IV EPMEM – ENCONTRO PARANAENSE DE
MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Modelagem Matemática: perspectivas
interdisciplinares para o ensino e a aprendizagem de
matemática
Maringá – PR, 11 a 13 de Novembro de 2010.
MODELAGEM MATEMÁTICA NA ANÁLISE DA ESTRUTURA DE UMA PONTE
Robson Gaebler (FAFIUV)
[email protected]
Michele Regiane Dias Veronez (FAFIUV)
[email protected]
Resumo: Neste trabalho abordamos o estudo de uma atividade de Modelagem Matemática
que tem como tema a análise da estrutura de uma ponte na cidade de União da Vitória –
PR. A possibilidade de tornar mais significativo um amplo conjunto de objetos
matemáticos pode ser proporcionado por essa prática pedagógica, pois os alunos podem
agir e interpretar situações sociais por meio de modelos matemáticos. Conteúdos como
resolução de sistemas de equações lineares, equação do segundo grau, derivadas e
conceitos fundamentais de geometria analítica poderiam ser abordados em um contexto
diferenciado, partindo de uma situação real.
Palavras-chave: Modelagem Matemática, atividade de Modelagem, Matemática
Crítica
Introdução
Ao assumir que o papel do educador é oportunizar conhecimento para seus alunos,
D’Ambrosio (1996) aponta como conhecimento os esforços praticados por indivíduos para
encontrar explicações, formas de lidar e conviver com o meio. Logo, para desenvolver
conhecimento matemático se faz necessário o ato de criar e analisar; isso consiste de certa
forma, em atrelar o contexto do aluno com a Matemática.
A nosso entender a Modelagem Matemática é um caminho para despertar no aluno
o interesse em analisar situações diversas e a partir dessas, discutir conhecimentos
matemáticos, mesmo que tais situações tenham emergido de contextos aparentemente nãomatemáticos. Vale salientar que não estamos enfatizando a contextualização da
matemática, assim como retrata Barbosa (2004).
Especificamente, trata-se de uma atividade que convida os alunos a
discutirem matemática no contexto de situações do dia-a-dia e/ou da
realidade. Não se trata, portanto, de contextualizar a matemática, mas de
discuti-la à luz de um contexto que não é o da área específica (p.3).
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Com este trabalho, que se insere num conjunto de atividades desenvolvidas em um
projeto de Modelagem1, pretendemos abordar aspectos sociais, econômicos, culturais e
políticos a partir do nosso interesse em analisar a estrutura de uma ponte de arco na cidade
de União da Vitória – PR. Também buscamos, por meio desse trabalho, apoiar a
Modelagem Matemática em sala de aula, pois por meio dessa atividade de modelagem há
possibilidade de discutir aspectos, como os anteriormente mencionados, além de trabalhar
alguns conteúdos matemáticos.
Modelagem Matemática
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (2001) é proposto que o
aluno deve defender e estar ciente do seu papel crítico na sociedade, ajudando a constituir
uma comunidade mais justa e democrática. Nesse sentido, Barbosa (2003) defende que:
Se estivermos interessados em construir uma sociedade democrática,
onde as pessoas possam participar de sua condução e, assim, exercer
cidadania, entendida aqui genericamente como inclusão nas discussões
públicas, devemos reconhecer a necessidade de as pessoas se sentirem
capazes de intervir em debates baseados em matemática (p.6).
Para Skovsmose (2000) estar educado matematicamente não se refere apenas às
habilidades matemáticas, mas também à competência de interpretar, agir e analisar
situações sociais proporcionadas pela Matemática, o autor ainda ressalta que:
A educação matemática crítica inclui o interesse pelo desenvolvimento da
educação matemática como suporte da democracia, implicando que as
micro-sociedades de salas de aulas de matemática devem também mostrar
aspectos de democracia (SKOVSMOSE, 2000, p.67)
Contudo, notamos que o ensino da Matemática, na maioria das vezes, é dificultado
pelo fato da disciplina ser apresentada de forma desmotivadora, em um ambiente no qual o
aluno não tem participação investigativa da situação. Para reverter esse quadro é necessária
a inserção de práticas pedagógicas que priorizem o envolvimento do aluno para com a
Matemática, na tentativa de conscientizá-lo de que deve ser crítico em seu dia a dia.
Entendemos que ensinar Matemática por meio da Modelagem pode proporcionar
aos alunos um olhar crítico sobre as situações cotidianas.
1
Este projeto visa trabalhar atividades de modelagem com professores da Educação Básica e em seguida,
proporcionar aos alunos desses professores, também um contato com atividades de modelagem.
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Motiva seu usuário na procura do entendimento da realidade que o cerca
e na busca de meios para agir sobre ela e transformá-la. Nesse sentido, é
também um método científico que ajuda a preparar o indivíduo para
assumir seu papel de cidadão (BASSANEZI, 2002)
A Modelagem Matemática como proposta de ensino é caracterizada por muitos
autores, nesse artigo nos posicionamos na linha na qual ela é defendida como uma
oportunidade dos alunos estarem inseridos em um ambiente que acomode uma reflexão,
matemática de um estudo referente a situações de outras áreas da realidade.
Segundo Almeida e Dias (2004) a idéia de utilizar a Modelagem Matemática não
implica somente em resolver problemas aplicados na realidade. Além do conhecimento e
técnicas matemáticas abordadas, ao aluno é viabilizado desenvolver sua capacidade de
interpretar matematicamente situações que incluem questões do seu dia a dia.
A adoção da perspectiva sócio-crítico não implica na subtração de outros
propósitos, como o desenvolvimento da teoria matemática e das
habilidades de resolução aplicados, mas a tomada destes como “veículos”
para viabilizar o “fim” de refletir sobre os modelos matemáticos
(BARBOSA e SANTOS, 2007, p.4).
Encontramos em Almeida (2002) algumas orientações para a adoção da
Modelagem Matemática em sala de aula. Em um primeiro momento é proposto que se
desenvolva com os alunos um trabalho de modelagem já estruturado; num segundo
momento, sugere-se que o professor indique um tema acompanho de algumas informações;
ele deve auxiliar na formulação do problema e no levantamento de hipóteses. Finalmente,
em um terceiro momento, é indicado que os alunos conduzam um processo de modelagem
partindo desde a seleção do tema. Cabe ao professor, nesse último momento, acompanhar
as discussões dos alunos e interferir quando se fizer necessário.
Para Barbosa (2004) existem dois aspectos que devem ser considerados centrais nas
atividades de modelagem. O primeiro é que essas situações devem se apresentar como
problemas para os alunos; o segundo consiste que a situação deve se passar na realidade do
indivíduo e envolver dados reais.
Para o desenvolvimento do processo de modelagem Burak (2004) aponta cinco
etapas: escolha do tema, pesquisa exploratória, levantamento dos problemas, resolução
do(s) problema(s) e o desenvolvimento da Matemática relacionada ao tema, análise crítica
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da(s) solução(es). Burak e Kluber (2007) apontam que a resolução dos problemas e o
desenvolvimento do conteúdo matemático no contexto do tema é um momento muito
importante, pois é nesta etapa que os conteúdos matemáticos ganham importância e
significado e é o momento aonde ocorre a construção dos modelos, que por vezes simples,
são importantes para a formação do pensar matemático. Afinal, como afirma Bassanezi
(2002, p.6) “o mais importante não é chegar imediatamente a um modelo bem sucedido,
mas caminhar seguindo etapas aonde o conteúdo matemático vai sendo sistematizado e
aplicado”.
Uma Atividade de Modelagem Matemática
Na década de 40 a implantação de rodovias no Paraná causou um crescimento
acelerado na região sul do estado, em específico na cidade de União da Vitória, entretanto,
esta cidade ainda não possuía uma ligação por meio de rodovias a outras regiões do Paraná.
Como União da Vitória se encontra cercada pelo rio Iguaçu o acesso a ela era feito por
meio de balsas e por ponte férrea. Tendo em vista que o tráfego rodoviário superava o
fluvial emergiu a necessidade da construção de uma ponte rodoviária.
O local para a construção da ponte foi escolhido com o intuito de valorizar
determinada região da cidade, uma vez que a mesma necessitava de espaço para se
expandir e que os lugares altos da região e fora das cheias do Iguaçu ficaram pertencendo a
Porto União – SC devido às questões de limites entre os estados do Paraná e Santa
Catarina.
A profundidade do rio no local definido para a construção da ponte foi um
problema, pois na época, as técnicas de construção de pilares não eram adequadas para
grandes profundidades e fortes correntezas das águas. Assim, se viu necessário a
construção de uma ponte (Figura1) que possuísse um grande vão suspenso. A alternativa
escolhida foi a construção de arcos que sustentassem esse vão.
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Figura 1: Ponte sobre o Rio Iguaçu na cidade de União da Vitória
Considerando a construção da ponte com uma arquitetura não muito comum para a
época e os problemas apresentados pela mesma durante anos, buscamos analisar se a altura
do arco é o ideal, visto que muitas questões referentes a isso chamam a atenção da
população desde a criação desta ponte. Os dados coletados podem ser observados na
Figura 2.
Tabular:
A ponte possui 16 tabulares,
a espessura de cada tabular
é de 0,33 m.
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A altura da
primeira
tabular é de
2.95m
A altura da
segunda
tabular é de
5.81m
A distância do início da ponte até a
primeira tabular é de 3.77m, esse valor
se repete na distancia entre a última
tabular e o fim da ponte.
A distância da primeira tabular para a segunda é de
4.69m, valor esse que é constante para a distância
entre as outras tabulares.
Figura 2: Representação da “ponte do arco”
Com os dados obtidos, inserimos o desenho do arco em um plano cartesiano, assim,
podemos representá-lo através de pontos (Tabela 1) e consequentemente de uma equação.
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Figura 3: Representação da “ponte do arco” no plano cartesiano
Tabela 1: Representação dos pontos no plano cartesiano
Ponto
Coordenada x
Coordenada y
A
-41, 585
0
B
-37, 485
2, 95
C
-32, 465
5, 81
D
32, 465
5, 81
E
37, 485
2,95
F
41, 585
0
Pela hipótese de que o arco descreve uma parábola, e considerando os dados da
Tabela 1 como pontos que pertencem a esta curva, escolhemos três pontos para determinar
essa equação. Dois deles foram os pontos A e F, pois representam a intersecção dessa
curva com o eixo das abscissas, o terceiro ponto foi escolhido de forma arbitrária.
Substituindo estes pontos na equação geral do segundo grau, obtemos o seguinte sistema
de equações lineares:
Com isso obtemos os valores de a = -0.009, b = 0 e c = 15.736, consequentemente,
a equação
.
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Para achar a altura da ponte basta analisar algumas das propriedades que
caracterizam esse tipo de curva. Cabe lembrar que as seguintes afirmações valem para
casos aonde existe pelo menos uma raiz real.
• Possui um eixo de simetria.
• O ponto médio, entre as raízes da equação, pertence ao eixo de simetria.
• O ponto de intersecção entre o eixo de simetria e a curva é chamado de vértice.
Como o vértice da parábola representa o ponto de máximo ou de mínimo
(coeficiente a < 0 e a > 0, respectivamente), basta acharmos a coordenada x desse ponto
para descobrirmos a altura do arco da ponte.
. Assim sendo, o eixo de simetria da curva
Com efeito,
analisada coincide com o eixo das ordenadas, logo, a altura da ponte é de
aproximadamente 16 metros.
Figura 4: Representação gráfica da ponte
Outra abordagem que possibilita encontrar a altura da ponte é a utilização do ponto
de máximo encontrado através da derivada de primeira ordem.
Considerando que a curva da ponte representa uma função, sabemos então que
logo
assim quando
temos que
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, para determinar a coordenada
desse ponto basta substituir na equação
valor de x encontrado. Logo,
,o
resulta em uma altura
aproximada de 16 metros.
Costa (2002) aponta que para sabermos se uma determinada altura de arco é ideal
para um comprimento de vão dado, basta calcularmos a razão entre esse comprimento e a
altura. Esta razão deve pertencer ao intervalo [5,8].
Como o comprimento do vão é de 83,17 e a altura de seu arco é de
aproximadamente 16 metros temos que:
= 5,2
O modelo encontrado verifica que a altura do arco da ponte está em
correspondência com o seu vão.
Considerações Finais
Quando os alunos estudam conteúdos matemáticos relacionados com seu o contexto
existe a possibilidade de gerar discussões acerca de questões sociais, políticas, geográficas,
entre outras. Com a Modelagem Matemática o aluno pode compreender, e agir sobre o
meio por intermédio dos modelos. E desenvolver uma visão crítica e reflexiva da situação.
Utilizar a matemática como suporte para debates de questões sociais é uma maneira de
formar o aluno como cidadão. A adoção dessa atividade em contexto de ensino viabiliza
que as possibilidades matemáticas sejam tratadas, entre elas destacam-se as maneiras para
resolver um sistema de equações lineares e de encontrar o valor máximo de uma função
quadrática. A discussão em torno de onde aplicar o plano cartesiano na representação dos
pontos ganha ênfase pelas várias estratégias que poderiam ser adotadas. A escolha da
disposição do sistema de coordenadas da forma como foi apresentado na Figura 4, se
justifica pelo fato de simplificar os cálculos. O sistema poderia ser empregado de tal forma
que os pontos pertencentes ao arco ficassem apenas no primeiro quadrante, assim teríamos
também um valor para o parâmetro b da na função
.
A observação e análise da estrutura dessa ponte nos parece ser um elemento
motivador no ensino da Matemática, pois representa um marco histórico no estado e um
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cartão postal para a cidade. A partir de uma abordagem histórica envolvendo a construção
da mesma os alunos podem perceber quais foram os conflitos políticos regionais e
estaduais ocorridos na época, e que conseqüências estes ocasionam na construção
econômica da cidade e nos possíveis impactos ambientais. A abordagem que sugere a
integração da Matemática no contexto do aluno é, entendida nesse artigo, como uma
possibilidade de gerar um ambiente propício para a matemática crítica. Uma vez que essa
ciência proporciona um argumento, por meio de um modelo, no qual pode ser usado nas
discussões em torno da construção da ponte.
Referências
D’AMBROSIO, U. Educação Matemática: da teoria à prática. Campinas: Papirus, 1996
BARBOSA, J. C. A "contextualização" e a Modelagem na educação matemática do ensino
médio. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 8., 2004,
Recife. Anais... Recife: SBEM, 2004. 1 CD-ROM.
BARBOSA, Jonei C. Modelagem matemática e a perspectiva sócio-crítica. In:
SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA,
2., 2003, Santos. Anais... São Paulo: SBEM, 2003. 1 CD-ROM.
BASSANEZI. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia.
São Paulo: Contexto, 2002
BURAK, Dionísio. Modelagem Matemática e a sala de aula. In: Encontro Paranaense de
Modelagem em Educação Matemática, 1., 2004, Londrina. Anais. Londrina: UEL, 2004. 1
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BURAK, Dionísio. Modelagem Matemática: ações e interações no processo de ensinoaprendizagem. Tese (Doutorado em Educação) - Universidade Estadual de Campinas,
Campinas, 1992.
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ALMEIDA, L. M.; DIAS, M. R. Um estudo sobre o Uso da Modelagem Matemática como
Estratégia de Ensino e Aprendizagem. Bolema: Boletim de Educação Matemática, ano 17,
n.22, p. 19-35. Rio Claro SP: SBEM, 2004
BARBOSA, J.C; SANTOS, M. A. Modelagem matemática, perspectivas e discussões. In:
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ALMEIDA, L. M. W. Modelagem Matemática na sala de aula: um estudo. Anais
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Pr, 2002.
SKOVSMOSE, O. Cenários para investigação. Bolema: Boletim de Educação Matemática,
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COSTA, Cristina. Análise do Comportamento da Ponte da Lagoncinha sob a Ação do
Tráfego Rodoviário – Tese de Mestrado em Engenharia Civil – FEUP, 2002.