanics. New YorkEUA: Ed. John Wiley & Sons, 1977. v. I. 914p.
COSTA JÚNIOR, A. T.; THOMAZ, M. T. Dynamics of the Electronic States of
Organic Charge-Transfer Salts in in-Phase Mode. Modern Physics Letters B, v. 11, n.
20, p. 877-888, 1997.
DITTRICH, W.; REUTER, M. Classical and Quantum Dynamics- from Classical
Paths to Path Integrals. Second Corrected and Enlarged Edition. Berlin: Ed. SpringerVerlag, 1994. 385p.
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GIRARDEAU, M. D. Fock - Tani representation for composite particles in a soluble
model. Journal of Mathematical Physics, v. 21, n. 9, p. 2365-2375, 1980.
LIEBSCH, A.; ISHIDA, H.; MERINO, J. Mott transition in two-dimensional frustrated
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MERINO, J. et al. Quasiparticles at the Verge of Localization near the Mott MetalInsulator Transition in a Two-Dimensional Material. Physical Review Letters, v. 100,
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2, p. 93-98, 1979.
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unpaired electron states in the organic semiconductor N-methyl- N-ethylmorpholiniumtetracyanoquinodimethane. Physical Review B Condensed Matter, v. 21, n. 8, p.
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