FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS – FAFIUV
COLEGIADO DE MATEMÁTICA
BRUNA GISELE RODRIGUES
A CONCENTRAÇÃO DE ÁLCOOL NO SANGUE: UMA PROPOSTA PARA
ENSINAR FUNÇÃO EXPONENCIAL POR MEIO DA MODELAGEM MATEMÁTICA
UNIÃO DA VITÓRIA
2012
2
BRUNA GISELE RODRIGUES
A CONCENTRAÇÃO DE ÁLCOOL NO SANGUE: UMA PROPOSTA PARA
ENSINAR FUNÇÃO EXPONENCIAL POR MEIO DA MODELAGEM MATEMÁTICA
Trabalho de Conclusão de Curso
apresentado como requisito parcial
para obtenção do título de licenciada
em
Matemática
pela
Faculdade
Estadual de Filosofia, Ciências e Letras
de União da Vitória – FAFIUV.
Orientadora:
Prof
Granada Veleda.
UNIÃO DA VITÓRIA
2012
a
Ms.
Gabriele
3
Aos meus pais “razão maior de minha
existência e exemplo de amor com que fui
criada”.
4
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus, pelo dom da vida que me concedeu e por
ter iluminado o meu caminho durante todos estes anos, por ter me oferecido a
oportunidade de viver, evoluir, crescer e conhecer todas as pessoas que citarei a
seguir.
Aos meus pais Orlando e Fatima agradeço por absolutamente tudo. Cada
um de seus atos foi uma oportunidade que eu tive para crescer e me tornar o que
sou. Presença viva em todo o meu ser, pelo carinho e especialmente pelo modelo de
integridade moral, exemplo de vida, fé e coragem. Pelo que representam em minha
formação como pessoa, pois sou reflexo da criação que me deram e do amor
investido em mim.
Ao meu irmão João Paulo, agradeço pela companhia, carinho e momentos
de descontração vividos a cada dia, que nos ajudaram a superar as diferenças.
À minha vó Ilda pelo carinho, incentivo e acreditar em meu potencial em
todos os momentos.
Agradeço ao meu padrinho Alceu, minha tia Célia e minha priminha Helen,
que sempre me conferiram carinho e agrado.
A minha eterna amiga Juliane Turek, que sempre ocupará um lugar especial
em meu coração. Muito obrigada por todos os momentos de alegria, descontração,
viagens, risadas e companheirismo.
Agradeço à minha querida e amável orientadora, Gabriele Granada Veleda,
que com paciência e atenção dedicou seu valioso tempo para me orientar em cada
passo deste trabalho.
As minhas amigas e companheiras de aventura Vanessa, Keity, Tatiana e
Juliane por ter acreditado em mim quando eu mesmo não acreditava, pelas palavras
amigas, apoio, incentivo e carinho que partilhamos durante nosso caminhar.
A todos que, em qualquer medida, desejaram e desejam meu sucesso,
mesmo que distantes pelo tempo e separados fisicamente.
5
"Deus nos fez perfeitos e não escolhe os
capacitados, capacita os escolhidos. Fazer ou
não fazer algo, só depende de nossa vontade e
perseverança."
(Albert Einstein)
6
RESUMO
No presente trabalho descreve-se uma proposta de ensino, para tal abordamos a Modelagem
Matemática como alternativa de ensino e aprendizagem que enfoca problemas da realidade para
contemplar o estudo de conteúdos matemáticos, dentro da Perspectiva Sócio-Crítica. Para isso
propomos um problema que está ligado à concentração de álcool no sangue de uma pessoa com o
passar das horas. Buscou-se, por meio da atividade de Modelagem Matemática apresentada, verificar
qual a concentração de álcool no sangue de uma pessoa que ingeriu 4 latas de cerveja, com o passar
das horas e depois de quanto tempo uma pessoa, que ingeriu essa quantidade de bebida pode dirigir
sem infringir as leis nacionais de trânsito. Este modelo viabiliza a abordagem do conteúdo de função
exponencial e do tipo exponencial no Ensino Médio, assim como possibilita gerar diálogos, análises
críticas e reflexões sobre questões sociais, bem como a conscientização dos alunos acerca das
consequências do consumo de álcool em excesso. Para tanto, o trabalho se desenvolveu por meio de
uma pesquisa teórica sobre a Modelagem Matemática bem como sobre questões envolvendo o tema
álcool.
Palavras-chave: Modelagem Matemática; Perspectiva Sócio-Crítica; Função exponencial.
7
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Esquema de Modelagem Matemática ........................................................ 13
Figura 2: Visualização do 1o passo para a construção do gráfico da função. ........... 24
Figura 3: Visualização do 2o passo para construção do gráfico da função ............... 25
Figura 4: Visualização da representação gráfica da função. ..................................... 25
Figura 5: Visualização do 3o passo da representação gráfica da função. ................. 26
Figura 6: Visualização do 4o passo da representação gráfica da função .................. 26
8
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Concentração de álcool no sangue com o passar das horas. ................... 22
Tabela 2: Concentração de álcool no sangue em função do total consumido .......... 23
Tabela 3: Análise do erro do modelo desenvolvido ................................................... 28
9
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 10
2 MODELAGEM MATEMÁTICA: UMA ESTRATÉGIA PARA O ENSINO E
APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA ...................................................................... 12
2.1 COMPREENSÕES DE MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA ....................................................................................................... 12
2.2 AS ETAPAS DE UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA............ 13
2.3 POR QUE UTILIZAR MODELAGEM MATEMÁTICA NA SALA DE AULA? .... 14
2.4 A MODELAGEM MATEMÁTICA NA PERSPECTIVA SÓCIO-CRÍTICA .......... 15
3 PROPOSTA DE ENSINO: O ESTUDO DA FUNÇÃO DO TIPO EXPONENCIAL
POR MEIO DA MODELAGEM MATEMÁTICA ......................................................... 18
3.1 ESCOLHA DO TEMA ...................................................................................... 18
3.3 COLETA DE DADOS ....................................................................................... 19
3.4 DESENVOLVIMENTO MATEMÁTICO ............................................................ 21
3.5 VALIDAÇÃO DO MODELO OBTIDO ............................................................... 27
3.6 RESPONDENDO OS PROBLEMAS ............................................................... 28
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 30
REFERÊNCIAS......................................................................................................... 31
10
1 INTRODUÇÃO
No âmbito da Educação Matemática tem-se discutido cada vez mais sobre o
ensino da Matemática, sobre os métodos e alternativas de ensino que os
professores podem adotar para desenvolver os conteúdos matemáticos em suas
aulas, entre outras questões. Todas essas discussões se conduzem no sentido de
tentar romper com a visão que muitos alunos têm da Matemática, pois para eles não
existe qualquer relação entre os conhecimentos matemáticos abordados na escola e
suas ações desenvolvidas cotidianamente.
Almeida e Dias (2004), apoiadas em D’Ambrósio, argumentam que o ciclo de
obtenção do conhecimento é desencadeado a partir de fatos da realidade, assim a
construção do conhecimento matemático pode ser mais eficiente se emergir de fatos
que tem origem na realidade. Deste modo, a exploração, no ensino, de situações da
vida real, em que a Matemática pode servir como uma ferramenta para auxiliar no
seu estudo torna esta ciência interessante e útil.
Considerando a importância do processo de ensino e aprendizagem,
entendemos que precisa-se criar um ambiente estimulante, no qual os alunos
possam desenvolver o seu conhecimento. Acreditamos que a Modelagem
Matemática pode ser um caminho para atingir esse objetivo, uma vez que entendida
como uma alternativa para o ensino de Matemática visa criar um ambiente que
favorece a aprendizagem e oportuniza aos alunos experimentar, modelar e analisar
criticamente a situação estudada e a solução encontrada, permitindo que tenham
uma maior participação no seu processo de ensino e aprendizagem.
Sendo assim, neste trabalho apresentamos uma proposta de ensino
baseada na Modelagem Matemática na Perspectiva Sócio-Crítica. A atividade
desenvolvida aborda o tema concentração de álcool no sangue e visa introduzir o
conteúdo de função exponencial e do tipo exponencial.
Este trabalho está dividido em 4 capítulos. No capítulo 1, apresentamos
brevemente alguns argumentos que nos levaram a desenvolver uma proposta de
ensino utilizando a Modelagem Matemática na Perspectiva Sócio-Crítica como uma
alternativa de ensino. Este tema é melhor explorado no capítulo 2, em que
apresentamos a compreensão do que é Modelagem Matemática, suas etapas e
algumas justificativas para a sua utilização em sala de aula. No capítulo 3 é
desenvolvida a atividade de Modelagem cujo tema é a concentração de álcool no
11
sangue, explicamos como foi feita a escolha do tema, a delimitação dos problemas,
a coleta de dados, o desenvolvimento matemático da atividade, a validação do
modelo obtido e as respostas aos problemas propostos. No capítulo 4 são feitas
algumas considerações acerca do trabalho desenvolvido. Por fim, apresentamos as
referências.
12
2 MODELAGEM MATEMÁTICA: UMA ESTRATÉGIA PARA O ENSINO E
APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
2.1
COMPREENSÕES
DE
MODELAGEM
MATEMÁTICA
NA
EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA
Para Silveira e Ribas (2005, p. 2) a “Modelagem é acima de tudo uma
perspectiva, algo a ser explorado, o imaginável e o inimaginável”. Os mesmos
autores ainda relatam que a Modelagem é livre e espontânea, ela surge da
necessidade do ser humano em compreender os fenômenos que o cercam.
A Modelagem tem o objetivo de interpretar e compreender os mais diversos
fenômenos do nosso cotidiano, devido ao poder que a Modelagem
proporciona pelas aplicações dos conceitos matemáticos. Podemos
descrever esses fenômenos, analisá-los e interpretá-los com o propósito de
gerar discussões reflexivas sobre tais fenômenos que cercam nosso
cotidiano. (SILVEIRA; RIBAS, 2005, p. 2).
Segundo Burak (1992, p. 62), a Modelagem Matemática “constitui-se em um
conjunto de procedimentos cujo objetivo é construir um paralelo para tentar explicar
matematicamente os fenômenos presentes no cotidiano do ser humano, ajudando-o
a fazer predições e tomar decisões”. Neste sentido, podemos destacar que a
Modelagem Matemática pode contribuir para gerar reflexões sobre a utilização de
conceitos matemáticos e, de certo modo, tornar visível o papel desta ciência na
sociedade.
Para Oliveira (2009) a Modelagem está sendo uma maneira de organizar as
aulas de matemática em que os alunos são convidados a problematizar e/ou
investigar, através da Matemática, situações com referências na realidade que
tenham potencialidades de gerar reflexões sobre a presença da Matemática na
sociedade.
Barbosa (2004, p. 2) afirma que
[...] as atividades de Modelagem podem contribuir para desafiar a ideologia
1
da certeza e colocar lentes críticas sobre as aplicações da Matemática.
Discussões na sala de aula podem agendar questões como as seguintes: O
que representam? Quais os pressupostos assumidos? Quem as realizou? A
quem servem? Etc.
1
Ideia da Matemática como uma descrição neutra da realidade, ou seja, as explicações matemáticas são
neutras e retratam a matemática como ela é. (BARBOSA, 2007)
13
Concordamos com Almeida e Dias (2004) ao entendermos que a
Modelagem Matemática é uma alternativa para o ensino e aprendizagem da
Matemática que pode proporcionar aos alunos oportunidades de identificar e estudar
situações problema da realidade2, de despertar maior interesse dos alunos pelas
aulas de Matemática e de desenvolver um conhecimento mais crítico e reflexivo em
relação aos conteúdos matemáticos.
2.2 AS ETAPAS DE UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA
Uma atividade de modelagem inicia-se sempre com uma situação que
precisa ser investigada e/ou problematizada, e culmina com a determinação de uma
solução que satisfaz o problema, pelo menos, naquele momento. Vale salientar
ainda que essa situação não precisa ser necessariamente matemática (ALMEIDA e
FERRUZZI, 2007).
O desenvolvimento de uma atividade de Modelagem Matemática na
perspectiva de diversos autores (Barbosa, 2001; Bassanezi, 2003; Almeida e Dias,
2004; Veronez, 2007) envolve algumas etapas, tais como: escolha de um tema,
elaboração de um problema, coleta de dados, definição da varáveis, formulação de
hipóteses, e a validação do modelo desenvolvido.
Figura 1: Esquema de Modelagem Matemática
Fonte: BIEMBENGUT, 2010.
2
Entendemos por realidade tudo que existe no mundo real.
14
Essas etapas não são sequenciais, tampouco prioritária uma em relação à
outra. O que deve acontecer quando se percorre essas etapas é a busca pela
dedução de um modelo matemático que melhor represente a situação em estudo.
Biembengut e Hein (2000) consideram que a elaboração de um modelo
matemático pode ser vista como
[...] um processo artístico, visto que, para se elaborar um modelo, além do
conhecimento de Matemática, o modelador precisa ter uma dose
significativa de intuição e criatividade para interpretar o contexto, saber
discernir que conteúdo matemático melhor se adapta e também ter senso
lúdico para jogar com as variáveis envolvidas. (p. 12).
Como pontuado por Bassanezi (2003), mais importante que o modelo obtido
é o processo utilizado, pois é nesta ocasião que os alunos atribuem significados aos
conceitos
matemáticos
envolvidos
e
são
estimulados
a
desenvolver
sua
competência crítica e reflexiva.
2.3 POR QUE UTILIZAR MODELAGEM MATEMÁTICA NA SALA DE AULA?
São muitos os educadores e pesquisadores da área de Educação
Matemática que apresentam argumentos favoráveis para o uso da Modelagem
Matemática nas aulas de matemática.
Segundo Bassanezi (2002) a Modelagem pode ser um caminho para
despertar maior interesse, ampliar o conhecimento do aluno e auxiliar na
estruturação de sua maneira de pensar e agir. A utilização da Modelagem
Matemática nas aulas de Matemática também pode contribuir em outros aspectos,
como, por exemplo:

Motivação: os alunos sentir-se-iam mais estimulados para o estudo
de Matemática, já que vislumbrariam a aplicabilidade do que estudam na
escola;

Facilitação da aprendizagem: os alunos teriam mais facilidade em
compreender as ideias matemáticas, já que poderiam conectá-las a outros
assuntos;

Preparação para utilizar a Matemática em diferentes áreas: os alunos
teriam a oportunidade de desenvolver a capacidade de aplicar Matemática
em diversas situações, o que é desejável para moverem-se no dia-a-dia e
no mundo do trabalho;

Desenvolvimento de habilidades gerais de exploração: os alunos
desenvolveriam habilidades gerais de investigação;

Compreensão do papel sócio-cultural da Matemática: os alunos
analisariam como a Matemática é usada nas práticas sociais. (BLUM, 1995,
apud BARBOSA, 2003, p. 67).
15
Cada um desses aspectos possui sua importância no ambiente escolar e
uma das principais justificativas para a utilização da Modelagem Matemática em sala
de aula, proveniente da corrente Sócio-Crítica (BARBOSA, 2001), está relacionada à
necessidade de um ensino enfatizado na realidade do aluno e voltado para propiciar
uma reflexão sobre a Matemática e seu significado social e cultural.
Dessa forma a Modelagem Matemática vem contribuir para tornar as aulas
de Matemática interessantes, pois cria um ambiente no qual os alunos podem
investigar problemas da realidade extra-escolar por meio de conceitos e conteúdos
matemáticos (BARBOSA, 2001).
2.4 A MODELAGEM MATEMÁTICA NA PERSPECTIVA SÓCIO-CRÍTICA
Os PCNEM (Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio) indicam o
que os professores podem fazer para que o ensino da Matemática possa resultar em
aprendizagem real e significativa para os alunos. Para isso, é necessário que o
professor possibilite momentos em que eles possam:
[...] analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes,
utilizando ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria que lhe
permita expressar-se criticamente sobre problemas da Matemática, das
outras áreas do conhecimento e da atualidade;
[...] desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de
comunicação, bem como o espírito crítico e criativo; (BRASIL, 1999, p. 42).
Segundo Almeida e Brito (2003, p. 64)
Não é mais suficiente o aluno aprender Matemática e saber utilizá-la para
resolver problemas cotidianos. Além desses saberes, é necessário que o
aluno seja capaz de interpretar e agir numa situação social e política
estruturada pela Matemática.
Sendo assim, percebe-se a importância de formar alunos críticos e
reflexivos, que tanto se tem discutido dentro da Educação Matemática, que
[...] insere-se e se desenvolve num contexto caracterizado, de um lado, por
discussões relacionadas com problemas sociais, com críticas e com
relações democráticas que objetivam transformações nas estruturas sociais,
políticas, econômicas e éticas da sociedade (estes fatores encontram-se
presentes na humanidade e são geradores de conflito); de outro lado, por
construções de ambientes democráticos nas salas de aula que garantam o
diálogo entre os participantes do processo de ensino e de aprendizagem,
igualdade entre eles, constantes questionamentos e indagações, reflexões e
reações às contradições (JACOBINI, 2004, p. 22).
16
Nesta ótica, Almeida e Dias (2003) apontam que a Modelagem Matemática
pode desenvolver no aluno competência crítica, abrangendo a capacidade de
reconhecer,
compreender, analisar e
avaliar
as
abordagens
matemáticas,
contribuindo para a resolução de problemas sociais relevantes.
A utilização da Modelagem Matemática na sala de aula permite criar
oportunidades para estimular nos alunos um senso crítico, preparando-os para
agirem na sociedade e exercerem criticamente a cidadania. Tal estímulo acontece
quando utilizamos a Modelagem Matemática na Perspectiva Sócio-Crítica. Segundo
Kaiser e Sriraman (2006, apud Barbosa, 2007), Modelagem Matemática nesta
perspectiva investiga e estuda situações que devem propiciar a análise da natureza
dos modelos matemáticos e seu papel na sociedade.
Entendemos que a utilização da Modelagem Matemática na Perspectiva
Sócio-Crítica em sala de aula contribui para o desenvolvimento do conhecimento
reflexivo, oportunizando aos alunos agirem criticamente perante aos problemas que
encontram no meio social e assim perceber a relevância da Matemática.
De acordo com Orey e Rosa (2007), as salas de aulas são ambientes que
favorecem a criatividade e desenvolvem o pensamento reflexivo dos alunos,
preparando-os para atuarem na sociedade. Dessa forma, concebemos a Modelagem
Matemática na Perspectiva Sócio-Crítica como um caminho que conduz os alunos
ao papel de cidadãos críticos e reflexivos.
Segundo Barbosa (2001)
Nem Matemática nem Modelagem são “fins”, mas sim “meios” para
questionar a realidade vivida. Isso não significa que os alunos possam
desenvolver complexas análises sobre a Matemática no mundo social, mas
que Modelagem possui o potencial de gerar algum nível de crítica. É
pertinente sublinhar que necessariamente os alunos não transitam para a
dimensão do conhecimento reflexivo, de modo que o professor possui
grande responsabilidade para tal. (p. 4)
Entendemos que a Modelagem na Perspectiva Sócio-Crítica além de fazer
com que os alunos se envolvam com o conhecimento matemático em si, permite que
eles analisem e examinem o que fizeram, formulando assim várias questões.
Segundo Barbosa e Santos (2007), além de convidar os alunos a se envolverem na
produção de um modelo matemático, o professor pode convidá-los a refletir sobre
sua natureza e como podem ser usados na sociedade.
Barbosa e Santos (2007) salientam ainda que
17
Estar envolvido na atividade (motivação), desenvolver uma ação sobre ela
(aprendizagem), desenvolver habilidades de exploração e utilização da
Matemática são condições para que os alunos possam refletir sobre os
critérios utilizados na construção dos modelos matemáticos. (p. 7)
Para Jacobini e Wodewotski (2006) é necessário fazer reflexões decorrentes
do compartilhamento de conhecimento resultante do processo de aprendizagem
baseado na Modelagem e que possa contribuir de alguma forma para a formação da
cidadania dos alunos.
Compreendemos que a utilização da Modelagem Matemática na Perspectiva
Sócio-Crítica colabora para que os alunos se tornem sujeitos ativos na sociedade,
com autonomia para tomar suas próprias decisões, refletir sobre suas ações e
pensar criticamente por meio da Matemática.
Motivadas por essas oportunidades que a Modelagem na Perspectiva SócioCrítica proporciona, apresentamos no próximo capítulo uma atividade de Modelagem
Matemática que pode ser desenvolvido em sala de aula e que oportuniza aos alunos
o envolvimento em discussões críticas e reflexivas em torno do tema a concentração
de álcool no sangue de uma pessoa com o passar das horas.
18
3 PROPOSTA DE ENSINO: O ESTUDO DA FUNÇÃO DO TIPO EXPONENCIAL
POR MEIO DA MODELAGEM MATEMÁTICA
Utilizando
a
Modelagem
Matemática
como
estratégia
de
ensino,
apresentamos a seguir uma proposta para o ensino de funções exponenciais,
conteúdo geralmente trabalhado na 1a série do Ensino Médio da Educação Básica.
Esta proposta foi elaborada considerando que os alunos ainda não
conhecem o conteúdo de função exponencial e do tipo exponencial.
A atividade desenvolvida neste trabalho pode ser utilizada em sala de aula
de duas maneiras diferentes, denominadas por Almeida e Dias (2004) de momentos.
No primeiro momento a situação problema já estabelecida e a sua resolução é
desenvolvida pelo professor e os alunos, ou no segundo momento, em que o
professor escolhe o tema e leva para a sala de aula para que os alunos reunidos em
grupos realizem a coleta de dados, formulação das hipóteses e resolvam o
problema.
3.1 ESCOLHA DO TEMA
O tema “concentração de álcool no sangue” pode contribuir para que os
alunos observem que apesar do álcool possuir grande aceitação social e seu
consumo ser estimulado pela sociedade, ele é uma droga psicotrópica que atua no
sistema
nervoso
central,
podendo
causar
dependência
e
mudanças
de
comportamentos. Além disso, quando consumido em excesso, o álcool é visto como
um problema de saúde, já que esse excesso pode gerar acidentes de trânsito,
violência e alcoolismo.
Esse tema propicia um envolvimento dos alunos nas discussões que podem
ser geradas em sala de aula. Inicialmente o professor pode sugerir o tema e permitir
que os alunos falem o que pensam a respeito, como por exemplo, de doenças que
podem ser causadas pelo consumo de álcool em excesso e de acidentes de trânsito,
assim como dividir possíveis experiências que tenham vivido ao consumir álcool
demasiadamente.
Essas
discussões
promovem
consequências do consumo de álcool em excesso.
a
reflexão
acerca
das
19
3.2 DELIMITAÇÃO DO PROBLEMA
Muitas poderiam ser as abordagens dadas em sala de aula devido à
amplitude do tema “álcool”. Considerando tal abrangência, esse trabalho foi limitado
na elaboração de um modelo que descreva a concentração de álcool no sangue com
o passar das horas de modo que possamos responder as seguintes questões:

Após uma pessoa ingerir 4 latas de cerveja qual é a concentração de álcool
no sangue?

Doze horas após a ingestão de 4 latas de cerveja, qual é a concentração de
álcool no sangue?

Depois de quanto tempo uma pessoa que ingeriu essa quantidade de cerveja
pode dirigir sem infringir as leis nacionais de trânsito?
Tais problemas são bastante perceptíveis no nosso dia-a-dia, já que muitos
dos acidentes de trânsito são causados por excesso de bebida alcoólica.
3.3 COLETA DE DADOS
Para responder os problemas propostos precisamos de alguns dados.
Primeiramente se faz necessário descobrir qual é a quantidade de álcool presente
em cada lata de cerveja. Nesta etapa foram analisadas algumas marcas de cerveja
em lata e observamos que a quantidade de álcool varia de 10 a 14 gramas de álcool.
Para nosso estudo, vamos analisar a concentração de álcool no sangue de uma
pessoa que ingeriu 4 latas de cerveja, e que cada lata contém 14 gramas de álcool.
Para obter a quantidade equivalente de álcool em uma determinada bebida,
é preciso multiplicar sua quantidade por sua concentração alcoólica, conforme
mostra o quadro a seguir.
20
Cerveja (UMA LATA OU UM CANECO DE CHOPE)
Volume: 350 ml
Teor alcoólico: 5%
Quantidade de álcool (volume x teor alcoólico): 17,5
ml
Gramas de álcool (volume de álcool x 0,8*): 14
gramas
(*) A quantidade de álcool em gramas é obtida a partir
da multiplicação do volume de álcool contido na
bebida pela densidade do álcool (d=0,8).
Quadro 1: Quantidade de álcool X concentração alcoólica
Fonte: Programa álcool e drogas sem distorção do Hospital Albert Einstein
Como um de nossos problemas é saber qual a concentração de álcool no
sangue de uma pessoa que ingeriu 4 latas de cerveja, precisamos saber qual a
quantidade de álcool presente em 4 latas de cerveja, para isto basta multiplicar o
número de latas de cerveja por 14, que é a quantidade em gramas de álcool
presente em cada lata de cerveja:
14 g  4 = 56 g
Então em 4 latas de cerveja temos 56 gramas de álcool.
Também é necessário a informação a respeito da concentração de álcool no
sangue, para isso precisamos então saber qual a taxa de alcoolemia (mg/L de álcool
no sangue) que segundo o Programa álcool e drogas sem distorção do Hospital
Albert Einstein é dado por:
TA (taxa de alcoolemia) = álcool consumido  (peso corporal  1,1)
Neste trabalho tomamos como hipótese um homem com 70 quilos de peso
corporal. Logo um homem que ingeriu 4 latas de cerveja terá 0, 727 mg/L de álcool
no sangue, pois:
TA = 56  (70  1,1)
TA = 0,727 mg/L
Além disso, se faz necessário saber qual é a taxa de eliminação do álcool
pelo organismo que, segundo a CISA (Centro de Informação sobre saúde e álcool),
é de 8% (ou 0,08) por hora em um homem de aproximadamente 70 quilos, portanto
o fator de decrescimento é:
1 – 0,08 = 0,92.
21
Este fator de decrescimento de 0,92 indica que a cada hora que passa, a
quantidade de álcool que permanece no organismo é de 92% da quantidade
anterior.
Faz-se necessário ainda saber qual é a tolerância de álcool permitida. De
acordo com o decreto número 6.488, de 19 de junho de 2008 que regulamenta os
artigos 276 e 306 da Lei no 9.503, de 23 de setembro de 1997 - Código de Trânsito
Brasileiro, disciplinando a margem de tolerância de álcool no sangue e a
equivalência entre os distintos testes de alcoolemia para efeitos de crime de trânsito.
DECRETA:
Art. 1o Qualquer concentração de álcool por litro de sangue sujeita o condutor as
penalidades administrativas do art. 165 da Lei no 9.503, de 23 de setembro de 1997
- Código de Trânsito Brasileiro, por dirigir sob a influência de álcool.
Decretos
§ 1o As margens de tolerância de álcool no sangue para casos específicos serão
definidas em resolução do Conselho Nacional de Trânsito - CONTRAN, nos termos
de proposta formulada pelo Ministro de Estado da Saúde.
§ 2o Enquanto não editado o ato de que trata o § 1 o, a margem de tolerância será de
dois miligramas por litro de sangue para todos os casos.
Com os dados em mãos, pode-se dar prosseguimento a atividade de
Modelagem Matemática e partir em busca das soluções para as questões
levantadas.
3.4 DESENVOLVIMENTO MATEMÁTICO
A partir dos dados coletados, utilizando uma regra de três simples
encontrou-se a quantidade de álcool presente no sangue com o passar das horas,
conforme ilustra a Tabela 1.
22
Tabela 1: Concentração de álcool no sangue com o passar das horas.
Tempo (h)
Concentração de álcool
(mg/L)
0
0,727
1
0,669
2
0,615
3
0,566
4
0,521
5
0,479
6
0,441
7
0,406
8
0,373
Fonte: A autora, 2012.
O professor juntamente com os alunos pode deduzir a Tabela 1, ou pode
entregá-la pronta.
A partir desses dados o professor pode pedir que os alunos analisem qual a
relação entre eles. Além disso, pode-se questionar: Como foi possível chegar aos
resultados apresentados na Tabela 1?
Caso os alunos tenham dificuldades, o professor pode mostrar que para
encontrar a concentração de álcool no tempo 1h, foi multiplicado a quantidade inicial
de álcool pela taxa de decrescimento:
0,668 = 0,727  (0,92)
Então questioná-los novamente: como encontrar a concentração de álcool
no tempo 2h? Espera-se que os alunos percebam que:
0,614 = 0,668  (0,92)
Então o professor pode fazer a seguinte sugestão, se:
0,614 = 0,668  (0,92)
(1)
0,668 = 0,727  (0,92)
(2)
e
Substituindo (2) em (1), temos:
,727
0,
92  (0,92)
0,614 = 0
 
0 , 668
23
Que pode ser escrito como:
0,614 = 0,727  (0,92)²
É interessante que os alunos adicionem uma nova coluna na Tabela 1,
descrevendo as quantidades de álcool em cada hora em função do total consumido,
ou seja, a quantidade de álcool no tempo h = 0.
Tabela 2: Concentração de álcool no sangue em função do total consumido
Tempo (h)
Quantidade de
álcool (mg/L)
0
0,727
0,727  (0,92)0
1
0,669
0,727  (0,92)1
2
0,615
0,727  (0,92)2
3
0,566
0,727  (0,92)3
4
0,521
0,727  (0,92)4
5
0,479
0,727  (0,92)5
6
0,441
0,727  (0,92)6
7
0,406
0,727  (0,92)7
8
0,373
0,727  (0,92)8
Fonte: A autora, 2012.
Caso os alunos não percebam, é importante o professor destacar que a
variável independente é o expoente, fato que caracteriza a relação entre as variáveis
(expoente e base) como uma função exponencial (ou do tipo exponencial).
Neste momento o professor deve introduzir os conceitos de função
exponencial e função do tipo exponencial: “Dado um número real a, tal que 0 < a ≠ 1,
chamamos de função exponencial de base a a função f de IR em IR que associa a
cada x real o número ax”. (IEZZI, 1999, p. 27).
A função do tipo exponencial de acordo com Iezzi (1999), “é dada por g(x) =
b  ax, onde b  IR é uma constante que multiplica o valor de ax na função exponencial
f(x) = ax.” (p. 29).
Para obter um modelo matemático que representa a concentração de álcool
no sangue, tomemos t para indicar o tempo em horas e E(t) a quantidade de álcool
permanecente no sangue após t horas. Então a partir da Tabela 2 e das definições
24
citadas, a função E(t) = 0,727  (0,92) t é um modelo matemático que descreve a
situação.
Neste momento o professor pode pedir que os alunos observem a função
encontrada e questioná-los: De acordo com as definições a nossa função é
exponencial ou do tipo exponencial? Espera-se que os alunos concluam que a
função obtida no modelo é do tipo exponencial já que temos uma constante
multiplicando o valor (0,92) t .
O professor pode levar os alunos ao laboratório de informática e auxiliá-los
para que com o uso do Geogebra, o qual é um software matemático que possibilita
trabalhar conteúdos relacionados a cálculo, geometria e álgebra, façam a
representação gráfica da função.
Primeiramente o professor deve solicitar que os alunos digitem no campo de
entrada a função: E(t) = Se, abrirá uma caixa de diálogo então o professor deve
solicitar que selecionem Se [<Condição>, <Então>]:
o
Figura 2: Visualização do 1 passo para a construção do gráfico da função.
Fonte: A autora, 2012.
Em seguida, o professor deve orientar os alunos que digitem: se [t>0, 0,727 
(0,92) t ], o professor pode explicar aos alunos que a condição t>0, se dá visto que
não faz sentido o gráfico passar nos negativos, já que não existe um tempo negativo
para o consumo de álcool.
25
o
Figura 3: Visualização do 2 passo para construção do gráfico da função
Fonte: A autora, 2012.
Então o professor deve pedir que os alunos cliquem “enter”, a representação
gráfica aparecerá na tela:
Figura 4: Visualização da representação gráfica da função.
Fonte: A autora, 2012
Após, o professor pode pedir que os alunos cliquem com o botão direito do
“mouse” e selecionem “janela de visualização”:
26
o
Figura 5: Visualização do 3 passo da representação gráfica da função.
Fonte: A autora, 2012.
Na “janela de visualização”, escolham a opção “eixo x”, e em rótulo insiram
t(h) e cliquem em “gravar configurações”, pois a concentração de álcool no sangue é
dada com o passar das horas, em seguida o professor deve solicitar que escolham a
opção “eixo y” e em rótulo insiram E(mg/L) e cliquem em “gravar configurações”, pois
a quantidade de álcool com o passar das horas é dada em miligramas por litro de
sangue, assim o rótulo aparecerá nos eixos:
o
Figura 6: Visualização do 4 passo da representação gráfica da função
Fonte: A autora, 2012.
27
A partir daí o professor pode conduzir uma discussão questionando os
alunos se a função analisada é crescente ou decrescente. Explicando que se:

A base da função é um número real maior do que 1 (a>1), então a função
será crescente.

A base é um número real maior do que zero e menor do que 1, 0<a<1 então a
função será decrescente.
Os alunos deverão perceber que a função é decrescente, o professor pode
explicar ainda que a função tem domínio nos IR+, portanto, o domínio da função
dada é o conjunto dos números reais positivos, seu conjunto imagem é IR+*, pois
como E(t) = 0,727  (0,92) t e t  IR vemos que (0,92) t sempre será um número
positivo, logo E(t) sempre será um número positivo maior que zero, além disso o
professor pode explicar que o gráfico da função nunca intercepta o eixo horizontal
pois a função exponencial não possui raiz.
3.5 VALIDAÇÃO DO MODELO OBTIDO
A partir do modelo obtido o professor junto com os alunos, deve fazer a
validação, para verificar se a solução encontrada é adequada e os seus valores
condizem com o problema inicial. Este é um momento favorável para o
desenvolvimento do conhecimento reflexivo, fazendo relação entre os resultados
encontrados e a realidade, na tentativa de averiguar até que ponto o modelo nos
permite analisar a situação abordada.
Para calcularmos o erro relativo (e) entre os valores reais e os valores
estimados pelo modelo fazemos:
e=
(Q1  Q2 )
 100
Q1
onde:
Q1: quantidade de álcool real
Q2: Quantidade estimada pelo modelo
28
Tabela 3: Análise do erro do modelo desenvolvido
Tempo (h)
Quantidade de
Quantidade de
álcool (mg/l)
álcool estimado pelo
Erro relativo %
modelo (mg/l)
0
0,727
0,727
0
1
0,669
0,669
0
2
0,615
0,615
0
3
0,566
0,566
0
4
0,521
0,521
0
5
0,479
0,479
0
6
0,441
0,441
0
7
0,406
0,406
0
8
0,373
0,373
0
Fonte: A autora, 2012.
De acordo com Tabela 3, pode-se considerar o modelo bom, pois não existe
erro relativo entre os dados reais e os dados modelados. Sendo assim, podemos
dizer que o modelo encontrado condiz com o problema inicial e tal modelo pode
contribuir para desenvolver o conhecimento reflexivo.
3.6 RESPONDENDO OS PROBLEMAS
A partir da análise do erro relativo apresentado pelo modelo, consideramos
que sua aproximação é boa, ou seja, o modelo permite fazer previsões de qual será
a concentração de álcool no sangue com o passar das horas, permitindo responder
as questões levantadas:
A primeira questão é: Após uma pessoa ingerir 4 latas de cerveja qual é a
concentração de álcool no sangue?
A resposta para esta pergunta está expressa no modelo desenvolvido em
que E(t) representa a concentração de álcool no organismo com o passar de t horas
E(t) = 0,727  0,92 t
A segunda questão é: Doze horas após a ingestão de 4 latas de cerveja qual
é concentração de álcool no sangue?
29
De acordo com o modelo obtido, doze horas após a ingestão dessa
quantidade de bebida, a concentração de álcool no sangue é calculada tomando
t=12:
E(12) = 0,727  (0,92)12
E(12) = 0,727  0,367
E(12) = 0,266 mg/L
A terceira questão é: Depois de quanto tempo uma pessoa que ingeriu essa
quantidade de cerveja pode dirigir sem infringir as leis nacionais de trânsito?
Para não infringir as leis nacionais de transito a concentração de álcool no
sangue de uma pessoa não pode ultrapassar 0,2 mg/L. portanto este problema, em
linguagem matemática, pode ser interpretado como: Para qual valor de t teremos
E(t) igual a 0,2:
E(t) = 0,727  0,92t
0,2 = 0,727  0,92t
0,2
= 0,92t
0,727
0,275 = 0,92t
t = log0,92 0,275
t=
log 0,275
log 0,92
t=
 0,560
 0,036
t = 15,55 horas
ou t = 15 horas e 33 minutos
É importante que o professor destaque que a função E(t) é decrescente e
todos os valores de t maiores que o t = 15 horas e 33 minutos a concentração de
álcool no sangue será menor.
Além disso, para responder a terceira questão o professor pode auxiliar os
alunos na resolução se os mesmos não tiverem conhecimento sobre o conteúdo de
logaritmo, como também pode se um momento favorável para introduzir o conteúdo
de logaritmos.
30
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Trabalhar com uma atividade de Modelagem Matemática na sala de aula,
além de fazer com que os alunos pensem matematicamente, faz com que utilizem a
Matemática como uma ferramenta solucionadora de problemas de seu cotidiano,
além disso, a Modelagem Matemática possibilita que os alunos vejam a
aplicabilidade desta ciência no seu cotidiano, rompendo com a visão que muitos têm
que a matemática é distinta da realidade.
A Modelagem Matemática na Perspectiva Sócio-Crítica como alternativa de
ensino poderá oportunizar aos alunos uma participação ativa no seu processo de
ensino e aprendizagem, e é uma possibilidade de desenvolver no aluno
competências para se tornar um cidadão participativo e atuante na sociedade, pois a
Modelagem Matemática na Perspectiva Sócio-Crítica faz com que os alunos
analisem e reflitam sobre os resultados encontrados além de fazer com que
trabalhem com assuntos da realidade.
Apresentamos neste trabalho uma proposta de ensino que busca mostrar as
possibilidades de inserção no contexto de ensino do conteúdo matemático função
exponencial e do tipo exponencial, pensamos que a realização dessa proposta em
sala de aula é capaz de gerar no aluno um maior interesse em relação ao seu
aprendizado, além de oportunizar momentos para discussão em torno do tema e da
Matemática abordada podendo contribuir para que a aprendizagem ocorra, pois
através do tema proposto, o conteúdo matemático pode ser abordado e a situação
proposta analisada com foco na Matemática.
Acreditamos que as abordagens específicas dos problemas apresentados
poderão fomentar discussões políticas, sociais e econômicas referentes ao consumo
de álcool e aos acidentes de trânsito, promovendo a conscientização dos alunos, ao
mesmo tempo em que desenvolvem o pensamento matemático.
31
REFERÊNCIAS
ALMEIDA, L. M. W e BRITO, D.S. Modelagem matemática na sala de aula:
algumas implicações para o ens. e aprendizagem da mat. In: Anais... do XI CIAEM,
Blumenal, Rs, 2003.
ALMEIDA, L. M. W. DIAS, M. R. Um Estudo sobre o Uso da Modelagem
Matemática como Estratégia de Ensino e Aprendizagem. In: Bolema, Ano 17, nº
22, p. 19-35, 2004.
ALMEIDA, L. M. W. DIAS. Modelagem Matemática na Licenciatura em
Matemática: contribuições para o debate. In: Anais... SEMINÁRIO
INTERNACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, Santos - SP, 2003.
ALMEIDA, L. M. W. FERRUZZI, E. C. Uma perspectiva socioepistemologica para
a modelagem matemática. In: Anais... V Conferência Nacional sobre Modelagem
em Educação Matemática. Ouro Preto – MG, 2007.
BARBOSA, J. C. Modelagem matemática na sala de aula. Perspectiva, Erechim
RS, V.27 p. 65-74,2003.
BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática: O que é? Por que? Como? Veritati, n.
4, p. 73- 80, 2004.
BARBOSA, J. C. Modelagem na Educação Matemática: contribuições para o
debate teórico. In: Anais... REUNIÃO ANUAL DA ANPED, 24., 2001, Caxambu. Rio
Janeiro: ANPED, 2001. 1 CD-ROM.
BARBOSA, J. C.; SANTOS, M. A. Modelagem matemática, perspectivas e
discussões. In: Anais... ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA,
9, Belo Horizonte. Recife: Sociedade Brasileira de Educação Matemática, 2007. 1
CDROM Livro de modelagem da sbem 2007.
BARBOSA, J. C.; SANTOS, M. A., 9, Modelagem Matemática, perspectivas e
discussões. In: Encontro Nacional de Educação Matemática Belo Horizonte.
Anais... Recife: Sociedade Brasileira de Educação Matemática, 2007. Disponível em:
www.uefs.br/nupemm/cc86136755572.pdf. Acesso em: 20 de maio, 2012.
BASSANEZI, C. R. Sobre a Modelagem Matemática. In: Anais... III Conferência
Nacional de Modelagem em Educação Matemática, 2003.
BASSANEZI, R. C. Ensino aprendizagem com modelagem matemática: uma
nova estratégia. 3. ed., São Paulo: Contexto, 2009.
BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática. São
Paulo: Contexto, 2002.
BIEMBENGUT, M. S. HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. São Paulo:
contexto, 2000.
32
BRASIL. Secretaria de Educação e Média e Tecnologia. Parâmetros Curriculares
Nacionais para o ensino médio. (PCNEM). PCN+Ensino Médio; orientações
educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Linguagens,
códigos e suas tecnologias. Brasília: MEC/SEMT, 2002.
BURAK, D. Modelagem matemática: ações e interações no processo de ensinoaprendizagem. Tese (Doutorado em Educação) – Universidade Estadual de
Campinas, Campinas, 1992.
CENTRO DE INFORMAÇÃO SOBRE SAÚDE E ÁLCOOL (CISA). Disponível em:
<http://www.cisa.org.br/novo_home.php>. Acesso em: 20 de maio, 2012.
CÓDIGO DE TRÂNSITO BRASILEIRO (CTB) E LEGISLAÇÃO COMPLEMENTAR.
Disponível
em:
http://www.denatran.gov.br/publicacoes/download/CTB_E_
LEGISLACAO_COMPLEMENTAR.pdf. Acesso em: 14 de agosto, 2012.
IEZZI, G. Fundamentos da matemática elementar. 9. ed. São Paulo: Atual, 1999.
JACOBINI, O. R. A modelagem matemática como instrumento de ação política
na sala de aula. 2004. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Instituto de
Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2004.
JACOBINI, O. R. WODEWOTZKI, M. L. L. Uma Reflexão sobre a Modelagem
Matemática no Contexto da Educação Matemática Crítica. In: Bolema, Rio Claro
– SP, v. 19, nº 25, 2006.
OLIVEIRA, M. L. C. Modelagem matemática: reinventar as aulas de matemática
através de problemas do cotidiano. In: COLÓQUIO INTERNACIONAL
EDUCAÇÃO E CONTEMPORANEIDADE, 3, 2009, Itabaiana, SE. Anais... Itabaiana,
SE: UFS, 2009. 1 CD-ROM.
OREY, D. C. ROSA, M. A dimensão crítica da modelagem matemática:
ensinando para a eficiência sociocrítica. In: Horizontes, v. 25, n. 2, p. 197-206,
jul./dez. 2007.
PROGRAMA ÁLCOOL E DROGAS SEM DISTORÇÃO DO HOSPITAL ALBERT
EINSTEIN.
Disponível
em:
<http://revistagalileu.globo.com/Galileu/0,6993,
ECT900770-1706-5,00.html>. Acesso em: 02 de junho, 2012.
SILVEIRA, J. C. RIBAS, J. L. D. Discussões sobre modelagem matemática e o
ensino
aprendizagem.
Disponível
em:
<http://www.somatematica.com.br/artigos/a8/p2.php>. Acesso em: 28 de maio, 2012.
VERONEZ, M. R. D. Um Olhar sobre a Formulação de Problemas em
Modelagem Matemática. In: Anais... V Conferência Nacional sobre Modelagem em
Educação Matemática. Ouro Preto – MG, 2007.