Porf. Rodrigo de Alvarenga Rosa
23/03/2012
Estrada de Rodagem
Curvas Concordância Horizontal
Circular
Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
[email protected]
(27) 9941-3300
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1
Histórico
• No início do transporte rodoviário, as rodovias
proporcionavam maior liberdade no deslocamento dos
veículos
– Tinham pouco tráfego
– Os veículos trafegavam em baixa velocidade
– Eram sem pavimentação e os veículos podiam invadir a
contramão
• Por isso problemas de traçado (geometria) não eram tão
preocupantes
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1
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Histórico
• Na década de 30 houve grande incremento na construção
de rodovias
• Começam as rodovias pavimentadas
• A velocidade dos veículos também aumenta
• Neste momento, passa a ser preocupante a atuação da
força centrífuga.
• Necessidade de superelevação e superlargura.
– Sobretudo o estudo da superelevação.
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Geometria
• A força atua bem no início da curva circular
• Ou seja, no PC (ponto onde termina a tangente e inicia a
curva circular)
• Assim, é interessante que o plano de rolamento já esteja
modificado neste ponto
• É impossível modificar o traçado em um ponto
– Iria gerar um degrau na pista
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Geometria
• Modificar o plano de rolamento antes do PC
– Teria uma tangente com uma inclinação para um dos
lados sem ter a força centrífuga atuando
– Poderia gerar um tombamento do veículo e desconforto
para os passageiros
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Geometria
• Iniciar a modificação após o PC
– No PC já existe a força centrífuga, porém ainda não
existe plenamente a superelevação
– Assim, esta situação também ocasiona desconforto aos
passageiros e risco de derrapagem ao veículo por falta
da compensação da superelevação total
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Geometria
• Introduzir uma nova curva entre a tangente e o início da
curva simples.
– Essa é a melhor opção encontrada
– Ao fim da tangente, no início da curva de transição, (TE)
inicia-se a superelevação e gradualmente chega-se ao
máximo no ponto EC (espiral - arco circular) que é o
início da curva circular que demanda toda superelevação
– O mesmo ocorre quando do término da curva circular CE
(curva circular - espiral) que vai perdendo a
superelevação até chegar a tangente (ET) sem
superelevação
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Geometria
• Esta curva de transição deve em cada ponto ao longo do
arco proporcionar uma aceleração centrífuga em harmonia
com a superelevação da via.
• Tem-se uma distribuição da superelevação proporcional ao
desenvolvimento da curva de transição desde o seu início.
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Geometria
• As melhores curvas são as denominados radiodes que
provêm da relação:
dρ ρ
dl
=
l
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Geometria
• Clotoide ou espiral de Cornu ou de Van Leben ou curva de
Euler:
1
l= f ( )
ρ
• Leminiscata de Bernouilli
• Curva elástica
• A mais usada pelos órgãos brasileiros, DNIT, é a clotoide.
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Concordância com curva circular
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Concordância com curva circular
D
Sentido de
estaqueamento
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Concordância com curva circular
• O prolongamento das duas tangentes contíguas a uma
curva de concordância se encontram em ponto denominado
ponto de intercessão PI
• A distância entre o PI e o PC e a distância entre o PI e o PT
são denominadas tangente externa T.
• No PI, o prolongamento de uma tangente externa forma um
ângulo de deflexão denominado ∆ .
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Concordância com curva circular
• Os sucessivos PI de uma diretriz formam uma poligonal.
• Nesta poligonal cada lado mede a soma tangente da diretriz
com as tangentes externas de cada curva adjacente.
• Os raios externos do arco de círculo, normais às tangentes,
onde tocam o PC e o PT, formam o ângulo central AC
• O ângulo central é o mesmo do ângulo de deflexão ∆ .
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Concordância com curva circular
• O arco de círculo da curva de concordância é definido por:
• Raio - R
• Ângulo central - AC
• Extensão ou Desenvolvimento entre o PC e PT - D
• O segmento PIM entre o arco de círculo é o afastamento E.
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Concordância com curva circular
• Pode-se deduzir:
• Tangente externa: T = R tan (
• Afastamento: E = R ( sec (
AC
)
2
AC
) −1)
2
• Desenvolvimento: D = AC R Π
180
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Exemplo - Concordância com curva circular
• Faça a locação por estaqueamento das curvas 1 e 2
conforme a diretriz a seguir.
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Exemplo - Concordância com curva circular
• Estratégia de abordagem
A deflexão é igual
ao Ângulo central
T1
PT1
PC1
AC1
D
O
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Exemplo - Concordância com curva circular
T1 = R1 tan (
AC1
24 o12 ' 40 "
) = 200 tan (
) = 42,90m
2
2
D1 = AC1 R1
Π
Π
= 24 o12 ' 40" 200
= 84,51m
180
180
T2 = R2 tan (
AC 2
32 o 49 ' 50"
) = 250 tan (
) = 73,65m
2
2
D2 = AC 2 R2
Π
Π
= 32 o 49 ' 50" 250
= 143,25m
180
180
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Exemplo - Concordância com curva circular
• Com os valores das tangentes externas e do
desenvolvimento, pode-se calcular os comprimentos das
tangentes.
PC1 = 0 − PI 1 − T1 = 133,97 − 42,90 = 91,07 m = 4 + 11,07m
PT1 = PC1 + D1 = 91,07 + 84,51 = 175,58m = 8 + 15,58m
PC 2 = PT1 + ( PI1 − PI 2 − T1 − T2 ) = 175,58 + (199,49 − 42,90 − 73,65)
= 258,52m = 12 + 18,52m
PT2 = PC 2 + D2 = 258,52 + 143,25 = 401,77m = 20 + 1,77m
(
)
PF = PT2 + PI 2 − PF − T2 = 401,77 + (151,12 − 73,65) = 479,24m = 23 + 19,24m
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Exemplo - Concordância com curva circular
•
Manual de Serviços de consultoria para estudos e projetos rodoviários, DNER, 1978, v.2
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Exemplo - Concordância com curva circular
• Em um traçado com curvas horizontais circulares, conforme
a diretriz a seguir, e supondo que se queira manter os dois
raios iguais, pergunta-se:
• Qual o maior raio possível?
• Qual o maior raio possível para manter um trecho em
tangente entre o ponto 1 e o ponto 2 de 80 metros?
AC1 = 40o
AC2 = 28o
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Exemplo - Concordância com curva circular
• Resolução letra a)
• A tangente da curva aumenta proporcionalmente ao raio.
• O maior raio possível será quando ocorrer a maior tangente
no espaço disponível, 720,0m, ou seja, PT1 = PC 2 .
T1 + T2 = 720
T1
AC1 = 40o
PT1 = PC 2
PC1
T2
PT2
AC2 = 28o
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Exemplo - Concordância com curva circular
• Resolução letra a)
R tan 20 + R tan 14 = 720
T1 + T2 = 720
R = 1.173,98m
Lembre-se do
enunciado: os
dois raios são
iguais
40
2
28
T2 = R tan
2
T1 = R tan
T1 + T2 = 720
T1
AC1 = 40o
PC1
PT1 = PC 2
T2
PT2
AC2 = 28o
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Exemplo - Concordância com curva circular
• Resolução letra b)
T1 + 80 + T2 = 720
R tan 20 + 80 + R tan 14 = 720
R = 1.043,54m
Lembre-se do
enunciado: os
dois raios são
iguais
40
2
28
T2 = R tan
2
T1 = R tan
T1 + T2 + 80 = 720
T1
80
AC1 = 40o
PC1
T2
PT1
PC 2
PT2
AC2 = 28o
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Grau de Curva
• O grau de uma curva Gc para um determinada corda c é o
ângulo central que corresponde à corda considerada.
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Grau de Curva
• Traçando a bissetriz, e pegando o triângulo retângulo OPM,
estabelece-se a relação:
sen (
c
Gc
MP
)=
= 2
2
R
R
Gc = 2 arc sen (
c
)
2R
• O grau de uma curva para uma dada corda c é uma forma
alternativa de definir a geometria de uma curva circular.
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Corda de uma curva
• A corda é determinada pelo raio da curva conforme tabela
do DNIT
Raios de Curva (R)
R <= 100,00m
Corda Máxima (c)
5,00m
100,00m < R <= 600,00m
10,00m
R > 600,00m
20,00m
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Concordância com curva circular
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Exemplo - Grau da curva
• Qual é o grau da curva da curva 1?
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Exemplo - Grau da curva
• Qual é o grau da curva da curva 1?
• Pela tabela, deve-se usar corda igual a 10,00m, pois o raio é
200,00m
Raios de Curva (R)
R <= 100,00m
Corda Máxima
(c)
5,00m
100,00m < R <= 600,00m
10,00m
R > 600,00m
20,00m
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Exemplo - Grau da curva
• Pela fórmula:
G10 = 2 arc sen (
c
10
) = 2 arc sen (
) = 2,86509 o = 2 o 51' 54"
2R
2 200
G10 = 2 o 51'54"
• Pode-se dizer que a curva tem raio de 200,00m ou que tem
grau G10 = 2 o 51'54"
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Demarcação da curva em campo
• A demarcação da curva em campo é denominada Locação
do eixo.
• Para demarcar os trechos em tangente, é relativamente
fácil.
• Consiste basicamente na medida de ângulos e de
distâncias ao longo de alinhamentos retos
• Para demarcar os trechos em curvas é mais complexo
• Não dá para demarcar diretamente a curva no terreno
com auxílio de algum compasso
• Nem se conseguem visadas curvas ou marcação de
distâncias curvas com os recursos da topográfia
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Locação por deflexões acumuladas
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Locação por deflexões acumuladas
• Na figura anterior, com o teodolito posicionado na tangente
de referências, mede-se o ângulo de deflexão e as
distâncias até o pontos.
• Isso demarcará o ponto de cada corda.
• Dá um precisão razoável nas locações reais, se respeitada
a tabela anterior de limite da corda em função do raio
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Deflexões de uma curva circular
• A deflexão dc de uma curva circular, para uma corda c, é
ângulo formado entre essa corda e a tangente à curva em
uma das extremidades da corda.
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Deflexões de uma curva circular
• A deflexão é um ângulo orientado com origem na tangente
• No caso da figura uma deflexão à direita
• Sendo a tangente perpendicular ao raio e a bissetriz
perpendicular à corda, o ângulo de deflexão resulta sempre
igual à metade do ângulo central correspondente à corda.
dc =
1
Gc
2
• Em projeto geométrico, dentro dos limites de raios e
comprimento de corda apresentados na tabela, é permitido
confundir o comprimento de uma corda com o comprimento
do arco da curva correspondente.
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Exemplo - Grau da curva
• Qual a deflexão adotada para a curva 1?
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Exemplo - Grau da curva
• Qual a deflexão adotada para a curva 1?
Do exemplo anterior:
d10 =
G10 = 2 o 51' '54 "
1
1
Gc = 2 o 51' 54"
2
2
d10 = 1o 25 ' 57 "
Essa é a deflexão para fins de
projeto e locação para uma curva
de R=200,00m e uma corda de
10,00m
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Deflexão por metro
• Na locação de uma curva circular pode haver a necessidade
de determinar valores de deflexão da curva para arcos
fracionários (não coincidentes com 5, 10 e 20 m).
• Sendo dc a deflexão para uma corda c, o valor da deflexão
por metro é dada por:
dm =
dc
c
dm =
Gc
2c
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Exemplo - Grau da curva
• Qual a deflexão por metro adotada para a curva 1?
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Exemplo - Grau da curva
• Qual a deflexão por metro adotada para a curva 1?
Do exemplo anterior:
dm =
d10 = 1o 25 ' 57 "
d10 1o 25 ' 57 "
=
c
10
"
Essa é a deflexão de um metro
d m = 0 o 08 ' 36 " para fins de projeto e locação
para uma curva de R=200,00m e
uma corda de 10,00m
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Métodos de locação
• Usa-se o processo de deflexões acumuladas.
• Posiciona-se o teodolito no PC e toma-se a direção da
tangente como referência ou origem para contagem das
deflexões.
• Dois métodos podem ser adotados
• Estaca fracionária;
• Estaca inteira.
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Métodos de locação
• Estaca fracionária
• São marcados a partir do PC, as cordas;
• Isto resulta em locação de pontos com estacas
fracionárias;
• Estaca inteira
• A partir do PC marca-se uma corda que chegue na
primeira estaca inteira
• Isto resulta em locação de pontos com estacas inteiras
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Métodos de Estaca fracionária
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Métodos de Estaca fracionária
• Os pontos X, Y e Z correspondem a estacas inteiras de
10,00m
• Corda de 10m, corda considerada igual ao arco
• X = 5 + 1,07m; Y= 5 + 11,07m e Z= 6 + 1,07m
• Deflexões
• Em X (corda cx, ângulo central = G10):
• dx=1/2 G10 =d10
• Em Y (corda cy, ângulo central = 2 G10):
• dy=1/2 2 G10 = 2 d10 = dx + d10
• Em Z (corda cz, ângulo central = 3 G10):
• dz=1/2 3 G10 = 3 d10 = dy + d10
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Métodos de Estaca fracionária
• Na curva circular simples, as deflexões correspondentes a
arcos sucessivos são cumulativos
• Sem necessidade de determinar as cordas cy e cz
• Têm-se, então:
• dx = 1º25’57”
• dy = 1º25’57” + 1º25’57” = 2º51’54”
• dz = 2º51’54” + 1º25’57” = 4º17’51”
• Ai é só usar o teodolito e a trena!
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Métodos de locação
• Ângulo de deflexão fracionados não ocasionam nenhum
problema aos cálculos das concordâncias em curvas.
• No entanto, para a utilização prática com teodolitos, podem
ocorrer erro e acumulo de erro na hora de lançar as cordas
no terreno.
• Assim, em vez de se usar deflexões com valores
fracionados, usam-se raios com valores fracionados que
deem deflexões inteiras.
R=
c
2 sen (d c )
R=
c
2 sen (
Gc
)
2
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Exemplo - Raio Fracionário
• Qual seria o raio fracionário para que a deflexão da curva 1
fosse inteira?
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Exemplo - Raio Fracionário
• Qual seria o raio fracionário para que a deflexão da curva 1
fosse inteira?
o
'
"
Do exemplo anterior: d10 = 1 25 57
o
'
"
Um valor inteiro para a deflexão pode ser: d10 = 1 20 00
Então o raio será: R =
10
= 214,88m
2 sen (1o 20 ' 00 " )
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Exemplo - Grau da curva
• Qual a deflexão por metro adotada para a curva 1?
Do exemplo anterior:
dm =
d10 = 1o 20 ' 00 "
d 10 1o 20 ' 00 "
=
c
10
Essa é a deflexão de um metro
d m = 0 o 08 ' 00 " para fins de projeto e locação
para uma curva de R=214,88m e
uma corda de 10,00m
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Exercício 01 - Concordância com curva circular
• No projeto de uma curva circular sabe-se que o PI está na
estaca 148 + 5,60, a deflexão é 22º36’ e o raio é 600,0
metros. Assim, deseja-se calcular:
• O comprimento das tangentes
• O desenvolvimento
• O grau da curva
• As estacas do PC e do PT
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Exercício 02 - Concordância com curva circular
• Faça a locação da curva por estaca fracionária do exercício
anterior, supondo a rodovia com esta única curva.
• Lance em uma tabela cada estaca (começando pelo PC),
sua deflexão simples e a deflexão acumulada
• Supondo ainda uma tangente de 900,00m a partir do PT da
curva, qual seria a estaca do PF da rodovia?
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Exercício 03 - Concordância com curva circular
• Para o traçado abaixo com curvas circulares, determinar
qual a estaca do PC de cada curva, a estaca do PT de cada
curva e o ponto final.
R1 = 1.200,0 m
Deflexão: 46º
PF
R2 = 1.600,0 m
Deflexão: 30º
PP=0
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Exercício 04 - Concordância com curva circular
• Calcule a distância entre os PIs da curva 1 e da curva 2 da
poligonal abaixo.
Curva 1
Deflexão: 36º
PF
Curva 2
Deflexão: 48º
PP
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Exemplo 05 - Raio Fracionário
• Qual seria o raio fracionário para que a deflexão da curva 1
e da curva 2 fossem inteiras?
• Com os novos raios fracionários recalcule os PCs, PTs e o
PF para a poligonal abaixo.
• Qual a diferença total de comprimento da estrada
projetada com raios fracionários da calculada
com raios inteiros?
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Exercício 06 - Cálculo de Superlargura e
Superelevação
• Em um projeto, tem-se uma curva com duas faixas, com raio
de 200,00m, em relevo ondulado, na classe III do DNIT.
Considerando veículo tipo CO e largura de faixa igual a
3,40m. Deseja-se saber qual o valor de superlargura e da
superelevação a ser adotado.
Obs.: Calcule o raio mínimo pela tabela e pela fórmula.
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