Involuta da
Circunferência
Bianca Bianchi ([email protected])
Stella Christina Cajueiro Camargo ([email protected])
Thelma Regina Vitor da Costa ([email protected])
Curso de Licenciatura em Matemática
Universidade Estadual Paulista – Campus Guaratinguetá
Junho de 2007
Palavras-chave: involuta, curvas especiais.
Trabalho desenvolvido durante a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II ministrada
pelo Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni.
I)Definição
•
Definição 1.1 (involuta de uma circunferência)
A involuta de uma circunferência é a curva traçada pelo ponto de extremidade de
um fio quando o mesmo, mantido tenso, é desenrolado de um carretel fixo. Suponha que o
centro do carretel está colocado na origem do plano xy e seu raio é a, e que o fio começa a
se desenrolar no ponto A = (a,0). A equação paramétrica da involuta ao desenrolar uma
volta do fio no carretel, são:
•
x( ) = a. (cos
+ .sen )
y( ) = a. (sen
– . cos ),
0
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Definição 1.2 (involuta de uma curva plana regular)
Seja : I
curva plana ic: I
R² uma curva plana regular. A involuta de
a partir de c, onde c
I, é a
R² dada por:
ic(t) = (t) + ( s(c) – s(t) ) . ’(t)
,
II ’(t)II
t
para todo t
I, onde s(t) =
to
II ’(u)II . du, to
I, é o comprimento de arco a partir de um
ponto t0.
Quando
de
está parametrizada pelo comprimento de arco s, a expressão da involuta
a partir de c se reduz a:
ic(s) = (s) + (c - s) . ’(s).
Neste caso ic’(s) = (c - s) . ’’(s) = (c – s) . k(s) . n(s) e, portanto, ( ic’(s), ’(s)) = 0
para todo s
I, isto é o traço de ic intersecta ortogonalmente as retas tangentes a . Nota-
se que se k(s)
0, para todo s
I, então a involuta ic deixa de ser regular apenas em s = c.
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Proposição: O traço de uma involuta de uma curva regular
quando o mesmo é desenrolado do traço de
(Prova) Suponhamos que
é a trajetória descrita por um fio
permanecendo tenso durante o movimento.
está parametrizada pelo comprimento de arco s. Então II (c) - (s) II =
I c – s I é a distância entre (s) e (c) medida ao longo de
distância de ic(s) e (s) medida ao longo da reta tangente a
enquanto que II ic(s) - (s) II é a
em s.
II)Traçado da involuta
Seja um círculo de raio AO e seja t a tangente em A.
Para o traçado da curva basta fazer o seguinte: em cada ponto considerado do círculo,
como por exemplo o ponto P, marca-se na respectiva tangente o segmento PM igual ao arco PA
retificado. O lugar dos pontos M assim obtidos é a curva chamada involuta da circunferência.
Para facilidade de traçado, divide-se o círculo em partes iguais; divide-se a retificação do
círculo no mesmo número de partes, e marca-se em cada tangente o segmento correspondente ao
respectivo arco retificado.
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III)Equação paramétrica
Pela definição 1.1 de involuta, a distância do ponto de tangência, P, na circunferência ao
ponto A é igual ao comprimento do arco entre o ponto de tangência P e o ponto A1.
Chamemos o ponto de tangência de P. Logo PA = a .
sen = h , por tanto h = a. .sen
a.
cos = m , por tanto m = a. .cos
a.
cos
= d , por tanto d = a.cos
a
sen = n , por tanto n = a.sen
a
Portanto:
x( ) = h + d = a.cos + a. .sen
= a.(cos + .sen )
y( ) = n – m = a.sen – a. .cos
= a.(sen - .cos )
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IV) Propriedades
1. As involutas são curvas planas e transcendentes ;
2. As normais à involuta são tangentes ao círculo.
3. Na involuta, em cada posição do ponto gerador a sua distância ao ponto de tangencia da
respectiva tangente é igual ao arco percorrido pelo ponto de tangência.
4. Na involuta ordinária o raio de curvatura em um ponto da curva é diretamente proporcional
à raiz quadrada do comprimento do arco da curva que tem um extremo nesse ponto e o
outro extremo em um ponto fixo da curva.
VI)Aplicação
•
Detalhes das engrenagens involutas
No dente de uma engrenagem involuta, o ponto de contato começa mais próximo a uma
engrenagem e, conforme ela gira, o ponto de contato se distancia dessa engrenagem e vai em
direção à outra. Se tivesse de seguir o ponto de contato, ele descreveria uma linha reta que
começa perto de uma engrenagem e termina próximo de outra. Isso significa que o raio do ponto
de contato cresce conforme os dentes se encontram.
O diâmetro de afastamento é o diâmetro de contato. E já que o diâmetro de contato não é
constante, o afastamento é a distância média de contato. Conforme os dentes começam a se
unir, o dente superior da engrenagem entra em contato com o dente inferior dentro do
afastamento. Mas repare que a parte do dente superior que entra em contato com o dente inferior
ainda é muito pequena nesse ponto. Mas como as engrenagens continuam girando, o ponto de
contato desliza para a parte mais espessa do dente superior. E isso empurra a engrenagem
superior para frente, de forma a compensar o diâmetro de contato que ficou um pouco menor.
Conforme os dentes continuam a girar, o ponto de contato fica ainda mais distante, saindo do
afastamento. No entanto, o perfil do dente inferior compensa esse movimento. O ponto de contato
começa a deslizar sobre a parte mais fina do dente inferior, tirando um pouco de velocidade da
engrenagem superior para compensar pelo aumento do diâmetro de contato. O resultado final é
que mesmo com o ponto de contato mudando continuamente, a velocidade continua a mesma. O
que faz com que uma engrenagem involuta produza uma relação constante de velocidade de
rotação.
VII)Referência Bibliografica
•
http://www.estv.ipv.pt/PaginasPessoais/ppestana/cardioide/glossario.htm
•
www.presp.br/pos/edmat/ma/demostracao_carlos_roberto_silva.polf
•
Curvas – Alcyr Pinheiro Rangel; publicação independente,1974.
•
http://ares.unimet.edu.ve/matematica/fbmi04/docum_web/Parametrizacion.ppt#18
•
http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01aconceptos_geometricos/02c-curva.htm
•
http://www.famat.ufu.br/semat/docs/rosa.pdf
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