FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007
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O Estudo Matemático do Comportamento das Abelhas
Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Matemática
Eduardo Henrique Siqueira
Lucas Dias Marques
Molinero
[email protected]
Rosana Sueli da Motta
Jafelice
[email protected]
[email protected]
Introdução
Abelha é a denominação comum de vários insetos pertencentes à ordem Hymenoptera,
da superfamília Apoidea, aparentados das vespas e formigas. O representante mais conhecido
é a Apis mellifera, oriunda do Velho Mundo, criada em larga escala para a produção de mel.
As espécies de abelhas nativas das Américas (Novo Mundo) não possuem ferrão.
Uma abelha visita dez flores por minuto em busca de pólen e do néctar. Ela faz, em
média, quarenta vôos diários, tocando em 40 mil flores. Com a língua, as abelhas recolhem o
néctar do fundo de cada flor e guardam-no numa bolsa localizada na garganta. Depois voltam
à colmeia e o néctar vai passando de abelha em abelha.Desse modo a água que ele contém se
evapora, ele engrossa e se transforma em mel, veja Figura 1.
Figura 1: Rainhas e operárias.
As abelhas são insetos sociais que vivem em colônias e são conhecidas há mais de
40.000 anos e as que mais se prestam para a polinização, ajudando enormemente a
agricultura, produção de mel, geléia real, cera, própolis e pólen, são as abelhas pertencentes
ao gênero Apis.
Inseto laborioso, disciplinado, a abelha convive num sistema de extraordinária
organização: em cada colméia existem cerca de 80.000 abelhas e cada colônia é constituída
por uma única rainha, centenas de zangões e milhares de operárias.
O objetivo do trabalho é estudar como as abelhas vivem, trabalham, são divididas, se
reproduzem e modelar matematicamente a dinâmica da população de uma nova colméia.
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Um Estudo Geométrico da Colméia
Inicialmente, estudamos a geometria dos alvéolos.
- Geometria dos alvéolos
As abelhas constroem suas casas ou favos na forma de recipientes aglomerados de
cera que se propagam um ao lado do outro.
Os recipientes, denominados alvéolos, tem a forma de um prisma hexagonal regular
(faces laterais iguais e ângulos entre as faces iguais) aberto numa extremidade e formando um
ápice triédrico na outra face.
Os alvéolos são usados tanto para o desenvolvimento populacional da colméia como
para deposito de mel, produto obtido da transformação do néctar e pólen das flores.
O estudo sobre o mosaico de um favo foi realizado com base em [1].
- Mosaico de um favo
O corte transversal de um favo apresenta a configuração de um mosaico formado pela
repetição de hexágonos regulares.
A pavimentação de um plano consiste em cobri-lo com uma mesma figura, sem deixar
espaços vazios ou tendo figuras interseccionadas.
Se quisermos um mosaico, como na Figura 2, formado pela propagação de um só tipo
de polígono regular (lados iguais e ângulos internos iguais), devemos escolher o polígono de
modo que seu ângulo interno θ seja um divisor de 360º.
Vejamos alguns casos, Figuras 3, 4 e 5:
Figura 2: Mosaico de um favo.
Figura 3: Quadrado tem ângulos
internos iguais a 90º.
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Figura 4: Triângulo eqüilátero tem
ângulos internos iguais a 60º.
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Figura 5: Hexágono regular tem ângulos
internos iguais a 120º.
Todo polígono regular pode ser inscrito em um circulo de modo que seus lados sejam
cordas deste circulo. Assim, dado um polígono regular de n lados podemos sempre dividi-lo
em n triângulos isósceles. Cada triângulo é formado considerando o lado do polígono como
base e tendo vértice no centro do circulo que circunscreve o polígono, Figura 6.
Figura 6: Polígonos circunscritos.
Sabemos que um polígono regular pode se propagar, formando um mosaico, se 360/θ
for um numero inteiro positivo, onde θ é o ângulo interno do polígono. Este número nos dá a
quantidade de polígonos que tem vértice comum.
Sabemos que o ângulo interno deve ser menor que 180º. Por outro lado o polígono de
menor número de lados é o triângulo eqüilátero, n = 3. Neste caso, temos o intervalo de 60º
até 180º. Os divisores positivos de 360º são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36,
40, 45, 50, 60, 72, 90, 120, 180 e 360.
Concluímos então que temos as seguintes possibilidades: 60, 72, 90 e 120.
Analisemos a figura quando θ = 72º.
72º = (n – 2).180º/n
72n = 180n – 360
-108n = -360
n = 10/3 ∉ N
Com isso concluímos que: as abelhas constroem seus alvéolos na forma de prismas de
base hexagonais. Das três possíveis escolhas das bases que restou, ou seja, dos valores
possíveis de θ que poderiam ter sido escolhidos, optaram pelo polígono que tem o menor
perímetro, com área A fixada, que é a base hexagonal onde θ = 60°.
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- Dança das abelhas
O estudo da dança das abelhas foi realizado com base em [3].
Uma abelha pode lembrar-se da rota de vôo a partir da posição do sol no céu, do odor e
da cor das flores. É capaz, também, de retornar à mesma fonte de alimento, no mesmo
horário, do dia seguinte. O pesquisador Von Frisch foi quem descobriu a forma de
comunicação das abelhas, ou seja, quando encontra uma boa fonte de néctar e pólen retorna
para informar às demais a posição e o odor das flores. Ela toma como referência a posição do
sol, isto é, o ângulo entre sua própria rota de vôo e uma linha horizontal da colméia, na
direção do sol.
Sua forma de comunicação é denominada a “dançado requebrado”. Quando as flores
estão a menos de 100 metros de distância da colméia, a dança é circular. Se o alimento está a
mais de 100, a abelha corre para frente por uma pequena distância, retornando ao ponto inicial
por um semicírculo, e volta descrevendo um outro semicírculo na direção oposta, dando uma
idéia de oito, veja Figura 7. Se a dança é feita a 30° à direita da vertical significa que o
alimento está a 30° à direita do sol [2].
Figura 7: A dança das abelhas.
Ao dançar na colméia, outras abelhas podem aprender a posição e o odor das flores,
embora não aprenda sua cor e sua forma. O número de vezes por segundo que a abelha perfaz
o circuito “dançando” indica a distância da florada em relação à colméia. Crane (1983)
apresenta a duração de cada circuito da dança pela distância:
Distância (m)
Duração do circuito (s)
200
2,1
500
2,5
1000
3,3
2000
3,8
3500
5,6
4500
6,3
Como podemos localizar uma florada a partir da dança da abelha?
Para calcular a distância da florada da colméia, procederemos utilizando coordenadas
polares.
Exemplo: Se a fonte de alimento, por exemplo, estiver a 983,87m da colméia e
formando um ângulo de 60° no sentido horário em relação à direção do sol nascente (leste)
podemos encontrar a distância em que a florada está da colméia em relação aos pontos
cardeais, Figura 8.
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Figura 8: Localização da florada em relação à colméia em coordenadas polares.
As abelhas não usam coordenadas retangulares para comunicar a posição da fonte de
alimentos. As coordenadas polares têm um papel importante no comportamento animal,
principalmente na orientação de aves e peixes.
P: (x, y) coordenadas retangulares
P: (r, θ) coordenadas polares;
 y
onde r = x 2 + y 2 (distância polar) e θ = arctg   (ângulo polar).
x
Temos que a hipotenusa do triângulo retângulo (distância da colméia à florada) é
983,87m e o ângulo em relação ao eixo x (que aponta para o sul) é 30°.
Assim temos que:
y
y
≅ 491,93m
sen θ = ⇒ sen 30° =
r
983,87
x
x
cos θ = ⇒ cos 30° =
≅ 852,05m
r
983,87
Em coordenadas retangulares podemos dizer que a fonte de alimento está,
aproximadamente, a 491,93m para leste e 852,05m para o sul, em relação à colméia.
A seguir um exemplo retirado de [2].
Problema: Uma abelha exploradora descobre uma fonte de mel ao entardecer. Esta
fonte está localizada a 850m a leste e 1200m ao sul da colméia. Que coordenadas polares
serão sinalizadas pela abelha?
Resolução: Inicialmente utilizamos coordenadas polares, ou seja, extraímos de um
sistema de coordenadas cartesianas (x, y), as coordenadas polares (r, θ) de forma que:
x = r.cos θ
y = r.sen θ
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Sabemos que x = 1200 e y = 850 e que tg θ =
850
y
=
≅ 0,71. Assim, temos
x
1200
que: θ = arctg (0,71) ≅ 0,6174 ≅ 35,37°. Como r =
x 2 + y 2 , então r =
1200 2 + 850 2 = 1440000 + 722500 = 2162500 ≅ 1470,54.
Podemos concluir então que, as coordenadas polares que serão sinalizadas pela
abelha são (1470,54; 35,37°), como na Figura 9.
Figura 9: Localização da florada em relação à colméia em coordenadas retangulares e polares.
Comentário: O problema nos propôs encontrar a localização da florada em
coordenadas polares, que são dadas no sentido anti-horário, mas, se o autor quisesse saber
qual o ângulo entre a florada e o sol, a resposta seria 90° - 35,37° = 54,63°.
Dinâmica de uma Colméia
Quando se propõe analisar o crescimento populacional de uma comunidade qualquer,
um dos objetivos é saber seu comportamento em cada instante e a previsão de seu tamanho no
futuro. Cada população tem uma dinâmica de crescimento própria, isto é, uma “lei de
formação” inerente à espécie.
Vamos apresentar modelos matemáticos distintos relativamente ao nível de
conhecimento matemático baseados em [1], mas que expressam, essencialmente, o mesmo
fenômeno; crescimento populacional de uma colméia.
- A Colméia
Entre apicultores, a expressão colméia significa abelhas alojadas racionalmente, com
uma população equilibrada e distribuída em três castas: rainha, operárias e zangões.
A abelha rainha é responsável pela produção das operárias, dos zangões (que são os
machos) ou novas rainhas, botando dois tipos de ovos. Os ovos fertilizados dão origem às
operárias (fêmeas não reprodutoras) e os ovos não fertilizados originam os zangões. As
rainhas são produzidas quando as larvas são alimentadas com nutrientes altamente protéicos
(geléia real).
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A constituição de uma colméia em condições normais é a seguinte
1 rainha que pode viver até 5 anos;
Até 400 zangões que são produzidos no final de verão, e sua quantidade depende da
abundância de alimento (vivem até 80 dias);
60000 a 80000 operárias. A longevidade de uma operária depende do clima e do seu
período de atividade. De um modo geral sua vida média varia de 38 a 42 dias.
A capacidade de postura de uma rainha chega a 3000 ovos por dia, o que corresponde
a duas vezes seu próprio peso. Esta quantidade depende da área disponível para postura, da
qualidade genética da rainha e das condições florais e climáticas existentes.
Quando uma rainha diminui a quantidade de ovos, as operárias responsáveis pela
manutenção das larvas promovem o desenvolvimento de nova rainha. A nova rainha, depois
do vôo nupcial em que é fecundada pelos zangões, retorna à colméia desalojando a rainha
velha que sai para formar uma outra colméia. Acompanhando a velha rainha seguem um
séqüito de aproximadamente 10000 operárias: é o enxame voador.
Para o estudo do crescimento da população em uma nova colméia consideraremos os
seguintes dados e hipóteses:
• Postura da rainha é constante: 2000 ovos por dia;
• Período entre a postura e o nascimento da abelha: 21 dias;
• Quantidade inicial de abelhas (operárias): 10000;
• Longevidade média de uma operária: 40 dias.
- Modelos
Um modelo matemático da dinâmica populacional de uma nova colméia deve ser
apresentado, levando-se em consideração dois estágios distintos: o período de adaptação que é
intermediário entre a postura inicial e o nascimento das primeiras operárias (21 dias), e o
período de desenvolvimento quando nascem diariamente 2000 abelhas.
Em relação ao período inicial podemos estabelecer duas hipóteses distintas quanto ao
índice de mortalidade das operárias:
H1) As abelhas têm idades equidistribuídas
Neste caso estamos supondo que em cada grupo, distribuído por idade (dias de vida),
existem exatamente a mesma quantidade de operárias.
Desta forma, das 10000 abelhas iniciais, em cada dia morrerão, em média, 250 abelhas o que
1
corresponde a
de 10000.
40
Seja yn = y(n) a quantidade de operárias vivas no n-ésimo dia de existência de nova
colméia, 0 ≤ n<21.
Podemos obter a expressão de y(n) recursivamente, isto é,
y0 = 10000
y1 = y0 – 250
y2 = y1 – 250 = y0 – 2 250
•
Generalizando, obtemos:
yn = y0 – n250
454
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Assim, obtemos um modelo matemático que nos dá a informação sobre a quantidade
de abelhas “velhas” no n-ésimo dia de existência da colméia:
yn = 10000 – 250n , 0 ≤ n<21
(1)
Observação 1: O modelo (1) é discreto no sentido que a variável independente n
(tempo) está tomando valores no conjunto dos números naturais N.
Observação 2: A equação (1) pode ser obtida, analisando a taxa de decaimento.
Seja k > n, definimos ∆ y = yk - yn: quantidade de abelhas que morrem entre o k-ésimo
∆y
e o n-ésimo dia e ∆ n = k – n: um número de dias passados, então a razão incremental
é
∆n
dada por:
( y k − y k −1 ) + ( y k −1 − y k − 2 ) + ... + ( y n +1 − y n )
∆y y k − y n
(k − n)(−250)
=
=
=
= −250
k −n
k −n
∆n
[k − (k − 1)] + [(k − 1) − (k − 2)] + ... + (n + 1 − n)
ou seja, a razão entre a variação da quantidade de abelhas pela variação do tempo é constante.
Isto significa que o resultado para um dia n qualquer poderia ser obtido por uma regra de três:
“A quantidade de abelhas que morrem em n dias é proporcional a n”. Por exemplo, se em 1
dia morrem 250, em 21 dias morrerão 5250 abelhas:
1 ↔ 250
21 ↔ x
⇒ x = 21 250 = 5250
•
A constante C = -250 é o coeficiente angular da reta:
y(t) = -250t + 10000
com
0 ≤ t ≤ 21,
t∈R,
(2)
que representa o modelo contínuo correspondente à equação (1).
Chamamos a atenção para o fato de que a constante de “proporcionalidade” usada
numa regra de três é equivalente ao coeficiente angular de uma reta, ou seja, só podemos usar
regra de três quando as variáveis estão relacionadas segundo a equação de uma reta.
H2) A mortalidade das abelhas é “proporcional” a quantidade que se tem de abelhas
em cada instante.
Observe que com esta hipótese não podemos usar regra de três. A taxa de mortalidade
1
é
= 0.025 e portanto, a taxa de sobrevivência é (0-0.025) = 0.975.
40
Podemos agora obter uma expressão de recorrência (modelo discreto) para yn com esta
nova hipótese:
y0 = 10000
y1 = 0.975y0
y2 = 0.975y1 = (0.975)²y0
Μ
yn = (0.975)ny0,
(3)
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Usando o fato de que ax = exlna, para todo x∈R, com a>0 a função potência (3) pode ser dada
na forma exponencial:
yn = y0en.ln(0.975) = y0e-0.02532.n
(4)
No caso continuo (tempo continuo) podemos escrever
y = y(t) = y0e-0.02532.t,
0 ≤ t ≤ 21.
(5)
Tomando y0 = 10000 e t = 21 em (5), obtemos y(21) = 5876. Verificamos que, de acordo com
as hipóteses consideradas, os valores de y21 são distintos – na prática tal diferença não é
significativa, mesmo para o estudo do comportamento futuro da colméia.
O modelo matemático para o período de desenvolvimento da nova colméia leva em
consideração que a partir do 21° dia nascem, 2000 abelhas.
Se A0 é a quantidade remanescente de operárias velhas depois de 21 dias, teremos para
o 21° dia:
Y1 = y21 = A0 + 2000.
Considerando agora a taxa de sobrevivência igual a 0.975, podemos formar uma
relação de recorrência a partir do valor A0:
Y2 = y22 = 0.975Y1 +2000 = 0.975A0 + 2000(0.975 +1)
Y3 = y23 = 0.975Y2 +2000 = (0.975)²A0 + 2000[(0.975)² + 0.975 + 1)].
E assim sucessivamente, chegamos a
Yn = (0.975)n-1A0 + 2000[(0.975)n-1 + (0.975)n-2 + ... + 0.975 + 1].
A expressão entre colchetes é a soma de uma progressão geométrica de razão igual a
0.975, o que nos permite simplificar, escrevendo:
1 − (0.975) n
Yn = (0.975) A0 + 2000
= (A0 - 78000)(0.975)n-1 + 80000.
1 − 0.975
n-1
(6)
Podemos pensar numa expressão contínua para Yn tomando:
y(t) = (A0 – 78000)e(t-21).ln(0.975) + 80000
(t ≥ 21)
y(t) = (A0 - 78000)e0.02532.(t – 21) + 80000
t ≥ 21.
ou seja,
(7)
A expressão (7) nos dá a população da colméia num tempo t qualquer a partir do 21°
dia.
Podemos notar que quando t cresce o valor de e-0.02532 tende a zero e portanto a
população da colméia se estabiliza com 80000 operárias, o que mostra uma coerência com os
dados experimentais.
Isto pode ser traduzido pela expressão matemática
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lim t →∞ y (t ) = 80000
A reta y = 80000é uma assíntota horizontal da função y(t), denominada valor de
estabilidade.
Juntando as duas partes do modelo contínuo de crescimento populacional das abelhas
(equações (5) e (7)), podemos escrever;
y(t) = 10000 e-0.02532.t
y(t) = (A0 - 78000)e
se 0 ≤ t<21
-0.02532.(t - 21)
(8)
+ 80000, se t ≥ 21
onde, A0 são as sobreviventes no 21° dia.
- Lei de formação de uma colméia
No Caso contínuo (tempo t como variável contínua) podemos usar a linguagem de
derivadas e expressar a hipótese H2 da seguinte forma:
dy
= -0.025y
dt
y(0) = 10000, 0 ≤ t ≤ 21
(9)
dy
indica a variação instantânea da população de abelhas. O modelo (9) quer dizer que
dt
até os primeiros 21 dias, a variação da população de abelhas (mortalidade) é proporcional à
1
= 0.025 e
quantidade presente em cada instante, com um índice de mortalidade igual a
40
uma população inicial de 10000 abelhas.
A solução da equação (9) é obtida separando-se as variáveis e integrando
onde
dy
= -0.025dt,
y
logo
lny = -0.025t + k
(k: constante de integração)
∫
dy
= ∫ − 0.025 dt,
y
ou
donde tiramos
y(t) = eke-0.025.t.
Usando a condição inicial y(0) = 10000, vem que ek = 10000. Assim,
y(t) = 10000e-0.025.t,
0 ≤ t<21
A solução (10) é aproximadamente igual à (5) obtida anteriormente.
(10)
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457
Para o período de crescimento da colméia, podemos fazer uma analogia com o
“modelo exponencial assintótico” uma vez que, em ambas as situações as soluções são
semelhantes.
Consideramos então a equação diferencial:
dy
= k(L - y)
dt
(11)
onde, L = 80000 é a população limite, t ≥ 21, k = ln0.975 e y(21) = 7500 ( ≈ 5500
remanescentes mais 2000 recém nascidas).
Separando variáveis e integrando a equação (11), obtemos
dy
= kdt ⇒ –ln(L – y) = kt + c.
L− y
Portanto, L – y = ece-kt.
Considerando que a equação (11) está definida para t ≥ 21, podemos escrever
y(t) = L – ece-k.(t - 21),
t ≥ 21.
Como y(21) = 7500, temos
-ec = 7500 – 80000 = -72500
Portanto,
y(t) = -72500e-0.02532.(t - 21) + 80000, para t ≥ 21.
(12)
Conclusão
Desta forma, podemos dizer que a “lei de formação” de uma colméia nova é a
seguinte:
“O crescimento populacional de uma colméia é proporcional à diferença entre a
população máxima sustentável e a população dada em cada instante.”
Salientamos mais uma vez que nenhum modelo matemático é definitivo. Sempre
podemos modificá-lo tornando-o mais realista. Por exemplo, no período de adaptação (início
da colméia) a rainha não tem condições de colocar 2000 ovos por dia pois os alvéolos ainda
nem estão construídos. Também, a hipótese simplificadora que considera uma postura
constante da rainha, nesta colméia, pode ser modificada.
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Bibliografia
[1] BASSANEZI, Rodney Carlos. Modelagem Matemática como Método de EnsinoAprendizagem. Editora Contexto, 2002.
[2] BATSCHELET, Edward. Introdução à Matemática para Biocientistas. Tradução: Vera M.
A. P. da Silva e Junia Maria P. Quitete. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo,
1978.
[3] BIEMBENGUT, Maria Salett & HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no Ensino.
Editora Contexto, 2003.