Estudo dirigido - Mecânica dos Fluidos II
1. Considere um escoamento incompressı́vel tridimensional com simetria axial. Em coordenadas cilı́ndricas polares o vetor velocidade possui a forma
u(r, z) = vr (r, z)er + vz (r, z)ez ,
sendo que u é independente do ângulo polar φ. Mais ainda, a velocidade na direção
eφ é nula. A configuração do escoamento é idêntica em todo plano que passa pelo eixo
de simetria, definido pela direção ez . Note que, como no caso bidimensional, existem
apenas duas componentes da velocidade diferentes de zero e apenas duas coordenadas
efetivas. Portanto, se o escoamento é incompressı́vel, podemos definir uma função de
corrente Ψ, a qual é chamada função de corrente de Stokes.
Em coordenadas esféricas (r, θ, φ), o vetor velocidade u para um escoamento com simetria axial possui a forma
u(r, θ) = vr (r, θ)er + vθ (r, θ)eθ ,
em que θ é o ângulo entre er e a direção ez do eixo de simetria.
As relações entre Ψ e as componentes vr e vθ da velocidade são dadas por:
vr =
1
r 2 sin θ
∂Ψ
,
∂θ
vθ = −
1 ∂Ψ
.
r sin θ ∂r
Mostre que o campo de velocidade definido acima em termos de uma função de ponto
Ψ satisfaz a equação da continuidade para escoamento incompressı́vel.
2. Se o escoamento é irrotacional, podemos definir um potencial de velocidade Φ. As
relações entre Φ e as componentes vr e vθ da velocidade são dadas por:
vr =
∂Φ
,
∂r
vθ =
1 ∂Φ
.
r ∂θ
Mostre que o campo de velocidade definido acima em termos de uma função de ponto
Φ é irrotacioal.
3. As funções Φ e Ψ para um escoamento uniforme com velocidade V0 ez são dadas por:
Φ = V0 r cos θ,
1
Ψ = V0 r 2 sin2 θ.
2
Para um dipolo tridimensional com centro na origem as funções Φ e Ψ são dadas por:
Φ=
m
cos θ,
r2
Ψ=−
m 2
sin θ,
r
em que m é uma constante.
(a) Determine as funções Φ e Ψ para o escoamento em torno de uma esfera obtido
pela combinação de um escoamento uniforme V0 ez com um dipolo tridimensional
de intensidade m.
(b) Analise em particular a função de corrente Ψ = 0 e determine o raio r0 da esfera
em termos de m e V0 .
(c) Mostre que, em termos do raio r0 , o potencial Φ e a função de corrente Ψ para
este escoamento são dados por:
r03
1
1 r03
2
2
,
Ψ = V0 r sin θ 1 − 3
Φ = V0 r cos θ 1 +
2 r3
2
r
(d) Determine as componentes da velocidade em um ponto arbitrário (r, θ) no domı́nio
do escoamento. Em particular, obtenha as componentes da velocidade na superfı́cie da esfera e verifique se estas são compatı́veis com as condições de contorno
cinemáticas do problema. Verifique se o campo de velocidade satisfaz a condição
de contorno dinâmica. Localize os pontos de estagnação.
(e) Calcule a distribuição de pressão na superfı́cie da esfera. Despreze variações de
energia potencial. Quais os pontos de pressão máxima e pressão mı́nima?
(f) Examine a distribuição de pressão na superfı́cie da esfera e, sem fazer cálculos
explı́citos, determine a força de arrasto que o escoamento uniforme incidente exerce
sobre a esfera submersa. Este resultado predito pela teoria potencial concorda com
os experimentos? Justifique sua resposta utilizando argumentos fı́sicos.
(g) Anteriormente exploramos o caso de uma esfera imersa em escoamento uniforme
incidente. Obtenha agora o potencial de velocidade Φ e a função de corrente Ψ
para o escoamento gerado por uma esfera transladando com velocidade uniforme
V0 em um fluido que inicialmente encontrava-se em repouso. Este escoamento é
permanente ou transiente? Neste caso, qual é a forma apropriada da equação de
Bernoulli a ser utilizada para o cálculo do campo de pressão? Determine uma
expressão geral (em termos de integrais de superfı́cie) para a força sobre um corpo
imerso transladando com velocidade uniforme.
(h) Utilizando o potencial Φ determinado no item anterior, calcule a energia cinética
do fluido exterior à esfera. Obtenha a expressão para a chamada massa virtual
neste escoamento. Qual a energia necessária para colocar uma esfera submersa de
massa M em movimento uniforme com velocidade V0 .