Exame Final de Teoria da Relatividade (Solução)
1. Uma partícula de massa de repouso m e velocidade v colide com outra partícula
de massa m1, em repouso, e formam uma única partícula de massa M. Escreva as
equações relativísticas de conservação de momento e conservação de energia para
a colisão.
a) Conservação do momento. Antes da colisão apenas a partícula de massa m e velocidade v tem
momento; a outra, de massa m1 está em repouso. Depois da colisão a partícula composta tem
velocidade V. Pelo princípio de conservação de momento o momento total antes da colisão é igual
ao momento total depois:
mv
1−
v2
c2
=
MV
V
1− 2
c
b) Conservação da energia. A energia total se conserva. Antes da colisão temos a energia total
da partícula em movimento e a energia de repouso da partícula em repouso. Depois da colisão
temos a energia total da partícula composta que tem velocidade V:
mc 2
Mc 2
2
m1c +
=
v2
V2
1− 2
1− 2
c
c
Observação: Só foi pedido que fossem escritas as equações de conservação de momento e
energia e nada mais.
2. Ache a velocidade de uma partícula que tem como energia cinética o dobro de sua
massa de repouso.
A energia total é dada por γ m c2 . A energia cinética é a energia total menos a energia de repouso.
Temos então:
γ m c2 - mc2 = 2 m c2 ⇒ (γ - 1) mc2 = 2 mc2 ⇒ γ - 1 = 2 ⇒ γ = 3 ⇒
1
1− β2
= 3 ⇒ 3 1 − β 2 = 1 ⇒ 9 (1- β2) = 1 ⇒ β2 = 1 - 1/ 9 = 8 / 9 ⇒ β = 2
2
⇒
3
v = 0,94 c
3. No referencial R são observados dois eventos A ( x1 = 1, y1 = y0, z1 = z0,
ct1 = 2) e B ( x2 = 5, y2 = yo, z2 = zo, ct2 = 1). Ache a velocidade do
referencial R' no qual os eventos são simultâneos.
No referencial R temos os eventos A ( 1, y0 , z0 , 2) e B ( 5, y0 , z0 , 1)
Então: ∆x = 4 e c ∆ t = -1
Vamos fazer uma TL para o referencial R' onde queremos que os eventos sejam simultâneos:
∆ t' = γ (∆ t -
v
∆x )
c2
Mas em R' os eventos sã o simultâneos, então
∆ t' = 0 e ∆ t -
v
v
∆x = 0, então ∆ t = 2 ∆x ⇒
2
c
c
c∆t
. Mas, c∆t = -1 e ∆ x = 4, então v = - c / 4.
∆x
A velocidade do referencial no qual os eventos A e B são simultâneos é c/4 no sentido do x
negativo.
v= c
4. Dois homens situados nas extremidades A e B de uma nave espacial de 15 m
de comprimento atiram um contra o outro. A nave tem velocidade c/5 , no
sentido de A para B, em relação a uma plataforma espacial. Uma testemunha na
nave diz que os homens atiraram simultaneamente. O que diz uma testemunha
que estava na plataforma, quanto a ordem dos tiros e ao intervalo de tempo entre
eles?
Vamos colocar o observador da nave (referencial R) no centro do nave e o observador da
plataforma (referencial R') em frente a ele no instante inicial.
No referencial R os eventos são A (-7,5 , 0, 0, t1) e B (7,5, 0, 0, t2). Então :
∆x = 15 m e ∆ t = t2 - t1 = 0 (porque os tiros são simultâneos)
Fazemos uma TL para o referencial da plataforma:
∆ t' = γ ( ∆ t -
v∆x
). Como ∆ t = 0 , ∆ t' =
c2
15v
=
1
= 1,02 ⋅ 10- 8 s.
0,98 ⋅ 108
v2
c2
É fácil ver que o observador da plataforma avança para o sinal de luz do atirador A e se afasta do
sinal do atirador B, então ele afirma que o atirador A dispara 1,02 ⋅ 10- 8 s antes do atirador B.
c2 1 −
5. O quadrivetor posição de uma partícula é rα = (x, y, z, ict). O quadrivetor
velocidade é definido por uα = drα / dto (α = 1,2,3,4), onde to é o tempo próprio, e
o momento é definido por pα = m u α. (α = 1,2,3,4). Demonstre que uα uα e pα
pα são invariantes.
A questão está resolvida no texto. Apenas uma observação: numa prova o estudante deve fazer o
desenvolvimento matemático que às vezes é omitido no texto. A prova é uma verificação do
conhecimento do aluno e não apenas de sua memória.