22/Abr/2013 – Aula 18
Princípio de Incerteza de Heisenberg.
Probabilidade de encontrar uma partícula
numa certa região .
Posição média de uma partícula.
Partícula numa caixa de potencial:
funções de onda e níveis de energia.
24/Abril/2013 – Aula 19
Equação de Schrödinger.
Aplicações:
1º – partícula numa caixa de potencial
1
Aula anterior
Princípio de Incerteza de Heisenberg (cont.)
Se uma medição da posição for feita com precisão  x e,
simultaneamente, se se medir a componente p x do momento
com precisão  p x , então o produto das duas incertezas não
pode ser inferior a h / 2(2) .
x p 
Princípio da
Incerteza
2
com

h
2
Se existe uma incerteza no momento da partícula, também
existirá uma incerteza na sua energia.
E t 
2
Esta relação impõe um limite para a
medição da energia de um sistema.
2
Aula anterior
Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região
A probabilidade Pab de encontrar a
partícula no intervalo b  x  a é igual a
b
Pab    dx
2
a
Experimentalmente, existe sempre
alguma probabilidade de encontrar a
partícula num ponto para um dado
instante, pelo que a probabilidade vai
estar entre 0 e 1.
Por exemplo, se a probabilidade de
encontrar uma partícula entre dois
pontos for igual a 0,3 , então há 30% de
hipóteses de ela estar nesse intervalo.
A probabilidade de uma
partícula se encontrar
entre os pontos a e b é
igual à área definida pela
curva entre a e b.
3
Aula anterior
Posição média de uma partícula
A função de onda, para além de permitir calcular a probabilidade
de encontrar uma partícula numa dada região, também pode dar
informações de outras quantidades mensuráveis, como o
momento e a energia.
Em particular, é por vezes útil conhecer qual a posição média de
uma partícula numa dada região: valor expectável.
O valor expectável é definido como
b
x   x  dx
2
a
e é igual ao valor médio da posição da partícula representada
pela função de onda  na região delimitada por a e b.
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Aula anterior
Partícula numa caixa de potencial
a) funções de onda
b) distribuições de probabilidade
A partir da função de onda (x) = A sen (n  x / L) que tipo de
informações será possível obter acerca da partícula?
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Aula anterior
Partícula numa caixa (cont.)
 2
 n

com n = 1, 2, 3
No estado com menor energia
(n =1) esta tem o valor de
E1 
Energia
 h2
En  
 8 m L2

h2
8 m L2
Os estados mais energéticos
(n >1) têm energias
A energia mínima é > 0
E2 = 4E1, E3 = 9 E1 , …
Uma partícula numa caixa não pode ter energia nula
6
Equação de Schrödinger
Será possível usar o modelo da partícula numa caixa para prever os
níveis de energia electrónicos num átomo?
Problema:
O electrão não está confinado a uma caixa de paredes infinitas (nem
as paredes são verticais).
Modelo da energia potencial em
função da distância ao núcleo
para um átomo.
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Equação de Schrödinger (cont.)
Solução:
a equação de Schrödinger permite determinar as funções de onda
de uma partícula num poço de potencial qualquer, de uma maneira
sistemática;
a partir das funções de onda é possível determinar as densidades
de probabilidade, os comprimentos de onda, os momentos, os
níveis de energia, …
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Equação de Schrödinger (cont.)
A expressão geral (clássica) da equação das ondas para ondas que
se deslocam ao longo do eixo x é
2  1 2
x2 v2 t 2
em que v é a velocidade da onda e 
depende do espaço (x) e do tempo (t )
No caso mais simples, é possível separar a dependência no espaço
da dependência no tempo:
 (x, t ) =  (x) cos  t
Substituindo na equação das ondas, vem
cos  t   
2
x
2
-
2
v
2
 cos t 
 2
x
2
-
2
v
2

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Equação de Schrödinger (cont.)
Partindo da expressão anterior e considerando as relações de de
Broglie para as ondas (de matéria)  = 2 f = 2 v / e p = h / 
2
 2  2   4  2  2 p 2
   2  p  2
2
v
    h 
Sendo a energia total E a soma das energias cinética e potencial
p2
Etotal  Ecin U pot 
U pot
2m
p2  2 m  Etotal -U pot 
2
 2  p  2 m E -U
pot 
2
2
2  total
v
10
Equação de Schrödinger (cont.)
Substituindo na equação das ondas obtém-se a Equação de
Schrödinger na sua forma mais simples, independente do
tempo, para uma partícula com movimento ao longo de x :
2
-
2m
d 2  x 
dx
2
 U pot  x   x   Etotal   x 
Equação de Schrödinger
d 2  x 
dx
2
-
2m
2
 E -U 
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Aplicações da equação de Schrödinger
1º – partícula numa caixa de potencial
A equação de Schrödinger permite explicar os sistemas
atómico e nuclear, onde os métodos clássicos falham.
Equação de Schrödinger para uma partícula numa caixa:
d 2  x 
dx
2
-
2m
2
 E -U 
A energia potencial nas paredes da
caixa é nula e as paredes são infinitas.
U (x) = 0
para
0  x  L
U (x) = 
para
x 0 e x  L
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1º – partícula numa caixa de potencial (cont.)
Na região 0  x  L a equação de Schrödinger pode ser escrita como
d 2  x 
dx
2
-
2m
2
E
Para simplificar, se se fizer
d 2  x 
dx 2
k
2mE
 - k2
13
1º – partícula numa caixa de potencial (cont.)
Agora é necessário resolver a equação de Schrödinger para
determinar a função de onda  que representa a partícula na caixa.
Como as paredes são infinitas,  vai ser nula fora da caixa. Neste
caso, as duas condições fronteira são :
 (x) = 0 para x = 0 e x = L
A solução da equação de Schrödinger que satisfaz estas condições
é do tipo
  x   A sen  k x 
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1º – partícula numa caixa, verificação da solução
1ª condição fronteira :  (x) = 0 para x = 0
 É verificada (sen 0 = 0)
2ª condição fronteira :  (x) = 0 para x = L
 É verificada se k L for um múltiplo
Como se definiu
k
2mE
, tem-se, a
partir desta condição
k L
2mE
Energia
de , ou seja, se k L = n  , com n inteiro
L  n
A energia mínima é > 0
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1º – partícula numa caixa, verificação da solução (cont.)
k L
2mE
L  n
(em função
da energia)
 h2  2
En  
n

2
 8mL 


(idêntico ao resultado
obtido anteriormente)
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1º – partícula numa caixa, verificação da solução (cont.)
  x   A sen  k x 
k L
2mE
L  n
 n x 
  x   A sen 

L


Para determinar A vai ser necessário usar a condição de normalização:


 dx  1
2

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1º – partícula numa caixa, verificação da solução (cont.)
L
A probabilidade da partícula estar na caixa
(ou seja, em 0 < x < L) tem de ser igual a 1:
L
 n x 
  x   A sen 

 L 
Dado que
L

0

0

2
2
0
L
 n x 
 dx  A2 sen 2 
 dx  1
 L 
2

0
x sen 2ax 
sen2  ax  dx  
2
4a
2 L
 n x 
A sen 
 dx  A 2  1
L


2

 dx 1
 
2
L
18
1º – partícula numa caixa, verificação da solução (cont.)
  x 
2
 n x
sen 

L
L


(finalmente…)
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Uma partícula é descrita pela função de onda  = a x entre x = 0 e
x = 1 e por  = 0 fora desta região. O seu movimento está limitado
ao eixo x . Determine a probabilidade da partícula ser encontrada
entre x = 0,45 e x = 0,55 .
A função de onda pode ser representada por:

0
0,45 0,55
1
x
A probabilidade vai ser dada por:
0 ,55
3


x
2
2
2
P    dx   a x dx  a    0,025 a 2
 3  0 ,45
x0
0 ,45
x1
0 ,55
20