Geometria Plana 01
Prof. Valdir
I – ÂNGULOS
1. Definição - é a reunião de duas semi-retas de mesma origem.
6. Bissetriz de um ângulo – a bissetriz de um ângulo é a semi-reta de
origem no vértice do ângulo que o divide em dois ângulos de mesma
medida (congruentes).
A
α=β
O
α
bissetriz
β
B
Ângulo AÔB, onde AO e BO são os lados e O é o vértice.
2. Abertura do ângulo – os ângulos são medidos em graus ou
radianos que são as unidades mais importantes.
7. Ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal.
t
Uma volta = 360°
α
r
θ
[1° = 60 minutos( ‘ ) e 1’ = 60 segundos (“ )]
β
λ
r // s
Uma volta = 2.π radianos.
Agudo: 0° < α < 90°
Reto: α = 90°
Obtuso: 90° < α < 180°
a
s
3. Classificação de ângulos quanto à medida (α
α)
c
b
d
4. Ângulos complementares e suplementares.
Ângulos alternos internos: θ e b, λ e a.
Ângulos alternos externos: α e d, β e c.
Ângulos correspondentes: α e a, β e b, θ e c, λ e d.
Ângulos colaterais internos: θ e a, λ e b.
Ângulos colaterais externos: α e c, β e d.
Complementares – são dois ângulos cuja soma das medidas é 90°.
Observações:
Obs.: ângulo raso = 180°.
β=θ=b=c
α=λ=a=d
β + α = θ + λ = 180°
a + b = c + d = 180°
θ + a = λ + b = 180°
α + c = β + d = 180°
Suplementares – são dois ângulos cuja soma das medidas é 180°.
Obs.: Se a medida de um ângulo é α, então:
90°– α = complemento de α.
180° – α = suplemento de α.
Explementares – são dois ângulos cuja diferença é 180°.
Replementares – são dois ângulos cuja soma é 360°.
8. Teorema angular de Tales
Teorema: “Se um polígono tem três ângulos internos, então a
soma das medidas desses ângulos é 180°”.
C
θ
5. Ângulos adjacentes e opostos pelo vértice.
α + β + θ = 180°
Adjacentes – são dois ângulos que possuem apenas um lado em
comum. (As regiões internas são disjuntas).
A
A
Os ângulos AÔB e BÔC são
adjacentes.
B
O
β
α
B
Prova:
Pelo vértice C do triângulo ABC traçaremos a reta t paralela ao
lado AB.
C
t
x
y
θ
C
Opostos pelo vértice (OPV) - são dois ângulos cujos lados de um
deles são as respectivas semi-retas opostas aos lados do outro.
α
β
A
C
A
β
Assim, teremos: x = β e y = α . Como x + θ + y = 180°, teremos que:
AÔB e CÔD – OPV
O
B
α + β + θ = 180°
D
Obs.: Dois ângulos OPV têm medidas iguais.
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Obs.: O teorema de Tales pode aparecer “disfarçado” em várias
situações aplicáveis na prática. Observe as figuras abaixo:
9. Teorema do ângulo externo
“Em um triângulo qualquer, a medida de um ângulo externo é igual à
soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes”.
θ
C
A
B
∅=α+θ
α
Prova:
Observe que:
∅ + β = 180° (1)
α + β + θ = 180° (2)
De (1) e (2), vem que ∅ = α + θ. Provado
C
B
Se MN // BC ⇒
Obs.: Em um triângulo isósceles, os ângulos da base têm a mesma
medida.
N
AM AN MN
=
=
AB AC BC
IV – SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os
três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos
proporcionais.
β
α
M
x=y⇒α=β
y
x
A
N
M
∅
β
base
II – DESIGULADADE TRIANGULAR
Sejam os números reais a, b e c as medidas dos lados de um
triângulo qualquer. Sendo assim, teremos:
|a - b |< c < a + b

|a - c |< b < a + c

|b - c |< a < b + c
Ou seja, a medida de cada lado é maior que o módulo da diferença e
menor que a soma das medidas dos outros dois lados.
Exemplo: Os lados de um triângulo medem 3 cm, 4 cm e x. Sendo
assim, determine o intervalo possível para os valores de x.
C’
θ
C
θ
α
α
β
A
β
B’
B A’
∇ ABC ∼ ∇ A’B’C’ ⇔
AC
AB BC
=
=
=k
A'C' A'B' B'C'
Resolução:
4 – 3 < x < 3 + 4 ⇒ 1 < x < 7.
Conclusão: A medida x do lado é um número real maior que 1 e
menor que 7.
III – TEOREMA DE TALES
“Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas,
então dois segmentos quaisquer de uma delas são proporcionais a
dois segmentos correspondentes da outra”.
m
A
B
n
r
E
F
s
k é a constante de proporcionalidade ou razão de semelhança
dos triângulos ABC e A’B’C’.
Obs.: É fácil concluir que semelhança de triângulos é explicada
pelo Teorema de Tales.
V – TRIÂNGULO RETÂNGULO
Consideremos o triângulo retângulo ABC , sendo:
BC – hipotenusa.
AB e AC – catetos.
AH – altura relativa à hipotenusa
BH – projeção ortogonal de AB sobre BC.
CH – projeção ortogonal de AC sobre BC.
A
C
β
α
t
G
b
c
D
H
hipótese: r//s//t//w, m e n transversais.
h
w
B
β
m
n
H
α
C
a
tese:
AB EF
=
BC FG
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2
ah = bc
a b c

= =
⇒ 
2
c h m
c = a.m (1)
1º) ∇ ABC ∼ ∇ BHA ⇒
{b
2º) ∇ ABC ∼ ∇ BHC ⇒
a b c
= = ⇒
b n h
3º) ∇ ABH ∼ ∇ BHC ⇒
c h m
= =
⇒ { h² = m.n
b n h
2
= a.n (2)
Teorema de Pitágoras
Das equações (1) e (2), teremos que:
b² + c² = a.m + a.n = a(m + n) = a.a = a² ⇒
a² = b² + c²
Ou seja: “O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma
dos quadrados das medidas dos catetos” (Teorema de Pitágoras).
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