Estudo sobre a Trajetória de
Tensões Principais em Vigas Isostáticas
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Oliveira, Juliana M. ; Rios, Fernanda P .; Sahb, Keyla F.P. ; Silva, André A. ;
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Franco, Elízia S.S. ; Bueno,Fagner S. ;Grande, José E. ; Oliveira, Janes C.A. de
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Acadêmicos de Engenharia Civil, Universidade Católica de Goiás – UCG
[email protected]; [email protected]; [email protected];
[email protected]; [email protected]; [email protected]
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3
Professor , Universidade Católica de Goiás (UCG) e Universidade Federal de Goiás (UFG)
[email protected]
Professor M.Sc., Universidade Católica de Goiás (UCG) e Universidade Estadual de Goiás (UEG)
[email protected]
Palavras-Chave: Tensões – Métodos Numéricos – Vigas - Estruturas
RESUMO
A avaliação do estado de tensões em um elemento estrutural constitui um item
de fundamental importância para o engenheiro estrutural. A partir do
conhecimento dos valores máximos de tensões é possível garantir um
dimensionamento seguro e econômico para a peça estrutural.
Este trabalho tem como objetivo apresentar um estudo prático desenvolvido na
turma de resistência dos materiais da Universidade Católica de Goiás visando
exemplificar a avaliação de tensões em uma viga isostática. A variação das
tensões principais nas várias fibras do elemento estrutural é apresentada na
forma gráfica objetivando facilitar a visualização, por parte do aluno, do
surgimento e desenvolvimento das tensões em um elemento estrutural.
1.INTRODUÇÃO
O curso de resistê ncia dos materiais constitui uma das cadeiras básicas do
curso
de
engenharia
e
objetiva
fornecer
ao
futuro
profissional,
um
entendimento sobre o comportamento dos elementos estruturais quando
submetidos a estados de tensões além de avaliar as características principais
de cada material que interferem no dimensionamento.
A análise das tensões principais em uma viga isostática constitui uma parte do
programa do curso resistência dos materiais onde o aluno aprende a distinguir
as várias trajetórias formadas pelas tensões desenvolvidas no elemento
estrutural. Analisando o efeito combinado das tensões normais e cisalhantes é
possível identificar as trajetórias das tensões principais, ou seja, conjunto de
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curvas ortogonais que explicam o comportamento do elemento estrutural sob
tensão.
Para visualizar as possíveis trajetórias de tensões principais desenvolvidas em
uma peça estrutural, são necessárias várias etapas que incluem o cálculo das
tensões normais e cisalhantes nas diversas fibras do elemento estrutural,
determinação dos planos principais onde ocorrem as tensões e o traçado de
gráficos que traduzem as variações destas tensões no elemento estrutural.
Seguindo a orientação sugerida por Beer & Johnston (1982) e Timoshenko &
Gere (1983), são esboçadas as trajetórias de tensões principais em uma viga
isostática. A partir de uma metodologia simples, as etapas são distribuídas em
grupos de tal forma a inteirar todos os alunos no entendimento sobre o estado
de tensões principais em um elemento estrutural.
2. REFERENC IAL TEÓRICO
No estudo das tensões planas o elemento está sujeito a tensões principais e de
cisalhamento.Um elemento sujeito a tensões planas pode ter tensões normais
e cisalhantes nas faces x e y , porém não tem nenhuma tensão na face z. Na
figura 1.1 é apresentado um esquema típico de um elemento estrutural
submetido a um estado de tensões planas.
σy
τxy
σx
++
τyx
σx
τyx
τxy
σy
Figura 2.1 – Elemento sujeito a tensões planas
2
Considerando um elemento que sofre uma rotação θ, em relação ao plano
horizontal, surgem tensões normais e cisalhantes identificadas como σθ e τθ,
que podem ser encontradas através de relações trigonométricas adequadas
(figura 1.2):
σθ
σx
θ
τyx
τθ
τxy
σy
Figura 2.2 – Elemento Girado de um ângulo θ
σθ = σx + σy + 1 (σx - σy ) cos 2 θ - τyx sen 2θ
2
2
(1)
τθ =(σx - σy ) sen2θ − τyx cos 2θ
2
(2)
Ressaltando que as expressões (1) e (2) foram deduzidas seguindo a
convenção sugerida por Timoshenko (1983). Variando o ângulo θ no intervalo
de 0o a 360o, é possível encontrar diversos valores de σθ e τθ correspondentes
ao plano girado.
O plano que define os valores máximos e mínimos para a tensão σθ definem o
plano principal de tensões. Neste plano não ocorrem tensões de cisalhamento.
Derivando a expressão (1) em relação a θ e igualando a zero, encontra-se a
relação (3) que define o ângulo correspondente ao plano principal:
Tg2θp = 2 . τyx
σx - σy
(3)
As tensões principais máximas e mínimas podem ser encontradas pela
expressão (4) :
2
σ1,2 =
σx + σy
 σx − σy 
± 
 + τyx 2
2
2 

(4)
3
Ressalta -se que a avaliação das tensões principais e dos respectivos planos
onde estas tensões ocorrem podem ser encontradas utilizando o círculo de
Mohr.
3. METODOLOGIA UTILIZADA
Nos cálculos realizados neste estudo são admitidas algumas hipóteses
simplificadoras:
- o material é homogêneo e obedece a lei de Hooke;
- considerou-se para a viga em estudo como submetida a um estado de
tensões planas;
- Considerou como válido o princípio de Saint-Venant, admitindo σy = 0,
mesmo nas proximidades do ponto de aplicação das cargas.
Considerou-se uma viga isostática contendo 1 vão e dois balanços. A viga foi
discretizada em 11 seções transversais e foram considerados 11 fibras para o
estudo, em cada seção. Buscando detectar com mais precisão, as variações
nas tensões cisalhantes, no apoio foram consideradas duas seções: uma
imediatamente antes e outra após o apoio. Nas figuras 3.1 a 3.5, são
esquematizadas todo o processo de discretização utilizado:
Figura 3.1 – Esquema Geral da Viga Estudada
Figura 3.2 – Diagrama de Momento Fletor (DMF)
Figura 3.3 – Diagrama de Esforço Cortante (DEC)
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Em cada seção transversal da peça, nas fibras em estudo, serão determinadas
as tensões normais e cisalhantes em um elemento infinitesimal. Estas tensões
serão utilizadas no cálculo dos planos principais e as respectivas tensões
nestes planos.
Figura 3.4 – Esquema do Elemento Infinitesimal
Figura 3.5 – Discretização do Elemento Estrutural
Os ângulos que definem os planos principais e as respectivas tensões
principais são encontrados aplicando as expressões (3) e (4).
Figura 3.6 – Atuação das Tensões no Elemento Inf initesimal
4. RESULTADOS
Com os resultados das tensões principais e os respectivos planos onde estas
atuam, tornou-se possível a identificação das trajetórias de tensões principais
desenvolvidas no elemento estrutural. Os gráficos podem ser traçados
utilizando softwares como o Autocad e o Microsoft Excel. A figura 4.1
esquematiza o traçado das tensões principais na viga em estudo:
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Figura 4.1 – Esboço da Trajetória de Tensões Principais
Com o desenvolvimento dos softwares específicos para a análise estrutural, o
estudo das trajetórias de tensões principais tornou-se uma tarefa mais simples
onde cabe o engenheiro apenas avaliar com rigor os resultados apresentados.
A figura 4.2 exemplifica a utilização de um software na avaliação das tensões.
O exemplo utilizado neste trabalho foi processado no software SAP2000n,
onde foram conservadas as mesmas discretizações utilizadas no cálculo
manual.
Figura 4.2 – Esboço da Trajetória de Tensões Principais (SAP2000n)
5. CONCLUSÕES
Como base nos resultados obtidos pode-se concluir que:
O entendimento sobre os estados de tensões atuantes em um elemento
estrutural é de fundamental importância para o engenheiro. Sendo que
estes resultados, quando bem avaliados, traduzem perfeitamente o
comportamento da peça sob ação das cargas atuantes;
- O cálculo manual das tensões principais e seus respectivos planos
principais parecem, a princípio, uma tarefa laboriosa mas ajudam o
estudante de engenharia a visualizar na prática o comportamento do
elemento estrutural sob tensão;
- A inclusão deste estudo na disciplina de resistência dos materiais
contribui, de forma significativa, em uma melhor aprendizagem por parte
do aluno de um dos itens fundamentais do programa;
Com o desenvolvimento dos softwares de análise estrutural, capazes de
realizar tarefas que demandam muito tempo em poucos segundos, aumentam
-
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mais ainda a responsabilidade do engenheiro na avaliação dos resultados. O
rigor que antes se resumia aos cálculos trabalhosos e verificação passo a
passo dos resultados, resume-se a um trabalho intensivo de verificação dos
resultados do programa, seja na forma gráfica ou nos resultados impressos.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Timoshenko, S. P. & Gere, J. E. – Mecânica dos Sólidos, Volume I,
Editora LTC, Rio de Janeiro (1983);
Beer, F. P. & Johnston Jr., E. R. – Resistência dos Materiais, Editora
MacGraw-Hill do Brasil, São Paulo (1982);
Franco, E. S. S. ; Oliveira, J. M. ; Sahb, K. F. P. – Estudo Sobre a
Trajetória de Tensões Principais, Trabalho desenvolvido na disciplina de
Resistência dos Materiais II, Universidade Católica de Goiás, 2002;
Silva, A. L. A. ; Bueno, F. S. ; Rios, F. P. – Estudo Sobre a Trajetória de
Tensões Principais, Trabalho desenvolvido na disciplina de Resistência
dos Materiais II, Universidade Católica de Goiás, 2002;
Oliveira, J. C. A. de – Notas de Aula do Curso de Resistência dos
Materiais, Universidade Católica de Goiás, 2002;
SAP2000n – Structural Analysis Program, NonLinear Versão 7.12,
software produzido na Universidade de Berkeley, CA, 1995.
AGRADECIMENTOS
Á turma de resistência dos Materiais, 2002, especialmente os alunos Fagner, Elízia, Keyla,
Fernanda, André e Juliana, que empregaram muito esforço na efetivação dos cálculos e
gráficos deste trabalho. Ao professor Emerenciano pela atenção dada a revisão deste artigo.
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