Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ciências Exatas e da Terra
Departamento de Fı́sica Teórica e Experimental
Programa de Pós-Graduação em Fı́sica
’
TESE DE DOUTORADO
ANÁLISE SÍSMICA USANDO TRANSFORMADA
CURVELET
Michelli Silva de Oliveira
Orientador: Prof. Dr. Liacir dos Santos Lucena
Natal, julho de 2011.
Dedico este trabalho
a meu esposo e a minha filha.
i
Agradecimentos
A Deus acima de tudo.
Ao meu orientador, Professor Doutor Liacir dos Santos Lucena, por permitir trabalhar
ao seu lado, pelo apoio e incentivo no desenvolvimento deste trabalho.
Ao Professor Doutor Gilberto Corso e ao Professor Doutor Edcarlos Alves pelas contribuições dadas a esta tese.
Ao Professor e amigo Marcos Vinı́cius por estar sempre disposto a ajudar.
Ao Conselho nacional de desenvolvimento Cientı́ﬁco e Tecnológico CNPq pelo suporte
ﬁnanceiro concedido.
Ao meu marido Vladimi, companheiro e melhor amigo, por fazer parte de mais uma
etapa da minha vida, sempre me confortando com seu carinho, amor e paciência.
À minha ﬁlha Ana Beatriz, agradeço por você ter existido durante o desenvolvimento
deste trabalho, você foi minha fonte de inspiração. Obrigada por estar sempre animada e
sorrindo para mim mesmo com toda a minha ausência.
À minha mãe Neuza, irmã Márcia e minha madrinha Maria Diamantina pelo incentivo, mesmo à distância nunca deixaram de estar presentes, sempre me confortando com
palavras encorajadoras fortalecendo meus momentos mais difı́ceis.
A todos meus amigos, em especial minhas amigas Cláudia Cruz e Nivânia que muito
me fortaleceram.
A todos os professores, colegas e funcionários do departamento de pós Graduação em
Fı́sica da matéria Condensada que de forma direta e indireta muito ajudaram na conclusão
deste trabalho.
ii
Aos membros da banca pelas correções e sugestões apresentadas quando da defesa da
tese.
iii
Resumo
A exploração petrolı́fera é uma das atividades mais complexas e de difı́cil execução na
indústria do petróleo e também é umas de suas tarefas mais importantes. Devido aos
elevados custos dos métodos diretos usados para localização e avaliação das jazidas de
petróleo, tais como a perfuração de poços exploratórios para a medição de propriedades
in situ, métodos indiretos são utilizados com esta ﬁnalidade. O principal destes métodos
é o da sondagem sı́smica. Neste processo de exploração, ondas sı́smicas geradas por
explosões ou por vibradores, propagam-se no subsolo e após serem espalhadas pelas heterogeneidades das estruturas geológicas retornam à superfı́cie onde são coletadas para
construção dos sismogramas ou imagens sı́smicas. No entanto, os sismogramas contêm,
além das informações sobre as estruturas do subsolo, uma grande quantidade de ruı́do,
sendo o principal deles o chamado ruı́do de rolamento superﬁcial (”ground roll”ou ondas de Rayleigh). A atenuação desses ruı́dos é essencial para uma boa interpretação dos
dados e sinais sı́smicos. A análise dos sismogramas pode ser feita utilizando-se diversos
tipos de transformadas espectrais que levam o sinal sı́smico para o espaço das frequências
(Transformada de Fourier) ou para o espaço tempo-frequência (Transformada Wavelet),
onde costuma ser mais simples atenuar ou remover os ruı́dos de uma forma cirúrgica. Isto
permite que, ao levar o sinal sı́smico de volta ao espaço original, o sinal represente apenas
as informações sobre as estruturas geológicas de interesse. Por outro lado, a transformada
curvelet é uma nova e efetiva transformada espectral que tem sido largamente usada no
estudo e representação de dados complexos. Nessa análise, as funções ou sinais estudados
são expressados em termos de funções de base com caráter direcional que permitem representar, mais efetivamente que outras análises, imagens e sinais com descontinuidades
iv
superﬁciais ou ao longo de curvas. A análise curvelet mapeia o espaço das frequências em
diferentes escalas e em setores angulares, de modo que se pode identiﬁcar as regiões deste
espaço dominadas pelo ruı́do presente no sinal. Remover os coeﬁcientes referentes a essas
regiões é remover o ruı́do do sinal. Assim, nesta tese implementamos e aplicamos a análise
curvelet para remover o ruı́do de rolamento superﬁcial dos sinais sı́smicos. Testamos este
método tanto para um sismograma sintético quanto para um sismograma real e obtivemos
uma ótima atenuação do ruı́do em ambos os casos.
Comparamos este método com os métodos empregados anteriormente e discutimos
possı́veis aplicações desta técnica a outros problemas.
v
Abstract
Oil prospecting is one of most complex and important features of oil industry Direct
prospecting methods like drilling well logs are very expensive, in consequence indirect
methods are preferred. Among the indirect prospecting techniques the seismic imaging is
a relevant method. Seismic method is based on artiﬁcial seismic waves that are generated,
go through the geologic medium suﬀering diﬀraction and reﬂexion and return to the
surface where they are recorded and analyzed to construct seismograms. However, the
seismogram contains not only actual geologic information, but also noise, and one of the
main components of the noise is the ground roll. Noise attenuation is essential for a good
geologic interpretation of the seismogram. It is common to study seismograms by using
time-frequency transformations that map the seismic signal into a frequency space where
it is easier to remove or attenuate noise. After that, data is reconstructed in the original
space in such a way that geologic structures are shown in more detail. In addition, the
curvelet transform is a new and eﬀective spectral transformation that have been used in
the analysis of complex data. In this work, we employ the curvelet transform to represent
geologic data using basis functions that are directional in space. This particular basis can
represent more eﬀectively two dimensional objects with contours and lines. The curvelet
analysis maps real space into frequencies scales and angular sectors in such way that we
can distinguish in detail the sub-spaces where is the noise and remove the coeﬃcients
corresponding to the undesired data. In this work we develop and apply the denoising
analysis to remove the ground roll of seismograms. We apply this technique to a artiﬁcial
seismogram and to a real one. In both cases we obtain a good noise attenuation.
vi
Sumário
Agradecimentos
ii
Resumo
iv
Abstract
vi
Introdução
1
1 A Prospecção de Petróleo e a Exploração Sı́smica
5
1.1
A Sondagem Sı́smica e as Ondas Sı́smicas
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.1
Ondas de Corpo ou Ondas de Volume . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.2
Ondas de Superfı́cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3
Velocidade de Propagação das Ondas Sı́smicas . . . . . . . . . . . . 12
1.2
Métodos Sı́smicos e a Sondagem Sı́smica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3
Aquisição de Dados Sı́smicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4
O Ruido de Rolamento Superﬁcial ou Ruido Ground Roll . . . . . . . . . . 17
1.5
Técnicas de Filtragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Sinais Temporais e Transformadas
20
2.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2
A Análise de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3
A Transformada de Fourier-Gabor
2.4
A Transformada em Ondaletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.1
Transformada Contı́nua em Ondaletas . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.2
Transformada Discreta em Ondaletas . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
vii
3 A Análise Curvelet
34
3.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2
Deﬁnição da Transformada Curvelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3
Propriedades da Transformada Curvelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4
3.5
3.3.1
Tight frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.2
Parâmetro de escala parabólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.3
Comportamento oscilatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.4
Momentos nulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Transformada Curvelet Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.1
Deﬁnição
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.2
Coronização discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
As funções curvelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Remoção de Ruı́do Sı́smico usando Análise Curvelet
47
4.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2
Análise Curvelet e a decomposição do sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3
Identiﬁcação e remoção do ruı́do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4
Reconstrução do sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.5
Procedimento para remoção de ruı́do de rolamento superﬁcial
. . . . . . . 53
5 Análise de dados reais usando transformada curvelet
67
5.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2
O dado sı́smico real versus dado sintético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3
A extração do ruı́do de rolamento superﬁcial do dado sı́smico real . . . . . 70
5.4
Supressão do ruı́do de rolamento superﬁcial: análise em ondaletas versus
análise curvelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6 Conclusões e Perspectivas
86
Bibliografia
89
viii
Lista de Figuras
1.1
Esquema descritivo da propagação de uma onda primária ou longitudinal.
Figura reproduzida/adaptada da página de internet
http://www.tjhsst.edu/∼jlafever/wanimate/Wave Properties2.html [2]. . .
1.2
9
Esquema descritivo da propagação de uma onda secundária ou de
cisalhamento.
Figura reproduzida/adaptada da página de internet
http://www.tjhsst.edu/∼jlafever/wanimate/Wave P roperties2.html[2]. . . 10
1.3
Esquema
descritivo
da
propagação
de
uma
onda
de
Rayleigh ou onda R. Figura reproduzida/adaptada da página de internet
http://www.tjhsst.edu/∼jlafever/wanimate/Wave P roperties2.html[2]. . . 11
1.4
Esquema
descritivo
da
propagação
de
uma
onda
de Love ou onda L. Figura reproduzida/adaptada da página de internet
http://www.tjhsst.edu/∼jlafever/wanimate/Wave P roperties2.html[2]. . . 12
1.5
Distribuição de velocidades comumente encontradas na prospecção de
petróleo. Figura reproduzida de THOMAS[1]. . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6
Esquema da aquisição de dados sı́smicos terrestres e marı́timos. Figura
reproduzida de OLIVEIRA[3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7
Representação da formação de um traço sı́smico pelas reﬂexões de um
pulso pelas camadas sedimentares do subsolo.
Figura reproduzida de
OLIVEIRA[3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8
Exemplo de sismograma captado por um conjunto de geofones durante uma
sondagem sı́smica. Figura reproduzida de OLIVEIRA[3]. . . . . . . . . . . 17
ix
2.1
a) Exemplo de (a) um sinal temporal estacionário e sua representação no
espaço das frequências obtida pela análise de Fourier do sinal; (b) um sinal
temporal não estacionário e sua representação no espaço das frequências
obtida pela análise de Fourier. Figura adaptada da página de internet
http://astro.if.ufrgs.br/med/imagens/fourier.htm [9]. . . . . . . . . . . . . 23
2.2
Representação simbólica da caixa de Heisemberg no plano tempofrequência. A energia do “átomo” de Gabor está distribuı́da nesta caixa
centrada em (u, ξ) e com larguras σt no tempo e σω na frequência. Figura
reproduzida de LEITE[15]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3
Representação de uma famı́lia de ondaletas contı́nuas (ﬁgura (a)) e de seu
espectro de Fourier (ﬁgura (b)). Figura reproduzida de MALLAT[16]. . . . 29
2.4
Esquema ilustrativo da divisão do espaço tempo-frequência (a) para a
transformada de Fourier-Gabor; e (b) para a transformada em ondaletas. . 31
3.1
Decomposição diádica do espaço de frequência.
Na ﬁgura (a) temos
esta decomposição em termos da janela radial; na ﬁgura (b) temos esta
decomposição em termo das janelas radial e angular; já na ﬁgura (c)
temos que a área sombreada é a fatia do espaço de Fourier onde as
curvelets tem seu suporte deﬁnido. Figura adaptada da página de internet
http://www.math.washington.edu/ hart/uwss.pdf [29]. . . . . . . . . . . . 38
3.2
Decomposição diádica do espaço de frequência da transformada curvelet
discreta. A região sombreada representa uma fatia tı́pica deste espaço
localizada pela janela Ũj,l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1
Nesta imagem podemos veriﬁcar na ﬁgura (a) o dado sintético com reﬂexões horizontais representando as camadas litológicas e um traço com
maior inclinação que pode ser melhor visualizado na ﬁgura (c) simulando
o comportamento do ruı́do de rolamento superﬁcial. Na ﬁgura (b) temos o
dado sintético limpo em que a reﬂexão destacada já foi removida. . . . . . 55
x
4.2
Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 2. Na parte superior da ﬁgura temos os ângulos selecionados nessa
escala e na parte inferior temos a reconstrução parcial do sinal para esses
ângulos nessa escala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3
Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 2. . . . . . . . 57
4.4
Conjunto de ângulos da escala 2 cujos coeﬁcientes foram selecionados para
a reconstrução de parte do sinal indicado na ﬁgura 4.1.b. . . . . . . . . . . 58
4.5
Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.6
Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 3. . . . . . . . 60
4.7
Conjunto de ângulos da escala 3 cujos coeﬁcientes foram selecionados para
a reconstrução de parte do sinal indicado na ﬁgura 4.1.b. . . . . . . . . . . 60
4.8
Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.9
Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 4. . . . . . . . 62
4.10 Conjunto de ângulos da escala 4 cujos coeﬁcientes foram selecionados para
a reconstrução de parte do sinal indicado na ﬁgura 4.1.b. . . . . . . . . . . 63
4.11 Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.12 Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 5. . . . . . . . 65
4.13 Conjunto de ângulos da escala 5 cujos coeﬁcientes foram selecionados para
a reconstrução de parte do sinal indicado na ﬁgura 4.1.b. . . . . . . . . . . 66
5.1
Figura comparativa entre sismogramas. Na ﬁgura (a) temos um exemplo
de sismograma sintético; e na ﬁgura (b) temos um exemplo de sismograma
real. Nos dois sinais, o ruı́do de rolamento superﬁcial aparece com uma
estrutura triangular macroscópica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2
Figura contendo: (a) o dado original real a ser analisado; (b) o dado ﬁltrado (sinal de interesse); e (c) o padrão referente ao ruı́do de rolamento
superﬁcial que foi excluı́do do dado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
xi
5.3
Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 2. Na parte superior da ﬁgura temos os ângulos selecionados nessa
escala e na parte inferior temos a reconstrução parcial do sinal para esses
ângulos nessa escala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.4
Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 2. . . . . . . . 73
5.5
Conjunto de ângulos da escala 2 (marcados em vermelho) cujos coeﬁcientes
foram selecionados para a reconstrução do sinal sı́smico real. . . . . . . . . 74
5.6
Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 3. Na parte superior da ﬁgura temos os ângulos selecionados nessa
escala e na parte inferior temos a reconstrução parcial do sinal para esses
ângulos nessa escala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.7
Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 3. . . . . . . . 76
5.8
Conjunto de ângulos da escala 3 (marcados em vermelho) cujos coeﬁcientes
foram selecionados para a reconstrução do sinal sı́smico real. . . . . . . . . 77
5.9
Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 4. Na parte superior da ﬁgura temos os ângulos selecionados (marcados em vermelho) nessa escala e na parte inferior temos a reconstrução
parcial do sinal para os ângulos correspondentes nessa escala. . . . . . . . . 78
5.10 Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 4. . . . . . . . 79
5.11 Conjunto de ângulos da escala 4 (marcados em vermelho) cujos coeﬁcientes
foram selecionados para a reconstrução do sinal sı́smico real. . . . . . . . . 80
5.12 Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 5. Na parte superior da ﬁgura temos os ângulos selecionados (marcados em vermelho) nessa escala e na parte inferior temos a reconstrução
parcial do sinal para os ângulos correspondentes nessa escala. . . . . . . . . 81
5.13 Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 5. . . . . . . . 82
5.14 Conjunto de ângulos da escala 5 (marcados em vermelho) cujos coeﬁcientes
foram selecionados para a reconstrução do sinal sı́smico real. . . . . . . . . 83
xii
5.15 Componentes do ruı́do de rolamento superﬁcial para as escalas de j = 2 a
j = 5. Na parte superior da ﬁgura temos os ângulos correspondentes em
cada escala (cı́rculos cheios) e na parte superior da ﬁgura temos a estrutura
correspondente ao ruı́do de rolamento superﬁcial em cada escala. . . . . . . 84
xiii
Lista de Tabelas
5.1
Balanço de energia (em porcentagem) para as escalas 2 ≤ j ≤ 5. O GR
representa a energia do ruı́do de rolamento superﬁcial; e RW a energia das
ondas reﬂetidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2
Distribuição de energia (em porcentagem) para as escalas 1 ≤ j ≤ 5. O
GR representa a energia do ruı́do de rolamento superﬁcial; e RW, a energia
das ondas reﬂetidas. Na última coluna é representada a energia total destes
dois padrões.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
xiv
Introdução
A exploração petrolı́fera é uma das tarefas mais complicadas e de difı́cil execução na
indústria do petróleo e também é umas das tarefas mais importantes desta indústria.
A tarefa de localizar jazidas de petróleo e de avaliar o seu potencial de produção representa um intrigante e complicado problema na área de Ciência e Tecnologia, pois as
jazidas e reservatórios naturais de petróleo e gás natural são encontrados em estruturas
geológicas que constituem sistemas de alta complexidade, com heterogeneidades em todas as escalas e com uma enorme variedade em suas caracterı́sticas básicas, tais como
permeabilidade e porosidade.
As diﬁculdades na localização das jazidas são aumentadas também pelo elevado nı́vel
de incerteza advindo da quantidade reduzida de informações sobre o subsolo e suas estruturas geológicas.
A maneira mais precisa de superar estas diﬁculdades na localização das jazidas e
comprovar a existência ou não de petróleo é a perfuração de poços exploratórios que
possibilitem a coleta de amostras e a introdução de sensores a grandes profundidades para
a medição in situ das propriedades fı́sicas da rochas e do ambiente próximo. Entretanto,
a perfuração de um poço exige grande soma de dinheiro, principalmente em se tratando
de exploração oﬀ shore e, portanto, o número de poços exploratórios usados na busca por
jazidas de petróleo é bem pequeno e o volume de subsolo do qual se tem dados coletados
diretamente, comparado ao volume total do campo petrolı́fero, corresponde a uma fração
praticamente desprezı́vel ( 10−12 ).
1
A alternativa para a busca por jazidas de petróleo, diante da impossibilidade de perfuração de um grande número de poços exploratórios, é o uso de métodos indiretos.
O principal método indireto é o da exploração sı́smica. Este método consiste em gerar
ondas sı́smica que se propaguem no subsolo. Essas ondas são geradas por explosões para
o caso de pesquisa continental e por canhões de ar comprimido para a exploração no mar
e, em se propagando no subsolo, experimentam os fenômenos de espalhamento, refração,
difração, reﬂexão e outros, pelas diversas camadas e estruturas geológicas do subsolo.
Uma parte destas ondas retorna à superfı́cie trazendo informações sobre as camadas e
estruturas geológicas do interior da Terra.
Na verdade, o problema de descobrir as propriedades fı́sicas e as estruturas geológicas
do subsolo através dos sinais sı́smicos captados na superfı́cie por geofones ou hidrofones
é chamado de espalhamento inverso. Este problema é de difı́cil solução e pertence a
uma classe de problemas denominada problemas mal postos. Estes problemas aparecem
em diversas áreas da ciência, mas é ainda mais complicado de se resolver no caso da
prospecção sı́smica, pois o volume da região espalhadora das ondas sı́smicas, no caso o
subsolo, é muito grande, há falta de conhecimento sobre as velocidades de propagação das
ondas sı́smicas nas diferentes estruturas e regiões do subolo e também devido ao acentuado
grau de desordem do subsolo.
Apesar da enorme diﬁculdade em se interpretar adequadamente as imagens obtidas
para o subsolo a partir de dados sı́smicos, essas são as mais importantes fontes de informação sobre grandes volumes de subsuperfı́cie e permitem, se bem interpretadas, a
delimitação apropriada dos reservatórios e jazidas de petróleo. Na verdade, as imagens
sı́smicas são o meio mais difundido e preciso para guiar a interpolação e a extrapolação
de dados colhidos em poços exploratórios. Essas imagens, se bem interpretadas, fornecem
as informações mais conﬁáveis sobre grandes quantidades de subestruturas da crosta terrestre.
A análise e interpretação dos dados sı́smicos representam uma etapa fundamental do
processo de obtenção de imagens sı́smicas do subsolo. É nesta etapa que são estimados
os coeﬁcientes das ondas sı́smicas, dados pelos contrastes de impedância acústica que
2
geralmente existem nas transições entre camadas geológicas e, a partir destes dados, são
construı́das as imagens das camadas e estruturas geológicas. No entanto, os dados sı́smicos
ou sismogramas contém, além das informações sobre as estruturas do subsolo, uma grande
quantidade de ruı́do e a atenuação desses ruı́dos é essencial para uma boa interpretação
desses dados. A análise dos sismogramas pode ser feita utilizando-se diversos tipos de
transformadas espectrais. Nesta tese de doutorado vamos descrever e/ou estudar os principais tipos de análise que podem ser utilizados no estudo de sinais sı́smicos para remover
os ruı́dos e recuperar as informações sobre as estruturas do subsolo, bem como entender
as limitações desses métodos de análise e implementar o método de análise curvelet para
a remoção de ruı́dos em sismogramas de exploração sı́smica.
Assim, para descrevermos os trabalhos realizados no decorrer de nosso doutoramento,
esta tese de doutorado foi estruturada em cinco capı́tulos principais e um capı́tulo de
conclusão.
No primeiro capı́tulo vamos falar um pouco sobre a prospecção de petróleo e entender como funciona o método de sondagem sı́smica, como são geradas e captadas as
ondas sı́smicas que permitem a formação dos sismogramas e entender como o método de
sondagem sı́smica é utilizado para o estudo das propriedades geológicas do subsolo e para
a busca de jazidas de petróleo.
No capı́tulo 2 desta tese, vamos estudar e descrever as principais transformadas espectrais utilizadas para se estudar sinais temporais e/ou atenuar ruı́dos presentes nesses
sinais, desde a transformada de Fourier até a transformada wavelet (transformada em
ondaletas). Também vamos perceber as limitações dessas transformadas e a necessidade
de um outro tipo de transformada para se estudar/analisar sinais sı́smicos.
No capı́tulo 3 vamos deﬁnir e estudar a transformada curvelet e entender esta análise
e suas propriedades.
No capı́tulo 4, o primeiro capı́tulo baseado no trabalho original desta tese de doutorado,
vamos descrever como a transformada curvelet foi implementada para ser utilizada na
análise de sinais sı́smicos e na remoção do ruı́do de rolamento superﬁcial desses sinais,
bem como descreveremos o teste realizado em dados sintéticos.
3
Já no capı́tulo 5, descrevemos o procedimento e os resultados da análise curvelet
aplicada a sinais sı́smicos e discutiremos os resultados obtidos em comparação com os
resultados de outros métodos de análise.
Por ﬁm, no capı́tulo das conclusões, faremos uma breve análise dos resultados obtidos
em nosso trabalho de tese e discutiremos algumas aplicações e perspectivas para o método
desenvolvido e implementado nesse doutoramento.
4
Capı́tulo 1
A Prospecção de Petróleo e a
Exploração Sı́smica
A atual sociedade humana é extremamente dependente dos combustı́veis fosseı́s, como
o petróleo e o gás natural, com isto a indústria do petróleo é uma das mais importantes e
signiﬁcativas do mercado mundial. Das tarefas realizadas, a exploração petrolı́fera é uma
das mais complicadas e de difı́cil execução e também é umas das mais importantes desta
indústria.
Localizar jazidas de petróleo sob a crosta terrestre, quer seja em terras continentais
ou em terreno submarino, e avaliar seu potencial de produção, representa um intrigante
e complicado problema na área de Ciência e Tecnologia, pois esses reservatórios naturais
são encontrados em estruturas geológicas que constituem sistemas de alta complexidade.
As diﬁculdades na localização das jazidas de petróleo são enormes e são aumentadas,
ainda mais, pelo elevado nı́vel de incerteza advindo da quantidade reduzida de informações
sobre o subsolo e suas estruturas geológicas.
A maneira mais precisa de superar estas diﬁculdades para localizar jazidas e comprovar
a existência ou não de petróleo é a perfuração de poços exploratórios que possibilitem a
coleta de amostras e a introdução de sensores a grandes profundidades para a medição in
situ das propriedades fı́sicas das rochas e do ambiente próximo. Entretanto, a perfuração
de um poço exploratório exige grande soma de dinheiro, principalmente em se tratando
de exploração oﬀ shore e, portanto, o número de poços exploratórios usados na busca por
5
jazidas de petróleo é bem pequeno e o volume de subsolo do qual se tem dados coletados
diretamente, comparado ao volume total do campo petrolı́fero, corresponde a uma fração
praticamente desprezı́vel ( 10−12 ).
A perfuração de poços exploratórios é utilizada para conﬁrmar a existência de uma
jazida de petróleo em uma região, onde os métodos indiretos indicaram uma grande
probabilidade de existência de óleo. Assim, a pesquisa com poço exploratório irá conﬁrmar
a existência dessa jazida e avaliar seu potencial de produção de petróleo.
Os métodos indiretos são, diante da impossibilidade de perfuração de um grande
número de poços exploratórios, a melhor alternativa para a busca por jazidas de petróleo.
Estes métodos indiretos tem custos bastante moderados e, mesmo sujeitos a interpretações e visualizações, fornecem informações detalhadas do subsolo e de suas estruturas
geológicas.
O principal método indireto usado no estudo das estruturas geológicas do subsolo terrestre e na prospecção de petróleo é a exploração sı́smica ou sondagem sı́smica. Este
método consiste em gerar ondas sı́smicas que se propaguem no subsolo. Estas ondas são
geradas por explosões para o caso de pesquisa continental e por canhões de ar comprimido
para a exploração no mar e, em se propagando no subsolo, experimentam os fenômenos
de espalhamento, refração, difração, reﬂexão e outros, pelas diversas camadas e estruturas
geológicas do subsolo. Uma parte dessas ondas retorna à superfı́cie trazendo informações
sobre as camadas e estruturas geológicas do interior da Terra.
As ondas reﬂetidas e/ou refratadas nas várias camadas e estruturas do subsolo que
voltam à superfı́cie trazem uma informação que precisa ser interpretada e analisada e,
apesar da enorme diﬁculdade em se interpretar adequadamente as informações e imagens
obtidas para o subsolo a partir de dados sı́smicos, essas imagens são as mais importantes
fontes de informação sobre grandes volumes de subsuperfı́cie e permitem, se bem interpretadas, a delimitação apropriada dos reservatórios e jazidas de petróleo. Na verdade,
as imagens sı́smicas são o meio mais difundido e preciso para guiar a interpolação e
a extrapolação de dados colhidos em poços exploratórios, por isto precisamos entender
claramente como elas são obtidas para poder melhor estudar, interpretar e analisar esses
dados sı́smicos.
6
Vale ressaltar que o método de sondagem sı́smica também é bastante utilizado no
estudo das estruturas geológicas das placas tectônicas para estudar regiões onde ocorreram
abalos sı́smicos e, por exemplo, calcular a probabilidade de novos abalos. Embora, o foco
do estudo da sondagem sı́smica, nesta tese, seja a prospecção de petróleo, os métodos
e ferramentas aqui estudados e desenvolvidos também podem ser aplicados em estudos
sismológicos.
Nas seções deste primeiro capı́tulo vamos estudar e entender como funciona o método
de sondagem sı́smica e como este método é utilizado para o estudo das propriedades
geológicas do subsolo e para a busca de jazidas de petróleo. Com este entendimento
inicial sobre sondagem sı́smica, estaremos aptos a, nos próximos capı́tulos, estudar as
principais ferramentas matemáticas utilizadas na análise e interpretação dos dados obtidos
nas sondagens sı́smicas.
Devemos ainda ressaltar que este é um capı́tulo básico que trata da descrição geral da
prospecção de petróleo e da sondagem sı́smica usada para localizar e delimitar jazidas de
petróleo e gás natural, portanto as descrições apresentadas aqui são de conhecimento geral
da engenharia de petróleo. A principal referência utilizada na construção deste capı́tulo
foi o livro do THOMAS[1]. Outras referências que se ﬁzerem necessárias serão citadas no
decorrer do capı́tulo.
1.1
A Sondagem Sı́smica e as Ondas Sı́smicas
A sondagem sı́smica ou exploração sı́smica é um método indireto de exploração
do subsolo terrestre que faz uso de aparelhos e técnicas especiais para estudar e caracterizar o subsolo. Este método tem sido comumente utilizado pelo fato de ser capaz de
cobrir grandes áreas e, ao mesmo tempo, ser economicamente viável, permitindo assim,
uma observação cautelosa e barata do subsolo terrestre, sendo largamente empregado na
localização de jazidas de petróleo e gás natural e também no estudo e detecção de falhas
geológicas.
A sondagem sı́smica do subsolo faz uso de ondas sı́smicas, que são ondas de natureza
7
mecânica que transportam energia de deformação elástica no meio em que foram geradas.
A velocidade de propagação destas ondas depende das propriedades elásticas e da densidade do meio em que elas se propagam. É a sua reﬂexão e refração entre as camadas do
subsolo que nos permite inferir as propriedades do subsolo e de suas camadas e estudá-las.
Para entendermos as ondas sı́smicas e seu efeito sobre o solo e subsolo devemos lembrar que quando se aplica uma força sobre a superfı́cie de um corpo, pode-se modiﬁcar
sua forma e/ou seu volume. A elasticidade é a propriedade de um corpo resistir a essa
deformação e de retornar à sua forma e/ou volume iniciais depois que a força causadora
da deformação cessa.
A teoria da elasticidade estuda as relações entre as forças e as mudanças na forma
e volume dos corpos, com base nos conceitos de tensão (stress) e deformação (strain).
Segundo a lei de Hooke, para pequenas deformações, as que ocorrem em rochas podem ser
consideradas como perfeitamente elásticas e como as ondas sı́smicas geradas na exploração
sı́smica e prospecção de petróleo são causadoras de pequenas deformações (da ordem de
10−6 % a 10−3 %), as estudadas na sondagem sı́smica podem ser consideradas deformações
elásticas.
A tensão sobre uma superfı́cie é deﬁnida como a força por unidade de área na superfı́cie.
Quando esta tensão é perpendicular à área em que atua, esta tensão é denominada tensão
normal. E quando ela é tangencial à área em que atua, é denominada tensão cisalhante
ou tensão de cisalhamento. As tensões que atuam em um corpo ou superfı́cie podem
causar sua deformação.
A deformação (ou strain) de um corpo é a mudança na forma e/ou volume de um
corpo quando este está sujeito a ação de uma tensão. A deformação normal, ou seja, a
deformação de um corpo devido à uma tensão normal modiﬁca o volume do corpo, mas
não modiﬁca a forma do corpo. Já a deformação cisalhante modiﬁca a forma mas não
modiﬁca o volume do corpo.
Quando um corpo está sujeito a uma tensão e o equilı́brio estático deste corpo é
rompido, dá-se inı́cio à propagação da tensão e da deformação sob a forma de ondas
elásticas. Assim, as ondas sı́smicas são ondas elásticas que se propagam na Terra e que
podem ser classiﬁcadas como ondas de corpo ou como ondas de superfı́cie.
8
1.1.1
Ondas de Corpo ou Ondas de Volume
As ondas de corpo ou ondas de volume são as que se propagam através do interior
da Terra. Elas apresentam direções radiais a partir do ponto onde foram geradas com
desvios devidos às variações de densidade do meio.
As ondas de volume são responsáveis pelos primeiros tremores sentidos durante um
terremoto e podem ser classiﬁcadas em dois tipos: as ondas primárias (ondas P); e as
ondas secundárias (ondas S).
As ondas primárias ou ondas P ou ondas compressionais são ondas longitudinais,
ou seja, são ondas nas quais o deslocamento e a vibração das partı́culas do meio ocorre
na mesma direção da propagação da energia da onda. As ondas longitudinais são mais
velozes que as ondas S e, por isto, são os primeiros eventos a serem detectados após um
abalo sı́smico. Na ﬁgura 1.1 é mostrado um esquema descritivo da propagação de uma
onda longitudinal ou primária, onde podemos ver que o deslocamento das partı́culas do
meio ocorre na direção de propagação da onda.
Figura
ou
1.1:
Esquema
longitudinal.
descritivo
Figura
da
propagação
de
uma
reproduzida/adaptada
da
página
http://www.tjhsst.edu/∼jlafever/wanimate/Wave Properties2.html [2].
9
onda
primária
de
internet
As ondas secundárias ou ondas S ou ondas de cisalhamento são ondas transversais, ou seja, são ondas de volume nas quais o movimento das partı́culas do meio ocorre
na direção transversal à direção de propagação da onda. As ondas S se propagam apenas
em corpos sólidos, pois os ﬂuidos não suportam forças de cisalhamento. Sua velocidade
é, em um dado meio, menor que a velocidade das ondas P, mas sua amplitude é várias
vezes maior. Na ﬁgura 1.2 é mostrado um esquema descritivo da propagação de uma onda
de cisalhamento ou secundária, onde podemos ver que o deslocamento das partı́culas do
meio ocorre na direção perpendicular à propagação da onda.
Figura
1.2:
ou
cisalhamento.
de
Esquema
descritivo
Figura
da
propagação
de
reproduzida/adaptada
uma
da
onda
página
secundária
de
internet
http://www.tjhsst.edu/∼jlafever/wanimate/Wave Properties2.html [2].
1.1.2
Ondas de Superfı́cie
As ondas de superfı́cie são ondas que se propagam logo abaixo da superfı́cie terrestre
e deslocam-se mais lentamente que as ondas de volume. Devido à sua baixa frequência,
longa duração e grande amplitude, possuem elevado poder destrutivo. Elas propagam-se
pela superfı́cie a partir do epicentro de um evento sı́smico.
10
Existem dois tipos de ondas de superfı́cie: as ondas de Rayleigh e as ondas de
Love.
As ondas de Rayleigh ou ondas R são o resultado da superposição de ondas P e
S. A existência destas ondas foi prevista por Lord Rayleigh em 1985 e são ondas que
provocam vibrações no sentido contrário à propagação da onda, causando um movimento
de rolamento (como uma órbita elı́ptica) em sentido contrário ao movimento da onda.
Esta onda também é denominada onda de rolamento superﬁcial e sua amplitude diminui
rapidamente com a profundidade.
A ﬁgura 1.3 mostra um esquema descritivo para uma onda R. Observe que a onda se
propaga em uma direção e o movimento dos elementos de volume do meio descrevem um
rolamento cuja intensidade diminui rapidamente com a profundidade.
Figura
Rayleigh
1.3:
ou
Esquema
onda
R.
descritivo
Figura
da
propagação
reproduzida/adaptada
de
da
uma
página
onda
de
de
internet
http://www.tjhsst.edu/∼jlafever/wanimate/Wave Properties2.html [2].
Como veremos, ainda nesse capı́tulo, o principal tipo de ruı́do presente nos sinais
sı́smicos obtidos em sondagens sı́smicas e chamado de ruı́do de rolamento superﬁcial, é
devido a ondas do tipo Rayleigh.
As ondas de Love ou onda L são ondas que produzem cisalhamento horizontal do solo
11
e sua energia é obrigada a permanecer nas camadas superiores da Terra devido ao fato de
ocorrer por reﬂexão interna total. Essas ondas são o resultado da superposição de duas
ondas S, são ligeiramente mais rápidas que as ondas de Rayleigh e são muito destrutivas.
Na ﬁgura 1.4 é mostrado um esquema descritivo da propagação de uma onda Love.
Observe que os elementos de volume do meio de propagação sofrem um cisalhamento no
plano horizontal cuja intensidade diminui com a profundidade.
Figura
Love
1.4:
ou
onda
Esquema
L.
descritivo
Figura
da
propagação
reproduzida/adaptada
da
de
uma
página
onda
de
de
internet
http://www.tjhsst.edu/∼jlafever/wanimate/Wave Properties2.html [2].
1.1.3
Velocidade de Propagação das Ondas Sı́smicas
A velocidade de propagação das ondas sı́smicas é função da densidade e das constantes
elásticas do meio. Consequentemente, depende da constituição mineralógica da rocha,
do grau de cimentação, dos estágios de compactação, da porosidade, do conteúdo e da
saturação de ﬂuidos, além de depender da temperatura e da presença de microfraturas na
rocha.
As velocidades das ondas P e S em uma rocha ou a razão entre estas velocidades é,
12
no geral, usada para caracterizar uma determinada rocha, ou seja, as velocidades calculadas ou estimadas para as ondas sı́smicas numa região do subsolo podem determinar a
composição das rochas daquela subsuperfı́cie.
Na ﬁgura 1.5 ilustramos a distribuição de velocidades comumente encontradas na
prospecção de petróleo. Como o método da sondagem sı́smica permite o cálculo destas
velocidades, pode-se estimar os parâmetros das rochas a partir do conhecimento das velocidades.
Figura 1.5:
Distribuição de velocidades comumente encontradas na prospecção de
petróleo. Figura reproduzida de THOMAS[1].
1.2
Métodos Sı́smicos e a Sondagem Sı́smica
Os métodos sı́smicos usados na sondagem sı́smica se baseiam na emissão de ondas
sı́smicas geradas artiﬁcialmente na superfı́cie terrestre ou no mar e posterior captação
das ondas que são reﬂetidas e/ou refratadas pelas descontinuidades do interior da crosta
13
terrestre e retornam à superfı́cie.
Há dois principais métodos sı́smicos: o método sı́smico de refração, que registra somente as ondas refratadas com ângulo crı́tico e que tem grande aplicação na área de
sismologia e, no entanto, tem aplicação restrita na área de prospecção de petróleo; e
o método sı́smico de reﬂexão que registra as ondas reﬂetidas pelas descontinuidades do
interior do subsolo e é largamente utilizado na área de prospecção de petróleo.
Destes métodos vamos estudar apenas o segundo, discutindo o estritamente necessário
para um melhor entendimento dos capı́tulos seguintes e do trabalho original desta tese.
Para o levantamento sı́smico de uma área do subsolo começa-se com a geração de ondas
sı́smicas artiﬁciais na superfı́cie terrestre, onde se faz uso de dinamite ou de vibradores
com queda de peso, ou no mar, onde se faz uso de canhões de ar comprimido. As ondas
sı́smicas assim geradas tem um pulso caracterı́stico conhecido como assinatura da fonte
e são captadas após se reﬂetirem e/ou refratarem em cada uma das descontinuidades e
camadas do interior do subsolo por onde viajam.
Os receptores utilizados para captar e registrar as reﬂexões são, basicamente, de dois
tipos: os eletromagnéticos (geofones) que são utilizados para registros em terra; e os de
pressão (hidrofones) usados para levantamentos em águas oceânicas.
Os geofones são compostos por uma bobina suspensa dentro de um campo magnético
gerado por um potente imã acondicionado por um invólucro imperméavel. O geofone
é ﬁrmemente cravado na superfı́cie da Terra e quando uma onda sı́smica o atinge, o
movimento relativo entre a bobina e o imã gera uma corrente elétrica induzida que é
proporcional à vários fatores, inclusive à amplitude da onda incidente.
Os hidrofones utilizam-se de cristais piezoelétricos que geram uma corrente elétrica
proporcional à variação da pressão produzida pelas ondas sı́smicas na água.
Os hidrofones e geofones devem reproduzir, o mais ﬁelmente possı́vel, as vibrações
mecânicas na forma de oscilações elétricas. Estas oscilações elétricas irão permitir a
construção do sismograma e/ou imagens do interior da Terra que serão analisadas e trabalhadas para o completo levantamento das estruturas internas da subsuperfı́cie.
14
1.3
Aquisição de Dados Sı́smicos
Utilizando-se uma fonte artiﬁcial de ondas sı́smicas, como dinamite para os casos em
terra e ar comprimido para os casos em mar, são produzidas ondas que irão se propagar
no interior da crosta terrestre.
Para todos os ﬁns práticos, a propagação das ondas sı́smicas é regida pelas mesmas
leis da ótica geométrica. Assim, quando uma frente de onda incide sobre uma interface
separando duas rochas com velocidades e densidades diferentes, parte da energia da onda
é reﬂetida e retorna à superfı́cie e parte é refratada para o meio inferior e continua sua
propagação.
A quantidade de energia que é reﬂetida depende do contraste de impedância das rochas.
É possı́vel simular a resposta sı́smica de um pacote sedimentar ou traço sı́smico (também
chamado de sismograma sintético) a partir do conhecimento de velocidades e densidades
das rochas que o compõe e da assinatura da fonte.
Usando um conjunto de geofones (ou hidrofones) convenientemente distribuı́dos e ordenados, como esquematizados na ﬁgura 1.6, pode-se captar as ondas reﬂetidas nas diversas
camadas e descontinuidades do subsolo.
Figura 1.6: Esquema da aquisição de dados sı́smicos terrestres e marı́timos. Figura reproduzida de OLIVEIRA[3].
Em geral, é considerado que o pulso reﬂetido em uma descontinuidade tenha a mesma
15
forma do pulso incidente. Os geofones ou hidrofones registram as superposições das amplitudes sı́smicas ou reﬂexões individuais que variam de valores negativos a positivos e
são armazenados em um traço sı́smico. Cada traço sı́smico é apresentado como uma série
temporal de amplitudes que tem sua área positiva preenchida.
Na ﬁgura 1.7[1] está ilustrada a formação de um sismograma através das reﬂexões de
um pulso pelas camadas sedimentares do subsolo.
Figura 1.7: Representação da formação de um traço sı́smico pelas reﬂexões de um pulso
pelas camadas sedimentares do subsolo. Figura reproduzida de OLIVEIRA[3].
Na ﬁgura 1.7.A tem-se a representação das camadas sedimentares do subsolo. Em
1.7.B vê-se as inomogeneidades ou impedâncias acústicas dessas camadas sedimentares.
Em 1.7.C temos o pulso incidente e a reﬂectividade das diversas camadas. Na ﬁgura 1.7.D
temos as reﬂexões individuais de cada uma das camadas sedimentares, e ﬁnalmente, em
1.7.E tem-se o traço sı́smico ﬁnal registrado em apenas um geofone.
Devido ao arranjo dos geofones (hidrofones) e dos registros de uma mesma reﬂexão em
vários desses sensores, pode-se calcular as distâncias das várias camadas e heterogeneidades e as velocidades das ondas sı́smicas nestas camadas de subsuperfı́cies.
16
1.4
O Ruido de Rolamento Superficial ou Ruido
Ground Roll
Os registros obtidos por um conjunto de geofones ou hidrofones das reﬂexões da onda
nas camadas de subsuperfı́cies formam um sismograma. Na ﬁgura 1.8[3] é mostrado
um sismograma construı́do a partir dos dados de um conjunto de geofones durante uma
sondagem sı́smica.
Figura 1.8: Exemplo de sismograma captado por um conjunto de geofones durante uma
sondagem sı́smica. Figura reproduzida de OLIVEIRA[3].
No sismograma da ﬁgura 1.8 são observadas algumas estruturas, no entanto, a maioria
das estruturas visualmente presentes no sismograma não são devidas às reﬂexões das ondas
nas heterogeneidades do subsolo. A maioria dos sinais presentes em um sismograma
de sondagem sı́smica são sinais expúrios que diﬁcultam a leitura do sismograma e sua
interpretação e, consequentemente, o estudo das estruturas do subsolo terrestre.
17
Estes sinais indesejados que aparecem nos sismogramas são chamados de ruı́dos. O
principal sinal indesejado nos sismogramas de sondagem sı́smica são sinais coerentes devidos a ondas de superfı́cie, do tipo das ondas de Rayleigh, que contribuem com cerca
de dois terços de toda a energia sı́smica captada pelo geofone durante essas sondagens[5].
Esses sinais indesejados são chamados de ruı́do de rolamento superficial ou ruı́do
ground roll.
O ruı́do de rolamento superﬁcial está sempre presente nos sismogramas de sondagem
sı́smica e, no exemplo da ﬁgura 1.8, ele aparece geometricamente com a forma de um cone
central marcado por A. A forma de cone para o registro do ruı́do de rolamento superﬁcial
vem do posicionamento dos geofones em relação ao ponto de tiro (ponto de energia onde
são geradas as ondas sı́smicas para o levantamento sı́smico).
As principais caracterı́sticas do ruı́do de rolamento superﬁcial são: grandes amplitudes,
maiores que as do sinal reﬂetido nas camadas do subsolo; baixa velocidade; e concentração
de energia em frequências baixas[5].
Por serem ondas do tipo Rayleigh, as ondas do ruı́do de rolamento superﬁcial se
limitam a uma propagação próxima à superfı́cie da Terra sem transmitir energia para o
seu interior. E, então, as amplitudes que constituem o ground roll não contêm informações
relacionadas com as interfaces de reﬂexões e irão se sobrepor às amplitudes (menores) que
foram reﬂetidas pelas estruturas geológicas do interior da terra.
1.5
Técnicas de Filtragem
O ruı́do de rolamento superﬁcial e outros sinais indesejados precisam ser removidos
do sismograma para que se possa estudar as estruturas presentes e, com isto, estudar as
estruturas do interior da terra.
Convencionalmente, para a remoção de ruı́dos são usados ﬁltros tais como: ﬁltros
passa-baixa, passa banda, balanço espectral, multicanal, f − k, entre outros. Os vários
métodos desenvolvidos baseados nessas técnicas, podem ser utilizados para a remoção do
ruı́do de rolamento superﬁcial[6]. No entanto, esses métodos tem limitações, pois só podem
18
ser aplicados ou no domı́nio da frequência ou no domı́nio do tempo. Os ﬁltros passa-alta
e passa banda, por exemplo, são aplicados no domı́nio da frequência e são incapazes
de separar as grandes amplitudes do ruı́do de rolamento superﬁcial das amplitudes das
reﬂexões. Isto ocorre porque, para uma mesma banda de frequência, as amplitudes do
ruı́do e do sinal de interesse se sobrepõe fortemente[5]. Por isto, usando-se este tipo de
ﬁltragem, frequências baixas presentes nas reﬂexões são perdidas.
Por outro lado, os ﬁltros baseados na transformada f − k são bastante utilizados
para remover os ruı́dos de rolamento superﬁcial[7], porém estas transformadas têm a
desvantagem de gerar distorções nos sinais das reﬂexões devido ao fato das amplitudes do
ground roll serem bem maiores que as amplitudes das reﬂexões.
Há vários métodos e transformadas que são utilizadas para tratar e estudar os sismogramas e, desta forma, estudar as estruturas do interior da terra. Nos próximos capı́tulos
faremos um breve estudo das principais transformadas temporais usadas para remover
ruı́dos dos sinais sı́smicos, bem como suas limitações, para podermos comparar com a
transformada curvelet, que é o objeto principal de estudo desta tese.
19
Capı́tulo 2
Sinais Temporais e Transformadas
2.1
Introdução
Toda grandeza fı́sica pode ser representada por uma função f (t) que dá o seu comportamento com o tempo. A princı́pio, conhecendo-se a função que representa uma grandeza
fı́sica, conhecemos o comportamento desta grandeza em qualquer tempo e nos referimos a
esta função como sendo o sinal temporal da grandeza fı́sica. Entretanto, o sinal temporal não fornece toda a informação que precisamos para estudar e analisar a grandeza fı́sica.
Em muitos casos é necessário realizar uma transformação matemática sobre a função para
que esta possa ser analisada em um domı́nio diferente do domı́nio temporal e, desta forma,
possamos obter outras informações relevantes e importantes sobre a grandeza fı́sica.
As transformações mais utilizadas para se analisar sinais temporais são as chamadas
transformadas espectrais, que levam o sinal temporal para o espaço das frequências e
permitem recuperar as frequências presentes no sinal temporal.
Por outro lado, os sinais temporais obtidos no mundo real a partir do estudo de alguma
grandeza fı́sica de interesse estão sempre contaminados. Por exemplo, em um sismograma
coletado para se estudar a estrutura interna de uma área da crosta terrestre há vários
outros sinais misturados que atrapalham o estudo do sismograma por não pertencerem
ao fenômeno de interesse. Chamamos estes sinais espúrios ou indesejados de ruı́dos.
A presença de ruı́dos é inevitável no estudo de qualquer grandeza ou fenômeno fı́sico.
Há alguns procedimentos utilizados para atenuar o ruı́do presente no sinal e, desta forma,
20
recuperar o sinal desejado. Estes procedimentos de atenuação de ruı́dos são conhecidos
como ﬁltragem [8].
Assim, procedimentos matemáticos têm sido propostos para atenuar estes sinais que
não pertencem ao fenômeno observado e que não são de interesse do pesquisador.
As transformadas espectrais estão entre os ﬁltros mais utilizados para remoção de
ruı́dos na exploração do petróleo. Nestes casos, é feita uma transformada sobre o sinal
levando-o para o espaço das frequências e as frequências dos sinais indesejados são atenuadas ou removidas e, ao se realizar a transformada inversa para levar o sinal de volta ao
espaço temporal, o sinal desejado deve, em teoria, estar livre dos ruı́dos.
Neste capı́tulo vamos estudar brevemente as principais transformadas espectrais utilizadas para se estudar sinais temporais e/ou atenuar ruı́dos presentes nesses sinais, bem
como perceber as limitações destas transformadas.
2.2
A Análise de Fourier
Em 1807, o fı́sico e matemático francês Jean-Baptiste Joseph Fourier desenvolveu um
método de análise de funções periódicas em séries trigonométricas convergentes que passaram a se chamar Séries de Fourier.
Levando-se em consideração que senos e cossenos são funções periódicas, ele propôs
que qualquer função periódica pode ser decomposta em termos destas funções base num
somátório inﬁnito. Assim, uma função f (t) periódica pode ser escrita em termos de
funções senoidais (senos e cossenos) como:
(
)
(
)]
∞ [
∑
nπt
nπt
f (t) = a0 +
an cos
+ bn sen
L
L
n=1
(2.1)
onde os coeﬁcientes da expansão, an e bn , são determinado a partir da relação de ortogonalidade das funções base da expansão (senos e cossenos) e são dados por:
1
an =
L
∫
(
L
f (t) cos
−L
nπt
L
)
e
21
dt,
n = 0, 1, 2, 3, . . .
(2.2)
1
bn =
L
∫
(
L
f (t)sen
−L
nπt
L
)
dt,
n = 1, 2, 3, . . .
(2.3)
Com o sinal, f (t), escrito como uma série de Fourier na forma da equação (2.1),
podemos analisá-lo mais facilmente no domı́nio temporal e, também, transformá-lo para
outros domı́nios para obter e estudar informações que não estão disponı́veis neste domı́nio.
Usando a Transformada de Fourier (TF), que é uma transformada integral que leva
uma função periódica em suas componentes no domı́nio das frequências, podemos transformar o sinal temporal em uma função que está representada no domı́nio das frequências
a partir da integral:
∫
fˆ(ω) = F[f ](ω) =
∞
f (t)e−iωt dt
(2.4)
−∞
Por outro lado, conhecendo-se o espectro f (ω) de um sinal temporal, é possı́vel obter
este sinal utilizando a transformada inversa de Fourier, dada por:
1
f (t) = f [F](t) =
2π
∫
∞
fˆ(ω)eiωt dt
(2.5)
−∞
Diz-se então que f (t) e fˆ(ω) formam um par de transformadas, indicando isto por
f (t) ↔ fˆ(ω). Ou seja, de um sinal temporal podemos obter o sinal no espaço das
frequências e vice-versa.
O fato das funções de base da série de Fourier ou, equivalentemente, da integral da
transformada de Fourier (equação (2.4)), se estender de menos a mais inﬁnito, torna esta
transformada adequada para se estudar um sinal estacionário. Assim, no estudo de sinais
estacionários, utilizar um ﬁltro do tipo Fourier é uma boa escolha para decompor o sinal
do domı́nio do tempo em sinais harmônicos simples para o domı́nio das frequências. Neste
novo domı́nio pode-se analisar o sinal e atenuar as frequências dos sinais indesejados e,
em tese, ao voltar ao domı́nio temporal pela transformada de Fourier inversa, recupera-se
o sinal sem a presença de ruı́dos e sinais indesejados.
Na ﬁgura 2.1.a temos um exemplo de um sinal estacionário simples, f (t) = cos(ν0 )
representado em seu domı́nio temporal e sua análise de Fourier, representada no domı́nio
das frequências, onde vemos que sua frequência é representada por uma delta sobre ν0
22
no espaço das frequências. Já na ﬁgura 2.1.b temos a função f (t) = cos(ν0 ) dentro de
uma caixa limitada no intervalo [−b/2, b/2] e sua respectiva representação no espaço das
frequências, o que já nos mostra a limitação da análise de Fourier para analisar sinais
não-estacionários.
Figura 2.1: a) Exemplo de (a) um sinal temporal estacionário e sua representação no
espaço das frequências obtida pela análise de Fourier do sinal; (b) um sinal temporal não
estacionário e sua representação no espaço das frequências obtida pela análise de Fourier.
Figura adaptada da página de internet http://astro.if.ufrgs.br/med/imagens/fourier.htm
[9].
Apesar de ser extremamente útil e importante no estudo de sinais estacionários, a
transformada de Fourier não pode “visualizar” ou recuperar uma informação localizada
em um tempo especı́ﬁco. Ou seja, a transformada de Fourier é ineﬁcaz para fornecer a
localização de um evento no sinal, tal como mudança de frequência, descontinuidades,
singularidades e fenômenos transientes em geral.
A limitação na análise de Fourier advém do fato da transformada de Fourier não permitir analisar, em separado, trechos diferentes dos sinais [10]. Assim, caso o sinal contenha
23
algum trecho extremamente ruı́doso ou que contenha pontos anômalos, o processamento
de todo o sinal ﬁcará comprometido. E, no caso dos sinais sı́smicos da prospecção de
petróleo, as partes mais importante dos sinais costumam ser os eventos pontuais ou singularidades presentes no sinal temporal.
Como ferramentas de análise alternativas à Tranformada de Fourier no estudo de sinais
não-estacionários ou que contenham descontinuidades pontuais, surgiram outras transformadas espectrais que visam incorporar à análise de um sinal a possibilidade de localizar
um evento no sinal ao mesmo tempo que leva o sinal temporal do espaço dos tempos para
o espaço das frequências. Vamos estudar brevemente algumas destas transformadas nas
seções seguintes deste capı́tulo.
2.3
A Transformada de Fourier-Gabor
Para cobrir a deﬁciência da Transformada de Fourier em estudar sinais não estacionários e interessado em representar sinais não-estacionários em problemas de comunicação usando funções de base oscilatórias no plano tempo-frequência, o fı́sico Dennis
Gabor[11] desenvolveu um método que divide o sinal temporal original em partes e realiza
uma análise de Fourier em cada parte em separado.
Este método é denominado Transformada Fourier-Gabor ou Transformada de
Fourier Janelada (em inglês Short Time Fourier Transform).
A transformada de Fourier Janelada usa uma função auxiliar no integrando da transformada de Fourier que divide o sinal temporal em partes, através de janelas de formato
gaussiano, e faz a transformada de Fourier em cada parte do sinal, permitindo obter
informações sobre quais frequências ocorrem em cada parte do sinal.
Matematicamente temos que a transformada de Fourier-Gabor relaciona o sinal temporal f (t) com a função de análise gu,ξ (t), conhecida como átomo de Gabor, pela equação:
∫
∞
f (u, ξ) =
−∞
∗
(t)dt
f (t)gu,ξ
A função átomo de Gabor é construı́da por uma translação temporal:
24
(2.6)
gu,ξ (t) = g(t − u)eiξt .
(2.7)
Desta forma, a transfomada de Fourier-Gabor é dada por:
∫
fˆ(u, ξ) =
∞
−∞
f (t)g(t − u)e−iξt dt
(2.8)
Sendo assim, a transformada de Fourier janelada está deﬁnida no domı́nio tempo
frequência (ω, t). E a energia de gu,ξ é concentrada na vizinhança de u em um intervalo
de tamanho σt e sua transfomada de Fourier é uma translação por ξ:
ĝu,ξ (ω) = ĝ(ω − ξ)e−iu(ω−ξ) .
(2.9)
A transformada inversa de Fourier Gabor é dada por:
1
f (t) =
2π
∫
∞
−∞
∫
∞
−∞
fˆ(u, ξ)g(ξ − t)eiξu dudξ .
(2.10)
A função gu,ξ (t), da transformada de Fourier-Gabor, é delimitada por uma região
e, também por isto, conhecida como uma função janelada. A energia de gu,ξ (t) está
concentrada na vizinhança de u em um intervalo de tamanho σt . E a energia de ĝu,ξ (t) é
localizada na frequência ξ em um intervalo de tamanho σω .
No plano tempo-frequência (t, ω), o espalhamento da energia do “átomo” gu,ξ é representado simbolicamente pela “caixa de Heisemberg”, como ilustrado na ﬁgura 2.2. Esta
“caixa” está centrada em (u, ξ) e tem largura σt no tempo e σω na frequência.
A janela usada na transformada de Fourier janelada é de tamanho ﬁxo. Isto torna
inviável a análise simultânea das componentes de altas frequências e de baixas frequências
do sinal, pois há um limite, advindo do Princı́pio da Incerteza de Heisemberg, para a
localização tempo-frequência do sinal. A variância temporal σt e a variância na frequência
σω do sinal temporal f (t) satisfazem a equação:
σt σω ≥
1
4π
(2.11)
Sendo assim, uma “boa” localização na frequência (σω pequeno) implica em não se
ter uma “boa” localização no tempo (σt ≥ 1/4πσω ). A localização da função no domı́nio
25
Figura 2.2: Representação simbólica da caixa de Heisemberg no plano tempo-frequência.
A energia do “átomo” de Gabor está distribuı́da nesta caixa centrada em (u, ξ) e com
larguras σt no tempo e σω na frequência. Figura reproduzida de LEITE[15].
tempo-frequência está representada geometricamente pela dimensão do retângulo σt × σω .
Do princı́pio da incerteza temos que a área desse retângulo mostrado na ﬁgura 2.2, é
≥ 1/4π.
Na transformada de Fourier janelada, uma vez escolhida uma janela do domı́nio do
tempo, esta mesma janela tem de ser usada em todas as frequências. Assim, é possı́vel se
analisar sinais que apresentam componentes de frequências altas ou sinais que apresentam
componentes de frequências baixa, mas não sinais que apresentam ambas componentes,
como os sinais geofı́sicos.
A limitação na transformada de Fourier janelada fez surgir uma modiﬁcação nessa
transformada, que veio a ser chamada de Transformada Wavelet ou transformada em
ondaleta.
26
2.4
A Transformada em Ondaletas
A Transformada Wavelet ou Transformada em Ondaletas também surgiu da
limitação da análise de Fourier em localizar um evento em um sinal temporal e da limitação
da transformada de Fourier-Gabor em estudar sinais compostos, simultaneamente, por
bandas de altas e de baixas frequências.
Devido à esta limitação da transformada de Fourier janelada em analisar sinais não
estacionários e compostos, simultaneamente, por bandas de altas e de baixas frequências,
Grossmann e Morlet [10] usaram funções de análise na base com parâmetros variáveis σ
e τ relacionados com frequência e tempo, respectivamente, e que ajustavam às janelas
de análise do sinal, contornando a limitação da análise de Fourier-Gabor. Assim, as
funções de análise são ajustadas pelos parâmetros σ e τ dependendo da frequência que se
deseja analisar, ou seja, para estudar as estruturas de sinais f (t) em tamanhos diferentes,
é necessário usar uma decomposição em tempo-frequência com suportes diferentes no
tempo.
A transformada em ondaletas é uma técnica recente com enorme aplicabilidade no
estudo de funções não-estacionárias e de sinais com transientes ou singularidades, como
é o caso de sinais geofı́sicos[16]. A enorme utilidade das ondaletas está na possibilidade
de atuarem como funções de base na decomposição de sinais temporais (funções f (t) ∈
L2 (IR)) de forma mais eﬁciente que as bases senoidais do método de Fourier e que as
janelas do método Fourier-Gabor.
Muitas vezes a transformada em ondaletas é comparada a um microscópio matemático,
pelo fato de proporcionar um efeito tipo lente de aumento que permite localizar, no tempo
e na escala, transientes e singularidades em um sinal temporal. Tornando esta análise
extremamente conveniente para a análise de sinais não-estacionários e com sigularidades.
Nesta seção, vamos apresentar e discutir brevemente a transformada contı́nua em
ondaletas e a transformada discreta em ondaletas e perceber, também, suas limitações.
27
2.4.1
Transformada Contı́nua em Ondaletas
A Transformada Contı́nua em Ondaletas é uma transformação matemática que
decompõe um sinal temporal f (t) ∈ L2 (IR) em funções de base denominadas ondaletas
ou wavelets. Esta transformada gera um novo sinal fψ (σ, τ ) ∈ L2 (IR) que é dependente
dos parâmetros σ e τ que são, respectivamente, o parâmetro de dilatação/contração e
o parâmetro de translação. Comparando a transformada contı́nua em ondaletas com a
transformada de Fourier janelada, como veremos a seguir, percebe-se que o parâmetro τ é
similar ao parâmetro de localização da transformada de Fourier janelada. Já o parâmetro
σ não existe na transformada de Fourier janelada.
A decomposição da função f (t) em termos das ondaletas, pode ser representada pela
equação:
∫
fψ (σ, τ ) =
+∞
−∞
∗
f (t)ψσ,τ
(t)dt
(2.12)
∗
onde a função ψσ,τ
(t) é conseguida por dilatações (parâmetro σ) e translações (parâmetro
τ ) de uma função principal ou função protótipo, conhecida por ondaleta mãe (ou
wavelet mãe), e dada por:
∗
ψσ,τ
(t)
1
=√ ψ
|σ|
(
t−τ
σ
)
(2.13)
1
onde σ, τ ∈ IR, σ ̸= 0; e o termo √
corresponde a um fator de normalização da energia
|σ|
para cada ondaleta, que faz com que cada ondaleta tenha a mesma energia da ondaleta
principal.
A dependência da ondaleta com os dois parâmetros, σ e τ , é o que torna esta transformada uma ferramenta eﬁciente para analisar sinais não-estacionários e localizar singularidades e transientes, pois é possı́vel analisar a função em um amplo conjunto de
localizações temporais e com relação a um grande conjunto de frequências.
Na ﬁgura 2.3.a ilustramos uma famı́lia de ondaletas contı́nuas para diferentes valores
dos parâmetros σ e τ . Já na ﬁgura 2.3.b ilustramos o espectro de Fourier destas ondaletas.
A ondaleta escolhida é a segunda derivada da gaussiana, também conhecida como
Chapéu Mexicano devido a seu formato peculiar. A ondaleta principal ou protótipo usada
28
Figura 2.3: Representação de uma famı́lia de ondaletas contı́nuas (ﬁgura (a)) e de seu
espectro de Fourier (ﬁgura (b)). Figura reproduzida de MALLAT[16].
para gerar a famı́lia de ondaletas é ψ1 , que está localizada em τ0 = 0 para uma determinada
escala σ0 , ou seja, ψ1 = ψσ0 ,τ0 =0 . Observa-se na ﬁgura 2.3.a que quando a ψ1 é contraı́da
σ0
em σ0 →
e transladada para a direita, τ0 → +τ , é gerada a ondaleta ψ2 , caracterizada
2
σ0
por ψ2 = ψσ0 /2,τ . Já a ondaleta ψ3 é gerada pela contração σ0 →
e pela translação
4
τ0 → −τ , assim ψ3 = ψσ0 /4,−τ .
No espectro de Fourier desta famı́lia de ondaletas, mostrado na ﬁgura 2.3.b, observase que quando é diminuı́da a análise do domı́nio da temporal (tanto em ψ2 quanto em
ψ3 que são menos espalhadas que ψ1 ), a análise no domı́nio das frequências é deslocada
para frequências maiores. E, consequentemente, a ondaleta que possui maior suporte no
tempo, ψ1 , tem seu espectro de frequência concentrado em frequências menores.
29
A transformada em ondaletas, assim como a transformada de Fourier, é inversı́vel.
A recuperação do sinal original é possı́vel pela transformada em ondaletas inversa, cuja
expressão matemática é:
f (t) =
fψ−1 (σ, τ )
1
=
cψ
∫
+∞
∫
−∞
+∞
−∞
1
fψ (σ, τ ) √ ψ
|σ|
(
t−τ
σ
)
dτ
dσ
σ2
(2.14)
onde o termo Cψ depende da ondaleta dada e, matematicamente, é escrito na forma:
∫
Cψ =
+∞
−∞
|ψ̂(ω)|2
dω < ∞
|ω|
(2.15)
onde o termo |ψ̂(ω)| é a transformada de Fourier da função ψ(t).
A equação 2.15 é deﬁnida como a condição de admissibilidade da função ψ(t), que tem
de satisfazê-la para que a função f (t) possa ser reconstruı́da sem perda de informação.
∫ +∞
A equação 2.15 exige, ainda, que ψ̂(0) = 0 ou −∞ ψ(t)dt = 0, de forma que ψ(t)
muda seu sinal, ao menos, uma vez ao longo de seu domı́nio e que se anula para t → ∞.
Esta propriedade garante que ψ(t) tem caráter ondulatório.
Por outro lado, levando-se em consideração a localização da energia da função ψ,
temos que essa está localizada numa região do plano (τ, ω) e, portanto, no plano (τ, σ),
uma vez que σ ∼ 1/ω. Isto signiﬁca que as amplitudes de ψ são apreciáveis apenas nesta
região. Desta forma, a equação 2.12 mede as ﬂutuações do sinal f na vizinhança de τ , cujo
tamanho é proporcional à escala σ. Se a ondaleta é mais localizada, ou seja, sua energia
está concentrada em uma pequena região do espaço, ela fornece uma melhor representação
da função no plano tempo-frequência, mas a forma da ondaleta permanece inalterada sob
dilatação e translação (como pode ser visto na ﬁgura 2.3).
Para compararmos melhor a análise de Fourier-Gabor com a análise em ondaletas,
podemos analisar um esquema ilustrativo da divisão que a transformada em ondaletas
faz do espaço tempo-frequência (ﬁgura 2.4.b) com a divisão do espaço tempo-frequência
feito pela análise de Fourier-Gabor (ﬁgura 2.4.a). As diferentes larguras das janelas (tanto
em tempo quanto em frequência) permitem a melhor representação das singularidadese e
30
eventos localizados do sinal temporal quando estudado no domı́nio tempo-frequência. Na
ﬁgura 2.4.b podemos observar, também, o esquema da discretização do domı́nio tempoescala para as ondaletas.
Figura 2.4: Esquema ilustrativo da divisão do espaço tempo-frequência (a) para a transformada de Fourier-Gabor; e (b) para a transformada em ondaletas.
Figura reproduzida de MALLAT[16].
2.4.2
Transformada Discreta em Ondaletas
Vimos, até agora, que a transformada contı́nua em ondaletas analisa sinais temporais
a partir de sua representação em termos de funções de base dadas pela equação 2.13, onde
os parâmetros σ e τ controlam a largura e a localização das funções de análise que formam
a base.
Com os parâmetros σ e τ , a transformada contı́nua em ondaletas é uma representação
redundante dos sinais temporais. A diminuição da redundância aumenta a eﬁciência dos
algoritmos de análise e uma discretização dos parâmetros σ e τ é suﬁciente para passar
de uma representação redundante a uma representação em uma base ortonormal.
Uma escolha adequada para o parâmetro de escala é σ = σ0j , com j ∈ Z e σ0 > 1.
E para o parâmetro de translação é τ = kτ0 com k ∈ Z e τ0 > 0. O valor de τ0 deve
31
ser escolhido de modo que as ondaletas ψ(t − kτ0 ) cubram todo o eixo temporal. Devese perceber também, que a discretização de τ deve estar relacionada à discretização de
σ = σ0j , portanto, uma escolha conveniente para τ é da forma τ = kσ0j τ0 .
Uma classe particular de ondaletas discretas são as ondaletas com os seguintes valores
numéricos para os parâmetros de translação e contração da ondaleta τ0 = 1 e σ0 = 2, de
forma que, temos σ → 2j e τ → 2j k, com (j, k) ∈ Z × Z. Esta notação conduz a uma
estrutura em escalas (ı́ndice j) e translações (ı́ndice k) chamada diádica, que assemelhase a uma notação musical, em que as potências de 2 estão relacionadas com intervalos
(oitavas) e duração das notas.
Então, uma ondaleta discreta é uma função ψ(t), tal que a famı́lia de funções
)
(
1
t − k2j
ψj,k (t) = √ ψ
2j
2j
seja uma base ortonormal para o L2 (IR) com j e k inteiros.
(2.16)
Da deﬁnição acima, se ψ é uma ondaleta, então, ψj,k também será para qualquer
j, k ∈ Z.
Os parâmetros j e k são quem controlam, respectivamente, as dilatações e as
translações das ondaletas. Então, a transformada discreta em ondaletas será da forma
(
)
t − k2j
1
dj,k =
f (t) √ ψ
dt
(2.17)
2j
2j
−∞
onde os coeﬁcientes gerados dj,k 0 são chamados de coeﬁcientes de detalhe ou coeﬁcientes
∫
+∞
ondaletas.
Algoritmos baseados nesta transformada são usados para analisar sinais temporais que
são formados por bandas de alta e baixa frequências e que possuem eventos localizados
no tempo ou singularidades. Estas singularidades são bem localizadas no espaço tempofrequência, permitindo veriﬁcar quais coeﬁcientes da transformada discreta em ondaletas
são mais importantes na representação do sinal.
A transformada em ondaletas aplicada a sinais geofı́sicos, por exemplo, faz com que
os sinais sejam representados em termos de um número muito grande de coeﬁcientes de
detalhe. Sem contar que, usando a transformada em curvelets, como estudaremos no
capı́tulo 3, a imagem/sinal pode ser representada com bem menos coeﬁcientes que na
32
sı́ntese em ondaletas. Além disso, o caráter direcional da transformada curvelet permite
que a representação do sinal seja feita através de uma operação que inclui um parâmetro
angular na função de base e permite atenuar melhor os ruı́dos e partes indesejadas do
sinal quando comparada à transformada em ondaletas.
33
Capı́tulo 3
A Análise Curvelet
3.1
Introdução
No capı́tulo anterior começamos a estudar sinais temporais e as transformadas utilizadas em suas análises. Neste capı́tulo vamos dar continuidade ao estudo de transformadas tempo-frequência estudando um tipo recente de transformada e com inúmeras
aplicações em diversas áreas da ciência e da tecnologia, a transformada curvelet.
Em todo o corpo desta tese manteremos o termo em inglês, curvelet, para esta transformada pois, por ser uma análise recente, ainda não há na literatura uma tradução
adequada para este termo.
Voltando ao estudado no capı́tulo anterior, vimos que a análise de Fourier pode ser utilizada para decompor um sinal periódico em termos de senos e cossenos, ou seja, podemos
escrever um sinal periódico como uma combinação linear de senos e cossenos e descobrir
as frequências presentes no sinal temporal. A análise de Fourier é extremamente útil
no estudo de sinais estacionários, mas apresenta sérias limitações ao analisar sinais que
apresentam descontinuidades ou eventos localizados no tempo.
Devido à essa limitação da análise de Fourier, surgiu a análise de Fourier-Gabor ou
análise de Fourier janelada. Esta análise divide o sinal temporal original em partes e
realiza uma análise de Fourier em cada parte em separado. Nesse tipo de análise, a janela
utilizada tem tamanho ﬁxo, o que torna uma análise simultânea das componentes de altas
e de baixas frequências inviável, sendo possı́vel realizar apenas um desses tipos de análise
34
e não os dois simultaneamente.
Da limitação da análise de Fourier em localizar um evento em um sinal temporal e
da limitação da transformada de Fourier-Gabor em estudar sinais compostos, simultaneamente, por bandas de altas e de baixas frequências, surgiu a análise em ondaletas. Neste
tipo de análise, o sinal temporal ou função a ser estudada é representada em termos
de pequenas ondas que sejam localizadas no tempo e que permitem ajustar o tamanho
das janelas de análise do sinal, contornando a limitação da análise de Fourier-Gabor. A
transformada em ondaletas é uma técnica recente com enorme aplicabilidade no estudo
de funções não-estacionárias e de sinais com transientes ou singularidades, como é o caso
de sinais geofı́sicos[16]. No entanto, esta técnica de análise também tem suas limitações.
Por exemplo, apesar de representar surpreendentemente bem descontinuidades pontuais
em uma dimensão, a análise em ondaletas apresenta severas restrições para representar
regiões com descontinuidades superﬁciais em duas dimensões, ou seja, descontinuidades
ao longo de curvas, precisando-se de um número muito grande de coeﬁcientes para tais
representações[22] ou mesmo recuperando representações imprecisas.
Partindo-se desta limitação na análise em ondaletas, Candès e Donoho[22] propuseram,
em 1999, uma nova classe de funções de base, as curvelets que podem ser utilizadas
na remoção de ruı́dos de sinais e imagens, na compressão de sinais, no reconhecimento
de padrões, entre outras aplicações. A análise curvelets consiste em representar um
sinal/imagem em termos de funções de base que tenham em seus parâmetros, além dos
parâmetros relacionados à frequência e ao tempo, um parâmetro angular, dando um
caráter direcional à análise e permitindo-se identiﬁcar e representar singularidades direcionais.
Neste capı́tulo vamos deﬁnir a transformada curvelet e entender esta análise e suas
propriedades para, no próximo capı́tulo, podermos descrever a remoção do ruı́do de rolamento superﬁcial usando esse tipo de análise.
35
3.2
Definição da Transformada Curvelet
A transformada curvelet é uma nova transformada multiescala com um forte caráter
direcional que vem sendo largamente utilizada na representação de objetos, imagens e
sinais que tem descontinuidades ao longo de curvas[22, 23, 24, 25, 26, 27, 28]. Este
caráter direcional das curvelets vem do fato delas estarem localizadas, além do domı́nio
espacial e de frequências, em orientação angular, o que consiste num passo além da análise
em ondaletas[16]. Nesta seção vamos deﬁnir a transformada curvelet contı́nua e estudar
suas propriedades.
Vamos considerar que as funções de base curvelets estão deﬁnidas em duas dimensões,
com variável espacial x, ω e com r e θ as coordenadas polares no domı́nio das frequências.
Assim, considerando o par de janelas W (r) e V (t) que são, respectivamente, a “janela
radial” e a “janela angular” e que são, ambas, suaves, não-negativas e reais, com W
tomando argumentos reais e positivos com suporte r no intervalo (1/2, 2) e V tomando
argumentos reais com suporte em t ∈ [−1, 1].
Estas janelas obedecerão às condições de admissibilidade:
+∞
∑
(3
)
W 2 (2j r) = 1,
r∈
V 2 (t − l) = 1,
(
)
t ∈ − 12 , 12
,3
4 2
(3.1)
j=−∞
+∞
∑
(3.2)
l=−∞
Para cada j ≥ j0 , o que signiﬁca dizer que estamos trabalhando com as escalas “ﬁnas”
das curvelets, introduziremos as janelas de frequência Uj deﬁnida no domı́nio de Fourier
por:
(
−3j/4
Uj (r, θ) = 2
−j
W (2 r)V
2⌊j/2⌋ θ
2π
)
(3.3)
onde ⌊j/2⌋ é a parte inteira de j/2. Desta forma, o suporte de Uj é uma “fatia” polar
deﬁnida pelo suporte de W e V , ou seja, é uma janela com largura dependente da escala
em cada direção.
O sinal ou imagem a ser analisado deve ser decomposto em termos destas janelas agular
e radial, de modo que em cada janela seja aplicada a análise curvelet. Para visualizarmos
36
essas janelas em um sinal/imagem a ser estudado, vamos considerar que o espaço de
frequência, a partir de sua origem, em camada de frequência deﬁnidas por 2j < W < 2j+1 ,
de modo que o espaço de frequência ﬁca decomposto em camadas como na ﬁgura 3.1.a. Já
a decomposição do espaço de frequência para a construção da janela angular é a segunda
decomposição diádica e, por isto, feita no espaço já decomposto na escala radial de modo
que temos (W, V ) ≤ 2−j/2 . Esta decomposição é mostrada na ﬁgura 3.1.b. Assim, o
suporte das curvelets é como uma fatia parabólica neste espaço de frequência sob as
decomposições em escala radial e angular. Na ﬁgura 3.1.c a área sombreada representa
esta fatia parabólica do espaço que é dependente de escala em cada direção, onde as
curvelets tem seu suporte deﬁnido e onde cada análise será feita sobre a imagem/sinal.
Para obtermos as curvelets reais que atuam sobre este espaço de frequência decomposto, iremos trabalhar com a versão simétrica da equação (3.3), ou seja, trabalharemos
com:
Uj (r, θ) = Uj (r, θ + π)
(3.4)
Para deﬁnirmos as funções curvelets, vamos considerar que temos a função φ(x), a
“curvelet mãe”, pois todas as curvelets na escala 2−j são obtidas por rotações e translações
de φj . Assim, as curvelets:
i) apresentam uma sequência igualmente espaçada de ângulos de rotação θl = 2π ·
2−⌊j/2⌋ · l, com l = 0, 1, . . . , tal que 0 ≤ θl < 2π. Devemos ressaltar que o
espaçamento entre ângulos consecutivos são dependentes de escala.
ii) e a sequência dos parâmetros de translação k = (k1 , k2 ) ∈ Z2 .
Com o estabelecimento dessas notações, vamos deﬁnir as curvelet como funções de
x = (x1 , x2 ) na escala 2−j , com orientação θl e posição xk
(j,l)
(
)]
[
φj,l,k (x) = φj Rθl x − xj,l
k
, por:
= Rθ−1
l
(3.5)
onde Rθ é a matriz de rotação de θ em radianos e Rθ−1 sua inversa, que também é igual à
sua transposta:
37
Figura 3.1: Decomposição diádica do espaço de frequência. Na ﬁgura (a) temos esta
decomposição em termos da janela radial; na ﬁgura (b) temos esta decomposição em
termo das janelas radial e angular; já na ﬁgura (c) temos que a área sombreada é a fatia
do espaço de Fourier onde as curvelets tem seu suporte deﬁnido. Figura adaptada da
página de internet http://www.math.washington.edu/ hart/uwss.pdf [29].


Rθ = 
cos θ
senθ
−senθ cos θ
38
,
(3.6)
o que nos dá:
Rθ−1 = RθT = R−θ
(3.7)
Então, um coeﬁciente curvelet é deﬁnido como sendo o produto interno entre a função
f que representa o sinal e a curvelet φj,l,k . Ou seja:
∫
c(j, l, k) = ⟨f |φj,l,k ⟩ =
f (x)φj,l,k (x)dx
(3.8)
R2
Como a transformada curvelet opera no domı́nio da frequência, podemos usar o teorema de Plancherel e expressar o produto interno da equação (3.8) como uma integral
sobre o plano frequência:
1
c(j, l, k) =
(2π)2
∫
1
fˆ(x)φj,l,k (ω)dω =
(2π)2
∫
(j,l),ω
fˆ(x)Uj (Rθl ω )e⟨xk
⟩
dω .
(3.9)
Para o caso de escalas mais “grosseiras” (0 ≤ j ≤ j0 ), podemos introduzir um ﬁltro
do tipo passa-baixa, W0 , que obedece à equação:
|W0 (r)|2 +
∑
|W (2−j r)|2 = 1
(3.10)
j≥jo
E para k1 , k2 ∈ Z, deﬁnimos a curvelet de escala “grossa” como:
φj0 ,k (x) = φj0 (x − 2−j0 k)
φ̂j0 (ω) = 2−j0 |ω|
(3.11)
(3.12)
Destas equações percebemos que as curvelets na escala “grossa” são não direcionais,
ou seja, no maior fator de escala as curvelets são simétricas.
A Transformada curvelet, portanto, consiste dos elementos direcionais de escala ﬁna,
(φj,l,k )j≥j0 ,l,k , e dos elementos não-direcionais de escala grossa, (φj0 ,k )k . Os elementos
aos quais deve-se dar maior atenção nas análises são os elementos direcionais, pois deles
pode-se obter informações que não são possı́veis de se obter de outras transformadas
tempo-frequência.
39
3.3
Propriedades da Transformada Curvelet
A transformada curvelet tem algumas propriedades importantes que devemos ressaltar
nesta seção para entendermos melhor a análise de sinais utilizando este tipo de transformada.
3.3.1
Tight frame
Um conjunto de funções é chamado de tight frame se, mesmo não sendo um conjunto
ortonormal de funções, funciona da mesma forma que uma base ortonormal e é possı́vel
expandir uma função ou sinal em termos deste conjunto de funções. Ou seja, esse conjunto
de funções chamado de tight frame funciona como um protótipo ou arcabouço do espaço
de funções.
As funções curvelet funcionam como se fossem uma base ortonormal, na qual é possı́vel
expandir um sinal ou função arbitrária f (x1 , x2 ) ∈ L2 R2 como uma série de curvelets dada
por:
f=
∑
⟨f |φj,l,k ⟩φj,l,k
(3.13)
j,k,l
Esta igualdade vale no espaço de todas as funções de quadrado integráveis L2 e, portanto, também é válida a relação de Parseval:
∑
|⟨f, φj,l,k ⟩|2 = ||f ||2L2 (R)2
(3.14)
j,k,l
onde as somas nas equações (3.13) e (3.14) são feitas em todas as escalas.
3.3.2
Parâmetro de escala parabólico
Dada uma função curvelet, φi , bem localizada no espaço de frequência, isto signiﬁca
que a função espacial φj (x) tem um decaimento rápido dentro do retângulo de 2−j por
2−j/2 com o eixo maior apontando na direção vertical.
O comprimento e a largura efetiva do retângulo obedecem a uma relação de escala
onde:
40
comprimento ≈ 2−j/2 , largura ≈ 2−j
(3.15)
largura ≈ (comprimento)2
(3.16)
ou seja, temos que:
3.3.3
Comportamento oscilatório
Como podemos perceber pela deﬁnição da transformada curvelet, φ̂j , esta função é
suportada a partir do eixo vertical (ω1 = 0), exceto no eixo horizontal (ω2 = 0). Em
outras palavras, a função φj (x) é oscilatória na direção x1 e um passa-baixa na direção
x2 .
Assim, na escala 2−j , uma curvelet é uma estrutura cujo envelope é uma determinado
cume de comprimento efetivo 2−j/2 e largura 2−j e que exibe comportamento oscilatório
ao longo do cume principal.
3.3.4
Momentos nulos
O molde das funções curvelet φj é dito ter q momentos nulos quando:
∫
+∞
−∞
φj (x1 , x2 )xn1 dx1 = 0
(3.17)
para todo 0 ≤ n < q, para todo x2 .
Esta mesma propriedade é válida para curvelets giradas, ou seja, quando tomamos x1
e x2 como coordenadas giradas correspondentes.
Observe que a integral da equação (3.17) é calculada na direção perpendicular ao cume,
de modo que a contagem de momentos nulos é uma forma de quantiﬁcar o comportamento
oscilatório das curvelets.
No domı́nio de Fourier, a equação (3.17) torna-se uma linha de zeros com algumas
multiplicidades. Ou seja:
∂ n φ̂j
(0, ω2 ) = 0
∂ωjn
41
(3.18)
para todo0 ≤ n < q, para todo ω2 .
As curvelets tem um número inﬁnito de momentos nulos, pois possuem suporte compacto fora da origem no plano da frequência, como ilustrado na ﬁgura 3.1.
3.4
3.4.1
Transformada Curvelet Discreta
Definição
Ao trabalharmos e analisarmos sinais em geral não estamos estudando funções
contı́nuas. Na verdade, estaremos estudando e analisando sinais discretos. Mesmo assim, como toda transformada podemos, a partir do caso contı́nuo, deﬁnir a forma discreta
da transformada curvelet e trabalhar com ela para analisar nossos sinais ou funções. As
deﬁnições e conceitos aqui expressos foram construı́dos a partir do trabalho de Candès e
Donoho, 2005[26].
A transformada curvelet discreta, assim como a transformada contı́nua, é linear. Ela
utiliza como dados de entrada vetores cartesianos da forma f [t1 , t2 ], com 0 ≤ t1 , t2 <
n. Isto nos permite pensar nos dados de saı́da da transformada como uma coleção de
coeﬁcientes cD (j, k, l) obtida pelo análogo discreto da equação (3.8), ou seja, obtidos por:
∑
cD (j, k, l) =
f [t1 , t2 ]φD
j,l,k [t1 , t2 ]
(3.19)
0≤t1 ,t2 <n
onde φD
j,l,k é um pequeno pacote de onda digital.
3.4.2
Coronização discreta
Dada a deﬁnição da transformada curvelet discreta, falta-nos entender (visualizar) a
representação diádica discreta do espaço de frequência onde essa transformada atua, que
também é chamada de coronização discreta do espaço de frequência.
Na deﬁnição contı́nua da transformada curvelet (equação (3.3)), a janela Uj extrai
suavemente frequências próximas da coroa diádica (2j ≤ r ≤ 2j+1 ) e próximo do ângulo
42
(−π·2−j/2 ≤ θ ≤ π·2−j/2 ). Porém, coroa e rotações não são conceitos facilmente adaptados
para representar linhas e colunas cartesianas.
Na transposição do contı́nuo para o discreto é conveniente substituir esses conceitos
por equivalentes discretos/cartesianos. Assim, a coroa cartesiana é baseada em quadrados
concêntricos e cisalhados. Por exemplo, o análogo cartesiano da famı́lia (Wj )j≥0 ,Wj (ω) =
W (2−j ω) é uma janela da forma:
W̃j (ω)
√
Φ2j+1 (ω) − Φ2j (ω)
(3.20)
para j ≥ 0 e onde Φ é deﬁnido como o produto de uma janela unidimensional passa-baixa:
Φj (ω1 , ω2 ) = ϕ(2−j ω1 )ϕ(2−j ω2 )
(3.21)
A função ϕ, que vale 0 ≤ ϕ ≤ 1, obedece a condição de ser igual a 1 no intervalo
[−1/2, 1/2] e nula fora do intervalo [−2, 2]. Deste modo, temos que:
Φ0 (ω)2 +
∑
W̃j2 (ω) = 1
(3.22)
j≥0
As equações acima nos mostram como separar as escalas. Para termos a representação
diádica discreta precisamos construir a localização angular.
Suponha que a janela angular V seja deﬁnida como no caso contı́nuo, isto é, seja dada
pela equação (3.2). Estabelecendo que:
Vj (ω) = V (2⌊j/2⌋ ω2 /ω1 )
(3.23)
Assim, podemos usar W̃j e Vj para deﬁnirmos a janela do espaço de frequência da
transformada curvelet discreta:
Ũj (ω) = W̃j (ω)Vj (ω)
(3.24)
Desta equação, vemos facilmente que Ũj isola frequências próximas da fatia {(ω1 , ω2 ) :
2j ≤ ω1 ≤ 2j+1 , −2−j/2 ≤ ω2 /ω1 ≤ 2−j/2 } e é uma janela cartesiana equivalente à janela
do caso contı́nuo.
Introduzindo, agora, o conjunto de inclinações igualmente espaçadas
43
tan θl = l · 2⌊j/2⌋
(3.25)
onde l = −2⌊j/2⌋ , . . . , 2⌊j/2⌋ − 1. Assim, podemos deﬁnir:
Ũj,l (ω) = W̃j (ω)Vj (Sθl ω)
(3.26)
onde Sθ é a matriz cisalhamento


Sθ = 
1
0
− tan θ 1

(3.27)
Os ângulos θl não são igualmente espaçados, mas as inclinações são. Assim, as janelas
Ũj,l preenchem o espaço de frequência do caso discreto como um ladrilhamento concêntrico
cuja geometria é mostrada na ﬁgura 3.2.
Figura 3.2: Decomposição diádica do espaço de frequência da transformada curvelet discreta. A região sombreada representa uma fatia tı́pica deste espaço localizada pela janela
Ũj,l .
44
3.5
As funções curvelets
Até o momento, neste capı́tulo, deﬁnimos a transformada curvelet na forma contı́nua
e também na discreta e vimos que podemos representar sinais ou funções em geral em
termos de funções bases chamadas de funções curvelets. Falta-nos, agora, conhecer a cara
destas funções.
De um modo prático, podemos pensar nas curvelets como sendo funções obtidas através
de dilatações, rotações e translações parabólicas de uma função de forma especı́ﬁca φ.
As curvelets são indexadas pelos parâmetros de escala (j), de orientação (l) e de
localização (k), de modo que podemos pensar numa função curvelet como:
1
φa,b,θ(x) = √
ΨDa Rθ(x−b) ,
4
a3
(3.28)
onde Da é uma matriz de escala parabólica; Rθ é a rotação em radianos e, para (x1 , x2 ) ∈
R2 , Ψ(x1 , x2 ) é algum tipo de perﬁl admissı́vel.
É possı́vel decompor e reconstruir uma função arbitrária f (x1 , x2 ) como uma superposição de curvelets em várias escalas, posições e orientações. É exatamente isto que
faremos no próximo capı́tulo, onde iremos decompor um sinal sismológico em termos de
funções curvelet e, após suprimirmos a parte indesejada do sinal (o ruı́do de rolamento superﬁcial), iremos reconstruir o sinal de forma que este representará as estruturas internas
do subsolo.
De um modo geral, as funções curvelets podem ser discretizadas fazendo-se:
aj = 2−j ,
θj,l = 2πl · 2−j/2 ,
(j,l)
bk
= Rθj,l (k1 2−j , k2 2−j/2 ),
desta forma, temos que
45
j = 0, 1, 2, . . .
(3.29)
l = 0, 1, . . . , 2j/2 − 1
(3.30)
k 1 , k2 ∈ Z
(3.31)
φj,l,k = φaj ,b(j,l) θ
k
j,l
(3.32)
A coleção de funções curvelets φj,k,l obedece a:
f=
∑
⟨f |φj,l,k ⟩φj,l,k
(3.33)
j,k,l
e
||f ||2L2 =
∑
|⟨f |φj,l,k ⟩|2
(3.34)
j,k,l
Assim, como pudemos perceber no decorrer deste capı́tulo, a análise curvelet permite
levar qualquer sinal ou função estudada do espaço dos tempos para o espaço curvelet, que
é um espaço de frequências que está dividido em escalas e setores angulares dentro de cada
escala. A divisão desse espaço curvelet, quer na forma contı́nua ou na forma discretizada,
permite uma melhor decomposição e análise de funções e sinais que tenham um forte
caráter direcional ou que apresentem singularidades superﬁciais. Como os sinais sı́smicos
tem estruturas com um forte caráter direcional e apresentam inúmeras singularidades
superﬁciais, pareceu-nos natural que a análise curvelet pudesse ser aplicada para o estudo
de sinais sı́smicos, como o ﬁzemos e descrevemos no próximo capı́tulo desta tese.
46
Capı́tulo 4
Remoção de Ruı́do Sı́smico usando
Análise Curvelet
4.1
Introdução
A prospecção de petróleo, como vimos no primeiro capı́tulo desta tese, é uma das
tarefas mais importantes e mais complicadas na indústria de petróleo, devido ao pouco
conhecimento que ainda se tem sobre as estruturas do interior da crosta terrestre e ao
grande grau de incerteza que advém das sondagens.
O principal método indireto usado no estudo das estruturas geológicas do subsolo
terrestre e na prospecção de petróleo é a exploração sı́smica. Esta exploração consiste
em gerar ondas sı́smicas que se propaguem no subsolo e captá-las após suas reﬂexões e
refrações e, em seguida, analisá-las e interpretá-las para determinar a estrutura do subsolo.
A análise e interpretação desses dados é uma tarefa de extrema complexidade, devido
à grande quantidade de ruı́do presente nos sinais sı́smicos obtidos por tal procedimento.
A principal fonte de ruı́do presente nos sinais sı́smicos é o ruı́do de rolamento superﬁcial
que, como descrito no capı́tulo 1 desta tese, é responsável por um percentual considerável
da energia que chega ao geofones (ou hidrofones) e, desta forma, está presente com grande
intensidade nos sinais sı́smicos sem trazer qualquer informação sobre a estrutura interna
do subsolo terrestre.
As técnicas e transformadas usadas para analisar dados sı́smicos tem como objetivo
47
separar o ruı́do do sinal de interesse, eliminar o primeiro e reconstruir o segundo com
informações mais precisas acerca da estrutura geológica estudada.
Neste quarto capı́tulo de nossa tese vamos descrever, com um bom nı́vel de detalhes,
como a transformada curvelet, deﬁnida e estudada no capı́tulo anterior, pode ser utilizada
para analisar os dados sı́smicos para remover o ruı́do de rolamento superﬁcial e reconstruir o sinal de interesse. Ou seja, vamos descrever como a transformada curvelet foi
implementada para ser utilizada na análise de sinais sı́smicos e na remoção do ruı́do de
rolamento superﬁcial desses sinais. E perceberemos, também, as principais vantagens da
análise curvelet em relação, por exemplo, à análise em ondaletas.
A análise de sinais ou funções utilizando a transformada curvelet está estruturada com
três principais passos que podem ser explicitados como:
(1) decomposição do sinal no espaço curvelet;
(2) detecção e remoção dos coeﬁcientes que representam o ruı́do de rolamento superﬁcial
em seus respectivos setores angulares no espaço curvelet;
(3) reconstrução do sinal após a extração do ruı́do.
Em cada uma das três seções a seguir, descrevemos esses passos do processo de análise
curvelet de um sinal e na última seção do capı́tulo explicamos esse procedimento aplicado
a um dado sintético e mostramos o resultado obtido.
Este capı́tulo e o próximo são baseados no artigo original fruto do trabalho desenvolvido ao longo desse doutoramento e que serve de referência para esta tese[30]. Nesse e
no próximo capı́tulo explicamos, com mais detalhes, a estrutura da análise curvelet aplicada a dados sı́smicos e os resultados dessa análise, tanto para um dado sintético (este
capı́tulo) quanto para um dado sı́smico real (próximo capı́tulo).
48
4.2
Análise Curvelet e a decomposição do sinal
O primeiro passo executado pela análise curvelet é a decomposição do sinal ou função
a ser estudada no espaço curvelet.
Neste passo devemos escrever o sinal ou função como uma combinação linear de funções
curvelets, ou seja, devemos escrever o sinal na forma da equação (3.13), aqui reproduzida:
f=
∑
⟨f |φj,l,k ⟩φj,l,k
(4.1)
j,k,l
e determinar os coeﬁcientes ⟨f |φj,l,k ⟩ que correspondem a esta decomposição.
A decomposição desses dados sı́smicos é feita aplicando-se a transformada rápida discreta em curvelet[28], que consiste em obter o produto interno no domı́nio de Fourier, ou
seja, os coeﬁcientes de cada combinação de escala e ângulo serão dados, de acordo com o
Teorema de Plancherel, por:
cj,l,k = ⟨f, ϕj,l,k ⟩ = ⟨fˆ, ϕ̂j,l,k ⟩
(4.2)
onde fˆ e ϕ̂ são as transformadas de Fourier do sinal, f , e da função curvelet, ϕ, respectivamente.
O algoritmo usado para a decomposição Curvelet, ou seja, o algoritmo usado para
descrever o sinal em termos de suas componentes no espaço curvelet, cria uma estrutura de dados organizada da seguinte forma: os coeﬁcientes Curvelets correspondentes a
determinada escala e determinado ângulo são armazenados em uma matriz de tamanho
m × n, ou seja, para cada combinação de escala e ângulo teremos uma matriz. Esse tipo
de procedimento, onde para cada combinação de ângulo e escala temos uma matriz de
coeﬁcientes de tamanho m × n, requer, para o caso de dados sı́smicos dos tamanhos considerados na análise de sinais sı́smicos usuais, uma boa disponibilidade de memória para
armazenamento de dados, no entanto, como a análise curvelet mostrou-se mais econômica,
em termos de número de coeﬁcientes, que a análise em ondaletas[25], por exemplo, os resultados de análise feitos utilizando-se curvelets devem trazer resultados mais precisos que
os resultados obtidos via uma análise em ondaletas, mesmo que esta última possa ter sido
adaptada para reconhecer singularidades direcionais.
49
O tamanho m × n de cada matriz de coeﬁcientes depende da escala e do ângulo
correspondente. Para as escalas mais ﬁnas, por exemplo, teremos matrizes maiores, uma
vez que são gerados mais coeﬁcientes para essas escalas.
O ângulo das Curvelets também inﬂui na quantidade de linhas e colunas usadas em
cada matriz de coeﬁcientes da análise curvelet e é determinada pelo algoritmo utilizado
para decomposição do sinal no espaço curvelet.
A decomposição realizada nos nossos dados resulta em apenas 1 ângulo disponı́vel
para a 1a escala, 16 para a 2a escala, 32 para a 3a escala, 32 para a 4a escala, 64 para
a 5a escala e assim por diante, dobrando o número de ângulos a cada 2 escalas, mas a
tı́tulo de exemplo, se realizarmos uma decomposição em que a 1a escala possua 16 ângulos
disponı́veis, a 2a escala 32 ângulos e a 3a escala 32, teremos 16+32+32 = 80 matrizes de
coeﬁcientes somente nestas três escalas. Cada posição na matriz contendo um coeﬁciente
corresponde a uma determinada região do sinal bidimensional.
A localização dessa região na imagem está diretamente relacionada com a posição
do coeﬁciente correspondente na matriz. Assim, por exemplo, o elemento da 1a linha
e 1a coluna contém o coeﬁciente correspondente à região mais à esquerda e mais acima
na imagem. O tamanho dessa região de inﬂuência da Curvelet depende diretamente da
escala. Escalas mais grosseiras terão coeﬁcientes correspondentes à regiões maiores e,
portanto, representados por matrizes menores, uma vez que podemos dividir a imagem
em um menor número de regiões. Da mesma forma, escalas menores ou mais ﬁnas terão
coeﬁcientes correspondentes a regiões menores na imagem e, desta forma, representado
por matrizes maiores.
Tendo-se feito a decomposição do sinal no espaço curvelet, passaremos às etapas
seguintes da análise curvelet dos sinais sı́smicos.
50
4.3
Identificação e remoção do ruı́do
Nesta segunda etapa da análise curvelet dos sinais sı́smicos, identiﬁcamos e apagamos
os coeﬁcientes da decomposição do sinal no espaço curvelet que correspondem ao ruı́do
de rolamento superﬁcial para que possamos reconstruir o sinal sem qualquer contribuição
desse ruı́do ou, pelo menos, com uma contribuição mı́nima de ruı́do para o sinal.
A análise curvelet implementada em nosso trabalho se baseia na premissa de que
os dados sı́smicos e imagens possuem uma representação esparsa x0 no domı́nio das
curvelets[31]. Desta forma, os dados reais sempre podem ser expressos na forma:
y = C t x0 + n
(4.3)
onde que C t é a transformada curvelet inversa e n é um ruı́do Gaussiano, ou seja, um
ruı́do com forma gaussiana que está presente nos dados.
A identiﬁcação deste ruı́do a ser eliminado e que, no caso de nossos dados, corresponde
ao ruı́do de rolamento superﬁcial presente em dados sı́smicos, pode ser realizada por meio
de testes visuais ou de análises estatı́sticas.
O ruı́do de rolamento superﬁcial devido à disposição dos geofones/hidrofones usados
na coleta dos dados e também devido à forma como é gerado (como discutido no capı́tulo
1 desta tese) aparece geometricamente com a forma de um cone central nos sismogramas
de sondagem sı́smica, como mostrado na ﬁgura 1.8. Assim, uma análise visual dos sinais
visando a eliminação do ruı́do de rolamento superﬁcial de dados sı́smicos poderia ser feita
gerando-se uma tabela de imagens da reconstrução do sinal para cada combinação de
escala e ângulo e então identiﬁcar as escalas e ângulos com maior presença de ruı́do.
Estatisticamente, temos a opção de comparar os coeﬁcientes das energias nos ângulos
em cada escala. Os ângulos com quantidades de energia semelhantes devem corresponder
a um mesmo padrão de ruı́do ou de informação geológica e assim, identiﬁcando-se um
ângulo onde a presença do ruı́do seja certa, determinamos a energia presente neste ângulo,
eliminamos sua contribuição para a reconstrução da imagem/sinal sem ruı́do e eliminamos
também dessa reconstrução todos os ângulos com contribuição semelhante de energia para
o sinal.
51
Precisamos comparar a amplitude de energia do ruı́do de rolamento superﬁcial com
a amplitude da energia carregada pelas ondas reﬂetidas nas interfaces entre as camadas
geológicas, que são os sinais de interesse para a reconstrução do sinal. Para essa comparação, usamos em nossa análise curvelet, dos sinais sı́smicos, a energia como sendo o
somatório do quadrado de seus coeﬁcientes curvelets. Assim, a expressão para a energia
usada é, então, dada por:
Ej =
∑
⟨f, ϕj,l,k ⟩2
(4.4)
l,k
onde Ej é a energia total na escala j. Assim, para calcular a energia do ruı́do de rolamento superﬁcial ou das ondas reﬂetidas numa escala fazemos a soma sobre os coeﬁcientes
angulares l correspondentes a essa escala. No próximo capı́tulo, quando discutiremos a
análise de dados usando a transformada curvelet, voltaremos a tratar da energia presente
em cada escala no espaço curvelet e também calcularemos explicitamente e discutiremos
a razão entre a energia do ruı́do de rolamento superﬁcial e das ondas reﬂetidas em um
dado real, explicitando os valores encontrados nessa comparação para um dado real.
Após alguns testes para o conjunto de dados sı́smicos sintéticos que tı́nhamos
disponı́vel, identiﬁcamos que os coeﬁcientes curvelet correspondentes ao ruı́do de rolamento superﬁcial são os coeﬁcientes com ângulos mais próximos da horizontal independentemente da escala estudada.
Assim, em cada escala estudada e representando o espaço curvelet nesta escala por
um cı́rculo fechado, iremos eliminar a contribuição dos coeﬁcientes dos quatro ângulos
mais próximos à horizontal pois esses coeﬁcientes correspondem ao ruı́do de rolamento
superﬁcial. Por exemplo, como veremos explicitamente na ﬁgura 4.2, na escala j = 2 os
ângulos mais próximos à horizontal são os ângulo 6, 7, 14 e 15, portanto os seus coeﬁcientes
curvelets serão zerados e eles não contribuirão para a reconstrução do sinal.
Nestes testes e durante a identiﬁcação e remoção do ruı́do, percebemos que no espaço
das Curvelets é muito mais fácil a separação dos padrões sı́smicos gerados por fenômenos
fı́sicos distintos. Isto ocorre devido à boa adequação da representação em Curvelets com
os padrões oscilatórios presentes nos dados sı́smicos.
52
Após a identiﬁcação das escalas e ângulos correspondentes ao ruı́do de rolamento
superﬁcial, procedemos à remoção dos seus coeﬁcientes. Isto é realizado simplesmente
zerando-se todos os elementos das matrizes correspondentes a cada combinação de escala
e ângulo identiﬁcados. Passamos a ter então, para essas combinações de ângulos e escalas,
matrizes nulas que não representarão nenhuma contribuição ao sinal após a reconstrução.
Percebemos então a simplicidade do algoritmo utilizado para a análise curvelet de dados
sı́smicos devido à boa representação que o espaço das Curvelets proporciona a esse tipo
de dado.
4.4
Reconstrução do sinal
A reconstrução do sinal é a terceira etapa da análise curvelet. Nessa etapa o sinal
sı́smico, após ter sido decomposto no espaço curvelet e ter tido os coeﬁcientes correspondente ao ruı́do de rolamento superﬁcial eliminados, é reconstruı́do apenas com as
componentes de interesse. Ou seja, se pensarmos no sinal em termos da equação (4.3),
após reconstrui-lo teremos apenas o primeiro termo desta equação que nos dá o sinal de
interesse ou o sinal limpo.
Notamos que todo o processo da análise curvelet é executado sem qualquer atenuação
artiﬁcial. Os coeﬁcientes angulares correspondentes ao ruı́do de rolamento superﬁcial são
completamente removidos da imagem sı́smica.
4.5
Procedimento para remoção de ruı́do de rolamento superficial
Nas seções precedentes descrevemos como a análise curvelet, que devido a seu caráter
angular deve ser mais adequada à análise de sinais que contenha singularidades superﬁciais, é utilizada para remover o ruı́do de rolamento superﬁcial de dados sı́smicos.
Para implementação e teste deste método de análise em dados sı́smicos, foi usado um
53
dado sintético que simula sinais sı́smicos. Neste dado sintético, onde consta a presença
de reﬂexões com velocidades aparentes distintas, resultando em diferentes inclinações no
sismograma, sendo uma com inclinação mais acentuada representando o sinal do ruı́do de
rolamento superﬁcial. Também foi incluı́do um ruı́do sintético neste conjunto de dados.
O objetivo da análise curvelet aqui implementada é remover a reﬂexão mais acentuada,
que corresponde ao ruı́do de rolamento superﬁcial, e preservar as reﬂexões de interesse.
Utilizando o algoritmo da análise Curvelet foi possı́vel identiﬁcar o ângulo de inclinação
da reﬂexão indesejada e, com isto, este ângulo teve seus coeﬁcientes zerados. Em seguida,
restauramos a imagem sem a presença deste sinal.
Na ﬁgura 4.1 temos o dado sintético usado para testar o método de análise curvelet
em sinais sı́smicos. Especiﬁcamente, na ﬁgura 4.1.a temos o dado sintético com reﬂexões
horizontais representando as camadas litológicas do subsolo onde ocorrem as reﬂexões
de interesse e também com um traço com maior inclinação que representa o ruı́do de
rolamento superﬁcial presente neste dado sintético. Na ﬁgura 4.1.b temos o dado sintético
ﬁltrado, onde é mostrado o sinal reconstruı́do pela análise curvelet. Já na ﬁgura 4.1.c é
mostrado apenas o ruı́do que foi removido do dado sintético por nossa análise.
O procedimento para executar essa limpeza a partir da transformada Curvelet é simples. Vamos entender esse procedimento.
54
Figura 4.1: Nesta imagem podemos veriﬁcar na ﬁgura (a) o dado sintético com reﬂexões
horizontais representando as camadas litológicas e um traço com maior inclinação que
pode ser melhor visualizado na ﬁgura (c) simulando o comportamento do ruı́do de rolamento superﬁcial. Na ﬁgura (b) temos o dado sintético limpo em que a reﬂexão destacada
já foi removida.
A transformada curvelet permite decompor o sinal primeiramente em escalas e, a
seguir, em zonas angulares. Na ﬁgura 4.2, por exemplo, podemos veriﬁcar a distribuição
de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 2. Os gráﬁcos em
forma de pizza, na parte superior da ﬁgura, indicam as zonas angulares selecionadas e
cujos padrões são mostrados a partir de uma reconstrução parcial a partir dos coeﬁcientes
das respectivas escala e zonas angulares na parte inferior da ﬁgura.
55
Figura 4.2: Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 2. Na parte superior da ﬁgura temos os ângulos selecionados nessa escala e na parte
inferior temos a reconstrução parcial do sinal para esses ângulos nessa escala.
Por exemplo, a última coluna desta ﬁgura demonstra o padrão referente aos ângulos
2, 3, 10 e 11 da escala 2, que são as partes marcadas do gráﬁco em forma de pizza na
parte superior dessa coluna. Na parte inferior da coluna, temos a reconstrução parcial
do dado sı́smico, vemos que o padrão correspondente a estas zonas angulares representa
uma reﬂexão horizontal. Se visualizarmos esse padrão como uma onda em propagação, a
sua frente de onda estaria se propagando em uma direção vertical. Isto já era esperado,
já que esses ângulos correspondem a curvelets com padrão oscilatório com direções mais
próximas à vertical. Vale ressaltar que nenhum dos ângulos (2, 3, 10 e 11) se ajusta
perfeitamente à vertical, por isso dizemos que eles estão mais próximos à vertical ou que
56
estão aproximadamente na vertical.
Para encontrar os padrões desejados em cada escala foi utilizada uma análise da distribuição de energia, conforme a deﬁnição dada pela equação (4.4), nos diferentes ângulos
de cada escala. Uma quantidade de energia maior, concentrada em determinadas zonas
angulares indica que os sinais referentes a estas zonas estão mais presentes, ou são mais
fortes, na determinada escala.
Na ﬁgura 4.3, vemos a distribuição de energia, conforme a equação (4.4), para os
diferentes ângulos da escala 2. Podemos ver, pelo gráﬁco polar, que, para o caso da escala
2, a energia está mais concentrada nos ângulos correspondentes aos padrões de oscilação
mais próximos à vertical.
Figura 4.3: Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 2.
Pela análise das reconstruções parciais do sinal na escala 2 para cada conjunto de
ângulos (reconstruções parciais mostradas na ﬁgura 4.2) e também da distribuição de
57
energia (mostrada na ﬁgura 4.3) pudemos escolher o conjunto de ângulos da escala 2 a
serem utilizados na reconstrução do sinal sı́smico de interesse. Esse conjunto de ângulos
é mostrado na ﬁgura 4.4, onde vemos que apenas os ângulos mais próximos à horizontal
foram excluı́dos por nossa análise.
Figura 4.4: Conjunto de ângulos da escala 2 cujos coeﬁcientes foram selecionados para a
reconstrução de parte do sinal indicado na ﬁgura 4.1.b.
A análise descrita acima e que foi feita para a escala 2, também foi feita para as escalas
3, 4 e 5, para nos permitir uma reconstrução acurada do sinal de interesse e excluir o ruı́do
de rolamento superﬁcial em todas as escalas.
Nas ﬁguras 4.5 a 4.13 veriﬁcamos os resultados dessa análise, como a descrita para a
escala 2, para as escalas 3, 4 e 5. Estas escalas são mais ﬁnas que a escala 2 e, portanto,
possuem um número maior de ângulos disponı́veis e sua análise precisa ser mais criteriosa.
Na ﬁgura 4.5 temos a distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 3. Na parte superior da ﬁgura temos os ângulos selecionados nessa
escala e na parte inferior temos a reconstrução parcial do sinal para esses ângulos.
Como podemos veriﬁcar visualmente, a presença no sismograma sintético da estrutura determinada pelo ruı́do de rolamento superﬁcial tem ângulos bem mais próximos à
horizontal (primeira coluna da ﬁgura 4.5) e, portanto, são estes ângulos que devem ser
58
Figura 4.5: Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 3.
excluı́dos da reconstrução do sinal.
Na ﬁgura 4.6 vemos a distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 3.
Nesta ﬁgura percebemos que a distribuição de energia para a escala 3 também é maior nos
ângulos próximos à horizontal, embora possamos visualizar uma razoável contribuição de
energia para ângulos intermediários.
Essa análise de energia corrobora o fato de que, para a reconstrução do sinal, os ângulos
excluı́dos da escala 3 devem ser apenas os ângulos mais próximos à horizontal, ou seja,
apenas os ângulos 12, 13, 28 e 29.
Na ﬁgura 4.8 temos a distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 4. Na parte superior da ﬁgura temos, também, os ângulos selecionados
59
Figura 4.6: Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 3.
Figura 4.7: Conjunto de ângulos da escala 3 cujos coeﬁcientes foram selecionados para a
reconstrução de parte do sinal indicado na ﬁgura 4.1.b.
nessa escala e na parte inferior temos a reconstrução parcial do sinal para esses ângulos
nessa escala.
As estruturas apresentadas em cada conjunto de ângulos são muito parecidas, vi60
Figura 4.8: Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 4.
sualmente falando, com as estruturas apresentadas para a escala 3. Podemos ver isto
comparando as ﬁguras 4.5 (escala 3) e 4.8 (escala 4). Assim, podemos concluir também
que a presença da estrutura determinada pelo ruı́do de rolamento superﬁcial, a estrutura
em forma de cone com ângulo acentuado, é bem mais marcante nos ângulos próximos à
horizontal (primeira coluna da ﬁgura 4.8) e, portanto, estes ângulos devem ser excluı́dos
da reconstrução do sinal.
Na ﬁgura 4.9 vemos a distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 4.
Nesta ﬁgura percebemos que a distribuição de energia para a escala 4 também é maior
nos ângulos próximos à horizontal. A contribuição de energia nos ângulos mais afastados
da horizontal (intermediários) é comparativamente menor que na escala 3.
61
Figura 4.9: Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 4.
Também na escala 4, essa análise de energia indica, junto com a análise das estruturas
das reconstruções parciais do sinal, que, para a reconstrução do sinal, os ângulos excluı́dos
da escala 4 devem ser apenas os ângulos mais próximos à horizontal, ou seja, apenas os
ângulos 12, 13, 28 e 29.
Na escala 5, por esta ser uma escala mais ﬁna, o número de ângulos é o dobro das
escalas 3 (ou 4). A análise das estruturas presentes em cada grupo de ângulos foi feita,
na ﬁgura 4.11 apresentamos as estruturas apenas para alguns poucos grupos de ângulos.
Nesta análise foi perceptı́vel que nos ângulos mais próximos à horizontal (24, 25, 56, e 57)
não há contribuição signiﬁcativa devida a reﬂexões de ondas por estruturas litológicas, ou
seja, a parte do sinal mostrada na primeira coluna da ﬁgura 4.11 é, provavelmente, devida
ao ruı́do sintético inserido nesse dado de teste. Já a presença da estrutura determinada
pelo ruı́do de rolamento superﬁcial, a estrutura com ângulo mais acentudo, é marcante
62
Figura 4.10: Conjunto de ângulos da escala 4 cujos coeﬁcientes foram selecionados para
a reconstrução de parte do sinal indicado na ﬁgura 4.1.b.
nos outros ângulos próximos à horizontal (23, 26, 55 e 58), como podemos ver na segunda
coluna da ﬁgura 4.11. Portanto, todos esses ângulos onde as contribuições dos ruı́dos
sintético e de rolamento superﬁcial são importantes devem ser excluı́dos da reconstrução
do sinal.
Na escala 5 vemos, de forma mais dramática, a partir da análise da distribuição de
energia (ﬁgura 4.12), a separação entre os diferentes padrões do sinal. O padrão mostrado
nessa ﬁgura, referente a ângulos mais inclinados, compõe quase toda a energia presente
nesta escala, o que nos conﬁrma que podemos excluir, sem perdas para o sinal sı́smico de
interesse, os ângulos próximos à horizontal no espaço curvelet.
Na ﬁgura 4.13 é mostrado o conjunto de ângulos selecionados na escala 5 para a
resconstrução do sinal.
Amorim[34] utilizou o método de Decomposição em Modos Empı́ricos (EMD) para decompor este mesmo conjunto de dados sintéticos em eventos distintos. O resultado obtido
foi semelhante. O método EMD decompõe o sinal em sinais de oscilação simples (modos),
de forma análoga aos métodos da transformada em ondaletas e da transformada Curvelet
63
Figura 4.11: Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 5.
e, desta forma, pode também ser aplicado a sinais não-lineares e não-estacionários. A
diferença é que, no caso do método EMD, as bases são retiradas do próprio dado. Esse
método também foi aplicado, de forma satisfatória, a dados de uma bacia sedimentar
terrestre.
A vantagem da transformada Curvelet para dados sı́smicos é que sua intuitiva natureza
anisotrópica é bem adaptada aos padrões gerados por diferentes reﬂetores, além de sua natureza multiescala, que permite focar em diferentes frequências e, portanto, deve fornecer
dados mais precisos e conﬁáveis ao analisarmos sinais sı́smicos reais. No capı́tulo a seguir
discutiremos a análise de dados feita aplicando-se a análise curvelet a sinais sı́smicos reais.
64
Figura 4.12: Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 5.
65
Figura 4.13: Conjunto de ângulos da escala 5 cujos coeﬁcientes foram selecionados para
a reconstrução de parte do sinal indicado na ﬁgura 4.1.b.
66
Capı́tulo 5
Análise de dados reais usando
transformada curvelet
5.1
Introdução
Os sinais sı́smicos ou sismogramas obtidos em sondagens sı́smicas são uma crucial
fonte de informações acerca da estrutura geológica do subsolo terrestre e sua análise e
interpretação nos permite, entre outras coisas, localizar e avaliar o potencial de jazidas
de petróleo nessa importante e difı́cil tarefa relacionada à prospecção de petróleo.
As várias técnicas de análise que são atualmente utilizadas na remoção de ruı́dos
dos sinais sı́smicos e, sobretudo, do principal ruı́do presente nos sinais sı́smicos, o ruı́do
de rolamento superﬁcial, acabam fornecendo resultados imprecisos quer sejam por não
conseguir remover a contento esse ruı́do ou por distorcer os sinais e imagens reconstruı́dos
após a análise.
Uma boa ferramenta recente de análise de sinais sı́smicos é a transformada em ondaletas, que pode ser utilizada para a análise de sismogramas dando bons resultados[15], no
entanto, da própria deﬁnição da transformada em ondaletas, esse tipo de análise não é bem
adequada ao reconhecimento de singularidades superﬁciais[22] e, em análise de imagens
e sinais com este tipo de singularidade, como é o caso dos sinais sı́smicos, os resultados
poderiam ser melhores usando-se uma análise baseada na transformada curvelet que, por
seu caráter direcional, está mais adequada a recuperar sinais que possuam singularidades
67
superﬁciais.
O método implementado nos trabalhos desta tese para se analisar sinais sı́smicos
usando a transformada curvelet foi explicado e testado no capı́tulo anterior para um
conjunto de dados sintéticos, mostrando-se muito eﬁcaz em separar os padrões relacionados ao ruı́do de rolamento superﬁcial dos padrões referentes a reﬂexões de ondas por
camadas geológicas, no entanto, para comprovarmos a eﬁcácia do método em analisar
sinais sı́smicos, precisamos testá-lo para um conjunto de dados reais e o fazemos neste
capı́tulo, onde explicamos, novamente, o procedimento de análise devido às peculiaridades
e diferenças que há entre a análise de um dado sintético e a análise de um dado real.
É importante ressaltarmos novamente que, para um dado real que envolva singularidades superﬁciais como os dados sı́smicos, a vantagem da transformada Curvelet é que
sua intuitiva natureza anisotrópica é bem adaptada aos padrões gerados por diferentes
reﬂetores, além de sua natureza multiescala, que permite focar em diferentes frequências
e, portanto, deve fornecer dados mais precisos e conﬁáveis ao analisarmos sinais sı́smicos
reais.
5.2
O dado sı́smico real versus dado sintético
No capı́tulo anterior usamos um dado sı́smico sintético para explicar e testar a implementação da análise curvelet em sismogramas. Para testarmos, efetivamente, a análise
curvelet, neste capı́tulo vamos aplicá-la a um conjunto de dados reais.
Para efeitos de comparação, colocamos lado a lado na ﬁgura 5.1 um exemplo de sismograma do dado sintético e um exemplo de sismograma do dado real.
Comparando as estruturas apresentadas nos dois sismogramas podemos ver que no
dado sintético as reﬂexões devido à camadas geológicas (sinal de interesse) aparecem
como linhas horizontais retas enquanto que no sismograma real tais reﬂexões apareem
como hiperbóles próximas à horizontal. Vemos também que, nos dois sismogramas, a
estrutura devida ao ruı́do de rolamento superﬁcial aparece como um padrão macroscópico
triangular que é completamente diferente, tanto no dado sintético quanto no dado real,
68
Figura 5.1: Figura comparativa entre sismogramas. Na ﬁgura (a) temos um exemplo de sismograma sintético; e na ﬁgura (b) temos um exemplo de sismograma real.
Nos dois sinais, o ruı́do de rolamento superﬁcial aparece com uma estrutura triangular
macroscópica.
do padrão referente às reﬂexões por camadas geológicas.
Embora, por uma primeira análise visual, pareça mais simples separar o padrão do
sinal de interesse do ruı́do no sismograma sintético, a análise curvelet separará muito bem
estes padrões no sismograma real e poderemos reconstruir o sismograma somente com o
padrão de reﬂexão devido às estruturas geológicas.
69
5.3
A extração do ruı́do de rolamento superficial do
dado sı́smico real
Sabe-se que os sinais/imagens obtidos nas sondagens sı́smicas do subsolo tem um forte
componente de ruı́do e o objetivo das análises utilizadas para limpar essas imagens é
remover esse ruı́do que é gerado por ondas de superfı́cie e é chamado de ruı́do de rolamento
superﬁcial.
A análise curvelet implementada para se analisar dados sı́smicos no trabalho desta tese
de doutorado, mostrou-se eﬁciente para recuperar o sinal sı́smico, eliminando o ruı́do de
rolamento superﬁcial, em um dado sintético, como mostrado no capı́tulo anterior.
Vamos agora mostrar e explicar a extração seletiva do ruı́do de rolamento superﬁcial
utilizando curvelets em um dado real. O resultado obtido está resumido na ﬁgura 5.2,
onde é mostrado o dado original real que foi analisado (ﬁgura 5.2.a), o dado ﬁltrado que é
o sinal de interesse já sem o ruı́do e obtido como resultado de nossa análise (ﬁgura 5.2.b)
e o padrão referente ao ruı́do de rolamento superﬁcial que foi excluı́do do dado em nossa
análise (ﬁgura 5.2.c).
Neste passo, escrevemos o sinal ou função como uma combinação linear de funções
curvelets.
A decomposição desses dados sı́smicos é feita aplicando-se a transformada rápida discreta em curvelet[28], que consiste em obter o produto interno no domı́nio de Fourier,
como descrito no capı́tulo anterior para o dado sintético. O procediemnto é exatamente
o mesmo.
Após a decomposição do sinal sı́smico no espaço curvelet, fazemos a sua análise em cada
escala para determinarmos quais os coeﬁcientes correspondentes ao ruı́do de rolamento
superﬁcial e, desta forma, zerá-los no espaço curvelet para que, ao reconstruirmos o sinal,
este ruı́do tenha sido completamente atenuado.
A ﬁgura 5.3, mostra a análise visual feita para alguns conjuntos de ângulos da escala
j = 2. Nesta ﬁgura é mostrado, na parte superior da ﬁgura, um gráﬁco na forma de pizza
70
Figura 5.2: Figura contendo: (a) o dado original real a ser analisado; (b) o dado ﬁltrado
(sinal de interesse); e (c) o padrão referente ao ruı́do de rolamento superﬁcial que foi
excluı́do do dado.
com o conjunto de ângulos selecionados destacados em vermelho e, na parte inferior da
ﬁgura, é mostrada a distribuição de padrões ou estruturas do sinal referentes aos ângulos
escolhidos para essa escala.
Nessa ﬁgura (ﬁgura 5.3) vemos, por exemplo, que o ruı́do de rolamento superﬁcial é
dominante nessa escala, para ângulos próximos à horizontal. Portanto, nessa escala, os
ângulos próximos à horizontal terão seus coeﬁcientes zerados para a reconstrução do sinal
analisado.
Essa conclusão pode ser corroborada pela análise de energia feita nessa escala, como
podemos ver na ﬁgura 5.4. Nessa ﬁgura percebemos que, embora o ruı́do de rolamento
superﬁcial seja dominante para os ângulos próximos à horizontal, em relação à distribuição
de energia nessa escala, o ruı́do não é dominante nessa escala. Veja comparando a energia
71
Figura 5.3: Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 2. Na parte superior da ﬁgura temos os ângulos selecionados nessa escala e na parte
inferior temos a reconstrução parcial do sinal para esses ângulos nessa escala.
dos ângulos 6, 7, 14 e 15 com a energia dos outros ângulos da escala 2.
Na verdade, a contribuição de energia para a escala nos ângulos próximos à horizontal
(ângulos 6, 7, 14 e 15), que são os ângulos correspondentes ao ruı́do de rolamento superﬁcial, é de apenas 7,9% em relação à contribuição para a energia das ondas nos outros
ângulos (ondas reﬂetidas por estruturas geológicas) que é de 92,1%.
A contribuição da energia em cada ângulo dessa escala foi calculada via equação (4.4)
e, para a energia do ruı́do de rolamento superﬁcial foram somadas as energias dos ângulos
6, 7, 14 e 15 e dividiu-se o valor pela energia total da escala. Enquanto que para a
energia correspondente às reﬂexões em estruturas geológicas foi somada a energia dos
72
outros ângulos da escala, dividindo-se o resultado obtido pela energia total da escala.
Figura 5.4: Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 2.
Assim, o conjunto de ângulos selecionados na escala 2 para a reconstrução do sinal
sı́smico real são os ângulos marcados em vermelho na ﬁgura 5.5.
Para a escala j = 3, temos, na ﬁgura 5.6, a análise visual feita para alguns conjuntos
de ângulos. Na parte superior desta ﬁgura são mostrados os gráﬁcos na forma de pizza que
representam os conjuntos de ângulos selecionados (marcados em vermelho) para cada coluna e, na parte inferior da ﬁgura, são mostradas as distribuições de padrões ou estruturas
do sinal referentes aos ângulos escolhidos em cada gráﬁco-pizza correspondente.
Nessa ﬁgura (ﬁgura 5.6) vemos, assim como para a escala 2, que o ruı́do de rolamento
superﬁcial é dominante na escala 3, para ângulos próximos à horizontal. Portanto, também
nessa escala, os ângulos próximos à horizontal terão seus coeﬁcientes zerados para a
recontrução do sinal analisado.
73
Figura 5.5: Conjunto de ângulos da escala 2 (marcados em vermelho) cujos coeﬁcientes
foram selecionados para a reconstrução do sinal sı́smico real.
Da análise de energia, mostrada na ﬁgura 5.7, e dos cálculos de contribuição de energia do ruı́do de rolamento superﬁcial para a energia total da escala, vemos que a energia
correspondente ao ruı́do de rolamento superﬁcial nesta escala é subdominante em relação
à contribuição de energia das ondas reﬂetidas por estruturas geológicas. Numericamente,
temos que 17,6% da energia da escala é referente ao ruı́do de rolamento superﬁcial, enquanto 82,4% corresponde ao sinal de interesse. Na tabela 5.1 temos esses percentuais de
energia do ruı́do e do sinal nas escalas estudadas.
Assim, o conjunto de ângulos selecionados na escala 3 para a reconstrução do sinal
sı́smico real são os ângulos marcados em vermelho na ﬁgura 5.8.
Repetindo o procedimento acima descrito para a escala 4, temos na ﬁgura 5.9 a distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados. Na parte superior
da ﬁgura temos os ângulos selecionados (marcados em vermelho) e na parte inferior temos
a reconstrução parcial do sinal para os ângulos correspondentes nessa escala.
Nessa ﬁgura (ﬁgura 5.9) vemos, novamente, que o ruı́do de rolamento superﬁcial está
presente somente para ângulos próximos à horizontal. Portanto, também nessa escala, os
74
Figura 5.6: Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 3. Na parte superior da ﬁgura temos os ângulos selecionados nessa escala e na parte
inferior temos a reconstrução parcial do sinal para esses ângulos nessa escala.
ângulos próximos à horizontal terão seus coeﬁcientes zerados para a recontrução do sinal
analisado.
Da análise de energia, mostrada na ﬁgura 5.10, e dos cálculos de contribuição de energia
do ruı́do de rolamento superﬁcial para a energia total da escala, vemos que a energia
correspondente ao ruı́do de rolamento superﬁcial nesta escala é dominante em relação à
contribuição de energia das ondas reﬂetidas por estruturas geológicas. Numericamente,
temos que 68,1% da energia da escala 4 é referente ao ruı́do de rolamento superﬁcial,
enquanto 31,9% corresponde ao sinal de interesse. Como já foi dito, na tabela 5.1 reunimos
esses percentuais de energia do ruı́do e do sinal nas escalas estudadas.
75
Figura 5.7: Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 3.
Assim, o conjunto de ângulos selecionada na escala 4 para a reconstrução do sinal
sı́smico real são os ângulos marcados em vermelho na ﬁgura 5.11.
Considerando a análise feita para a escala j = 5, temos a ﬁgura 5.12 onde é mostrada a
distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados. Na parte superior
da ﬁgura temos, assim como nos casos anteriores, os ângulos selecionados (marcados em
vermelho) e na parte inferior temos, novamente, a reconstrução parcial do sinal para os
ângulos correspondentes nessa escala.
Nessa ﬁgura (ﬁgura 5.12) vemos que, também na escala 5, o ruı́do de rolamento superﬁcial está presente somente para ângulos próximos à horizontal. É importante ressaltarmos
que, embora na escala 5 o número de ângulos (64 ângulos) seja o dobro do número de
ângulos das escalas 3 e 4 e quatro vezes o número de ângulos da escala 2, o número de
ângulos próximos à horizontal onde há contribuição do ruı́do de rolamento superﬁcial
76
Figura 5.8: Conjunto de ângulos da escala 3 (marcados em vermelho) cujos coeﬁcientes
foram selecionados para a reconstrução do sinal sı́smico real.
para o sinal é o mesmo das escalas anteriores. Isto porque, embora o ruı́do de rolamento
superﬁcial apareça nos sismogramas como uma estrutura triangular bastante inclinada
quando olhamos para uma escala mais ﬁna do espaço das curvelets este ruı́do aparece
quase como linhas verticais (linhas próximas à horizontal no gráﬁco de pizza da análise
angular). O caráter direcional da transformada curvelet permite apagar estes setores
quase verticais. Destacamos ainda que o setor angular do ruı́do de rolamento superﬁcial
pode mudar dependendo da distância entre os geofones, e o tempo de amostragem no eixo
vertical.
Da análise de energia, mostrada na ﬁgura 5.13, e dos cálculos de contribuição de energia
do ruı́do de rolamento superﬁcial para a energia total da escala, vemos que a energia
correspondente ao ruı́do de rolamento superﬁcial nesta escala é dominante em relação à
contribuição de energia das ondas reﬂetidas por estruturas geológicas. Numericamente,
temos que 76,3% da energia da escala 5 é referente ao ruı́do de rolamento superﬁcial,
enquanto 23,7% da energia corresponde ao sinal de interesse.
Assim, o conjunto de ângulos selecionados na escala 5 para a reconstrução do sinal
77
Figura 5.9: Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 4. Na parte superior da ﬁgura temos os ângulos selecionados (marcados em vermelho) nessa escala e na parte inferior temos a reconstrução parcial do sinal para os
ângulos correspondentes nessa escala.
sı́smico real são os ângulos marcados em vermelho na ﬁgura 5.14.
Nesta análise de um sinal sı́smico real, implementada e realizada no trabalho original
desta tese, excluimos o ruı́do de rolamento superﬁcial de um sismograma a partir da
decomposição desse sinal no espaço das curvelets. Na ﬁgura 5.15 é mostrada a componente
do ruı́do de rolamento superﬁcial que foi removida, em cada escala, pela análise e que,
somando-se, dá a contribuição total desse ruı́do que foi extraı́da do sinal. Na parte
superior da ﬁgura temos os ângulos correspondentes ao ruı́do de rolamento superﬁcial em
cada escala (cı́rculos cheios) e na parte inferior da ﬁgura temos a estrutura correspondente
78
Figura 5.10: Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 4.
ao ruı́do de rolamento superﬁcial em cada escala.
Vale ressaltar novamente que a simetria angular do ruı́do de rolamento superﬁcial no
espaço das curvelets é completamente diferente da simetria angular relacionada às reﬂexões
por estruturas geológicas, por isto torna-se fácil a remoção desse ruı́do do sismograma via
análise curvelet.
Referente ao balanço energético entre o ruı́do de rolamento superﬁcial e as ondas
reﬂetidas em estruturas geológicas, na tabela 5.1 temos o resumo desse balanço, em termos
percentuais, para as escalas de j = 2 a j = 5, onde a energia foi separada em dois grupos:
GR, a energia do ruı́do de rolamento superﬁcial (sigla da expressão em inglês Ground
Roll); e RW, a energia das ondas reﬂetidas (da expressão em inglês Reﬂected Waves).
79
Figura 5.11: Conjunto de ângulos da escala 4 (marcados em vermelho) cujos coeﬁcientes
foram selecionados para a reconstrução do sinal sı́smico real.
Escala
2
3
4
5
GR
7.9
17.6
68.1
76.3
RW
92.1
82.4
31.9
26.7
Tabela 5.1: Balanço de energia (em porcentagem) para as escalas 2 ≤ j ≤ 5. O GR
representa a energia do ruı́do de rolamento superﬁcial; e RW a energia das ondas reﬂetidas.
É interessante neste sistema considerar a relação sinal/ruı́do para comparar as amplitudes do ruı́do de rolamento superﬁcial com as amplitudes do sinal de interesse que é referente às ondas reﬂetidas que estão espalhadas nas interfaces entre as camadas geológicas.
Para realizar esta análise, usamos a energia do sinal como a soma do quadrado dos coeﬁcientes curvelet, como explicitado na equação (4.4) aqui reproduzida:
Ej =
∑
|⟨f, ϕj,k,l ⟩|2
(5.1)
k,l
Pelos dados da tabela 5.1 vemos que a informação geológica está, principalmente, nas
80
Figura 5.12: Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados
na escala 5. Na parte superior da ﬁgura temos os ângulos selecionados (marcados em
vermelho) nessa escala e na parte inferior temos a reconstrução parcial do sinal para os
ângulos correspondentes nessa escala.
escalas j = 2 e 3, enquanto as informações referentes ao ruı́do de rolamento superﬁcial
domina o sinal para j = 4 e 5. Nós não colocamos na tabela 5.1 a escala j = 1 porque
o ruı́do de rolamento superﬁcial domina as informações nesta escala e como só há um
ângulo para esta escala, as informações dessa escala são removidas pela análise.
Na tabela 5.2 temos a distribuição de energia (em porcentagem) para as cinco escalas.
Nesta tabela, mostramos, também, a energia para os dois padrões: GR, para a energia
do ruı́do de rolamento superﬁcial; e RW, a energia das ondas reﬂetidas. Na última linha
dessa tabela mostramos a porcentagem de energia em cada escala. Na última coluna da
81
Figura 5.13: Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 5.
tabela mostramos a energia total dos dois padrões, o ruı́do de rolamento superﬁcial soma
quase 60% da energia total da imagem sı́smica.
Scale
1
2
3
4
5
Total
GR
1.9
1.1
2.4
12.3
40.5
58.1
RW
0
12.4
11.1
5.7
12.6
41.9
Total
1.9
13.5
13.5
18.0
53.1
100
Tabela 5.2: Distribuição de energia (em porcentagem) para as escalas 1 ≤ j ≤ 5. O
GR representa a energia do ruı́do de rolamento superﬁcial; e RW, a energia das ondas
reﬂetidas. Na última coluna é representada a energia total destes dois padrões.
82
Figura 5.14: Conjunto de ângulos da escala 5 (marcados em vermelho) cujos coeﬁcientes
foram selecionados para a reconstrução do sinal sı́smico real.
Pelas informações da tabela 5.2, percebemos que a distribuição de energia é bastante
impressionante quando pensamos que 60% da energia do sinal original deve ser removida
para revelar o verdadeiro conteúdo geológico da imagem. Além disso, cerca da metade do
total de energia está concentrada na escala j = 5, que é dominado pelo ruı́do de rolamento
superﬁcial.
5.4
Supressão do ruı́do de rolamento superficial:
análise em ondaletas versus análise curvelet
No trabalho de Leite e colaboradores[15], os autores usaram um ﬁltro baseado na
análise em ondaletas, com a Transformada de Karhunen-Loève para realizar a supressão
do ruı́do de rolamento superﬁcial em sinais sı́smicos, obtendo bons resultados. Entretanto, devido às limitações da análise em ondaletas, como não descrever bem descontinuidades superﬁciais de uma imagem, por exemplo, na referida análise foi necessário, antes
83
Figura 5.15: Componentes do ruı́do de rolamento superﬁcial para as escalas de j = 2
a j = 5. Na parte superior da ﬁgura temos os ângulos correspondentes em cada escala
(cı́rculos cheios) e na parte superior da ﬁgura temos a estrutura correspondente ao ruı́do
de rolamento superﬁcial em cada escala.
de aplicar o ﬁltro à imagem sı́smica, determinar, no espaço dos tempos, a região onde
aparecem as estruturas devidas ao ruı́do de rolamento superﬁcial e limitar essa região da
imagem para aplicar o ﬁltro baseado na análise em ondaletas apenas nessa região, com um
fator constante de atenuação de energia para cada ponto dessa região. Além disso, esses
autores detacam que o ruı́do de rolamento superﬁcial está mais concentrado em algumas
escalas (j = 4, 5). Assim, apesar dessa análise em ondaletas apresentar bons resultados,
é um pouco restrita, pois mesmo identiﬁcando regiões/escalas do espaço de frequências
onde o ruı́do de rolamento superﬁcial está presente, acaba atuando atenuando, nessas
escalas, também parte das estruturas referentes ao sinal de interesse que estão presentes
84
nessas escalas e, para supressão do ruı́do de rolamento superﬁcial dos sinais sı́smicos acaba
utilizando-se de um fator de atenuação artiﬁcial que acaba atenuando parte das imagens
referentes às estruturas geológicas de interesse nas regiões próximas à região onde o ruı́do
está presente.
Assim, nos trabalhos dessa tese, tivemos avanços signiﬁcativos em relação ao trabalho
de Leite e colaboradores, porque nós pudemos identiﬁcar os setores angulares dentro de
cada escala em que o ruı́do de rolamento superﬁcial está presente e atenuar, de forma bem
mais restritiva, o ruı́do sem atenuar ou atenuando minimamente o sinal de interesse, ou
seja, desse fato temos a grande vantagem em se usar a análise curvelet ao invés da análise
em ondaletas para suprimir o ruı́do de rolamento superﬁcial em imagens sı́smicas. Na
análise curvelet que tem um caráter direcional e angular, ao se levar o sinal para o espaço
de curvelet que é dividido em escalas e setores angulares, consegue-se separar muito bem
as estruturas do sinal que foram geradas pelo ruı́do de rolamento superﬁcial das estruturas
geradas por reﬂexões nas camadas geológicas, e a supressão do ruı́do ocorre praticamente
sem a supressão de qualquer parte do sinal de interesse.
85
Capı́tulo 6
Conclusões e Perspectivas
O ruı́do de rolamento superﬁcial, presente nos sismogramas obtidos por exploração
sı́smica do subsolo, tem energia dominante em relação ao sinal de interesse e precisa
ser removido ou suprimido dos sismogramas para uma boa análise e estudo destes. Há
diversos métodos e análises que podem ser utilizados para essa tarefa, mas os resultados
não costumam ser satisfatórios devido às limitações.
A análise curvelet, estudada e implementada nesta tese, por ter um caráter direcional
e dividir o espaço de frequência em escalas e setores angulares, permite, de forma natural,
o estudo e análise de imagens/sinais que possuam singularidades ao longo de superfı́cies,
ou seja, é uma escolha natural para se estudar e analisar sinais sı́smicos e remover o ruı́do
de rolamento superﬁcial.
O método, baseado na análise curvelet, de supressão do ruı́do de rolamento superﬁcial
em sinais sı́smicos foi implementado e testado nos trabalhos desta tese. Tanto para um
dado sintético quanto para um dado real, o método conseguiu remover o ruı́do de rolamento superﬁcial dos sinais sem atenuação signiﬁcativa do sinal de interesse. Isto ocorre
pelo fato de que, no espaço das curvelets, esse ruı́do aparece em setores angulares, de cada
escala, bastante diferenciados dos setores onde o sinal de interesse está presente, desta
forma, para a remoção do ruı́do, basta zerar a contribuição dos setores onde o ruı́do está
presente para a constituição do sinal e o ruı́do será removido. Dessa forma, podemos
destacar que a tarefa de ﬁltragem do ruı́do de rolamento superﬁcial é bem realizada pela
86
análise curvelet, pois a simetria angular do ruı́do de rolamento superﬁcial, no espaço das
curvelets é bastante diferente da simetria angular das informações geológicas de interesse. Na verdade, esse ruı́do mostra padrões com caracterı́stica de linhas quase verticais
no espaço das curvelets, enquanto as camadas geológicas são hipérboles muito abertas.
Estas simetrias diferentes permitem localizações angulares diferentes dos dois padrões e
uma consequente separação dos coeﬁcientes angulares usando-se curvelets. E, mais ainda,
este método de supressão do ruı́do de rolamento superﬁcial não depende de nenhum fator
de atenuação artiﬁcial para suprimir ou remover o ruı́do das imagens sı́smicas, o que é
um diferencial muito importante em relação a outros métodos utilizados e que acabam
obtendo resultados não tão bons.
Como o caso da análise em ondaletas, que, por não descrever bem descontinuidades superﬁciais de uma imagem, mesmo adaptada acaba tendo algumas restrições na supressão
do ruı́do de rolamento superﬁcial de sinais sı́smicos pois, antes de aplicar o ﬁltro à imagem
sı́smica, faz-se necessário determinar, no espaço dos tempos, a região onde aparecem as
estruturas devidas ao ruı́do de rolamento superﬁcial e limitar essa região da imagem para
aplicar o ﬁltro baseado na análise em ondaletas apenas nessa região, com um fator constante de atenução de energia para cada ponto dessa região. Assim, apesar dessa análise
em ondaletas apresentar bons resultados, é um pouco restrita, pois mesmo identiﬁcando
regiões/escalas do espaço de frequências onde o ruı́do de rolamento superﬁcial está presente, acaba atenuando, nessas escalas, também parte das estruturas referentes ao sinal
de interesse que estão presentes nessas escalas.
Assim, usando-se a análise curvelet para remover o ruı́do de rolamento superﬁcial
de sinais sı́smicos, tivemos avanços signiﬁcativos em relação aos outros métodos, porque
conseguimos identiﬁcar os setores angulares dentro de cada escala em que o ruı́do de
rolamento superﬁcial está presente e atenuar, de forma bem mais signiﬁcativa, o ruı́do
sem atenuar ou atenuando minimamente o sinal de interesse, ou seja, desse fato temos
a grande vantagem em se usar a análise curvelet ao invés de outros métodos de análise
para suprimir o ruı́do de rolamento superﬁcial em imagens sı́smicas. Na análise curvelet
que tem um caráter direcional e angular, ao se levar o sinal para o espaço de curvelet que
é dividido em escalas e setores angulares, consegue-se separar muito bem as estruturas
87
do sinal que foram geradas pelo ruı́do de rolamento superﬁcial das estruturas geradas
por reﬂexões nas camadas geológicas, e a supressão do ruı́do ocorre praticamente sem a
supressão de qualquer parte do sinal de interesse.
Para concluir, na presente tese, procuramos avançar em um problema muito importante da indústria do petróleo que é a remoção do ruı́do de rolamento superﬁcial em
imagens sı́smicas. Mostramos um método que não depende de um fator de atenuação
artiﬁcial para realizar a redução do ruı́do e, além disso, apresentamos uma discussão
quantitativa da distribuição de energia ao longo de escalas e setores angulares. No futuro,
pretendemos aplicar a mesma metodologia para outros problemas de eliminação de ruı́do
na indústria de petróleo, como a reﬂexão de múltiplas.
88
Referências Bibliográficas
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