Mecânica e Ondas LETI e LEE Tagus 2ºSem 2013/14 Prof. J. C. Fernandes
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Oscilações em Molas
Com forças do tipo:
F el = − kx
Obtém-se equações do tipo:
Ou seja:
ma = − kx
d2x
m 2 = − kx
dt
Não esquecer a
frequência e o
período:
k
ω =
m
2
d 2x
2
=
−
ω
x 2
dt
m
T = 2π
k
solução
x = A sen (ωt + ϕ )
v=
dx
= ωA cos (ωt + ϕ )
dt
d 2x
a = 2 = −ω 2 A sen (ωt + ϕ )
dt
A energia potencial elástica:
mv 2 kx 2 kA 2
+
=
2
2
2
1
U ( x ) = kx 2
2
Conservação
da energia
1
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PROBLEMA
O sistema massa-mola está a oscilar segundo a equação x = Acosω
ωt sem atrito. A outra massa tem velocidade v. O
choque elástico dá-se quando a massa da esquerda passa pelo equilíbrio viajando da esquerda para a direita.
 A = 0.1 m
a)
Qual a velocidade v para que a massa esquerda fique parada após o choque?

-1
b)
Nas condições da alínea anterior qual o valor da velocidade da direita após choque?
ω = 40 s
Solução : a) v = 0
b) V = Aω
A massa 2 estava parada antes do choque
e segue depois com a velocidade de 1.
2
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Problema
m
Uma mola de comprimento próprio L0 e constante K é mantida verticalmente em repouso por acção de
uma massa M. Deixa-se cair de uma altura H (em relação a M) uma outra massa m.
H
M
Admita que o choque é elástico.
a)
b)
c)
Qual a altura de equilíbrio, L1, antes de m cair ?
Qual a velocidade adquirida por M imediatamente a seguir ao choque.
Qual o comprimento mínimo L2 que a mola atinge? Qual a frequência de oscilação do sistema?
L1
K
a)
x0 =
Mg
K
L1 = L0 − x0
b) V =
2m
m+M
2 gH
c)
L2 = L1 −
M
V
K
ω=
K
M
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Problema
Uma massa m desloca-se com velocidade v0 e choca com uma massa M ligada a uma mola de comprimento
próprio L0 e constante K.
a)
b)
c)
Admita que o choque é elástico. Qual o comprimento mínimo da mola ?
Admita agora que o choque é perfeitamente inelástico. Qual o comprimento mínimo da mola ?
Qual a relação entre as duas massa para que o comprimento mínimo seja igual nos dois casos?
M 2m
Solução : a) L0 −
v0
K m+M
m
b) L0 −
v0
K (m + M )
M
c) m = 3M
m
v0
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Problema
O flipper da figura é comprimido x0 e largado.
a)
Qual a posição em que a bola sai ?
b)
Qual a velocidade de saída da bola ?
c)
Em que posição pára o êmbolo ?
Solução:
a)
sai em x = 0
b)
vs =
k
x0
m p + mb
c)
xf =
mp
mb + m p
x0
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Problema:
Calcule a frequência de oscilação do sistema da figura.
Solução: ω =
2 k
3M
I cilindro =
1
MR 2
2
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PROBLEMA:
Duas molas de comprimento próprio l0 e constantes K1 e K2 sustentam
uma massa m entre dois apoios fixos. A distância entre apoios é L
(despreze as dimensões da massa m).
a) Quando o sistema está em equilíbrio estático qual a distância d da
massa ao apoio esquerdo?
b) Qual a frequência de oscilação ω do sistema quando desviado do
equilíbrio?
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L
d
K1l0 + K 2 ( L − l0 )

d =
K1 + K 2

Solução: 
 ω = K1 + K 2

m
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PROBLEMA:
O sistema massa-mola está em equilíbrio.
A outra massa m tem velocidade v.
O choque é elástico.
Qual a compressão máxima da mola após o choque?
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2m
Solução: A =
8m
.v0
9K
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