RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA – 3o ANO DO ENSINO MÉDIO – DATA: 22/05/10 PROFESSORES: CARIBÉ E ROBERTO CIDREIRA Dado um pentágono regular ABCDE, constrói-se uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e E, respectivamente. A medida do menor arco BE na circunferência construída é: . O 108º x 108º . No pentágono regular ABCDE, cada ângulo interno mede 108º. ai = (n − 2) . 180º n = 3 . 180 º = 108 º. 5 No pentágono OBCDE, onde O é o centro da circunferência, temos que: Soma dos ângulos internos: Si = (n – 2) . 180º = (5 – 2) . 180º = 540º. 108º + 108º + 90º + 90º + x = 540º ∴ x = 144º. Resposta: 144º. Considere um hexágono equiângulo (ângulos internos iguais) no qual quatro lados consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, conforme figura abaixo. Calcule a diferença entre as medidas dos segmentos EF e FA. Soma dos ângulos internos do hexágono: Si = (6 – 2) . 180º = 720º Como o hexágono é equiângulo, então cada ângulo interno mede 720º : 6 = 120º. Prolongando os lados AB, CD e EF , formamos o triângulo equilátero MNP. Neste triângulo temos: PN = MN = MP 20 + 13 + 15 = Y + 23 + 15 = Y + X + 20 Logo, Y = 10 e X = 18. Portanto, X – Y = 8. Resposta: 8 No Japão, numerosos lugares de peregrinação xintoístas e budistas abrigam tabuletas matemáticas chamadas de Sangaku, onde estão registrados belos problemas, quase sempre geométricos, que eram oferecidos aos Deuses. A figura a seguir, que é uma variante de um exemplar de Sangaku, é composta por cinco círculos que se tangenciam. Sabendo que seus diâmetros satisfazem as relações AO = OB = 12 e DF = EC, pode-se concluir que DF é igual a: Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo em destaque, temos: 2 2 (x + 6) = (12 – x) + 6 2 2 x 2 x + 12x + 36 = 144 – 24x + x + 36 36x = 144 12 – x x=4 x F . 6 6 Logo, DF = 8 Resposta: 8 Um jogo é formado por 52 fichas, divididas em quatro grupos de cores distintas – vermelha, azul, verde e amarela – e, em cada grupo, as fichas numeradas de 1 a 13. De quantos modos pode-se distribuir, aleatoriamente, um grupo de 5 fichas a um jogador, sendo que três delas estejam marcadas com o número 8 e as demais com números iguais? Primeiro vamos calcular quantos grupos podemos formar com três fichas 8 e duas fichas 1: C4;3 . C4;2 = 4 . 6 = 24 Como as duas fichas com números iguais podem ser iguais a: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 10; 11; 12; 13 (todos os números, menos o oito), então podemos multiplicar o resultado obtido acima por 12. Portanto, temos 24 x 12 = 288 possibilidades. Resposta: 288. Uma partida de futebol entre as equipes A e B terminou com um placar de 3 a 2 para A. Não conhecendo a ordem em que os gols foram feitos, pode-se afirmar que a probabilidade de que tenha sido ABABA é igual a: Casos possíveis: P 35;2 = 5! = 10 3! 2! Casos favoráveis: ABABA = 1 Probabilidade = Resposta: 1 . 10 1 . 10 Uma caixa tem 4 bolas brancas e 5 bolas pretas. Qual a probabilidade de, sorteando-se 3 bolas desta caixa, encontrarmos 2 bolas brancas e 1 bola preta? Probabilidade = Resposta: 5 . 14 B 4 . 9 B 3 . 8 P 5 5 . P32 = 7 14 Moedas idênticas de 10 centavos de real foram arrumadas sobre uma mesa, obedecendo à disposição apresentada no desenho: uma moeda no centro e as demais formando camadas tangentes. Considerando que a última camada é composta por 84 moedas, calcule a quantia, em reais, do total de moedas usadas nessa arrumação. a 1 camada: 1 moeda a 2 camada: 6 moedas a 3 camada: 12 moedas a 4 camada: 18 moedas . . . Última camada: 84 moedas a Podemos observar que a partir da 2 camada temos a P.A. (6; 12; 18; ...; 84) onde: a1 = 6, r = 6 e an = 84 an = a1 + (n – 1) . r 84 = 6 + (n – 1) . 6 ∴ n = 14 Soma: sn = (6 + 84 ) . 14 = 630. 2 a Portanto, com mais um moeda da 1 camada, temos 631 moedas e R$ 63,10. Resposta: R$ 63,10. Para uma partida de futebol, foram colocados à venda três tipos de ingresso: para o setor verde, ao preço de R$ 12,00; para o setor azul, ao preço de R$ 18,00; e para o setor branco, ao preço de R$ 25,00. Sabendo que 38.000 torcedores pagaram R$ 620.000,00 para assistir essa partida, sendo que o número de ingressos vendidos para o setor verde foi o dobro do número de ingressos vendidos para o setor azul, podemos concluir que: FALTA RESOLUÇÃO x + 5 y + 2z = 8 Se x = a, y = b, z = c é solução de 3 x + 2y = −1 , então a + b + c vale: x + 4 y + 2z = 7 FALTA RESOLUÇÃO Dispomos de 4 cores distintas e temos que colorir o mapa mostrado na figura com os países P, Q, R e S, de modo que países cuja fronteira é uma linha não podem ser coloridos com a mesma cor. Responda, justificando sua resposta, de quantas maneiras é possível colorir o mapa? Supondo que P e S tenham cores diferentes, temos: 4 3 2 2 x x x = 48 maneiras. (P) (Q) (S) (R ) Supondo que P e S tenham a mesma cor, temos: 4 3 1 3 x x x = 36 maneiras. (P) (Q) (S) (R) Portanto, podemos colorir o mapa de 84 maneiras.