MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS APLICADO A GEOTERMIA
RASA EM SOLOS DE PASTAGEM EM MARABÁ-PA
Kellen Carla Lima (bolsista PIBIC/UFPA, [email protected])
Midori Makino (DM/CG, [email protected])
ABSTACT
Results of numerical simulations of soil temperatures for a pasture area in the
municipality of Marabá, in the State of Pará (Brazil), are presented and the results
compared with observational data. The simulations were carried out based on the
method of finite differences. A computational algorithm, that can easily be implemented
with modern electronic worksheet facilities, was employed for this purpose. The
calculations take into account the thermophysical property data such as density,
thermal conductivity and specific heat, for the local soil types. The results obtained
indicate that the method is suitable for short-term predictions of soil thermal regime, in
cases where information on thermal properties and initial distribution of temperatures
with depth are known, simultaneously with data on transient changes in surface
temperatures.”
RESUMO
Este trabalho apresenta o resultado numérico da evolução temporal do
comportamento de temperatura no solo em área de pastagem no município de
Marabá-PA, obtido usando-se a Técnica de Diferenças Finitas [2] e [3]. Foram usados
dados de temperatura, densidade, condutividade térmica e calor específico referentes
aos solos de pastagem em Marabá-PA conforme Cruz[4] e Pereira [8] correspondente
a 11 de agosto a 25 de outubro de 1991. Pode-se observar nas tabelas 4 e 5 e nas
figuras 1 e 2 que a Técnica do Método de Diferenças Finitas para prever os dados de
temperatura num período curto estudado, forneceram resultados satisfatórios. Concluise que é possível prever a evolução temporal dos perfis de temperatura deste solo por
algumas semanas por esse método.
INTRODUÇÃO
A região Amazônica representa quase a metade das áreas de floresta tropical úmida
do globo terrestre, em que se destaca sua grande biodiversidade e riqueza natural,
além de ser uma reconhecida fonte de energia para a Circulação Geral da Atmosfera
(Sá et al,1986). Entretanto, a grande parte desse ecossistema vem sendo afetado pelo
desmatamento, com áreas de floresta natural sendo substituída por áreas de
pastagem. E, para verificar a evolução do comportamento térmico do subsolo desta
área de pastagem, neste trabalho obtivemos o algoritmo que permite fazer esta
previsão. Uma grande vantagem do modelo aqui apresentado consiste no fato de
podermos obter as informações do comportamento de perfis de temperatura, sem
haver necessidade de efetuar novas perfilagens de temperatura no poço estudado,
principalmente quando se trata da região de difícil acesso, como é o caso específico
da região Amazônica.
Revista Virtual de Iniciação Acadêmica da UFPA http://www.ufpa.br/revistaic Vol 1, No 2, Outubro 2001
-1-
Dando continuidade ao trabalho de pesquisa na área de geotermia rasa (Araujo et
al.[1]; Makino et al [5] e [6]), com os dados de temperatura, densidade, condutividade
térmica e calor específico obtidos para o período de janeiro de 1994 a dezembro de
1995 nos solos de pastagem em Marabá-PA, formulamos o problema que descreve o
comportamento dos perfis de temperaturas, usando a técnica do Métodos de
Elementos Finitos (Conte [2]e Godounov [3]). Soluções numéricas geram uma
previsão da evolução temporal do comportamento da estrutura geotérmica rasa, desde
que se tenha, a priori, o perfil geotermal inicial de um poço, informações acerca da
litoestratigrafia do poço perfilado e os valores de temperaturas na superfície e na
profundidade do poço em estudo.
METODOLOGIA
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
Para o solo de pasto em Marabá, conforme os dados contidos em Cruz [4] e Pereira
[7] o problema de comportamento da evolução temporal de temperatura pode ser
formulado da seguinte forma:
(*)
 ∂ u ( x, t ) ∂ 
∂ u ( x, t ) 
 λ ( x )

=
ρ c
∂
∂
∂
x
t
x




 u (0, t ) = f (t )
 u ( L, t ) = g (t )

 u ( x,0) = h( x)
(1)
(2)
(3)
(4)
sendo t a variável tempo e x variável espacial, x ∈ ( 0, L ) e:
u ( x, t ) = temperatura ao longo do poço de profundidade L > 0 num instante t>0;
ρ = densidade do solo;
c = calor específico do solo;
λ = condutividade térmica do solo;
f ( t ) = temperatura na superfície que varia com tempo;
g ( t ) = temperatura na profundidade L do poço, também variável no tempo ;
h( x ) = perfil inicial de temperatura ao longo do poço.
PROPRIEDADES TÉRMICAS DO SOLO
Para este trabalho utilizamos os dados de densidade, condutividade térmica e calor
específico referentes ao solo de pasto em Marabá conforme Pereira [8] e Cruz [4] e as
temperaturas do período de 11 de agosto a 25 de outubro de 1991 referente a estes
solos.
Revista Virtual de Iniciação Acadêmica da UFPA http://www.ufpa.br/revistaic Vol 1, No 2, Outubro 2001
-2-
O solo de pasto de Marabá é constituído de seguintes camadas:
CARACTERIZAÇÃO DO SOLO DE PASTO EM MARABÁ-PA
Horizontes pedológicos
Tipo
A1
AB
BA
Bt1
Bt2
Bt3
Bt4
Bt5
BC
Profundidade (m)
0,00 – 0,10
0,10 – 0,27
0,27 – 0,49
0,49 – 0,81
0,81 – 1,13
1,13 – 1,57
1,57 – 2,40
2,40 – 3,15
3,15 – 4,20
DESCRIÇÃO LITOLÓGICA
Bruno e bruno muito claro acizentado, franco arenoso, transição gradual.
Bruno amararelado, franco argiloso-arenoso, pegajoso, duro, friável.
Bruno amarelado, argila arenosa plática e pegajosa, transição plana
difusa.
Bruno amarelado, argila plástica e pegajosa, muito dura.
Bruno amarelado, argila plástica e pegajosa, transição plana e difusa.
Bruno forte, argila plástica e pegajosa, muito dura.
Bruno forte, argila dura plástica friável, transição plana difusa.
Argila Plástica e pegajosa.
Argila Plástica e pegajosa.
Os valores de calor específico c, densidade ρ e condutividade térmica λ, variáveis com
a profundidade, foram obtidos em laboratório sobre as amostras coletadas ao longo do
poço de profundidade 3,40 m no qual foram realizadas as medidas de temperatura os
quais estão apresentados na tabela 1, conforme Cruz [4]. E na tabela 2 encontram-se
os dados de temperatura medidos correspondentes ao período de 11 de agosto a 25
de outubro de 1991 em solos de pastagem em Marabá-PA, utilizados neste trabalho,
cujo gráfico encontra-se na figura 1.
TABELA 1: VALORES DO CALOR ESPECÍFICO, DENSIDADE E CONDUTIVIDADE TÉRMICA
RELATIVOS AO SOLO DE PASTO.
CAMADA
(m)
0,2 - 0,4
0,4 - 0,6
0,6 - 0,8
0,8 - 1,0
1,0 - 1,2
1,2 - 1,4
1,4 - 1,6
1,6 - 1,8
1,8 - 2,0
2,0 - 2,2
2,2 - 2,4
2,4 - 2,6
2,6 - 2,8
2,8 - 3,0
3,0 - 3,2
3,2 - 3,4
Calor especifico c
(Kj/KgoC)
Densidade ?
(g/m3)
Condutividade térmica ?
(W/moC)
a2 = ?/?c
1,842
1,842
1,966
2,191
2,492
2,769
2,991
3,184
3,208
3,232
3,256
3,28
3,342
3,404
3,466
3,505
1,47
1,47
1,511
1,586
1,525
1,463
1,413
1,372
1,384
1,396
1,408
1,42
1,385
1,351
1,316
1,288
1,503
1,398
1,124
1,163
1,474
1,7
1,75
1,797
1,827
1,857
1,887
1,917
2,008
2,102
2,196
2,232
8,34E-07
8,96E-07
1,16E-06
1,19E-06
1,11E-06
1,11E-06
1,21E-06
1,29E-06
1,27E-06
1,25E-06
1,23E-06
1,2E-06
1,2E-06
1,2E-06
1,2E-06
1,22E-06
Revista Virtual de Iniciação Acadêmica da UFPA http://www.ufpa.br/revistaic Vol 1, No 2, Outubro 2001
-3-
TABELA 2: DADOS DE TEMPERATURA DO PERÍODO D 11 DE AGOSTO A 25 DE OUTUBRO DE 1991
REFERENTES AO SOLO DE PASTO EM MARABÁ.
Z (m)
11/ago 13/ago 18/ago 21/ago 22/ago 24/ago 26/ago 01/set 10/set 16/set 23/set 30/set 07/out 12/out 19/out 25/out
0,20
30,47 27,52 29,75 29,09 28,34 28,52 28,71 30,84 29,09 30,62 28,07 27,90 28,52 28,25 30,27 28,62
0,40
27,52 27,47 27,43 27,83 27,65 28,07 28,34 29,98 29,19 30,17 28,07 27,90 28,16 28,34 28,62 27,98
0,60
27,21 27,47 27,38 27,65 27,75 27,98 28,16 29,38 29,09 29,98 28,07 27,90 28,07 28,42 28,16 27,98
0,80
27,17 27,47 27,38 27,56 27,56 27,75 27,98 28,95 28,70 29,78 28,25 27,98 28,07 28,42 28,16 27,98
1,00
27,15 27,38 27,30 27,30 27,47 27,56 27,75 28,52 28,70 29,29 28,34 27,98 27,98 28,34 28,16 27,98
1,20
27,13 27,30 27,30 27,26 27,38 27,38 27,56 28,16 27,90 29,09 28,34 28,07 27,98 28,25 28,16 27,98
1,40
27,13 27,30 27,21 27,21 27,30 27,30 27,38 27,90 27,90 28,71 28,34 28,07 27,90 28,07 28,16 27,98
1,60
27,13 27,21 27,21 27,21 27,21 27,21 27,30 27,75 27,65 28,34 28,25 28,07 27,90 27,98 28,07 27,90
1,80
27,13 27,21 27,17 27,13 27,21 27,13 27,21 27,56 27,56 28,16 28,07 27,98 27,83 27,90 27,98 27,90
2,00
27,13 27,17 27,13 27,03 27,13 27,13 27,13 27,38 27,56 27,90 27,98 27,98 27,83 27,83 27,90 27,83
2,20
27,08 27,13 27,13 27,03 27,13 27,03 27,13 27,30 27,21 27,75 27,90 27,90 27,75 27,75 27,83 27,83
2,40
27,05 27,13 27,08 27,03 27,03 26,95 27,03 27,21 27,03 27,56 27,75 27,83 27,75 27,65 27,83 27,83
2,60
27,03 27,13 27,03 27,03 27,03 26,95 27,03 27,13 27,03 27,38 27,65 27,75 27,65 27,65 27,75 27,75
2,80
27,03 27,03 27,03 27,03 27,03 26,95 27,03 27,03 27,03 27,30 27,56 27,65 27,56 27,56 27,75 27,75
3,00
27,03 27,03 26,97 27,03 27,03 26,95 27,03 27,03 26,95 27,30 27,38 27,56 27,56 27,47 27,65 27,65
3,20
26,95 27,03 26,95 27,03 27,03 26,95 26,95 27,03 26,95 27,21 27,38 27,56 27,47 27,47 27,56 27,56
3,40
26,95 26,97 26,95 26,97 26,95 26,95 26,95 26,95 26,86 27,13 27,30 27,47 27,38 27,38 27,47 27,56
T E M P E R A T U R A (0C )
26,50
0,00
27,00
27,50
28,00
28,50
29,00
29,50
30,00
30,50
31,00
31,50
0,50
PROFUNDIDADE (m )
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
11/ago
13/ago
18/ago
21/ago
22/ago
24/ago
26/ago
01/set
10/set
16/set
23/set
30/set
07/set
12/out
19/out
25/out
4,00
FIGURA 1: DADOS DE TEMPERATURAS NO PERÍODO DE 11 DE AGOSTO A 25
DE OUTUBRO DE 1991 EM SOLO DE PASTO EM MARABÁ-PA
Revista Virtual de Iniciação Acadêmica da UFPA http://www.ufpa.br/revistaic Vol 1, No 2, Outubro 2001
-4-
TÉCNICA DO MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS
A técnica do Método de Diferenças Finitas consiste em substituir as derivadas por
=
0
,1
,
2
, 3
,....
e
i
=
1
, 2
,...,
n
Diferenças Finitas. Os operadores de diferenças utilizados neste trabalho foram as
diferenças progressiva e centrada de passo ½ dadas respectivamente por:
∂ u ( xi , t k ) u ( xi , t k + 1 ) − u ( x i , t k )
=
,
∂t
∆t
∂ u ( xi , t )
=
∂x
k
u( x
i+
1
, t k ) − u(x
i−
2
1
k = 0,1,2,3,.... e i = 0,1,2,..., n
, tk )
, k = 0,1,2,... e i = 1,2,3,..., (n − 1)
2
∆x
onde ∆ x representa o intervalo das camadas do solo, ∆ t o intervalo de tempo, i o
índice da profundidade x e k índice de tempo t .
SOLUÇÃO NUMÉRICA
O problema (1), (2), (3) e (4) com a técnica do Método de Diferenças Finitas acima
definidas, obtivemos o seguinte algoritmo:
(*
)


u
u
i
+
k
1
=
α
(u
i
−
1
u
k
i
−
1
)+
o
(*′)
β
u
i
k
(1
′
)
(
)
(1′)
( 2′)
( 3′)
( 4′)
 uik + 1 = α uik− 1 + uik+ 1 + β uik
 k
k
 uo = f
 k
k
 un = g
uo = h
 i
i
i = 1,2,..., ( n − 1) e k = 0,1,2,... ; onde: n = representa o número de camadas;
f = temperatura na superfície nos instantes k; g k = temperatura no fundo do poço
nos instantes k; hi = perfil inicial de temperatura ao longo do poço nas camadas i
para
k
correspondentes.
Denotemos
a2 = ?/?c e por α = a 2
∆t
∆t
e β = 1 − 2a 2
os parâmetros que
2
∆x
∆ x2
possuem as propriedades térmicas e físicas do solo em questão.
Para satisfazer a condição de estabilidade, é necessário que seja verificada a seguinte
desigualdade.
a2
∆t
1
<
2
2
∆x
(5)
Podemos observar em (5) que, além das propriedades térmicas e físicas do solo
depende dos valores escolhidos para ∆ x e ∆ t . Para cada problema em estudo
usando (5), uma vez determinado o valor de a2 e fixado o valor de ∆ x , podemos
determinar ∆ t . Para o caso do nosso trabalho, conforme a tabela 2 como
Revista Virtual de Iniciação Acadêmica da UFPA http://www.ufpa.br/revistaic Vol 1, No 2, Outubro 2001
-5-
∆ x = 0,20 m e α na ordem de (10-7), o valor de ∆ t para satisfazer (5) não deve ser
maior que ∆ t = 8 horas .
Após determinado o valor de ∆ t, para utilizar o algoritmo (*´), foi necessário recalcular
os valores das propriedades térmicas e físicas constantes em Cruz [4] para
profundidades com ∆ x = 0,20 m cujo resultado consta na tabela 1.
Para obter os valores numéricos do algoritmo acima, foi utilizado o EXCEL onde temse a facilidade de fazer os cálculos pelo simples “arrastar” das células e obter os
gráficos com simplicidade, estando disponível em qualquer microcomputador.
RESULTADOS
Os resultados numéricos obtidos usando o EXCEL constam na tabela 3 e na figura 2.
TABELA 3: DADOS NUMÉRICOS DE TEMPERATURA CORRESPONDENTES AOS MESES DE
AGOSTO A OUTUBRO REFERENTES AO SOLO DE PASTO EM MARABÁ
z(m) 11/ago 13/ago 18/ago 21/ago 22/ago 24/ago 26/ago 01/set 10/set 16/set 23/set 30/set 07/out 12/out 19/out 25/out
0,20
30,47 27,52 29,75 29,09 28,34 28,52 28,77 30,84 29,09 30,08 28,07 27,90 28,52 28,25 30,27 28,62
0,40
27,52
27,66
28,89
28,76
28,43
28,36
28,48
29,57
29,42
29,63
28,41
27,92
28,31
28,22
29,49
0,60
27,21
27,61
28,18
28,40
28,36
28,20
28,22
28,66
29,44
29,23
28,65
27,95
28,13
28,17
28,85
28,74
28,77
0,80
27,17
27,32
27,73
28,02
28,05
28,01
28,01
28,29
29,03
28,91
28,69
27,98
28,02
28,11
28,44
28,66
1,00
27,15
27,18
27,47
27,71
27,76
27,81
27,82
28,01
28,65
28,65
28,60
28,05
27,97
28,04
28,21
28,49
1,20
27,13
27,14
27,32
27,49
27,53
27,61
27,64
27,80
28,32
28,41
28,44
28,11
27,93
27,98
28,07
28,31
1,40
27,13
27,13
27,23
27,33
27,37
27,44
27,49
27,63
28,03
28,18
28,26
28,10
27,91
27,92
27,98
28,15
1,60
27,13
27,13
27,17
27,23
24,25
27,31
27,36
27,49
27,80
27,96
28,08
28,03
27,88
27,87
27,90
28,02
1,80
27,13
27,12
27,13
27,17
27,18
27,22
27,26
27,37
27,61
27,77
27,90
27,93
27,84
27,82
27,83
27,91
2,00
27,13
27,11
27,10
27,12
27,13
27,15
27,18
27,28
27,46
27,60
27,74
27,82
27,79
27,77
27,78
27,82
2,20
27,08
27,08
27,08
27,09
27,09
27,11
27,13
27,20
27,34
27,46
27,61
27,72
27,74
27,72
27,72
27,76
2,40
27,05
27,06
27,06
27,06
27,07
27,07
27,09
27,14
27,24
27,34
27,49
27,63
27,68
27,67
27,67
27,70
2,60
27,03
27,04
27,04
27,04
27,04
27,05
27,05
27,09
27,15
27,24
27,41
27,56
27,62
27,62
27,62
27,65
2,80
27,03
27,02
27,02
27,02
27,02
27,02
27,02
27,05
27,08
27,17
27,35
27,50
27,57
27,56
27,57
27,61
3,00
27,03
27,00
27,00
27,00
27,00
27,00
27,00
27,01
27,01
27,13
27,31
27,47
27,51
27,50
27,53
27,59
3,20
26,95
26,99
26,98
26,99
26,98
26,97
26,97
26,98
26,94
27,12
27,30
27,46
27,45
27,44
27,50
27,57
3,40
26,95
26,97
26,95
26,97
26,95
26,95
26,95
26,95
26,86
27,13
27,30
27,47
27,38
27,38
27,47
27,56
Revista Virtual de Iniciação Acadêmica da UFPA http://www.ufpa.br/revistaic Vol 1, No 2, Outubro 2001
-6-
0
TEMPERATURA ( C)
26,50
0,00
27,00
27,50
28,00
28,50
29,00
29,50
30,00
30,50
31,00
31,50
0,50
PROFUNDIDADE (m )
1,00
11/ago
13/ago
18/ago
21/ago
22/ago
24/ago
26/ago
01/set
10/set
16/set
23/set
30/set
07/out
12/out
19/out
25/out
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
FIGURA 2: DADOS NUMÉRICOS DE TEMPERATURAS CORRESPONDENTES AO
PERÍODO DE 11 DE AGOSTO A 25 DE OUTUBRO DE 1991 NOS SOLOS DE
PASTO EM MARABÁ.
DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
Os perfis geotérmicos rasos resultantes da formulação do problema (1) a (4) com a
técnica do Método de Diferenças Finitas estão apresentados na tabela 3 e na figura 2.
Ao compararmos as figuras 1 e 2 e, conforme tabelas 4 e 5, observamos que o
modelamento elaborado acompanha as variações temporais dos perfis geotérmicos
rasos oriundos de dados de campo, dentro de uma aproximação razoável. Na tabela 4
apresenta-se os valores médias dessas diferenças em cada profundidade e os
respectivos desvios para o período correspondente.
A análise quantitativa das diferenças nos valores de temperaturas observados e
simulados mostra que a diferença máxima ficou em 0,36oC no dia 16/set e o desvio
médio máximo observado foi de ±0,26 oC no dia 25/out. É importante observar os
valores absolutos da diferença média de temperaturas observados e simulados, como
também os valores para os sinais do deslocamento médio das temperaturas
apresentados na tabela 5. A concordância dos sinais dos valores simulados e medidos
correspodem a 80%.
Revista Virtual de Iniciação Acadêmica da UFPA http://www.ufpa.br/revistaic Vol 1, No 2, Outubro 2001
-7-
TABELA 4 - MÉDIA DA DIFERENÇA ENTRE OS DADOS DE TEMPERATURA
OBSERVADOS To E SIMULADOS Ts, E O RESPECTIVO DESVIO MÉDIO.
TEMPERATURA (oC)
dia/mês
11/Ago 13/Ago 18/Ago 21/Ago 22/Ago 24/Ago 26/Ago 01/Set 10/Set 16/Set 23/Set 30/Set 07/Out 12/Out 19/Out 25/Out
média(To-Ts)
desvios
médios
0,00
0,05
-0,16
-0,18
-0,14
-0,12
-0,05
0,22
-0,12
0,36
0,01
0,06
0,01
0,10
-0,02
-0,17
±0,00
±0,07
±0,25
±0,22
±0,19
±0,08
±0,03
±0,19
±0,11
±0,21
±0,21
±0,08
±0,03
±0,10
±0,21
±0,26
TABELA 5 – DESLOCAMENTO MÉDIO SUCESSIVO DAS TEMPERATURAS DOS DADOS To
E DOS DADOS Ts.
Dia/mês
13/Ago → 18/Ago → 21/Ago → 22/Ago → 24/Ago → 26/Ago
→ 01/Set
→ 10/Set
→ 16/Set
→ 23/Set
→ 30/Set
→ 07/Out
→ 12/Out
→ 19/Out
→ 25/Out
Média To
-0,08
0,09
0,00
-0,01
0,03
0,11
0,55
-0,22
0,63
-0,50
-0,07
-0,01
0,08
0,16
-0,20
Média Ts
-0,13
0,30
0,02
-0,06
0,01
0,04
0,29
0,12
0,15
-0,14
-0,12
0,04
-0,01
0,29
-0,06
CONCLUSÃO
Analisando os resultados numéricos obtidos utilizando a Técnica do Método de
Diferenças Finitas, podemos observar que, obtivemos resultados satisfatórios com os
dados da tabela 2. Isto deve-se ao fato de trabalharmos com ∆ t de 8 horas, resultado
da condição de estabilidade onde ∆ x = 0,20m para a região estudada.
O mesmo algoritmo foi utilizado para os dados de temperatura média mensal
correspondentes a um período de um ano. Porém, para os dados de temperaturas
mensais, obedecendo a condição de estabilidade com o intervalo de tempo de 8
horas, foram necessários 1080 passos de tempo para obter os valores aproximados
necessários. Muitos cálculos, carregam os erros de arredondamento que se propagam
e que podem alterar os resultados.
Portanto, podemos concluir que a Técnica de Diferenças Finitas aplica-se ao caso de
solos de pasto em Marabá-PA, com suas propriedades térmicas e físicas próprias
desde que se tenha a priori, o perfil geotérmico inicial do poço, informações da
litoestratigrafia do poço perfilado e os valores de temperatura na superfície e na
profundidade do poço, para prever os dados de temperatura para um período curto,
sem precisar retornar ao campo para fazer leituras de temperatura no poço.
Para situações onde a temperatura no fundo do poço seja constante o algoritmo (*´) se
torna mais simples. Para situações onde haja grandes variações nos valores de
temperatura, porém quando existe gradiente de temperatura constante ainda é
possível utiizar a técnica de diferenças finitas para obter soluções numéricas. Para
outras situações, a formulação do problema deverá ser diferente do que foi
apresentado neste trabalho.
Revista Virtual de Iniciação Acadêmica da UFPA http://www.ufpa.br/revistaic Vol 1, No 2, Outubro 2001
-8-
BIBLIOGRAFIA
[1] ARAUJO,R.L.C. – Geotermia Rasa em Belém. Tese de Doutorado-UFPA 1987 149p
[2] CONTE,S.D. Elementos de Análise Numérica. Editora Globo
[3] GODOUNOV, S; RIABENK, V – Schémas aux Differences
[4] CRUZ, M.C.N.V. – Estudo das Propriedades Térmicas e Fluxo de Calor em Solos
de Marabá-PA. Trabalho de Conclusão de Curso-UFPA. 1999 (em andamento)
[5] MAKINO, M.; PROTÁZIO,J.S.; SOUZA, J.R.S.; ARAUJO,R.L.C. – Solução
Numérica da Equação do Calor e sua Aplicação em Geotermia Rasa. Revista
Brasileira de Geofísica. Vol9(1), 1991 pp37-46
[6] MAKINO,M. – Um Problema Misto para a Equação de Difusão Aplicado à
Geotermia Rasa. Tese de Doutorado IM-UFRJ 1996 - 46 p
[7] PEREIRA, J.R. – Regime Térmico em Solos de Floresta e Pastagem em Marabá.
Trabalho de Conclusão de Curso-UFPA. 1998
Revista Virtual de Iniciação Acadêmica da UFPA http://www.ufpa.br/revistaic Vol 1, No 2, Outubro 2001
-9-