Curso Analises de Sinais
Teorema de Amostragem
Aula 3
Prof. George Sand França
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Teorema de Amostragem
●
Aspecto fundamental:
●
●
●
Conversão do sinal contínuo em uma sequência de
amostras
Um sinal discreto no tempo
Após o processamento digital, a sequência de
saída pode ser convertida de volta a um sinal
contínuo no tempo
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Teoria da Amostragem
●
A sequência x é escrita como:
x={x[n]},
-∞<n<∞, n inteiro
●
Sequência gerada a partir do processo de amostragem
●
N-ésimo termo:
x[n] = xa(nT), -∞<n<∞, n inteiro
●
●
Na prática, a operação de amostragem é implementada
por um conversor analógico-para-digital (A/D)
A taxa de amostragem é uns dos príncipais itens para o
levantamento geofísico.
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Teoria da Amostragem
●
Em geral, a amostragem é um processo
não-inversível
●
●
Ou seja, dada uma sequência x[n], às vezes, não é
possível reconstruir o sinal original xc(t)
Muitos sinais diferentes podem gerar a mesma
sequência de amostras de saída
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Teorema da amostragem
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Teoria da Amostragem
●
É conveniente
representarmos
matematicamente o processo
de amostragem, dividindo-o
em duas partes
●
O processo consiste de um
trem de impulsos seguido de
uma conversão desse trem em
uma sequência
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Teoria da Amostragem
●
●
A diferença fundamental entre
xs(t) e x[n] é que xs(t) é um
sinal contínuo com valores
zero exceto nos inteiros
múltiplos de T
x[n], por outro lado, não
possui informação explícita
sobre a taxa de amostragem e
é um sinal onde as regiões
que não representam valores
inteiros não têm valor definido
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Teoria da Amostragem
●
●
●
●
Na conversão analógico-digital é necessário coletar um
número discreto de amostras de um sinal contínuo
O problema crucial na amostragem está com o número de
amostras/seg (samples/sec) que devem ser coletadas.
Um número muito pequeno de amostras pode resultar em
uma representação demasiadamente pobre do sinal
A análise quantitativa acerca desse problema é estudada
pelo Teorema de Shannon-Nyquist
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Teorema da Amostragem
●
●
A princípio, pode-se imaginar que, no processo
de amostragem de um sinal analógico, há
sempre perda de informação e que essa perda
é tanto menor quanto maior a taxa de
amostragem utilizada
Entretanto, o teorema de Shannon mostra que
isto nem sempre é verdade
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Teoria da Amostragem
●
DPI → Dots per Inch (figura Melo, ufpe 2015)
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Teorema da Amostragem
●
●
O teorema estabelece que, sob certas
condições, as amostras de um sinal podem
conter precisamente toda a informação a ele
associada
Isto significa que o sinal pode ser perfeitamente
recuperado a partir de amostras coletadas
sem nenhuma aproximação
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Teorema de Shannon
●
Um sinal de banda limitada por fm Hz está
unicamente determinado por amostras, se são
tomadas, pelo menos, 2fm amostras
equidistantes por segundo
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Teorema Shannon - PROVA
●
Se as amostras são obtidas a cada T s
segundos, considera-se então um trem de
impulsos δTs(t)
∞
δTs (t )=
●
∑
δ (t −nTs)
n=−∞
A amostragem de um sinal f(t) em intervalos
de T segundos será definida por:
f s (t)=f (t )δTs (t)=
∞
∑
f (t )δ(t−nTs)
n =−∞
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Teorema Shannon - PROVA
●
Pares de Sinal e
Transformada
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Teorema de Shannon
●
●
Vamos analisar o espectro do sinal amostrado
O espectro do sinal amostrado fs(t) pode ser
determinado com o auxílio do teorema da
convolução na frequência:
f1 (t )∗f2 (t )←→(1/ 2 π) F1(W ) F2 (W )
●
Seque que:
f (t )∗δT (t )←→(1/ 2 π) F (W )
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∞
∑
n=−∞
w s δ(w−nws )
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Teorema de Shannon
●
Se:
fs(t) ↔Fs(W)
●
Então, o espectro de fs(t) é dado por:
∞
ws ∞
1
F s (W )=
F (w ) ∑ ws δ( w−nw s)=
F (w )δ( w−nw s )
∑
2π
2 π n =−∞
n=−∞
1 ∞
2π
F s (W )=
F (w)δ(w−nw s), com w s=
∑
T s n=−∞
Ts
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Teorema de Shannon
●
E, finalmente:
1 ∞
2π
F s (w)=
F ( w−nw s) , com w s=
∑
T s n =−∞
Ts
●
Este espectro é esboçado para vários valores de
ws, isto é, vários valores para o espaçamento Ts
entre amostras
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Teorema de Shannon
●
●
Relação entre a frequência de amostragem e a
frequência limite do sinal:
Suponha um sinal banda limitado em wm:
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Teorema de Shannon
●
●
Relação entre a frequência de amostragem e a
frequência limite do sinal:
Se:
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Teorema de Shannon
●
●
Relação entre a frequência de amostragem e a
frequência limite do sinal:
Se:
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Teorema de Shannon
●
●
Relação entre a frequência de amostragem e a
frequência limite do sinal:
Se:
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Teorema de Shannon
●
Recuperação do sinal original – FPB (Filtro
passa baixa)
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Teorema de Shannon
●
Para recuperação do sinal com um FPB sem
distorções, é preciso que:
●
ws ≥ 2wm
●
ou seja
●
2π/Ts ≥ 2.2πfm ⇒ Ts ≤ 1/(2fm) seg
●
O limite 1/Ts = 2fm é chamado de taxa de
Nyquist
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Teorema de Shannon
●
Valores de Ts que não atendam a essa
condição podem provocar diversas distorções
no sinal, como:
●
Ganho nas altas frequências
●
Perda nas altas frequências
●
Modulação das frequências do sinal original
●
Casos híbridos
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Teorema de Shannon
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Teorema de Shannon
●
●
Na digitalização de imagens, podemos
observar esses fenômenos:
Exemplo: Padrões de Moireé
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Aliasing
●
Alias – Nome: Falso
●
Considere uma sequência senoidal
●
Sabemos que o coseno é uma função módulo 2π, então
Vimos que ŵ = 2.4π dando a mesmo valores de sequências
como ŵ =4π e 0.4π são aliases um do outro
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Aliasing
●
●
●
Podemos generalizar que para o slide anterior para qualquer
múltiplo de 2π, i.e.,
Resulta em frequência de amostra idêntica para cos(ŵ ln) devido
a propriedade módulo 2º a propriedade do seno e cosseno.
Podemos esse passo em que cos(θ)=cos(-θ).
..
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Aliasing
Podemos ver que ŵ = 1,6π dar os mesmos valores como ŵ=0,4π, então 1,6π e
0,4π são aliases de um outro
Podemos generarlizar
ŵ = 2πl -ŵ0, l = 0,1,2,3....
resultado em frequencia amostral identicas para cos(ŵln) devido a propriedade
de mod 2 e a propriedade par do cosseno
Esse resultado também serve para o Seno, a amplitude esperada é invertida já
que sen(θ)=sen(θ)
Em resumo, para qualquer inteiro l, e frequencia discreta no tempo ŵ0, as
frequẽncias
ŵ0,ŵ0+2πl,2πl -ŵ0, l = 1, 2, 3,......
Todos producem a mesmo valor de sequências com cosseno, e com
senos são diferente por um sinal (- ou +)
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Aliasing
Uma generalização para seno e cosseno, seja uma função arbitrária.
Observe o sinal
As frequências do slide anterior são aliases um do outro.
O menor valor ŵ E [0,π) é chamado de alias principal
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Aliasing
Estas frequências alias extendida para amostragem temporal continua senoidal
usando o fato que ŵ = wTs ou w = ŵ/Ts = ŵfs, então podemos reescrever a
expressão em termod de frequência temporal-continua w0.
E em Hz.
Quando vemos no domínio do tempo contínuo, isso significa que a amostragem
Acos(2πf0+ φ) com t –. nTs resulta em
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Exemplo
●
Entrada de 60 Hz, 340 Hz, ou 460 Hz em uma senoida com fs = 400
Hz.
●
Os sinais
●
Podemos amostrar xi(t), i=1, 2, 3 em taxa fs=400Hz.
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Aliasing



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Usando a equação (4.14)
podemos espera os valores de
amostras para os três sinais
serem idênticos
Mostra que 60, 340, e 460 são
frequências de “aliased” quando
a taxa de amostragem é 400 Hz
Observe: 400 - 340 = 60 Hz e
460 - 400 = 60 Hz
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Teorema de Amostragem
●
●
De acordo com o teorema de Shannon-Nyquist,
se Ts ≤ 1⁄2 fm, então a passagem do sinal
amostrado por um filtro passa-baixa ideal
recupera exatamente o sinal analógico
Sabendo que:
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Teorema de Amostragem
●
●
Construção do sinal – quase um retorno
Vamos olhar para isso de outra forma examinando a
TF(transformada de Fourier) de um sinal de que é limitado em
banda e, assim, certamente satisfaz a hipótese do teorema da
amostragem:
●
X(f) = 0 onde |f| > W
●
A TF inversa é :
.
●
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Teorema da Amostragem
●
Podemos pegar X(f) e expandi em séries de
Fourier supondo ser periódica com periódo de
2W. Então podemos rescrever X(f) e
coeficientes ak:
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Teorema da amostragem
●
●
Esses coeficientes tem uma semalhança com
x(t) e podemos recalcular
Agora, podemos escrever X(f) em termos da
série e então invertea TF:
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Teorema da amostragem
●
●
Substituindo o somatório na integral
Uma fórmula que reconstrói a função apartir
das amostras!
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Observe que as amostras são
espaçadas em t=k/fs, nos iremos usar
W=fs/2 .
Nós podemosverificar quando fazemos
a interpolação linear
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●
Estas funções de interpolação são
chamados de funções "Whittaker".
Vamos examinar essas funções
com mais detalhe
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Teorema da Amostragem
●
●
●
O arquivo Alising3.py
A linha vertical no gráfico mostra
que, sempre que uma função tem
um pico, e a outra função tem zero.
É por isso que quando você colocar
as amostras em cada um dos
picos, eles combinam a função
amostrados exatamente naqueles
pontos.
Entre esses pontos, a forma de coroa das funções preenche os valores em falta.
Além disso, como mostra a figura acima, não há qualquer interferência entre as
funções sentam-se em cada uma das funções de interpolação, porque o pico de
um está perfeitamente alinhado com o zero do que os outros (linhas pontilhadas).
Assim, o teorema da amostragem diz que os valores preenchidos são retirados
do curvatura das funções sinc, não retas como nós investigados anteriormente.
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Teorema da Amostragem
●
o código seguinte mostra como
as funções individuais
Whittaker (linhas tracejadas)
são montados na aproximação
final (linha preta) utilizando as
amostras de dados (pontos
azuis-). Sugiro que altere a
taxa de amostragem para ver o
que acontece.
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Sinal e Ruído (SNR)
●
SNR = Signal Noise Ratio
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P sinal
SNR=
P ruído
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●
FIM
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