Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Tecnologia - PPGECT
Utilizando tangran no auxílio da geometria,
com alunos do Ensino Fundamental
Raquel Cristina Serafin Menegazzo
Rita de Cássia da Luz Stadler
Resumo
Analisando os negativos rendimentos escolares, na disciplina de
Matemática, tendo por base os resultados obtidos com o IDEP (Índice de
desenvolvimento da Educação Básica) e a Prova Brasil, percebeu-se a necessidade
de desenvolver atividades que estimulassem os alunos para tentar reverter essas
estatísticas. As avaliações citadas utilizam diversas questões que envolvem
conceitos geométricos, ou seja, destacando a importância do estudo da
geometria. A atividade apresentada neste artigo foi desenvolvida com alunos de
6ª série do Ensino Fundamental de uma Escola Municipal de Curitiba – Paraná,
com o objetivo de aprofundar conhecimentos relacionados à geometria. Os alunos
desenvolveram diversas figuras geométricas, utilizando como material o tangran.
Após essa atividade percebeu-se que o desempenho e o interesse dos alunos
aumentaram significativamente na disciplina.
Palavras-chave: ensino fundamental, geometria, tangran.
Abstract
Using tangran in aid of geometry: with pupils of elementary school
Analyzing the negative income students, in Mathematics, using for this the
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results obtained with the IDEP (Development Index of Basic Education) and the
Prova Brasil, it was felt the need to develop activities that encouraged the
students to try to reverse those statistics. The evaluations cited several issues
involving use geometric concepts, highlighting the importance of study of
geometry. The activity presented in this paper was developed with students from
6th grade on a Municipal School of Curitiba - Paraná, with the aim to increase
knowledge related to geometry. Students developed various geometric figures
using material like the tangran. After this activity we noticed that the students'
performance increased significantly in the discipline.
Keywords: elementary school, geometry, tangran.
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Introdução
Para determinar o desempenho dos alunos foram desenvolvidas algumas avaliações. O
Índice de Desenvolvimento da Educação Básica – IDEB, mede a qualidade da educação, possui
metas para cada escola e é realizado bianual. A Prova Brasil de Matemática analisa habilidades e
competências dos alunos. Ambas as avaliações são realizadas com alunos de séries finais do nível
fundamental e o IDEB também no médio.
Com as diversas avaliações de desempenho dos alunos e baixos índices, aumentou a
cobrança para com os professores diante desses resultados obtidos. Para que haja melhora dos
rendimentos, muitas escolas já estão investindo em aulas de reforço escolar, em período
contrário. Mas, a maioria dessas aulas enfocam a matemática básica.
Outro problema percebido é que a maioria dos professores de Matemática, priorizando a
matemática básica tão exigida nessas avaliações e para o cotidiano dos alunos, deixam a
geometria para o final do semestre letivo, isso também em função de vencer o conteúdo
programático.
Pesquisas ainda apontam que além dos alunos, alguns professores, tem dificuldades com a
geometria (SCHIRLO e SILVA, 2009), sendo esse um agravante para a defasagem dos alunos nessa
área, e expressa nas avaliações de desempenho.
Sabendo dos baixos índices obtidos pelos alunos, na disciplina de Matemática, em diversas
provas realizadas a nível nacional, procurando aumentar esses rendimentos para as avaliações
futuras, foi desenvolvida uma atividade envolvendo a geometria, com alunos de 6ª Série de uma
Escola Municipal de Curitiba, em 2008.
Um dos grandes problemas encontrados nessa escola era a indisciplina e a falta de
interesse, bem como seu rendimento escolar, ou seja, os baixos resultados observados nas
avaliações realizadas pelos alunos dessa escola: IDEB e Prova Brasil de Matemática. Ainda, foram
observados os Resultados Finais ou Taxas de Rendimentos Anuais dos alunos da rede municipal
de Curitiba.
Procurando tornar as aulas nessa escola mais dinâmicas e atrativas para os alunos, foi
desenvolvida a atividade com o tangran, pois durante as aulas de geometria é possível realizar
diversas atividades em que os alunos possam utilizar suas habilidades e criatividade para construir
figuras diversas.
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Desta forma unir aula prática, geometria e o tangran propiciou aprofundar as habilidades
dos alunos com a geometria, além de possibilitar a interação e a integração entre eles, o que
diminuiu a indisciplina.
Comparando rendimentos dos alunos
Ao se analisarem os resultados obtidos pela escola (dois dos dados analisados foram o
Índice de Desenvolvimento da Educação Básica (IDEB) e a Prova Brasil – Matemática, ambos
realizados com alunos dos anos finais do Ensino Fundamental) onde foi realizada esta pesquisa,
verificou-se ainda, que é necessário a intervenção do professor para que esses alunos aumentem
seu rendimento escolar e sua aprendizagem seja significativa.
O IDEB é um índice em que a escala utilizada é de zero a dez, e a pretensão nacional é
chegar à média superior a 6,0 no ano de 2022, que é a média dos países desenvolvidos. A Prova
Brasil é avaliada por meio de uma escala, que determina as habilidades e competências dos
alunos, relacionando às médias obtidas e metas atingidas durante a avaliação.
AVALIAÇÕES 2005
IDEB (índice)
PROVA BRASIL MATEMÁTICA (média)
Brasil
3,2
237,46
Município
4,2
253,42
Escola
3,2
239,31
Fonte: Adaptado do Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira – INEP
(2005) pela autora
AVALIAÇÕES 2007
IDEB (índice)
PROVA BRASIL MATEMÁTICA (média)
Brasil
3,5
240,56
Município
4,1
257,7
Escola
4,1
265,51
Fonte: Adaptado do Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira – INEP
(2007) pela autora
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Comparando os dados do IDEB percebe-se que em 2005 os resultados obtidos pelos alunos
da escola são iguais aos da média dos alunos do Brasil, porém, inferior ao da média do município
de Curitiba. Com relação aos resultados obtidos em 2007, a média obtida pelos alunos da escola é
igual a média dos alunos do município, porém, maior que a média do Brasil. E ainda, ocorreu um
aumento da média dos alunos da escola do ano de 2005 para 2007.
De acordo com os resultados da Prova Brasil de Matemática, em 2005, a média dos alunos
foi maior que a média geral a nível brasileiro, porém, menor que a média das outras escolas
municipais. Em 2007, a média dos alunos da escola foi superior a média dos alunos do município e
do Brasil. Com relação às duas provas realizadas pelos alunos da escola houve um aumento
significativo de um ano para o outro.
Com relação à média obtida na escola em 2005, 239,31 corresponde a 16,22% dos alunos
de 8ª série da escola analisada. E em 2007, a média de 265,51, correspondeu a 14,5% dos alunos,
dessa mesma escola. Apesar de haver aumentado a média dos alunos, o percentual de alunos
diminuiu de 2005 para 2007, na Prova Brasil de Matemática.
Como os dois indicadores foram realizados com alunos das 8ª séries, e a atividade foi
realizada com alunos de 6ª séries, foi utilizado ainda outro dado para analisar os rendimentos
desses alunos. Utilizaram-se os dados da Secretaria Municipal de Educação, no qual constam os
índices percentuais de aprovação de alunos da 6ª séries, na rede municipal de Curitiba, os dados
avaliados foram a partir do ano de 2004.
Ano\taxa de rendimento
Aprovados
Reprovados
Abandono
2004
80,11
17,91
1,98
2005
80,30
17,20
2,50
2006
79,33
18,54
2,13
2007
82,18
15,76
2,06
2008
75,71
22,69
1,60
Fonte: Adaptado da Secretaria Municipal de Educação de Curitiba pela autora
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Observa-se que o número de aprovações de alunos das 6ª séries diminuiu de 2004 para
2008, sendo que o percentual de reprovação e abandono somam quase 25%, em 2008. Isso
significa que um em cada quatro alunos, reprovou ou abandonou a 6ª série no último ano
analisado. Comparando com 2004 esse percentual era de aproximadamente 20% ou um entre
cinco alunos.
Comparando todos esses dados, percebe-se que os alunos apresentam várias dificuldades
na disciplina de Matemática, na 6ª série. É necessário reverter esse quadro, tornando as aulas
mais dinâmicas e atrativas, procurando desenvolver atividades diferenciadas que garantam o
aprendizado, para que quando estiverem na 8ª série, melhore esses resultados. Sendo ainda a
aprendizagem prioridade, se os alunos assimilam os conteúdos conseguem realizar as avaliações
de forma mais tranquila e segura.
Descobrindo a matemática e a geometria
O professor de matemática ao iniciar um ano letivo enfrentará diversos problemas, tanto
de aprendizagem quanto de afinidade pela disciplina por parte dos alunos que o acompanharão
no decorrer do ano letivo. Um deles é que a maioria dos alunos não gosta de matemática, porque
acreditam ser uma disciplina muito difícil, e muitas vezes sentem aversão pelo professor, pelo
simples fato de estar ministrando aulas desta disciplina (PASSOS et al, 2005).
Essa dificuldade, na maioria das vezes, não é sentida pelos professores de outras
disciplinas. Alguns alunos levarão consigo essa aversão, que muitas vezes surgiu antes mesmo de
iniciarem seu período escolar, por fatos comentados por seus familiares, histórias relacionadas
com a aprendizagem da Matemática.
Com relação às dificuldades implicadas ao ensinar matemática, Machado (2005, p. 9)
comenta que: “Ensinar Matemática tem sido, frequentemente, uma tarefa difícil. Às dificuldades
intrínsecas, somam-se as decorrentes de uma visão distorcida da matéria, estabelecida, muitas
vezes, desde os primeiros contatos”.
Outro autor que comenta sobre a relação da disciplina de Matemática e a relação com o
professor, é Lins (2005, p. 93), quando expõe que:
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[...] com relação à Matemática, muito mais do que em qualquer outra
disciplina, havia uma forte correlação positiva entre gostar do professor e
gostar da matéria, isto é, na grande maioria dos casos alunos se colocavam em
‘gostar do professor e gostar da matéria’ ou em ‘não gostar do professor e não
gostar da matéria’. [...]
Isso ocorre muitas vezes porque os alunos não relacionam a matemática da escola com a
matemática do seu cotidiano, diferentemente de português, por exemplo, onde é possível
relacionar a escola e as leituras que os alunos fazem no seu dia-a-dia, como leitura de placas,
conversas com outras pessoas, enfim, a língua escrita e falada é encontrada em seu cotidiano.
Um grande passo é quando o professor consegue transmitir aos seus alunos interesse pela
disciplina, envolvendo-os.
Muitos alunos acreditam que a matemática é uma disciplina fragmentada, que deve ser
estudada em partes, e muitas vezes não conseguem fazer associações. Relacionado a este fato,
Morin (2008, p. 14) comenta que:
[...] a inteligência que só sabe separar fragmenta o complexo do mundo em
pedaços
separados,
fraciona
os
problema,
unidimensionaliza
o
multidimensional. Atrofia as possibilidades de compreensão e de reflexão,
eliminando assim as oportunidades de um julgamento corretivo ou de uma
visão a longo prazo [...]
É necessário desenvolver atividades para ajudar os alunos a observarem essas diferenças,
compreendendo que o ensino de matemática é uma sequência, mas que muitas vezes pode-se
chegar a um mesmo resultado, utilizando diversos caminhos. O maior número de possibilidades
que forem dadas aos alunos para desenvolver essa capacidade lógica, servirá para diminuir seus
problemas futuros com a matemática, e quem sabe ainda, para incentivar a fazer suas próprias
conquistas e buscas.
Relacionado à geometria, Murari (2005, p. 198) comenta que ela é “parte do saber
matemático, exige linguagem e procedimentos apropriados para que suas relações conceituais e
sua especificidade quanto às representações simbólicas sejam entendidas”. Durante as atividades
que envolvam a geometria, é importante estar sempre reforçando os conceitos sobre as figuras
geométricas, já que figuras geométricas fazem parte do currículo desde a educação infantil, então
não é um conceito novo para alunos do Ensino Fundamental.
Com relação aos objetivos da geometria, Pedrosa e Santos (2004, p. 1) comentam que:
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A geometria é o ramo da matemática que contribui para o desenvolvimento do
raciocínio lógico, da percepção das formas e da sensibilidade para as artes,
tendo em vista que a mesma está presente em todos os momentos importantes
da vida da humanidade, seja na escola, no lazer, nas brincadeiras ou em casa.
É fundamental na aprendizagem, ampliando a capacidade do pensar e do agir.
É importante, portanto, utilizar a geometria para desenvolver o raciocínio lógico, para que
os alunos percebam as diversas formas e suas utilizações no cotidiano e ainda as associem às
artes em geral.
O tangran e a geometria
O tangran é um quebra-cabeça de origem chinesa, composto por sete figuras geométricas
(dois triângulos pequenos, um triângulo médio, dois triângulos grandes, um quadrado e um
paralelogramo), resultantes da decomposição de um quadrado. É possível, com ele, montar cerca
de 1700 figuras (PEDROSA e SANTOS, 2004; VIANA e OHSE, 2008).
No intuito de despertar o interesse dos alunos pela disciplina, foi utilizado o tangran
durante as aulas de geometria, já que os alunos demonstram interesse por jogos das mais
diversas áreas. Sabendo que nessa série são cobrados os conceitos básicos de geometria, conta
em Brasil (2001, p. 68) que:
[...] as atividades geométrica centram-se em procedimentos de observação,
representações e construção de figuras, bem como o manuseio de
instrumentos de medidas que permitam aos alunos fazer conjecturas sobre
algumas propriedades dessas figuras. [...]
Desta forma a importância de que os alunos compreendam as figuras geométricas básicas e
seus conceitos gerais. A utilização do tangran permite essas associações, e mesmo que
indiretamente, os alunos irão evoluindo para suas atividades futuras.
Relacionado a utilização do tangran à geometria, Brasil (2001, p. 123) reforça que:
Atividades que exploram a composição e decomposição de figuras, como
ladrilhamentos, tangrans, poliminós, fazem com que os alunos verifiquem que
o recobimento de uma superfície pode ser feito por determinadas figuras, como
triângulos equiláteros, quadrados, retângulos, hexágonos regulares. Assim
como
a
descoberta
de
que
toda
figura
poligonal
pode
ser
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composta/decomposta por outra e em particular por triângulos, o que facilita o
cálculo de áreas e a determinação da soma das medidas dos seus ângulos
internos.
Sabendo que a geometria de 6ª série estuda os polígonos regulares (triângulos e
quadriláteros), a utilização do tangran facilita aos alunos perceber como são formandos essas
figuras e também o seu desdobramento em outras. Outro fato é que a partir desses conceitos
elementares eles poderão partir para suas descobertas futuras e seus aprofundamentos nas
séries seguintes. Outro fato está associado ao alunos estarem desenvolvendo suas habilidades em
construir as figuras do tangran e quando percebem associaram ambos os conceitos (MENDONÇA,
2005).
Sobre os estímulos que acompanham a geometria, Murari (2005, p. 199) comenta que: “nas
atividades em que os estudantes são estimulados a explorar idéias geométricas utilizando
material que se pode manipular, proporcionam-se condições para a descoberta e o
estabelecimento das relações geométricas existentes no universo”. Desta forma é importante
utilizar materiais diversos para desenvolver a geometria, e para essas atividades é possível utilizar
vários materiais como o tangran, as dobraduras, figuras geométricas para construir cartões, são
apenas alguns exemplos que tornam as aulas de Matemática mais dinâmicas.
Construindo, recortando e criando
A atividade foi realizada com três turmas de 6ª série de uma Escola Municipal de Curitiba,
totalizando 105 alunos. Após as aulas teóricas de geometria, sobre triângulos e quadriláteros,
foram desenvolvidas diversas atividades onde os alunos construíam esses polígonos.
Após perceber que os alunos conseguiam desenhar os polígonos de forma correta,
utilizando a régua e os esquadros, além de que alguns conseguiam utilizar o transferidor para
medir os graus, passamos para a etapa da construção do tangran.
Os papéis utilizados para fazer os tangran podem ser os mais variados: sulfit, laminado,
camurça, krafit, vegetal, dobradura, entre outros. O papel utilizado para desenvolver esta
atividade foi o sulfit colorido, já que era um material de baixo custo e disponível na escola. Cada
aluno utilizou uma das cores para cada figura diferente que criou (amarelo, azul, rosa e verde).
Essa seria uma estratégia para que eles não misturassem as peças do tangran.
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A maioria dos alunos já haviam utilizado do tangran anteriormente, em forma de blocos de
madeira, com os quais construíam as figuras.
Para a primeira peça que produziram, foi o seu próprio tangran a partir de um quadrado. As
demais peças foram reproduzidas em papel sulfit para que os alunos apenas recortassem e
modelassem suas figuras, apenas para reduzir o tempo na realização da atividade.
Foram feitas diversas figuras pela professora, utilizando um tangran grande, as quais
ficaram expostas no quadro, servindo de modelos, para que os alunos a partir de observações
reproduzissem. Entre elas foram feitas a vela, o barco, o coelho, o gato. É claro que houve alunos
que já conheciam o tangran e que desenvolveram suas próprias peças. Ficou sugerido que uma
das atividades realizadas pelos alunos fossem criações próprias, diferente das apresentadas pela
professora.
A realização da primeira figura foi mais demorada, devido ao fato dos alunos terem
dificuldades em construir o quadrado, que seria a base inicial do tangran. Vários alunos tiveram
que ser auxiliados com os esquadros para conseguirem realizar essa etapa. A segunda etapa foi
construir as demais peças inseridas nesse quadrado, até que foram mais fáceis para os alunos.
Após a construção desse tangran, os alunos utilizaram primeiramente um modelo sugerido
para construir sua figura. Mas a partir da segunda figura, a maioria dos alunos, utilizou de sua
própria criatividade para construir as figuras. Alguns alunos observaram que, mudando o
posicionamento de uma ou mais peças, surgiam figuras diferentes das propostas.
Alguns alunos demoraram um pouco mais para descobrir que era necessário utilizar todas
as peças para construir as figuras, queriam utilizar menos peças ou mesmo repetir peças para
construir figuras diferentes.
Foi possível ainda observar que os alunos passaram a utilizar o nome de cada figura
geométrica para solicitar informações. Desta forma relacionando a geometria e o tangran.
Resultados e discussão
A partir desta atividade, percebeu-se que os alunos não apresentavam mais dificuldades
em distinguir as figuras geométricas: os triângulos, os quadrados e os paralelogramos. E nas
atividades posteriores, ficou mais simples o desenvolvimento de atividades que incluíam as
figuras geométricas.
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Para comprovar se esses dados realmente estavam corretos, foram utilizadas durante as
aulas seguintes, algumas questões que faziam parte de avaliações da Prova Brasil e da Olimpíada
Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, onde estavam contidas as figuras geométricas e
suas relações. Foi possível perceber que a maioria dos alunos conseguiu resolver essas questões
sem muitas dificuldades, comprovando assim que a atividade serviu para que eles relacionassem,
e quem sabe, nas avaliações futuras, melhores os resultados da escola.
Ainda durante as aulas em que foram realizadas as atividades, das avaliações de
desempenho, foi retomado com os alunos a importância da realização dessas avaliações e de que
forma o desempenho deles interfere no resultado da escola. Em avaliações anteriores, muitos
alunos disseram, não estar disposto a realizar toda a avaliação, pois há a possibilidade de eles
escolherem uma das resposta, então, nem sempre realizam as resoluções.
Ao realizar novamente essas atividades, os discentes perceberam que a maioria das
questões exige deles mais interpretação do que realização de cálculos, já que estão relacionadas
com questões do cotidiano envolvendo a matemática.
Considerações finais
Para realizar aulas práticas é necessário que o professor gaste mais energia até conseguir
organizar os alunos, porém, os resultados são fáceis de serem observados e ainda auxiliam no
desenvolvimento de conteúdos futuros.
Ainda é possível relacionar uma atividade prática, com outros conteúdos, o que torna o
aluno mais desperto para associar e relacionar as questões.
Após as primeiras atividades práticas, os alunos passam a se organizarem melhor para a
realização desse tipo de atividades. Ainda, é possível perceber, que os alunos ficam mais
receptivos em receber informações quando as atividades ficam mais descontraídas, porque
muitas vezes, esquecem que estão participando de uma atividade de matemática. Isso levou a
melhora do comportamento dos alunos, que passaram a ter uma melhor relação durante as aulas,
diminuindo assim a indisciplina.
A partir dessa atividade podem ser desenvolvidas outras envolvendo a geometria como:
dobraduras e cartões geométricos. As dobraduras além dos alunos estarem em contato com os
polígonos é necessário a coordenação para que as figuras construídas sejam visíveis. È possível
também construir cartões geométricos utilizando cartolina e papéis coloridos, que após serem
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recortados com os polígonos, são colados na cartolina construindo figuras com motivos diversos,
dependendo do tema sugerido.
A primeira atividade prática envolvendo a geometria é a mais difícil de realizar, já que há a
necessidade de estipular normas para que todos os alunos fiquem envolvidos, evitando assim os
tumultos ou a indisciplina. Uma aula é necessária basicamente para colocar as normas em prática
e propiciar aos alunos o primeiro contato com o material prático. Nas demais aulas, os alunos já
estão organizados e conseguem desenvolver bem as atividades.
Alunos que conseguem assimilar os conceitos gerais dos polígonos têm mais chances de
saírem-se bem na série seguinte, já que os conceitos serão aprofundados.
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Raquel Cristina Serafin Menegazzo. Mestranda do curso PPEGCT da UTFPR – Ponta Grossa.
[email protected]
Rita de Cássia da Luz Stadler. Doutora do curso PPEGCT da UTFPR – Ponta Grossa.
[email protected]
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