MECÂNICA DOS MEIOS CONTÍNUOS
Exercícios
Mecânica dos Fluidos
r
r
1. Considere um fluido ideal em repouso num campo gravítico constante, g = − gk .
Sabendo que p( z = 0) = pa , determine a distribuição das pressões nos casos em que:
a) ρ = constante;
b) ρ = a p, onde a é uma constante.
c) p = aρ b , onde a e b≠1 são constantes.
d) Compare graficamente os resultados das alíneas anteriores.
2. Num canal de secção transversal rectangular, a altura da água (densidade ρ) num
lado de uma comporta é H, enquanto do outro lado é h (h < H). Sabendo que a largura
da comporta é L, determine a força total exercida na comporta.
3. Um tanque cúbico de lado L encontra-se cheio de
um líquido. O tanque é fechado por uma porta
vertical constituída por dois painéis A e B. Qual
deve ser a altura de cada painel para que a força
suportada por cada um deles seja a mesma?
A
B
L
h
4. Um recipiente de forma semi-cilíndrica (comprimento L e
raio R) está cheio de um líquido de densidade ρ. Mostre que
a força total exercida pela água no fundo do recipiente é
igual ao peso do líquido.
y
x
5. Considere o globo terrestre como um fluido ideal incompressível e homogéneo de
densidade ρ = 5520 Kg/m3. Desprezando o movimento de rotação da Terra em torno
do seu eixo, determine a pressão no centro da Terra.
6. Considere um escoamento estacionário e incompressível através de um canal
convergente. O campo de velocidades é dado por:
xr
r

v = v o 1 +  i

L
a) Determine a aceleração do fluido.
b) Expresse a posição de uma partícula de fluido em função do tempo, sabendo que
no instante t = 0 esta se encontrava na posição x = 0.
Mecânica dos Meios Contínuos - Exercícios
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7. Um recipiente grande, contendo um líquido incompressível, é
r
r
acelerado a uma taxa constante a = a y j num campo gravítico
r
r
g = − gk . Determine o declive da superfície do líquido. Considere
que a origem do sistema de coordenadas se encontra na superfície
do líquido.
z
y
8. Um recipiente de forma cilíndrica com raio R gira em torno do seu eixo (vertical)
com velocidade angular, ω, constante. O recipiente contém um líquido
incompressível, cuja altura no recipiente em repouso é H. O fluido encontra-se sujeito
à acção de um campo gravítico constante. Escolha o sistema de coordenadas de tal
modo que a origem coincida com o centro da base do recipiente e que o eixo dos zz
seja vertical e aponte para cima.
a) Determine a forma da superfície do líquido.
b) Calcule a distribuição de pressões no fundo do recipiente. Qual a força total
exercida pelo líquido no fundo do cilindro? Compare com a força total exercida
quando o recipiente se encontra em repouso.
c) Determine, na superfície do fluido, a diferença de altura entre os pontos mais alto e
mais baixo.
d) Sabendo que a altura do recipiente é 4H/3, determine o valor máximo da
velocidade angular, ωmax, de tal modo que o fluido não seja derramado.
9. Considere o globo terrestre como um fluido ideal incompressível e homogéneo de
densidade ρ = 5520 Kg/m3. Sem desprezar o movimento de rotação da Terra em torno
do seu eixo, determine:
a) a pressão no centro da Terra;
b) o achatamento nos pólos.
r
10. Uma esfera de raio R move-se com velocidade u constante através de um fluido
ideal incompressível.
a) Determine a distribuição de velocidades do fluido em torno da esfera (considere
que o centro da esfera coincide com a origem do sistema de coordenadas esféricas,
r
u está orientado na direcção do eixo dos zz);
b) a distribuição de pressões no fluido em torno da esfera;
11. Um líquido escoa-se de um reservatório de altura h=10cm através de um tubo de
comprimento H=10cm. Sabendo que A=100cm2 e B=0.1cm2, determine o tempo
necessário para esvaziar o reservatório (assuma que o escoamento é estacionário).
area A
h
H
area B
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12. Considere o escoamento estacionário de um fluido viscoso incompressível de
densidade ρ e coeficiente de viscosidade η entre duas placas planas paralelas à
distância d uma da outra. Sabendo que uma placa se move com velocidade vo
relativamente à outra, determine:
a) a distribuição de velocidades do fluido;
b) o caudal volúmico;
c) a força por unidade de superfície exercida pelo fluido nas placas;
d) a dissipação de energia devida à viscosidade.
13. Um fluido viscoso incompressível densidade ρ e
coeficiente de viscosidade η, contido entre duas placas
paralelas e infinitas colocadas à distância 2a uma da outra,
-a
escoa-se estacionariamente por acção de um gradiente de
pressão. Determine:
a) a velocidade do fluido, escolhendo os eixos de
coordenadas de acordo com a figura;
b) o caudal mássico;
c) a força por unidade de superfície exercida pelo fluido nas placas;
d) a dissipação de energia por unidade de volume e de tempo.
14. Uma camada de um fluido viscoso
incompressível de espessura H é limitada
por uma superfície sólida inclinada (ângulo
de inclinação α) e pela atmosfera. O
escoamento estacionário do fluido deve-se à
acção da força gravítica. Determine
a) a velocidade de escoamento do fluido;
b) a distribuição de pressões no fluido.
(Escolha o sistema de coordenadas tal como
é indicado na figura)
H
z
+a
x
y
α
x
15. Numa conduta de secção transversal circular de raio R = 3 cm escoa-se um líquido
viscoso de densidade ρ = 1600 Kg/m3 e coeficiente de viscosidade η=1.6x10−3N.s/m2,
cuja distribuição de velocidades é dada por

r
r2 r
v = v max 1 − 2 k ,
 R 
onde vmax = 8 m/s e o eixo dos zz está orientado ao longo do eixo da conduta.
Determine:
a) o caudal mássico do líquido na conduta;
b) a dissipação de energia, por unidade de tempo e por unidade de comprimento da
conduta, devida à viscosidade.
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16. Considere o escoamento estacionário de um fluido viscoso incompressível através
de um tubo de secção transversal circular de raio R. O fluido encontra-se submetido a
um gradiente de pressão, dp/dz (oriente o eixo dos zz ao longo do eixo do tubo, no
sentido do escoamento do fluido).
a) Determine a velocidade do fluido
b) Determine o caudal volúmico.
c) Qual a força por unidade de superfície que o fluido exerce sobre o tubo?
d) Calcule a dissipação de energia por unidade de comprimento, sabendo que não
actuam forças exteriores.
17. Considere o escoamento estacionário de um fluido viscoso incompressível entre
dois cilindros coaxiais de raios R1 e R2, (R1 < R2). O cilindro interior gira em torno do
seu eixo com velocidade angular ω constante. O cilindro exterior está fixo. Os
cilindros são permeáveis ao fluido, de tal modo que a velocidade do fluido tem uma
uR 1
componente radial dada por v r (r ) =
, onde u é uma constante. Assuma que a
r
pressão apenas depende de r.
a) Mostre que a equação de continuidade é satisfeita.
b) Determine a velocidade do fluido entre os cilindros (Sugestão: procure a solução
sob a forma de um polinómio; denote a grandeza ρuR1/η por N).
c) Sabendo que p(R2) = p2, determine a força por unidade de superfície exercida pelo
fluido no cilindro exterior.
18. Um cilindro de raio R1 move-se ao longo do seu eixo com velocidade
r
r
u = uez dentro de outro cilindro de raio R2. Os cilindros são coaxiais. Entre os dois
cilindros encontra-se um fluido viscoso incompressível de densidade ρ e coeficiente
de viscosidade η.
r ln (r R 2 ) r
a) Mostre que a velocidade do fluido é dada por v =
u.
ln (R1 R 2 )
b) Determine o caudal mássico.
c) Determine a dissipação de energia devida à viscosidade.
19. Considere as seguintes expressões:
∂
a) − ∫ ρdV = ∫ J (km ) dS k , onde J (km ) = ρv k .
∂t V
S
∂
b) − ∫ ρv i dV = ∫ J (kip ) dS k , onde J (kip ) = pδ ki + ρv k v i .
∂t V
S
∂v
∂ 1 2
1

ρv dV = ∫ J (kec ) dS k + ∫ σ Vki i dV , onde J (kec ) = v k  ρv 2 + p  − σ kiv v i .
∫
∂t V 2
∂x k
2

S
∂
d) − ∫ ε ijm x j v mρdV = ∫ J (kil) dSk , onde J (kil) = ε ijm x j ρv k v m − σ km
∂t
S
Traduza esta equação por palavras. Qual o significado físico?
c) −
(
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)
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Teoria da Elasticidade
20. Mostre que a energia de deformação elástica se pode escrever nas formas:
2
a) U elast
b) U elast
c) U elast
1
K


2
= µ u ik − δ ik u mm  + u mm ;
3
2


1
= σ ik u ik ;
2
σ
E  2
2
=
u mm  .
 u ik +
2(1 + σ ) 
1 − 2σ

21. Considere um paralelipípedo rectangular de material elástico orientado segundo os
eixos coordenados. O paralelipípedo está bloqueado entre dois planos perpendiculares
ao eixo dos xx. Ao longo do eixo dos zz o paralelipípedo está sujeito a uma
compressão uniforme.
a) Determine o tensor das tensões.
b) Determine o tensor das deformações.
c) Calcule as pressões nas superfícies laterais.
d) Calcule a variação relativa do volume do paralelipípedo.
e) Calcule a energia de deformação elástica.
22. Um paralelipípedo de material elástico, orientado segundo os eixos coordenados,
encontra-se sujeito a uma compressão uniforme ao longo do eixo dos zz. O
paralelipípedo está bloqueado de tal modo que as suas dimensões transversais não
podem variar. Determine:
a) as pressões nas superfícies laterais que bloqueam o paralelipípedo;
b) a energia de deformação elástica.
23. Determine a deformação de uma esfera de material elástico, cujo raio é R, módulo
de Young é E e o coeficiente de Poisson é σ, sujeita a uma pressão exterior p.
24. Determine a deformação de uma esfera oca de material elástico, cujo módulo de
Young é E e coeficiente de poisson é σ. O raio interior da esfera é R1 e o raio exterior
é R2; a pressão no interior é p e no exterior é nula.
25. Determine a deformação de uma camada esférica elástica fina de espessura
h = R 2 − R 1 , tal que h << R ≅ R 1 , R 2 . A pressão no interior da camada esférica é p e
no exterior é nula.
26. Uma esfera elástica oca de raio R está sujeita a uma pressão interior p e exterior
nula. Determine as componentes do tensor das tensões.
27. Considere um meio elástico ilimitado com uma cavidade esférica de raio R.
Dentro da cavidade a pressão é p. Determine as componentes do tensor das tensões.
28. Determine a pressão no centro de uma esfera elástica de raio R e densidade ρ, que
se deforma sob a acção do seu próprio campo gravitacional.
Mecânica dos Meios Contínuos - Exercícios
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29. Determine a deformação de um cilindro oco, longo, de material elástico, cujo raio
exterior é R2 e raio interior R1. A pressão no interior do cilindro é p e no exterior é
nula. Considere que o cilindro não se deforma longitudinalmente.
30. Determine a deformação de um cilindro de raio R e densidade ρ, que gira em
torno do seu eixo com velocidade angular constante, Ω=const. O módulo de Young é
E, o coeficiente de Poisson é σ e a pressão exercida na superfície exterior do cilindro
é nula. Considere que o cilindro não se deforma longitudinalmente e despreze a força
r
r
r
gravítica (Nota: a força centrífuga volúmica é dada por F = ρ Ω 2 r er , onde er é um
vector unitário radial).
31. Considere um cilindro de borracha de densidade ρ, altura H e área da base S,
colocado verticalmente sobre um plano horizontal. Coloque a origem do sistema de
coordenadas no centro da base inferior do cilindro e oriente o eixo dos zz
verticalmente, de baixo para cima.
a) Sabendo que só a componente σzz do tensor das tensões é diferente de zero,
σzz = - ρg(H-z), determine a energia de deformação elástica do cilindro sob a
acção do seu próprio peso;
b) Mostre que essa energia é oito vezes maior para o conjunto de dois cilindros
colocados um sobre o outro.
32. Um cilindro elástico de raio a e comprimento L está sujeito a uma torsão. O tensor
das tensões tem componentes:
 0
0
− αµy


0
σ ij =  0
αµx  ,


0 
 − αµy αµx
onde µ é um coeficiente de Lamé e α é o ângulo de torsão por unidade de
comprimento. Determine a energia de deformação elástica do cilindro.
Pressão na superfície da Terra: ps = 1 atm = 1.013 x 105 Pascal
Raio médio da Terra: R = 6.371 x 106 m
Constante de Newton: G = 6.673 x 10−11 m3 kg−1 s−2
Velocidade angular da Terra em torno do seu eixo: ω = 7.2 x 10−5 s−1
4 πG r
r
Aceleração da gravidade: g = −
ρrer , r ≤ R
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