PROCEDIMENTOS DOS ALUNOS DURANTE O
DESENVOLVIMENTO DE UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM
MATEMÁTICA
Ana Paula Zanim Lorin
Universidade Estadual de Londrina
[email protected]
Lourdes Maria Werle de Almeida
Universidade Estadual de Londrina
[email protected]
Resumo:
Este trabalho tem por objetivo identificar os procedimentos utilizados por um grupo de alunos do 2º
ano do curso de licenciatura em matemática, na disciplina de Modelagem Matemática, durante o
desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática do terceiro momento de familiarização.
A metodologia utilizada é de caráter qualitativo e a análise é inspirada nas considerações da proposta
metodológica da Teoria Fundamentada (Grounded Theory), baseada principalmente, nas indicações de
Kathy Charmaz. A análise da atividade apresentada identifica os procedimentos dos alunos na
configuração, estruturação e resolução de uma situação-problema. Foi possível inferir que os alunos
envolvidos nessa atividade apresentam dificuldades com relação aos procedimentos, manipulação dos
dados e obtenção do modelo matemático que descreve a situação inicial.
Palavras-chave: Modelagem Matemática. Procedimentos dos alunos. Educação Matemática.
Introdução
A modelagem matemática consolidou-se nos últimos anos como um campo de
investigação em programas de pós-graduação ligados à área de Educação Matemática e
também já aparece como disciplina nas licenciaturas em Matemática, como, por exemplo, na
Universidade Estadual de Londrina, Universidade Estadual do Norte do Paraná e
Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Os estudos a respeito de modelagem
matemática em Educação Matemática têm diferentes abordagens, realizadas com diferentes
pressupostos no que se refere às perspectivas que norteiam as práticas educativas e as
estruturas teóricas das pesquisas científicas. Segundo Barbosa,
O crescimento do interesse por Modelagem Matemática no campo da
Educação Matemática tem sido visível nas últimas décadas. Trata-se de um
tema sempre presente nos eventos e publicações, suscitando interesse de
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professores e pesquisadores. Este crescimento tem impulsionado a
configuração de uma comunidade brasileira de pesquisadores em
Modelagem, cuja configuração parece estar relacionada à produção de
dissertações e teses (BARBOSA, 2003, p.84).
É o caso desse trabalho, que apresenta um recorte de uma dissertação em andamento.
Uma justificativa para estudar modelagem matemática, deve-se à sua implementação nos
currículos escolares, pois a introdução da modelagem matemática na sala de aula é vista como
uma possibilidade de estudar os conteúdos matemáticos e também de proporcionar ao aluno a
resolução de situações do seu cotidiano com vistas aos objetivos educacionais
complementares.
Partindo do pressuposto de que a implementação da modelagem matemática é uma
realidade em algumas licenciaturas, uma questão que se coloca, diz respeito ao modo como os
alunos lidam com as atividades de modelagem matemática, assim estamos interessados em
que(ais) encaminhamento(s)1 dos alunos podem ser identificados durante o desenvolvimento
de atividades de modelagem matemática. Isto é, este trabalho tem por objetivo identificar os
procedimentos utilizados pelo grupo de alunos do 2º ano de um curso de licenciatura em
matemática, na disciplina de Modelagem Matemática, durante o desenvolvimento de uma
atividade de modelagem do terceiro momento de familiarização proposto por Almeida, Silva e
Vertuan (2012).
A
metodologia
utilizada
para
analisar
os
procedimentos
dos
alunos
no
desenvolvimento da atividade de modelagem matemática é inspirada na proposta
metodológica da Teoria Fundamentada (Grounded Theory), baseada principalmente, nas
indicações de Kathy Charmaz (2006, 2009). Os dados para a análise foram coletados por meio
de observação direta dos alunos, aplicação de questionários, entrevista, anotações em diário
de campo, gravações de áudio e vídeos e registros escritos dos alunos.
Inicialmente, apresentamos nosso entendimento com relação à modelagem
matemática, no âmbito da Educação Matemática. Em seguida, descrevemos uma atividade de
modelagem desenvolvida por um grupo de alunos e analisamos olhando para os
procedimentos realizados, à luz dos aspectos teóricos que serão elencados.
Modelagem Matemática na Educação Matemática
Neste trabalho, entendemos a modelagem matemática como uma alternativa
pedagógica que relaciona a matemática escolar com questões extra matemáticas que
1
Encaminhamento: no sentido de como eles definem o “rumo” no desenvolvimento das atividades de
modelagem matemática.
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interessam aos alunos (ALMEIDA; BRITO, 2005). Nesse sentido, consideramos que uma
atividade de modelagem matemática pode ser descrita “em termos de uma situação inicial
(problemática) e de uma situação final desejada (que representa uma solução para a situação
problema) e de um conjunto de procedimentos” (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012,
p.12).
Nessa perspectiva, os procedimentos efetuados pelos alunos no desenvolvimento de
uma atividade de modelagem matemática estão associados aos métodos e ações utilizadas
pelos alunos para irem da situação inicial à situação final.
Uma atividade de modelagem matemática, na sala de aula, pode se desenvolver
seguindo uma sequência de etapas, conforme mostra a Figura 1,
Figura 1: Esquema de modelagem apresentado por Bassanezi (2011, p.27)
De acordo com Bassanezi (2011), o processo envolvido em uma atividade de
modelagem é dinâmico, repletos de ir e vir, conforme é indicado pelas setas pontilhadas.
Atividades de modelagem matemática colocam os alunos em contato com práticas
que, de forma geral, não lhe parecem corriqueiras na sala de aula, como é o caso do
envolvimento com uma situação-problema e, em muitos casos, com a própria definição de um
problema. A familiarização do aluno com a modelagem pode ser realizada gradativamente,
caracterizando três diferentes “momentos”:
Em um primeiro momento, o professor coloca os alunos em contato com
uma situação problema, juntamente com os dados e as informações
necessárias. A investigação do problema, a dedução, a análise e a utilização
de um modelo matemático são acompanhadas pelo professor, de modo que
as ações como definição de variáveis e de hipóteses, a simplificação, a
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transição para linguagem matemática, obtenção e validação do modelo bem
como o seu uso para a análise da situação, são em certa medida, orientadas e
avalizadas pelo professor.
Posteriormente, em um segundo momento, uma situação é sugerida pelo
professor aos alunos, e estes, divididos em grupos, complementam a coleta
de informações para a investigação da situação e realizam a definição de
variáveis e a formulação de hipóteses simplificadoras, a obtenção e
validação do modelo matemático e seu uso para a análise da situação. O que
muda, essencialmente, do primeiro momento para o segundo é a
independência do estudante no que se refere à definição de procedimentos
extramatemáticos e matemáticos adequados para a realização da
investigação.
Finalmente, no terceiro momento, os alunos divididos em grupos, são
responsáveis pela condução de uma atividade de modelagem, cabendo a eles
a identificação de uma situação-problema, a coleta e análise dos dados, as
transições de linguagem, a identificação de conceitos matemáticos, a
obtenção e validação do modelo e seu uso para a análise da situação, bem
como a comunicação desta investigação para a comunidade escolar
(ALMEIDA, SILVA, VERTUAN, 2012, p. 26).
A orientação e a colaboração do professor, mais intensa no primeiro e no segundo
momento, podem conferir ao aluno confiança, independência e autoridade para delimitar uma
situação-problema, e buscar por meio da matemática uma solução. Deste modo, a
independência do aluno para o desenvolvimento da atividade vai se intensificando e
solidificando no decorrer desses diferentes momentos, tornando-se responsável por todos os
procedimentos no terceiro momento.
O envolvimento do aluno com atividades de modelagem matemática nos permite
direcionarmos nosso olhar para alguns aspectos desse envolvimento, por exemplo, o “como”
esses alunos se tornam modeladores e quais as características desses modeladores, suas
dificuldades e barreiras para com a modelagem, bem como seus estilos de pensamento. Nesse
sentido, Maaβ (2005, p.10), caracteriza por meio de competência de modelagem dos alunos2,
quatro tipos de modeladores, sendo eles: “modelador da realidade-distante; modelador da
matemática-distante; modelador reflexivo; modelador desinteressado”. Já Blum e Ferri
(2009), apontam que possíveis dificuldades podem ser evidenciadas no modo como os alunos
lidam com atividades de modelagem, segundo eles, essas dificuldades podem ser observadas
nas seguintes fases da modelagem: construção do modelo (o aluno ignora o contexto e realiza
os cálculos); simplificação (o aluno tem dificuldade em fazer suposições) e validação (o aluno
não verifica se a solução é razoável e adequada).
2
“a capacidade de construir modelos realizando esses passos várias vezes, bem como analisar ou comparar
modelos dados” (BLUM; FERRI, 2009, p.47),
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No que diz respeito às dificuldades e as competências dos alunos, Borromeo Ferri
(2006) caracteriza „rotas de modelagem dos alunos‟ como sendo os caminhos que eles
percorrem para desenvolver uma atividade de modelagem matemática.
Considerando o aporte teórico apresentado, temos a intenção de analisar os
procedimentos de um grupo formado por três alunos durante o desenvolvimento de uma
atividade de modelagem matemática no terceiro momento de familiarização. A seguir,
apresentaremos as etapas percorridas para o desenvolvimento deste trabalho.
Aspectos metodológicos
A metodologia utilizada para analisar os procedimentos dos alunos durante o
desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática é inspirada na proposta
metodológica da Teoria Fundamentada (Grounded Theory), baseada principalmente, nas
indicações de Kathy Charmaz (2006, 2009).
Segundo Charmaz (2009), os dados formam a base da teoria e a análise que o
pesquisador faz dos dados origina a teoria, ou pelo menos alguns aspectos dessa teoria,
contrariamente às estratégias habituais em que os dados são analisados a partir de uma base
teórica. A autora afirma que a análise dos dados conduz a uma compreensão teórica da
experiência estudada. Nesse sentido, procuramos codificar os procedimentos com palavras
que indicassem ações, conforme indicação teórica: “A codificação na teoria fundamentada
incentiva o estudos da ação e dos processos” (CHARMAZ, 2009, p.70).
O grupo envolvido nesse trabalho desenvolveu uma atividade considerada do terceiro
momento de familiarização como proposto por Almeida, Silva e Vertuan (2012), em uma
disciplina de Modelagem na UTFPR – Cornélio Procópio. A atividade foi denominada por
eles como “Todo cuidado é pouco! O número da Aids”. Optamos, em analisar os
procedimentos durante o desenvolvimento de uma atividade de apenas um grupo, devido à
quantidade de dados coletados e o limite desse texto.
A atividade especificada nesse trabalho e desenvolvida pelo grupo exigiu dos alunos a
escolha do tema, do problema a ser resolvido, bem como sua resolução, concluindo com uma
apresentação para todos os alunos da disciplina. A atividade teve orientação da professora
regente da turma, bem como da pesquisadora, primeira autora deste trabalho.
Os dados para a análise foram coletados por meio de observação direta dos alunos,
aplicação de questionários, entrevista, anotações em diário de campo, gravações de áudio e
vídeos e registros escritos dos alunos. Buscamos, a partir desses dados e por meio da análise
identificar os procedimentos do grupo na atividade.
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Análise dos procedimentos dos alunos na atividade de modelagem: “Todo
cuidado é pouco! O número da Aids”
Para a análise consideramos um grupo formado por três alunos, que iremos denotar
por A1, A2 e A3, indicaremos por P a professora regente da turma e por p a pesquisadora.
Para uma melhor identificação dos códigos que, em geral, são palavras ou uma sequência de
palavras que indicam ação, identificaremos no formato itálico os códigos que indicam os
procedimentos realizados pelo grupo.
No terceiro momento de familiarização com atividades de modelagem matemática,
referente a atividade em questão, os alunos desenvolvem a atividade de forma independente,
ou seja, escolhem o tema, levantam os dados, o problema que querem investigar, sendo
responsáveis por todo o processo de desenvolvimento. Desse modo, a professora da turma,
inicialmente pediu para que os alunos anotassem o que eles estavam pensando em investigar,
para que tivéssemos acesso aos registros de suas primeiras ideias.
Inicialmente os tiveram diferentes ideias, pesquisaram a respeito de vários temas,
como mostra o diálogo abaixo,
A1: tenho uma ideia, mas não sei como podíamos modelar isso: planetas habitáveis
podem ser comuns, um quinto das estrelas parecidas com o Sol tem planetas
habitáveis, a estrela mais próxima com planetas habitáveis está há 12 anos luz, aí tipo,
tem distância, envolve matemática, mas eu não sei como colocar isso, entendeu.
Acharam um planeta e tem as informações dele.
A1: e aí gente, vamos expor as ideias.
A2: eu estava pensando em fazer sobre a quantidade de presidiários que tem no Brasil.
p: mas daí seria só contar a quantidade?
A2: não eu queria saber se um dia vai ter a mesma quantidade de presos que tem lá
fora. Então a A1 achou um de galáxias e a A3 sobre o pré-sal, bem legal, só que não
temos o volume do pré-sal, temos a área.
A1: eu peguei mais ou menos o que é redes sociais e tem a ver com a matemática
(lendo o que pesquisou para os colegas), e eu peguei uma tabela que tem todas as
redes sociais com a quantidade de todos os seguidores. Mas a do planeta é muito legal
gente, de verdade, eu já pensei em um problema, mas não sei. Bom, vou ler tudo pra
vocês me ajudarem a encontrar um problema (lendo sobre o tema); é legal o tema, tipo
assim da pra gente fazer uma modelagem da distância. Quais seriam os planetas
habitáveis daqui a tantos anos luz? Vamos escrever esse que a gente trouxe. Então
vamos selecionar o que nós vamos procurar, do pré-sal já sabemos que não dá, então
vamos procurar sobre os planetas e sobre os presídios.
Em outra aula o grupo relata que não gostaram dos temas que tinham discutido e
mudaram de tema,
p: e aí, vocês mudaram de tema?
A1: é nós não gostamos dos outros temas.
O tema escolhido pelo grupo foi “Todo cuidado é pouco! O número da Aids”, no trabalho
final entregue pelos alunos podemos notar que o grupo coloca no item que escolheram como sendo
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apresentação da situação-problema, os dados que levantaram a respeito do tema, conforme mostra a
Figura 2,
No dia 1º de dezembro é comemorado o dia Mundial de Luta contra a Aids. Uma decisão da Assembleia
Mundial de Saúde, adotada no Brasil, a partir de 1988.
AIDS é a Síndrome da Imunodeficiência Humana, e se caracteriza pelo enfraquecimento do sistema
de defesa do corpo e pelo aparecimento das doenças oportunistas. Como esse vírus ataca as células de defesa
do nosso corpo, o organismo fica mais vulnerável a diversas doenças, como um simples resfriado até infecções
mais graves como tuberculose e alguns tipos de cânceres.
Neste domingo (1/12), Dia Mundial de Luta Contra a AIDS, o Ministério da Saúde divulgou o novo
boletim sobre a doença no Brasil. são estimados 718 mil portadores de HIV, dos quais cerca de 150 mil ainda
não sabem de sua condição. “São quase três Maracanãs lotados”.
Os números demonstram que a Aids, no Brasil apesar de concentrar-se em populações vulneráveis,
está também muito presente no universo feminino. De 1980 a junho de 2011, foram identificados 397.662
(65,4%) casos da doença no sexo masculino e 210.538 (34,6%) no sexo feminino. No entanto, essa diferença
vem diminuindo ao longo dos anos. Em 1989, a razão era de seis homens infectados para cada mulher,
enquanto em 2010 passou para de seis a cada 1,7. Em 2010, a taxa de incidência entre homens foi de 22,9
casos por 100 mil habitantes e nas mulheres, a taxa foi de 13,2 por 100 mil habitantes.
Em 2010, foram registrados mais casos de mulheres entre 13 e 19 anos com Aids do que homens da
mesma faixa etária. Segundo dados divulgados pelo Ministério da Saúde, em 2010, foram registrados 349
casos de Aids entre meninas contra 296 notificações do vírus entre meninos. Pelos números, a incidência da
doença entre mulheres jovens é de 2,9 para cada 100 mil habitantes, enquanto entre homens a taxa é de 2,5
para cada 100 mil habitantes.
Até 30 de junho de 2011, 137 meninas de 13 a 19 foram infectadas, enquanto 110 jovens do sexo
masculino tiveram a doença detectada. "Temos uma grande preocupação com mulheres jovens, de 13 a 19
anos, pelo fato de ter mais mulheres que homens nessa faixa etária e pelo aumento dos casos de Aids entre
meninas”, disse o ministro da Saúde, Alexandre Padilha, em entrevista coletiva. Por causa do aumento de
casos de Aids no sexo feminino, um dos focos da campanha de prevenção do governo federal serão mulheres
de 13 a 19 anos.
Quando se leva em consideração tanto homens quanto mulheres, a incidência da enfermidade é
maior entre pessoas de 35 a 39 anos. De acordo com o Ministério da Saúde, em 2010, a taxa de incidência da
doença entre pessoas dessa faixa etária é de 38,1 para cada 100 mil habitantes. A taxa de incidência da doença
entre homens dessa faixa etária passou de 67,8 casos a cada 100 mil habitantes em 1998 para 49,4 em 2010. Já
a verificada entre mulheres aumentou de 26,8 casos a cada 100 mil habitantes para 27,4. A segunda faixa
etária com maior incidência é entre 30 e 34 anos (37,4 para cada 100 mil habitantes).
Na faixa etária acima de 50 anos, a taxa entre mulheres aumentou 75,9% em 2010 na comparação
com os dados de 1998. Nos homens, a incidência passou de 14,5 casos por 100 mil habitantes em 1998 para
18,8 no ano passado.
O Brasil vai parar de crescer em 2042. Uma nova projeção para a população brasileira, divulgada
nesta quinta-feira pelo IBGE, mostra que o país vai atingir o seu ápice populacional naquele ano, quando terá
Fonte:
acervo da
228,4 milhões
de autora
habitantes. A partir daí, a população começa a decrescer - em 2060, por exemplo, já estará
no mesmo nível de 2025, um total de 218,2 milhões de pessoas. Em 2013, a população é de 201 milhões.
Figura 2: relatório final dos alunos
A partir de todo o levantamento das informações, o grupo formulou o seguinte
problema: “levando em consideração essas informações , surge o interesse em investigar, no
ano do ápice populacional do Brasil (2042), o número de incidência de casos de aids será
maior nos homens ou nas mulheres”?
O grupo levanta e manipula os dados da apresentação da situação-problema,
conforme mostra o diálogo,
A1: só que eu tenho que colocar os dados de 2010 e 2009, alguém olha pra mim.
A2: 2009: homem é 25 e mulher é 15,5; 2010: homem é 22,9 e mulher é 13,2.
A3: e aí está ficando próxima a diferença?
A2: mais ou menos; tem mais padrão do que torto.
A1: vai dar linear isso não vai.
A2: acho que não...
A1: é verdade vai subir mais aqui...começou a cair de novo.
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A2: uhum
A2: subiu de novo...
A3: é bom ir plotando, talvez fique mais fácil.
A3: a gente podia pegar um padrão de dois em dois
A2: também acho...porque de cinco em cinco vai ficar muito tendencioso.
A1: pronto já plotei
A2, A3: vamos ver
A1: quais vão ser os anos?
A2: 90, 91...
A1: nossa deu assim ó (aponta para o computador)
A2: deixa eu ver. Ó esse pedacinho que ela deu desnivelada, que ano que é? Podemos
não pegar ele. E como é só um podemos deixar e falar que ele é um ponto discrepante.
A1: vou fazer de cinco em cinco pra ver
A2: vou fazer de três em três
A1: esse aqui não deu discrepante. (aponta para as plotagens que ele fez) De dois deu
mais cheinho né.
A2: o de três em três ficou horrível.
A2: olha eu acho que vai ser uma senóide.
A1: acho que vai ser um cosseno.
A1: vem aqui ver professora os gráficos. Esse aqui é a diferença de todos.O gráfico,
fizemos de um em um, dois em dois, três em três...
P: e aquela de 100% vocês fizeram, a diferença de percentual?
A1: ainda não.
A2: como faz?
P: tem que ser assintótica
A2: mas e se ela não for?
A3: professora, não incluímos no modelo, mas e se considerarmos que um dia vai
acabar.
P: tentem fazer a diferença de percentual pra ver se vocês encontram alguma
regularidade.
A2: é 100 menos a taxa de homem, depois é 100 menos em taxa de mulher.
A1: nossa gente desiste, ficou muito estranho.
A2: ah vamos deixar de dois em dois então. Ficou parecendo uma galáxia tudo
disperso nosso gráfico.
A1: professora vem ver como ficou.
P: por que aquele último ficou tão grande? Vamos usar o curves pra ver qual função se
aproxima.
P: tá vendo que ele traçou a melhor curva, agora você precisa ver qual vai ser a
melhor.
A1: nossa
Nesse diálogo, podemos inferir que o grupo estuda o comportamento dos dados
fazendo uso do excel, com o intuito de encontrar um modelo matemático que descreva a
situação inicial que propuseram. Também na entrevista do aluno A1, inferimos que o grupo
teve dificuldades em manipular os dados, conforme mostra a Figura 3,
[...] então a gente se reuniu várias vezes e não saia nada, nós perdemos bastante tempo nisso,
acho que uma semana e meia se vendo todo dia e não conseguia fazer nada, a gente fazia os
gráficos, tentava fazer, então os nossos dados eram assim, a gente teve que lidar com uma coisa
que a gente ainda não tinha aprendido, a gente tinha vários dados e a gente precisou aprender a
lidar com esses dados de uma maneira que usasse da melhor forma pra deduzir o modelo, pra
responder o que a gente queria.
Figura 3: trecho da entrevista do aluno A1
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No relatório final do grupo, na matematização da situação, o grupo realiza o
levantamento das hipóteses, selecionam as variáveis, deduzem o modelo e validam o modelo,
conforme mostra a Figura 4,
Hipóteses:

A população brasileira atingirá seu ápice em 2042,
com 228.350.224 habitantes dos quais 116.616.790
serão mulheres e 111.734.134 serão homens.

A situação pode ser representada através de um
modelo por partes. A primeira por uma função
polinomial do 3° grau, no intervalo de 1990 a 2005,
e a segunda, no intervalo de 2005 a 2010, por uma
exponencial decrescente.
Taxa de incidência de Aids.
Taxa de incidencia.
Variáveis:

Variável independente: Tempo (t).

Variável dependente: Taxa de incidência de Aids
masculino (M) e feminino (F).

Quantidade total da população (Q(P)).

Variável auxiliar: (x).
homens
1980
1990
2000
2010
2020
Tempo.
Sexo Masculino:
Analisaremos o gráfico dividindo-o em duas partes: a primeira será com os
quatro primeiros pontos e a segunda com os dois últimos.
Primeira parte:
Para construção do modelo matemático da situação, consideramos os
quatro pontos conhecidos para aplicar em m(x)= ax3+bx+c. Tomamos
então os pontos (0; 10,74), (1; 20,83), (2; 22,75) e (3; 23,22).
Temos então o seguinte sistema de equações:
Encontrando o modelo:
{
Como na tabela apresentada, escolhemos alguns pontos
estratégicos que variam de 5 em 5 anos.
Variável auxiliar
x
mulheres
𝒕 𝟏𝟗𝟗𝟎
𝟓
Plotando os pontos temos o gráfico:
d= 10,74
c= 10,09 – b – a (1)
8a+ 4b+ 2(10,09- b- a) + 10,74= 22,75 (2)
8a+ 4b+ 20,18- 2b- 2a= 12,01
6a+ 2b= -8,17
b=
b= -4,085 – 3a
(3)
Substituindo b em (1), temos:
c= 10,09- (- 4,085- 3a) –a
c= 10,09+ 4,085+ 3a- a
c= 14,175 + 2a (4)
27a+ 9(-4,085- 3a)+ 3(14,175+2a)= 12,48 (5)
27a -36,765 -27a +42,525 +6a = 12,48
6a= 49,245 -42,525
6a= 6,72 a=1,12
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Substituindo a em (4), temos:
c= 14,175 + 2(1,12)
c= 14,175 +2,24
c= 16,415
Substituindo c em (3), temos:
b= -4,085 – 3(1,12)
b= -4.085 -3,36
b= -7,445
Portanto,
{
Substituindo a variável:
 Validando a primeira parte:
m(0)= 10,74
m(1)= 1,12 -7,445 +16,415 +10,74
m(1)= 20,83
m(2)= 1,12(8) -7,445(4) +16,415(2) +10,74
m(2)= 8,86 -29,78 +32,83 +10,74
m(2)= 22,75
m(3)= 1,12(27) -4,445(9) +16,415(3) +10,74
m(3)= 30,24 -67,005 +49,245 +10,74
m(3)= 23,22

Segunda Parte:
Para a construção da segunda parte do modelo matemático
consideramos os pontos (3; 23,22) e (4; 22,9), e a expressão m(x)=
abx.
Note que temos o seguinte sistema de equações:
ab4= 22,9
{
ab3= 23,22 (1)
a=
𝑏
(b4)= 22,9
23,22b= 22,9
b=
Substituindo em (1), temos:
4
a(0,986218776) = 22,9
b= 0,986218776
a(0,946004203)= 22,9
a= 24,20708061
Assim,
m(x)= 24,20708061(0,986218776)x
 Validando a segunda parte:
m(3)= 24,20708061(0,986218776)3
m(3)= 23,22
m(4)= 24,20708061(0,986218776)
m(4)= 22,90000001
(
{
Assim,
m(x)= 1,12x3-7,445x2+16,415x+10,74
)
Sexo feminino:
Analogamente analisaremos o gráfico da incidência
de Aids no sexo feminino.

Primeira Parte:
Para a construção do modelo matemático da
situação, consideramos quatro pontos conhecidos e
aplicamos na f(x)= ax³+bx²+cx+d. Tomamos então
os pontos (0; 1,96), (1; 7,45), (2; 13,05) e (3; 15,5).
Substituindo os pares ordenados na
expressão geral da função, obtém-se o seguinte
sistema de equações lineares:
d= 1,96
a+ b+ c+ d= 7,45
8a+4b+2c+d=13,05
27a+9b+3c+d=15,5
a=5,49-b-c (1)
8(5,49-bc)+4b+2c=11,9
43,92-8b-8c+4b+2c=11,09
-4b-6c=-32,83
2b+3c=16,415
3c=16,415-2b
c=
(2)
27(5,49-b-c)+9b+16,415-2b=13,54
148,23-27b-27c+9b+16,415-2b=13,54
-20b-27(
)+164,645=13,54
-20b-9(16,415-2b)=-151,105
-20b-147,735+18b=-151,105
-2b=-3,37
b=1,685 (3)
Substituindo b em (2), temos:
c=
4
c=
c=4,348
Substituindo b e c em (1), temos:
a=5,49-1,685-4,384
a=-0,543
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Assim,
f(x)=-0,543x³+1,685x²+4,348x+1,96

Validando a primeira
parte:
f(1)= )=-0,543.1³+1,685.1²+4,348.1+1,96
f(1)=7,45
f(2)=-0,543.2³+1,685.2²+4,348.2+1,96
f(2)=-4,334+6,74+8,69+1,96
f(2)=13,052
f(3)=-0,543.3³+1,685.3²+4,348.3+1,96
f(3)=-14,661+15,165+13,044+1,96
f(3)=15,508

Substituindo (2) em (1), temos:
a(0,617627605)=15,5
a=25,09602854
Assim,
f(x)= 25,09602854
 Validando a segunda parte:
f(3)= 25,09602854(0,851612903)³
f(3)= 25,09602854. 0,617627605
f(3)=15,50000001
f(4)=
f(4)= 25,09602854(0,525979637
f(4)=13,2
Portanto,
Segunda Parte:
Para continuarmos a construção do modelo
matemático, nesta segunda parte vamos
considerar os pontos (3; 15,5) e (4; 13,2), na
expressão f(x)=
.
ab³=15,5
=13,2
𝑏
={
Substituindo a variável:
.𝑏 =13,2
{
(
)
(15,5)b=13,2
b=0,851612903 (2)
a=
(1)
Figura 4: relatório final do grupo
Na Figura 4, destacamos que o grupo realizou a validação concomitante com a
dedução do modelo.
O grupo coloca em seu relatório final o item interpretação e validação, onde eles
respondem o problema, conforme indica a Figura 5,
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Analise do modelo e de suas estimativas.

Em 2042 haverá aproximadamente:
Respondendo ao problema:
Homens: 111.734.134
Mulheres: 116.616.790
x=
Logo, o numero de homens com
incidência da doença será de
aproximadamente 23.409 mil.
Conclusão:
Seja,
x=
= = 10,4
Masculino:
Assim
pode-se
mesmo
f(10, 4)= 24,20708061(0,986218776)10,4
Temos:
que
concluir
o
numero
que
de
mulheres no ano de 2042 seja
f(10, 4)= 24,20708061(0,865609415)
maior que o de homens, isso não
f(10, 4)= 20,95387689
será
f(t)M
20,95
Logo, o numero de mulheres com
incidência
da
doença
será
de
aproximadamente 5.505 mil.
Para o caso masculino, temos:
Assim,
Feminino:
f(10, 4)= 25,09602854(0,85161283)10,4
f(10, 4)= 25,09602854(0,188156498)
suficiente
para
que
a
quantidade de mulheres com
incidência de Aids ultrapasse a
quantidade de
homens com a
doença.
f(10, 4)=4,721980844
f(t)F
4,72
Figura 5: relatório final do grupo
Ressaltamos que os itens colocados no relatório final dos alunos foram escolhidos por
eles. Inferimos que os nomes dados pelos alunos aos itens se aproximam do que encontramos
na literatura pelo fato deles já terem tido contato com atividade de modelagem matemática
anteriormente.
No que diz respeito ao encaminhamento dos alunos durante o desenvolvimento dessa
atividade de modelagem matemática, de acordo com os procedimentos que identificamos,
podemos elencar três categorias, sendo elas: apresentação da situação-problema;
matematização e resolução; interpretação e validação. Um esquema que representa o
encaminhamento dos alunos nessa atividade é indicado na figura 6,
Apresentação da
situação
Interpretação e
validação
Figura 6: da autora
matematização e
resolução
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Inferimos que o grupo realizou toda a atividade de modelagem matemática passando
por esses três “passos” ou “etapas”. Em cada uma dessas “etapas” os alunos realizaram
procedimentos que destacamos:

Apresentação da situação-problema: o grupo escolheu o tema, o levantamento dos
dados, estudou o comportamento dos dados.

Matematização e resolução: nesse momento o grupo realizou o levantamento das
hipóteses, selecionam as variáveis, deduzem o modelo e validam o modelo.

Interpretação e validação: o grupo responde ao problema.
Considerações Finais
A Modelagem Matemática foi utilizada como alternativa pedagógica. Nesse sentido,
analisamos os procedimentos dos alunos no desenvolvimento de uma atividade de modelagem
matemática do terceiro momento de familiarização.
Os procedimentos dos alunos elencados revelam como se deu o encaminhamento da
atividade que eles realizaram, todo o desenvolvimento da atividade se dá por meio de três
“etapas”, sendo possível a identificação dos procedimentos realizados pelo grupo em cada
uma dessas “etapas”. Inferimos que uma das dificuldades dos alunos no que diz respeito aos
procedimentos foi com a manipulação dos dados, em identificar possíveis simplificações, e
desse modo, recorreram à ajuda de professores para que pudessem entender melhor o
comportamento destes dados. A construção do modelo também foi uma dificuldade apontada
pelos alunos. Podemos inferir que essa dificuldade está em estabelecer relações matemáticas
no fenômeno apresentado pela situação-problema.
Um aspecto relevante que destacamos nesse trabalho, é que o encaminhamento que os
alunos desse grupo dão para a atividade é diferente do que é apontado na literatura, podemos
dizer que eles “fazem” seu próprio caminho para encontrar a solução do problema que eles
propuseram. Desse modo, a identificação dos procedimentos realizados pelos alunos no
desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática, pode auxiliar o professor a
efetuar um monitoramento de suas atitudes no decorrer de sua orientação na atividade, de
modo a facilitar a aprendizagem da matemática pelos alunos.
Referências
ALMEIDA, L. W.; SILVA, K. P.; VERTUAN, R. E. Modelagem Matemática na educação
básica. São Paulo: Contexto, 2012.
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ALMEIDA, L. W.; BRITO, D. S. Atividades de modelagem matemática: que sentido os
alunos podem lhe atribuir? Ciência & Educação, v. 11, n. 3, p. 483-498, 2005.
BARBOSA, J. C. Sobre a pesquisa em Modelagem Matemática no Brasil. In. II Seminário
Internacional de Pesquisas em Educação Matemática GT Modelagem Matemática. Santos,
2003.
BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova
estratégia. São Paulo: Contexto, 2011.
BLUM, W; FERRI, R. B. Mathematical Modelling: Can It Be Taught And Learnt? Journal
of Mathematical Modelling and Application 2009, Vol. 1, No. 1, 45-58.
CHARMAZ, K. A construção da teoria fundamentada: guia prático para análise qualitativa.
Tradução de Joice Elias Costa. Porto Alegre: Artmed, 2009.
CHARMAZ, K. Constructing Grounded Theory: a practical guide through qualitative
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FERRI, R. B.; Theoretical and empirical differentiations of phases in the modelling process.
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MAASS, K. Barriers and opportunities for the integration of modelling in mathematics
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Teaching mathematics and applications: the 10th ICME. Conpenhagen, 2005. p. 61-74.