Universidade Federal de Itajubá
Instituto de Engenharia de Produção e Gestão
Pesquisa Operacional
Método Gráfico - solução dos exercícios do item 4.3.2
Prof. Dr. José Arnaldo Barra Montevechi
Programação Linear (PL)
Solução do problema (método
gráfico)
Possível para duas variáveis
1
4.3.2 - Exemplo 1
9 Uma determinada empresa automobilística fabrica
carros de luxos e caminhonetes.
9 A empresa acredita que os mais prováveis clientes
são homens e mulheres com altos rendimentos.
Para abordar estes grupos, a empresa decidiu por
uma campanha de propagandas na TV, e comprou
1 minuto do tempo de comercial de 2 tipos de
programa: comédia e transmissão de futebol.
9 Cada comercial durante o programa de comédias é
visto por 7 milhões de mulheres e 2 milhões de
homens com grande poder aquisitivo.
4.3.2 - Exemplo 1
9 Cada comercial durante a transmissão de futebol é
visto por 2 milhões de mulheres e 12 milhões de
homens com grande poder aquisitivo.
9 Um minuto de comercial durante o programa de
comédias custa $50000, e durante a transmissão de
futebol $100000. A empresa gostaria que pelo menos
28 milhões de mulheres e 24 milhões de homens de
grande poder aquisitivo assistissem sua propaganda.
9 Obter a programação matemática que irá permitir a
empresa atender as suas necessidades de
propaganda a um mínimo custo.
2
4.3.2 - Exemplo 1
Min Z = 50 X1 + 100 X2
Sujeito a:
7 X1 + 2 X2 ≥ 28
2 X1 + 12 X2 ≥ 24
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
4.3.2 - Exemplo 2
9 Uma empresa fabrica carros e caminhonetes. Cada
veículo precisa ser trabalhado nas seções de pintura e
montagem.
9 Se a seção de pinturas trabalhar só com caminhonetes,
40 por dia podem ser pintados. Se estiver trabalhando só
com carros, 60 por dia é sua capacidade. Se a seção de
montagem estiver trabalhando só com caminhonetes, 50
podem ser montados por dia. O mesmo número é possível
para carros se este for o único produto na linha.
9 Cada caminhonete contribui $300 para o lucro, e cada
carro $200.
9 Obter a formulação matemática que determinará a
programação de produção que maximizará o lucro da
empresa.
3
4.3.2 - Exemplo 2
Max Z = 3 X1 + 2 X2
Sujeito a:
1/40 X1 + 1/60 X2 ≤ 1
1/50 X1 + 1/50 X2 ≤ 1
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
4.3.2 - Exemplo 3
9Supondo que a empresa do exemplo
anterior, por necessidades dos
vendedores, tem de produzir pelo
menos 30 caminhonetes e 20 carros
diariamente, qual será a nova
formulação do problema?
4
4.3.2 - Exemplo 3
Max Z = 3 X1 + 2 X2
Sujeito a:
1/40 X1 + 1/60 X2 ≤ 1
1/50 X1 + 1/50 X2 ≤ 1
X1 ≥ 30
X2 ≥ 20
4.4.1 - Exemplo 2
max Z = 2X1 –1X2
sujeito a:
X1 – X2 ≤ 1
2X1 + X2 ≥ 6
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
5
Formulações
4.3.2 - Exemplo 1
Min Z = 50 X1 + 100 X2
Sujeito a:
7 X1 + 2 X2 ≥ 28
2 X1 + 12 X2 ≥ 24
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
4.3.2 - Exemplo 3
Max Z = 3 X1 + 2 X2
Sujeito a:
1/40 X1 + 1/60 X2 ≤ 1
1/50 X1 + 1/50 X2 ≤ 1
X1 ≥ 30
X2 ≥ 20
4.3.2 - Exemplo 2
Max Z = 3 X1 + 2 X2
Sujeito a:
1/40 X1 + 1/60 X2 ≤ 1
1/50 X1 + 1/50 X2 ≤ 1
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
4.4.1 - Exemplo 2
max Z = 2X1 -1X2
sujeito a:
X1 – X2 ≤ 1
2X1 + X2 ≥ 6
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
Soluções gráficas
6
4.3.2 - Exemplo 1
9 Uma determinada empresa automobilística fabrica
carros de luxos e caminhonetes.
9 A empresa acredita que os mais prováveis clientes
são homens e mulheres com altos rendimentos.
Para abordar estes grupos, a empresa decidiu por
uma campanha de propagandas na TV, e comprou
1 minuto do tempo de comercial de 2 tipos de
programa: comédia e transmissão de futebol.
9 Cada comercial durante o programa de comédias é
visto por 7 milhões de mulheres e 2 milhões de
homens com grande poder aquisitivo.
4.3.2 - Exemplo 1
9 Cada comercial durante a transmissão de futebol é
visto por 2 milhões de mulheres e 12 milhões de
homens com grande poder aquisitivo.
9 Um minuto de comercial durante o programa de
comédias custa $50000, e durante a transmissão de
futebol $100000. A empresa gostaria que pelo menos
28 milhões de mulheres e 24 milhões de homens de
grande poder aquisitivo assistissem sua propaganda.
9 Obter a programação matemática que irá permitir a
empresa atender as suas necessidades de
propaganda a um mínimo custo.
7
4.3.2 - Exemplo 1
Min Z = 50 X1 + 100 X2
Sujeito a:
7 X1 + 2 X2 ≥ 28
2 X1 + 12 X2 ≥ 24
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
4.3.2 - Exemplo 1 - Solução
Solução
única
8
4.3.2 - Exemplo 2
9 Uma empresa fabrica carros e caminhonetes. Cada
veículo precisa ser trabalhado nas seções de pintura e
montagem.
9 Se a seção de pinturas trabalhar só com caminhonetes,
40 por dia podem ser pintados. Se estiver trabalhando só
com carros, 60 por dia é sua capacidade. Se a seção de
montagem estiver trabalhando só com caminhonetes, 50
podem ser montados por dia. O mesmo número é possível
para carros se este for o único produto na linha.
9 Cada caminhonete contribui $300 para o lucro, e cada
carro $200.
9 Obter a formulação matemática que determinará a
programação de produção que maximizará o lucro da
empresa.
4.3.2 - Exemplo 2
Max Z = 3 X1 + 2 X2
Sujeito a:
1/40 X1 + 1/60 X2 ≤ 1
1/50 X1 + 1/50 X2 ≤ 1
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
9
4.3.2 - Exemplo 2 - Solução
Múltiplas soluções
4.3.2 - Exemplo 3
9Supondo que a empresa do exemplo
anterior, por necessidades dos
vendedores, tem de produzir pelo
menos 30 caminhonetes e 20 carros
diariamente, qual será a nova
formulação do problema?
10
4.3.2 - Exemplo 3
Max Z = 3 X1 + 2 X2
Sujeito a:
1/40 X1 + 1/60 X2 ≤ 1
1/50 X1 + 1/50 X2 ≤ 1
X1 ≥ 30
X2 ≥ 20
4.3.2 - Exemplo 3 - Solução
Sem solução
11
4.4.1 - Exemplo 2
max Z = 2X1 –1X2
sujeito a:
X1 – X2 ≤ 1
2X1 + X2 ≥ 6
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
4.4.1 - Exemplo 2 - Solução
Sem fronteira
12
Possibilidades quanto a
resposta possível para os
problemas de PL:
9Caso 1: a formulação tem solução única;
9Caso 2: a formulação tem múltiplas
soluções;
9Caso 3: a formulação não tem solução;
9Caso 4: a formulação não tem fronteira, a
região de solução permite arbitrários
valores para Z.
E qualquer outra
formulação, com maior
número de variáveis,
também sempre se
enquadrará em um destes
casos.
13