MODELAGEM MATEMÁTICA: ÁLCOOL E DIREÇÃO UMA
CONSCIENTIZAÇÃO
Jéssika Naves de Oliveira
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Câmpus Cornélio Procópio
[email protected]
Bruna Santana Sotero
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Câmpus Cornélio Procópio
[email protected]
Karina Alessandra Pessôa da Silva
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Câmpus Londrina
[email protected]
Resumo
Neste relato apresentamos uma atividade de modelagem matemática para o ensino de
matemática, especificamente para o ensino de função linear no Ensino Médio. Apresentamos
aspectos da modelagem matemática na educação matemática, bem como indicações da literatura
de como introduzir atividades de modelagem nas aulas de Matemática. Procurando ir além do
ensino, conscientizando os alunos e a comunidade escolar, sobre o consumo de álcool e a
condução de um veículo, é que pensamos no desenvolvimento de uma atividade de modelagem
com essa temática. Essa atividade está associada à experiência dos autores com o terceiro
momento de familiarização com atividades de modelagem matemática na sala de aula.
Palavras-chave: Educação Matemática. Modelagem Matemática. Função Linear. Consumo de
Álcool.
Introdução
Atualmente o professor de Matemática encontra muitas dificuldades em
despertar o interesse do aluno pela disciplina e se depara, cada vez mais, com elevados
índices de reprovação. Nesse contexto, a Modelagem Matemática na sala de aula
emerge com o intuito de problematizar os conteúdos matemáticos correlacionando-os
com o cotidiano dos alunos, entrelaçando outras áreas do conhecimento.
Este artigo aborda uma atividade desenvolvida por alunos da Universidade
Tecnológica Federal do Paraná, na disciplina de Modelagem Matemática do curso de
Licenciatura em Matemática. Após o desenvolvimento da atividade, constatamos que
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esta pode ser desenvolvida no Ensino Médio, abordando o conteúdo relacionado à
função linear.
Nas seções que se seguem, apresentamos nossos entendimentos sobre
modelagem matemática, para então apresentarmos como foi o desenvolvimento da
atividade que realizamos, cuja temática está relacionada ao consumo de álcool, mais
precisamente do consumo de cerveja.
Sobre Modelagem Matemática
Para Bassanezi (2002, p. 16), modelagem é uma nova forma de encarar a
Matemática e “consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas
matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real”.
Na sala de aula, apresenta-se como uma situação de investigação que envolve situações
do cotidiano do aluno. A modelagem matemática representa um desafio para os alunos e
professores, pois eles devem sair de suas rotinas, que são as aulas tradicionais, e partir
para uma nova forma de construir o conhecimento.
Desse modo, a modelagem matemática pode ser descrita em termos de uma
situação inicial (problemática) até uma situação final (solução para a problemática),
passando por algumas fases caracterizadas por Almeida, Silva e Vertuan (2012) como
inteiração, matematização, resolução, interpretação de resultados e validação (Figura 1).
Figura 1- Fases da Modelagem Matemática
Fonte: Almeida, Silva e Vertuan, 2012, p.12.
Atividades de modelagem matemática dentro da sala de aula podem ser
realizadas de modo gradativo, fazendo com que os alunos se habituem à tendência. Para
Almeida, Silva e Vertuan (2012, p. 26):
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 Em um primeiro momento, o professor coloca os alunos em
contato com uma situação-problema, juntamente com os
dados e as informações necessárias. A investigação do
problema, a dedução, a análise e a utilização de um modelo
matemático são acompanhadas pelo professor, de modo que
ações como definição de variáveis e hipóteses, a
simplificação, a transição para a linguagem matemática,
obtenção e validação do modelo bem como o seu uso para a
análise da situação, são em certa medida, orientadas e
avalizadas pelo professor.
 Posteriormente, em um segundo momento, uma situaçãoproblema é sugerida pelo professor aos alunos, e estes,
divididos em grupos, completam a coleta de informações para
a investigação da situação e realizam a definição de variáveis
e a formulação das hipóteses simplificadoras, a obtenção e
validação do modelo matemático e seu uso para análise da
situação. O que muda, essencialmente, do primeiro momento
para o segundo é a independência do estudante no que se
refere à definição de procedimentos extramatemáticos e
matemáticos adequados para a realização da investigação.
 Finalmente, no terceiro momento, os alunos, distribuídos em
grupos, são responsáveis pela condução de uma atividade de
modelagem, cabendo a eles a identificação de uma situaçãoproblema, a coleta e análise dos dados, as transições de
linguagem, a identificação de conceitos matemáticos, a
obtenção e validação do modelo e seu uso para análise da
situação, bem como a comunicação desta investigação para a
comunidade escolar.
No
âmbito
da
sala
de
aula,
a
modelagem
também
possibilita
a
interdisciplinaridade e a espiralidade na abordagem de conteúdos, fatores que auxiliam a
aprendizagem na disciplina.
A atividade que relatamos neste artigo se situa no terceiro momento gradativo
proposto por Almeida, Silva e Vertuan (2012) e foi desenvolvida segundo as fases da
modelagem matemática. O desenvolvimento de tal atividade é apresentado a seguir.
Sobre o desenvolvimento da atividade: álcool e direção uma conscientização
Esta atividade foi desenvolvida por dois dos autores deste relato, sob a
orientação do terceiro autor na disciplina de Modelagem Matemática do curso de
Licenciatura em Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná.
Durante a disciplina de modelagem matemática, a professora inseriu as
atividades para os alunos de modo gradativo, conforme proposto por Almeida, Silva e
Vertuan (2012). No terceiro momento, foi proposto aos alunos o desenvolvimento de
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uma atividade de modelagem matemática, ou seja, os alunos deveriam escolher o tema,
coletar dados, definir o problema, levantar as hipóteses, matematizar a situação e
resolver o problema.
O tema escolhido pelos alunos foi a relação de bebidas alcoólicas com o trânsito,
focando-se em saber após quanto tempo um indivíduo pode dirigir, depois de ingerir
bebida alcoólica, para não ser pego pelo bafômetro. Os alunos se interessaram pelo tema
com o intuito de conscientizar seus colegas e pessoas que iriam ler sua atividade,
mostrando o risco que podem correr se dirigirem alcoolizados.
Inteirando sobre a situação
Para o desenvolvimento da atividade algumas informações se fizeram
necessárias para adentrarmos à situação e, posteriormente, ao problema que iríamos
trabalhar.
O principal ingrediente das bebidas alcoólicas é a molécula de etanol. Assim que
uma pessoa “toma um gole”, estas moléculas rapidamente começam a entrar na corrente
sanguínea, e se espalham pelo corpo, em que aproximadamente 90% são metabolizadas
pelo fígado e o restante pelos pulmões, rins e pele, para sua eliminação. Este processo
ocorre lentamente, eliminando em média 0,10g/L de álcool do sangue do indivíduo por
hora.
O consumo de bebidas alcoólicas é um assunto que envolve desde festas e
comemorações até riscos. Mesmo com a Lei Seca aprovada em 19 de junho de 2008,
Julia Greve médica fisiatra que trabalha no Instituto de Ortopedia e Traumatologia da
Universidade de São Paulo afirma que, os números do IML indicam que 50% dos
mortos no Brasil vítimas de acidente de trânsito estavam embriagados no momento do
acidente. Evidenciando que o hábito de conduzir automóveis após ingerir bebidas
alcoólicas continua.
Dados da Universidade Estadual Paulista informam que uma lata da cerveja Skol
de 269ml possui 9,22g de álcool. E um condutor que ingerir qualquer quantidade de
bebida alcoólica e for submetido à fiscalização de trânsito estará automaticamente
sujeito a multa de R$ 1915,40, suspensão do direito de dirigir e terá o veículo retido. Na
prática, o condutor não poderá ingerir alguma quantidade de álcool que já será
considerada a infração de trânsito. Se o indivíduo fizer o teste e a concentração for
maior do que 0,068g/L (recomendação do Inmetro como margem de segurança do
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bafômetro) de sangue, será considerado crime de trânsito e o agente o encaminhará à
autoridade policial.
Na Tabela 1 apresentamos a quantidade de sangue no organismo de homens e
mulheres com 1,70 m de altura e massa de 65 kg a 75 kg.
Tabela 1- Quantidade de sangue no organismo de homens e mulheres de 1,70 m de acordo com a massa
Massa (em kg)
Quantidade de sangue (em litros) Quantidade de sangue (em litros)
em homens
em mulheres
65
4,499
4,083
70
4,660
4,248
75
4,821
4,414
Fonte: <http://www.prosangue.sp.gov.br/calculo/Default.aspx>. Acesso em 15 nov. 2013.
Definindo o problema
De posse das informações coletadas sobre como o álcool contido na cerveja é
eliminado do organismo e como funciona a lei que pune quem dirige alcoolizado, bem
como da quantidade de sangue existente no organismo de seres humanos do sexo
masculino e do sexo feminino com 1,70 m, nosso intuito foi investigar o seguinte
problema: Depois de quanto tempo o álcool é eliminado do organismo, após um
indivíduo ingerir uma lata de cerveja Skol de 269ml, para que como motorista, possa
dirigir sem ser pego pelo bafômetro?
Matematizando e resolvendo a situação
Para desenvolver a atividade de modelagem levamos em consideração as
variáveis e hipóteses apresentadas a seguir:
Variável independente: t (tempo em horas)
Variável dependente: Q (quantidade de álcool no organismo em g/L)
Variável auxiliar: n
H1: O organismo elimina em média 0,10 g/L de álcool no sangue por hora;
H2: 269 ml de cerveja contêm 9,22 g de álcool;
H3: Se o indivíduo fizer o teste do bafômetro e a concentração for maior do que
0,068g/L (recomendação do Inmetro como margem de segurança do bafômetro) de
sangue, será considerado crime de trânsito;
H4: Considerando um homem de 75 kg e 1,70 m de altura.
Com essas hipóteses em mãos consideramos assim que a cerveja Skol lata de
269 ml contém cerca de 9,22g de álcool e o organismo de um homem de 75 kg e 1,70 m
de altura possui aproximadamente 4,821 L de sangue, então analisamos que, se o álcool
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é diluído no sangue, então é preciso dividir o valor do álcool pela quantidade de sangue.
Assim, encontramos a quantidade de álcool que há no organismo do indivíduo por litro
de sangue. Também consideramos, por hipótese, que o organismo elimina em média
0,10 g/L de álcool no sangue por hora. Logo é preciso diminuir a cada uma hora
0,10g/L de álcool do sangue. Com isso, realizamos os cálculos da quantidade de álcool
no organismo de acordo com o tempo (de hora em hora), conforme apresentado na
Tabela 2.
Tabela 2- Quantidade de álcool no organismo de acordo com o tempo
Q(t)
t
0
Q0 =9,22/4,821= 1,912466293
1
Q1= Q0-0,10=1,912466293 - 0,10= 1,812466293
2
Q2= Q1-0,10= Q0-0,10- 0,10= Q0- 2(0,10)= 1,712466293
3
Q3= Q0- 3(0,10)= 1,912466293- 0,30= 1,612466293
...
Qn= Q0 – n(0,10)= 1,912466293 - n(0,10)
n
Fonte: Construída pelos autores.
A partir dos cálculos realizados na Tabela 2, obtivemos um modelo, retratando
matematicamente a realidade: Qn  1,912466293  0,10n, n  N . Ao realizarmos
mudança
da
variável
discreta
n
para
a
variável
contínua,
ficamos
com
Q(t )  1,912466293  0,10t , t  R . Com o auxílio do software Excel, montamos a
Tabela 3 que apresenta a quantidade de álcool no organismo durante o tempo com a
ingestão de 9,22 g de álcool de um homem de 75 kg e 1,70 m de altura com 4,821 L de
sangue.
Tabela 3- Eliminação do álcool no sangue.
t
0
1
2
3
4
5
6
7
Q(t)
1,912466
1,812466
1,712466
1,612466
1,512466
1,412466
1,312466
1,212466
t
8
9
10
11
12
13
14
15
Q(t)
1,112466
1,012466
0,912466
0,812466
0,712466
0,612466
0,512466
0,412466
t
16
17
18
19
Q(t)
0,312466
0,212466
0,112466
0,012466
Fonte: Construída pelos autores.
Para visualizarmos os valores apresentados na Tabela 3, realizamos a construção
de uma representação gráfica (Gráfico 1). Com isso, visualizamos no plano cartesiano o
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comportamento decrescente da função linear e, que assim, aos poucos o álcool vai
sendo eliminado do organismo.
Gráfico 1 - Eliminação do álcool no sangue
Fonte: Construído pelos autores.
Interpretando os resultados e validando
Vejamos que agora se faz necessária uma análise para a resposta ao problema.
Segundo Almeida e Ferruzzi (2009, p. 121),
A análise da resposta constitui um processo avaliativo realizado
pelos envolvidos na atividade e implica em uma validação da
representação matemática associada ao problema, considerando
tanto os procedimentos matemáticos quanto a adequação da
representação para a situação.
Sendo assim, é de grande importância ser realizada uma interpretação e
validação dos resultados pelos autores da devida atividade. Com o modelo matemático
em mãos, realizamos a sua validação como apresentado na Tabela 4.
Tabela 4 - Validação do modelo matemático
n
Q(Q(t)t)
Validação
0
1,912466
1,9125
1
1,812466
1,8125
2
1,712466
1,7125
3
1,612466
1,6125
4
1,512466
1,5125
5
1,412466
1,4125
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6
1,312466
1,3125
7
1,212466
1,2125
8
1,112466
1,1125
9
1,012466
1,0125
10
0,912466
0,9125
11
0,812466
0,8125
12
0,712466
0,7125
13
0,612466
0,6125
14
0,512466
0,5125
15
0,412466
0,4125
16
0,312466
0,3125
17
0,212466
0,2125
18
0,112466
0,1125
19
0,012466
0,0125
20
-0,08753
-0,0875
Fonte: Construída pelos autores
A partir da construção da Tabela 4, selecionamos os dados obtidos e construímos
o Gráfico 2, utilizando a função do programa Excel adicionar linha de tendência, que
possibilita a visualização da função mais adequada aos pontos, explicitando a função
(opção exibir equação no gráfico) e sua margem de erro (opção R-quadrado). Notamos
que a função que software explicitou corresponde à função que obtivemos na dedução
do modelo matemático.
Gráfico 2 - Modelo matemático que representa a eliminação do álcool no sangue
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Fonte: Construído pelos autores.
Um homem de 75 kg e 1,70 m de altura, após ingerir uma lata de cerveja de
269ml, poderá dirigir sem correr riscos de ser detectado no bafômetro após 19 horas. É
de se considerar as simplificações realizadas no desenvolvimento da atividade, pois
consideramos a eliminação do álcool no sangue, sem considerar fatores como
alimentação, digestão e transpiração, por exemplo.
Observamos que a eliminação do álcool no sangue ocorre lentamente, então é
preciso que o motorista aguarde o tempo necessário para conduzir seu veículo sem
correr riscos de ser detectado pelo bafômetro e levar multas, além de evitar acidentes.
Chamamos a atenção para o fato de termos utilizado, para a dedução do modelo
matemático, um homem de 75 kg, 1,70m de altura que ingeriu 269ml de cerveja. No
entanto, é possível fazer uma generalização do modelo para qualquer ser humano, desde
que saibamos a quantidade de sangue no organismo e a quantidade de álcool ingerida.
Considerações finais
Com o desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática
caracterizada como de terceiro momento, seguindo as fases caracterizadas por Almeida,
Silva e Vertuan (2012), pudemos representar um modelo matemático, que nos
possibilitou realizar uma análise da concentração de álcool no organismo. Para além da
situação estudada, fizemos uso da função linear na qual pudemos utilizar tabelas e
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gráficos para nos auxiliar nos cálculos e visualizações do comportamento do fenômeno
em estudo. Neste sentido, uma abordagem da função linear utilizando a modelagem
matemática como alternativa pedagógica pode possibilitar uma concepção significativa
no ensino da matemática, além de estabelecer relações com outras ciências.
Consideramos também que outras variáveis podem ser inseridas para aprimorar
o modelo matemático obtido, levando em consideração a digestão, a realização da
filtragem do sangue pelos rins que poderia acrescentar um modelo exponencial e, de
certa forma, mais próximo da realidade. Esse desenvolvimento fica como proposta a ser
desenvolvida em trabalhos posteriores.
Vejamos que a resolução de problemas reais do cotidiano do aluno a partir da
modelagem pode contribuir para uma formação crítica, reflexiva e questionadora,
proporcionando uma atitude analítica frente a sua realidade. E atividades visando essa
temática na sala de aula podem proporcionar momentos de conscientização. Se uma
pessoa tomar 269ml de cerveja, desconsiderando o metabolismo do organismo,
podemos perceber que o álcool será eliminado totalmente após 19 horas. Questões do
tipo: vale a pena beber e arriscar vidas?; será que esse é o momento certo para eu
beber?; quando esse álcool vai ser eliminado do meu organismo se eu tomar mais de
uma lata de cerveja? podem permear e elucidar discussões que tem como foco a
conscientização em sala de aula referente à bebida e direção.
Nesse sentido, a modelagem matemática emerge como uma tendência que
auxilia o professor no ensino da matemática, sendo assim um rico e criativo
procedimento, que fará o processo de ensino e aprendizagem se desenvolver de uma
forma natural.
Referências
ALMEIDA, L. M. W.; FERRUZZI, E. C. Uma aproximação socioepistemológica para a
modelagem matemática. Alexandria. Santa Catarina, v. 2, n. 2, p. 117-134, 2009.
ALMEIDA, L. W.; SILVA, K. P; VERTUAN, R. E. Modelagem Matemática na
Educação Básica. São Paulo: Contexto, 2012.
BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova
estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.