DINAMICA
Até agora descrevemos apenas os movimentos

cinemática
As forças são as causas das modificações no movimento. Seu
conhecimento permite prever o movimento subsequente de um objecto.
O estudo das causas do movimento é a Dinâmica
As leis fundamentais do movimento foram formuladas
por Isaac Newton (1642-1727)
1
LEIS DE NEWTON
As leis que descrevem os movimentos de um corpo foram concebidas por Isaac
Newton em 1665-66
Hoje em dia são conhecidas como as Leis de Newton
e foram baseadas em cuidadosas observações dos
movimentos.
As leis de Newton permitem uma descrição (e
previsão) extremamente precisa do movimento de
todos os corpos, simples ou complexos.
Apenas em dois limites as Leis de Newton deixam
de ser válidas: na dinâmica de sistemas muito
pequenos (física quântica) ou em situações que
envolvem velocidades muito grandes (teoria da
relatividade restrita).
2
DINAMICA
Força
Estudaremos a mudança no movimento de partículas utilizando os conceitos de força
e de massa
As três leis fundamentais do movimento formuladas por Isaac Newton são baseadas
em observações experimentais.
PRIMEIRA LEI DE NEWTON
“Na ausência de forças externas, um corpo em repouso permanece em repouso e um
corpo em movimento permanece em movimento com velocidade constante (com
velocidade escalar constante e em linha recta)”
3
SEGUNDA LEI DE NEWTON
“A aceleração de um corpo é directamente proporcional à força resultante que age
sobre ele e inversamente proporcional a sua massa”

a

F
m
A segunda Lei de Newton na forma matemática é


f  ma
TERCEIRA LEI DE NEWTON

F12
“Se dois corpos interagem, a força
exercida pelo
 corpo 1 sobre o corpo 2 é
igual em módulo , mas oposta em direcção à força F21 exercida pelo corpo 2 sobre
o corpo 1”:


F12   F21
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O CONCEITO DE FORÇA
Todos nós temos uma compreensão básica do conceito de força  quando empurramos
ou puxamos um corpo exercemos força sobre ele.
Nem sempre as forças geram movimento de um corpo. Quando estamos sentados
lendo um livro a força gravitacional age sobre o nosso corpo, mas apesar disso
permanecemos parados.
Podemos empurrar um grande bloco de pedra e apesar disso não conseguir movê-lo.
Para a compreensão dos fenómenos macroscópicos é conveniente classificar as
forças em: forças de contacto e forças de campo
• Forças de contacto  envolve contacto
físico entre os objectos.
Exemplos : Forças de atrito (com o ar e com o
solo) e Força normal
• Força de campo  não envolve contacto físico
entre os objectos:
Força de resistência do ar
Força
normal
Força da
gravidade
Exemplo: Força de atracção gravitacional
Força de atrito com o solo
É importante observar que a distinção entre forças de contacto e forças de campo não
é tão precisa uma vez que a nível atómico aquelas forças classificadas como sendo
forças de contacto são devidas a forças eléctricas (forças de campo)
5
RESULTANTE DE FORÇAS
A resultante de i forças que agem sobre um corpo é:

  

FResultante  F1  F2  F3      Fi
Exemplo
Diagrama de corpo livre 
isolamos o corpo em questão e
colocamos
todas as forças
externas que agem sobre
o
corpo.

N 
T

P1

T

P2
6
A PRIMEIRA LEI DE NEWTON
Aristóteles
Antes de 1600 os cientistas acreditavam que os corpos em
movimento sobre a Terra tendiam ao repouso se nenhuma força
actuasse sobre ele
Galileu observou que a natureza de um corpo é de resistir a mudanças em seu
movimento
No livro "Diálogo a Respeito de duas Novas Ciências", Galileu apresenta o problema
do plano inclinado
Estudando o movimento de diversos objectos sobre um plano inclinado ele
observou que quando um objecto rola de cima para baixo no plano inclinado
o objecto esta sujeito a uma aceleração, quando o objecto e lançado de
baixo para cima no plano inclinado, o objecto sofre uma desaceleração.
7
CORPO DESCENDO UM PLANO INCLINADO
8
Observe as figuras abaixo:
“O movimento ao longo de um plano horizontal deve ser permanente."
A propriedade de um corpo de permanecer em movimento
chamado por Galileu de LEI DA INÉRCIA
numa linha recta foi
9
Mais tarde Newton formalizou esta observação, que é conhecida como sendo
a PRIMEIRA LEI DO MOVIMENTO DE NEWTON
“Na ausência de forças externas, um corpo em repouso permanece em
repouso e um corpo em movimento permanece em movimento com
velocidade constante (com velocidade escalar constante e em linha recta)”
Quando não agem forças sobre um corpo a sua aceleração é nula e a
velocidade é constante
 

 F  0  v  cte
O vector posição é
  
r  r0  v t
 
 dv
a
0
dt
O repouso é apenas o caso particular em que
 
v 0
Do ponto de vista da dinâmica, ausência de forças e resultante de forças
nula são equivalentes
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REFERENCIAIS INERCIAIS (DE INÉRCIA)
Referencial inercial é um referencial para o qual se uma partícula não está
sujeita a forças, então está parada ou se movimentando em linha recta e
com velocidade constante.
Se um referencial é inercial, qualquer outro referencial que se mova com
velocidade constante em relação a ele é também um referencial inercial.
Um referêncial inercial é aquele no qual a 1ª lei de Newton é válida
Na maioria das situações práticas (pequenos deslocamentos) pode-se
considerar uma boa aproximação de referencial, um sistema de referência
fixo na superfície da Terra
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Referenciais não inerciais
Num carro movendo-se para frente com aceleração constante, os passageiros têm a
impressão de estarem sendo acelerados para trás.
Para um observador dentro do carro, a causa da aceleração para trás é
desconhecida.
12
Se o carro estiver com uma velocidade v rectilínea e uniforme você
verá que o peso P estará sempre pendurado na vertical
Se você acelerar num trecho recto da estrada, aparecerá uma
aceleração que empurrará o peso P para trás ou seja na direcção
oposta à aceleração do carro

a
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MASSA INERCIAL
A massa inercial é a medida da resistência de um corpo a uma mudança no
movimento em resposta a uma força externa
Quantificamos essa resistência como a massa do corpo
É mais fácil arremessar uma bola de basquete ou uma bola de ténis ?
A bola de basquete tem mais massa inercial que a bola de ténis, portanto é
mais difícil modificar o movimento da bola de basquete
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A SEGUNDA LEI DE NEWTON

Quando exercemos uma força horizontal F sobre um bloco de madeira que se encontra

numa superfície horizontal sem atrito, o bloco se desloca com uma aceleração a
 

F1  F
a1  a
A experiencia mostra que se aplicarmos uma força duas vezes maior, a aceleração
duplica


F2  2 F

a 2  2a
e se aplicarmos uma força 3 vezes maior a aceleração triplica


F3  3F


a3  3a
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As duas observações referidas anteriormente
 Massa inercial: a massa inercial é a medida da resistência de um corpo a uma
mudança no movimento em resposta a uma força externa



 Exemplo anterior: F1  F  a1  a ;






F2  2F  a2  2a ; F3  3F  a3  3a
estão resumidas na SEGUNDA LEI DE NEWTON:
“A aceleração de um corpo é directamente proporcional à força resultante que
age sobre ele e inversamente proporcional a sua massa”

 f
a
m
onde

f
é a força resultante



f  F
A segunda Lei de Newton na forma matemática é


f  ma
Unidade de força no SI:
1 N  1 kg m/s 2
Válida apenas quando a massa do corpo permanece constante
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

f  ma
ou


dv
f m
dt
 esta relação é válida apenas quando a massa do corpo permanece constante.
Para situações em que a massa varia com o tempo temos que utilizar a forma
alternativa da 2ª lei de Newton onde se utiliza
o momento linear (ou quantidade de movimento)



p  mv
Unidade do momento linear no SI: kg m/s

 d (mv)
dv  dm
f 
 m v
dt
dt
dt
Assim a segunda Lei de Newton será
 dp
f 
dt
1 N  1 kg m/s 2
 o efeito da força sobre um corpo é mudar a quantidade de movimento desse corpo
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A SEGUNDA LEI DE NEWTON E O REFERENCIAL INERCIAL
Tal como formulada (


f  ma
), a segunda lei de Newton é válida apenas em
referenciais inerciais.
Em referenciais não inerciais ela deve sofrer correções.
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Desprezando o atrito do ar
g
g
Observadores
em
concordam entre si
dois
referenciais
inerciais

P
• sobre a resultante de forças agindo sobre o corpo
e
• sobre sua aceleração
Neste caso a força é o peso da bola


P  mg

P
19
A SEGUNDA LEI DE NEWTON E REFERENCIAIS NÃO INERCIAIS
20
Exemplo 15. Calcular a tensão nos fios e a aceleração dos blocos. Não há atrito entre o
bloco e a superfície. Os fios e a roldana são ideais.

N

 a
T
N  m1 g

 a
x
y
T
m1 g
Bloco 1
F  0  N m g
F  ma T  m a
y
1
x
F
Bloco 2 
y
x

1
(1)
m ay

m2 g  T   m2 a 
m2 g
T   m2 g  m2 a (2)
Como
 
T  T  , igualamos (1) e (2)
m1a  m2 a  m2 g 
a
m2
g
m1  m2

m1a  m2 g  m2 a
(m1  m2 )a  m2 g 
T  m1 a 
m1 m2
g
m1  m2
21
OUTRO MODO DE VER O PROBLEMA

N
m1 g

T

T
Tratamos m1 e m2 como um
corpo só com uma força interna
T. Nesse caso, T não precisa
aparecer no diagrama dos
blocos isolados.
m2 g  (m1  m2 )a
m2 g
m2
a
g
m1  m2
Trata-se na verdade de um problema unidimensional
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FORÇA ELÁSTICA
Um sistema físico no qual a força varia com a posição  um bloco ligado à uma mola

Faplicada  0

Fmola

Faplicada  0
Fmola  F ( x)  kx
 Lei de Hooke  lei de força para as molas
k é uma constante de força (ou constante elástica)
Fmola 
força restauradora 
o sinal negativo significa que a força exercida pela mola tem sempre direcção oposta
ao deslocamento
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A TERCEIRA LEI DE NEWTON
A TERCEIRA LEI DE NEWTON transmite a noção de que as forças são sempre
interacções entre dois corpos:

F12
“Se dois corpos interagem, a força
exercida pelo
 corpo 1 sobre o corpo 2 é
igual em módulo , mas oposta em direcção à força F21 exercida pelo corpo 2 sobre
o corpo 1”:
Exemplo


F12   F21


As forças F12 e F21

F12
constituem um
par acção-reacção
As forças do par ação-reação:
têm mesmo módulo e mesma direcção, e
sentidos opostos
nunca actuam no mesmo corpo

F21
nunca se cancelam
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1. O boxeador pode golpear um saco massivo com uma força considerável.
2. Com o mesmo golpe ele pode exercer apenas uma pequenina força sobre um lenço
de papel no ar.
(1)
Figura 1. O punho golpeia o saco (e
produz uma cavidade no saco) enquanto
o saco golpeia o punho de volta (e
interrompe o movimento do punho). Ao
atingir o saco, há uma interacção com o
saco que envolve um par de forças. O
par de forças pode ser muito grande.
(2)
Figura 2. O punho do boxeador pode
apenas exercer tanta força sobre o lenço
de papel quanto o lenço é capaz de
exercer sobre o punho.
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Outros exemplos da 3ª Lei de Newton
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PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
(OU LEI DA CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR)
Na ausência de forças externas, a quantidade de movimento permanece constante
(o momento total de um sistema isolado permanece constante)
Supomos duas partículas que interagem entre si.
De acordo com a terceira lei de Newton


p1  m1v1
e

F21

F12
formam um par acção e reacção e


F12  F21
Podemos expressar essa condição como
m1


F12  F21  0
 


dp1 dp2 d ( p1  p2 )

0

dt
dt
dt

F12

F21


p2  m2v2
m2
(num instante t)
 

p1  p2  ptotal  constante
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Exemplo 17. Suponha que um peixe nada em direcção a outro peixe menor. Se o
peixe maior tem uma massa de 5 kg e nada com velocidade de 1 m/s na direcção de
um peixe de 1 kg que está parado (v=0), qual será a velocidade do peixe grande logo
após o almoço? Desprezamos o efeito da resistência da água.
O momento linear total antes do almoço = O momento linear total depois do almoço


pantes do almoço  pdepois do almoço  constante 
MV  mv  MV'mv'  constante
(5 kg)(1m/s)  (1 kg)(0) (5 kg  1 kg)V '
5 kg m/s  (6 kg)V ' 
5 kg m/s  (6 kg)V ' 
V '  (5 / 6) m/s 
V '  0.8 m/s
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