Pré-vestibular – Matemática
Caderno 1 – Unidade IV – Série 6
Resoluções
Segmento: Pré-vestibular
Coleção: Alfa, Beta e Gama
Disciplina: Matemática
Volume: 1
Unidade IV: Série 6
Quadriláteros notáveis
1.
a) V
.
.
b) F
Contra exemplo:
1
E
B
C
B B
C A
D D
E
A
D
=
=
B
A
D
B
C
D
Logo
E
B
C
C
B
|
|
D
A
Por ângulos alternos internos,
Como
, ɵ =
=
ɵ .
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c) V
º
0
9
º
0
8
1
=
.
º
0
8
1
B
A
O
=
+α =
, α +β =
º
0
9
A
O
B
β+
º
0
6
3
4
4
A
O
B A
O
O B
B
A
Como β + α =
Logo:
ɵ +
+
d) V
C
D
D A C
A
D
C
B B C
A A B
=
ɵ
=
=
C
A
D
C
A
B
=
Pelo caso LAL os triângulos ∆ABC e ∆ADC são congruentes, isto é,
.
º
0
8
1
E
B
C
E
B
A
=
Por ângulos alternos internos,
+ ɵ =
, então, ɵ
Note que
2
.
+
=
º
0
8
1
B
C
D
E C
B B
C A
B
C
D
e) V
Observe na figura do item a, que:
.
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+( +
)=
º
0
8
1
º
0
2 º
0 º
6 0
x 1
4
x x
3 4 x
2. C
=
=
D
M
B
Mx 3
4
2 x
1
y
4 y
4
2
y
y
y
x
2 6
3. C
Como
, então:
=
=
∴ =
Analogamente, temos que MA = MC. Então:
+ =
+ =
∴ =
As diagonais medem:
AC = 16 e BD = 24.
+
+
∴α =
=
=
⇒
+
+α=
º
0
8
1
⇒
=
º
0
4
º
0
4
=
⇒
º
0
4
=
º
0
0
1
+
A º º
C 0 0
8
D 4 1
º C
0 A C
8 D D
A
1
º
0 C C
4 A A
1 D D
A A A
C C C
D D D
4. C
º
0
8
x
º
0
2
x
4
5. D
Como são os ângulos opostos de um paralelogramo, temos:
+
= +
.
∴ =
Assim, dois ângulos do paralelogramo medem 100º e os demais
(suplementares a este), medem 80º.
º
0
2
x
º
0
e 8
1
3
1 3
6. A
Sejam α β os ângulos em questão. Como são consecutivos, então:
(I)
α+β =
Além disso, é dado pelo enunciado que:
α
(II)
= ⇒ α =β
β
Substituindo (II) em (I), temos:
α+ α=
∴α =
º
0
8
1 º
5
4
3
3
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x
4
2
y
y 3 5
x
=
5
1
⇒
y
4
2
=
9
∴ =
y
y x
3 5
+
8
4
y
2 3 5
x
2 x y
7. B
Sejam x e y a medida dos lados consecutivos de um retângulo. Assim:
 +
=
 + =


⇒

 =
 =


Resolvendo o sistema:
8. D
Traçando uma reta que liga o ponto A ao ponto C, formamos 2 triângulos
equiláteros. Sendo um deles, o triângulo ABC, temos:
AB = BC = CA = 4 cm
Assim, cada lado do losango mede 4 cm.
⊥
C
T
tal que
B
A
B
A
9. A
Seja T o ponto sobre
.
5
1
C
B
T
B
C
T
Note que CD = AT = 12 cm.
Assim, BT = 8 cm.
Como
= ɵ = ° , temos BT = TC = 8 cm.
Note que AD = TC = 8 cm.
10. E
Vamos analisar cada uma das afirmativas.
I. Verdadeira
A soma de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo é 180°.
Assim:
BAM + ABM = 90°
Consequentemente a medida do ângulo AMB = 90° (soma dos ângulos
internos de um triângulo).
4
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II. Vedadeira
F E
E F
|
A |
F A
C G
D F
E
B A
A
|
|
F
D A
C G
Como:
,
ɵ ,
=
Como
=
.
.
III. Vedadeira
=
,
=
=
Assim
.
.
B
A
D
=
C
A
,
C B
A A
D C
Como
A A
C C
D D B
A
A B C
D A
| A
|
D D C
C C D
Como
, ou seja, a diagonal
é a bissetriz de
.
W
X
11. E
, que passa por Y. Seja T o ponto de
Tracemos uma paralela a
intersecção dessa paralela com
.
Z
W
=
e, do enunciado,
⋅
=
=
+
. Portanto, ∆TYZ é isósceles de base TY .
Logo TZ = YZ ⇒ 9,4 – 5,7 = YZ ⇒ YZ = 3,7 km.
5
=
Y
T
Z
+
X
W Z
T Y
T
X T
Y Y
T X
afirmar que
=
T
Y
X
2
Como
Z
Y Y
T T
Z
T
Y Z
X Y
T
Z
Y
X
Assim, temos que TWXY é um paralelogramo, ou seja,
.
, podemos