DESPERTANDO O INTERESSE PELA MATEMÁTICA: RELATO DE UMA
ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA
Sonia Maria Gabriel Matheus
Docente da Rede Estadual de educação do Paraná
Prof.ª Dr.ª Lilian Akemi Kato
Universidade Estadual de Maringá - UEM
Resumo
Este trabalho relata uma experiência com Modelagem Matemática no ensino que foi
realizada com alunos de uma Escola Pública Estadual do Paraná no ano de 2008. O
objetivo deste trabalho foi investigar e analisar possíveis contribuições que as atividades de
modelagem Matemática podem oferecer para a aprendizagem do conceito de função para
alunos do ensino médio. Neste trabalho foi analisado como os alunos se comportam e
constroem o conceito de função durante o desenvolvimento de atividades norteadas pela
Modelagem Matemática. As análises realizadas evidenciaram que, quando foi proposto
atividades por meio de Modelagem Matemática os alunos sentiram-se motivados a
desenvolver as atividades propostas, conseqüentemente o processo de aprendizagem ali se
iniciou. Por meio desta experiência de ensino foi possível perceber modificações nas
relações entre professora, alunos e o conhecimento matemático, melhorando as relações de
ensino-aprendizagem.
Palavras-chave: Modelagem Matemática. Funções. Ensino-aprendizagem.
Abstract
This work tells an experience with Mathematical Modelling in the teaching that was
accomplished with students of a State Parana’s Public School in the year of 2008. The
objective this work went investigates and to analyze possible contributions that the activities
of Mathematical Modeling can offer for the learning of the function concept for students of the
medium teaching. In this work it was analyzed as the students they behave and they build
the function concept during the development of activities norteadas for Mathematical
Modeling. The accomplished analyses evidence that, when he/she intends activities by
means of Mathematical Modeling the students they are motivated to develop the activities
proposals, consequently the learning process there begins. By means of this teaching
experience it was possible to notice modifications in the relationships among teacher,
students and the mathematical knowledge, improving the teaching-learning relationships.
Key-words: Mathematical Modeling. Functions. Teaching and learning.
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Introdução
O ensino de Matemática, nas últimas décadas, tem trazido preocupações a
professores, alunos, pais e a sociedade, diante do baixo rendimento escolar,
constatado pelo elevado índice de reprovação, desinteresse, o elevado índice de
evasão e a baixa qualidade do rendimento escolar.
O que se observa nas aulas de Matemática, é que, os alunos a vêem como
uma disciplina pronta e acabada sem espaço para criatividade e construção do
conhecimento. Desta forma, muitos se comportam passivamente em relação aos
seus conteúdos. Não compreendem e não questionam.
Diante do exposto, verifica-se que existem falhas neste processo de ensinoaprendizagem da Matemática envolvendo professores, alunos e a escola. Existe
assim, uma necessidade de mudança nas crenças e nos valores da cultura escolar,
repensando o papel da Matemática na vida do aluno. Nesse sentido, busca-se uma
proposta que contenha os ingredientes necessários para um novo posicionamento
do professor, diante da conjuntura atual da prática docente em Matemática, que
façam os alunos se interessar pelo estudo dessa disciplina e que venha contribuir
para a formação do aluno, enquanto ser social.
Para que a escola se torne uma instituição geradora e socializadora de
conhecimentos com qualidade, é necessário que suas estratégias de ensino sejam
continuamente
atualizadas,
atendendo
às
exigências
e
necessidades
da
comunidade onde está inserida.
No Estado do Paraná a Secretaria de Estado da Educação, em parceria com
a Secretaria de Estado da Ciência, Tecnologia e Ensino Superior, instituiu o
Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, como uma política educacional
inovadora de Formação Continuada dos professores da rede pública estadual
(SEED, 2007).
O
Programa
de
Desenvolvimento
Educacional
–
PDE
demonstra
preocupação com a formação permanente dos educadores proporcionando ao
professor PDE o retorno às atividades acadêmicas de sua área de formação
No período de 2007, a primeira turma de professores PDE participa de uma
ampla gama de atividades propostas pela Secretaria de Estado e Educação - SEED
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e pelas Instituições de Ensino Superior - IES. Este conjunto de atividades
proporciona aos professores momentos de reflexão e fundamentação teórica sobre
temas educacionais, que lhes possibilita uma compreensão das políticas públicas da
educação básica, bem como uma atualização de conhecimentos científicos
relacionados à sua área de atuação.
O programa apresenta-se como uma oportunidade para que professores da
educação básica, conjuntamente com os professores das IES, repensem as suas
práticas pedagógicas, atualizem conhecimentos e elaborem estratégias para
compartilhar suas novas ações com os outros professores da rede de ensino que
ainda não ingressaram no programa. Desta forma, o PDE oportuniza também a
participação de todos os professores da rede pública estadual que também
apresentam uma vasta vivência da problemática que aflige o dia-a-dia na sala de
aula. Especificamente no caso da Matemática optamos trabalhar por Modelagem
Matemática no Ensino Médio como norteadora do trabalho a ser elaborado, pois se
por um lado há uma necessidade de atualização de conhecimentos científicos por
parte dos docentes, por outro o ensino da matemática tem trazido preocupações a
professores, alunos, pais e à sociedade diante do baixo rendimento escolar. Por
esse motivo, a modelagem matemática pode contribuir oferecendo condições para
uma possível superação de tal problema.
Diversos autores defendem o uso da Modelagem Matemática em sala de
aula, (BASSANEZI, 2002), (BARBOSA, 2004), (BIEMBENGUT, 2005) apontando-a
como uma alternativa metodológica que pode contribuir para melhorar o
desempenho escolar dos alunos facilitando a aprendizagem, de modo que os
mesmos alcancem um aprendizado mais significativo, contribuindo na formação de
sujeitos ativos do conhecimento, capazes de atuar como cidadãos conscientes dos
problemas da sociedade.
Percebe-se que a maneira tradicional como o conceito de Função tem sido
desenvolvido por muitos professores do Ensino Fundamental e Médio, não tem
conduzido o aluno a uma aprendizagem significativa do conceito de função. É de
fundamental importância, para que a aprendizagem do aluno possa ser significativa,
que se relacione o conceito que envolve a função com suas aplicações práticas.
Assim, o presente trabalho tem por objetivo identificar possíveis contribuições
que atividades de Modelagem Matemática podem oferecer na aprendizagem do
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conceito de funções de alunos do Ensino Médio.
Este artigo descreve os resultados da implementação da proposta do projeto
“Modelagem Matemática como estratégia para o ensino e aprendizagem de
Matemática no Ensino Médio” do programa PDE desenvolvido no Colégio Estadual
Humberto de Campos de Querência do Norte – Pr. no ano de 2008.
Para iniciar este estudo realiza uma pesquisa bibliográfica sobre a
Modelagem Matemática e sobre o ensino de Funções do qual é apresentado
alguns pontos relevantes para prosseguir o trabalho. Em seguida, relatam-se
algumas atividades de modelagem desenvolvidas em sala de aula com comentários
e observações realizadas.
Modelagem Matemática
Pesquisas realizadas na área de Educação Matemática apontam que a
matemática ensinada na sala de aula bem como a forma como vem sendo ensinada,
não contribuem de forma efetiva para formação da cidadania enquanto seres
sociais.
De acordo com BASSANEZI (2006, p.17),
No caso da Matemática, é necessário buscar estratégias alternativas de
ensino-aprendizagem que facilitem sua compreensão e utilização. A
modelagem matemática, em seus vários aspectos, é um processo que alia
teoria e prática, motiva seu usuário na procura do entendimento da
realidade que o cerca e na busca de meios para agir sobre ela e
transformá-la. Nesse sentido, é também um método científico que ajuda a
preparar o indivíduo para assumir seu papel de cidadão.
As Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica do Paraná
apresentam algumas considerações sobre tendências metodológicas, que compõem
o campo de estudo da Educação Matemática. A proposta metodológica da
Modelagem Matemática “tem como pressuposto que o ensino e a aprendizagem da
Matemática podem ser potencializadas ao se problematizarem situações do
cotidiano. Ao mesmo tempo em que se propõe a valorização do aluno no contexto
social, procura levantar problemas que sugerem questionamentos sobre situações
de vida” (SEED, 2006, p.6).
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FIORENTINI (1995, p.32) diz que:
O aluno aprende significamente Matemática, quando consegue atribuir
sentido e significado às idéias matemáticas – mesmo aquelas mais puras
(isto é, abstraídas de uma realidade mais concreta) – e, sobre elas, é
capaz de pensar, estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar.
Assim, o conhecimento matemático deve proporcionar condições para que o
estudante possa conscientizar-se das questões sociais, políticas, econômicas e
históricas que vivencia.
A falta de conexão entre a matemática escolar e a matemática da vida
cotidiana do aluno, é um fator que contribui para as dificuldades, encontradas pelos
alunos, no entendimento de determinados assuntos no âmbito escolar.
Para Biembengut (2005) “[...] matemática e realidade são dois conjuntos
disjuntos, e a modelagem é um meio de fazê-las interagir”.
Para BASSANEZI (2006, p. 177):
A modelagem de situações-problemas envolvendo a realidade cotidiana
funciona como elemento motivador para o aprendizado dos alunos. Tal
efeito motivador não se reflete apenas no aprendizado da matéria, mas
também revela aos alunos a interação que existe entre as diversas
ciências. ... A Modelagem Matemática utilizada como estratégia de ensinoaprendizagem é um dos caminhos a ser seguido para tornar um curso de
matemática, em qualquer nível, mais atraente e agradável. Uma
modelagem eficiente permite fazer previsão, tomar decisões, explicar e
entender, enfim, participar do mundo real com capacidade de influenciar
em suas mudanças.
Para
BARBOSA
(2004,
p.75),
"a
Modelagem é
um ambiente
de
aprendizagem no qual os alunos são convidados a problematizar e investigar, por
meio da matemática, situações com referência na realidade".
Em seu artigo BEAN (2001, p.52) enfatiza que “a modelagem oferece uma
maneira de colocar a aplicabilidade da matemática“. Esta interação da matemática
escolar com a vida do aluno desempenha um importante papel no ensino
aprendizagem, pois dá sentido ao conteúdo estudado, facilitando sua aprendizagem.
Oferece ao aluno oportunidades de participação durante as aulas, e proporciona
momentos de aprendizagem mais significativa, o que auxilia na formação do aluno.
Ao refletir sobre diversos autores que têm defendido o uso da Modelagem
Matemática em sala de aula, como BASSANEZI (2002), BARBOSA (2004),
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BIEMBENGUT (2005) percebe-se que a Modelagem Matemática relaciona a
Matemática com a realidade em que os alunos estão inseridos.
Para se utilizar a modelagem matemática como metodologia de ensino, é
importante definir algumas etapas que são necessárias ao desenvolvimento do
processo. As atividades a serem desenvolvidas, com os alunos, durante a
metodologia da modelagem, podem ser agrupadas em fases distintas que segundo
BIEMBENGUT (2005,) destaca as seguintes:
1. Interação – onde ocorre o envolvimento com o tema (realidade) a ser
estudado/problematizado, através de um estudo indireto (por meio de jornais, livros
e/ou revistas) ou indireto (por meio de experiências em campo).
2. Matematização – onde ocorre a “tradução” da situação-problema para
a linguagem matemática. É aqui que se formula um problema e escreve-o segundo
um modelo matemático que leve à solução.
3. Modelo Matemático – onde ocorre a “testagem” ou validação do
modelo obtido, através da análise das respostas que o modelo oferece quando
aplicado à situação que o originou, no sentido de verificar o quanto são adequadas
ou não. “Se o modelo não atender às necessidades que o geraram, o processo deve
ser retomado na segunda etapa [...] mudando-se ou ajustando-se hipóteses,
variáveis, etc”.
BASSANEZI (2006, p.175) comenta sobre:
O desafio do professor, que toma o caminho da modelagem como método
de ensino, é ajudar o aluno a compreender, construindo relações
matemáticas significativas, em cada etapa do processo.
Se um modelo é inadequado para atingir determinados objetivos, é natural
tentar caminhos que permitem construir outro melhor ou, então, analisá-lo,
de modo comparativo, tomando como referência outro existente. O modelo
nunca encerra uma verdade definitiva, pois é sempre uma aproximação
conveniente da realidade analisada e, portanto, sujeito a mudanças – este
processo dinâmico de busca a modelos adequados, como protótipos de
determinadas entidades, é o que se convencionou chamar de Modelagem
Matemática.
Tem como um dos objetivos interpretarem e compreender os diversos
fenômenos do nosso cotidiano, de forma criativa, motivadora e eficaz; provocando,
por exemplo, um crescimento no desempenho escolar do aluno em termos de
conteúdos matemáticos. Contribuindo no preparo das futuras profissões, auxiliando
no desenvolvimento do raciocínio do aluno como cidadão crítico, na sua
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compreensão do papel sócio-cultural da matemática, tornando-a importante e
agradável.
Sobre a utilização da modelagem em sala de aula BARBOSA (2003),
comenta sobre a flexibilidade da implementação de Modelagem Matemática no
contexto escolar e apresenta como regiões de possibilidades de Modelagem o que
ele denomina de "casos". Para o autor os "casos" são categorizados conforme a
quantidade de tarefas que compete ao professor e/ou aos alunos desenvolverem
dentro do processo de Modelagem, na sala de aula.
No caso 1, o professor apresenta um problema, devidamente relatado,
com dados qualitativos e quantitativos, cabendo aos alunos a investigação.
Aqui, os alunos não precisam sair da sala de aula para coletar novos
dados e a atividade não é muito extensa....
Já no caso 2, os alunos deparam-se apenas com o problema para
investigar, mas têm que sair da sala de aula para coletar dados. Ao
professor, cabe apenas a tarefa de formular o problema inicial. Nesse
caso, os alunos são mais responsabilizados pela condução das tarefas....
...no caso 3, trata-se de projetos desenvolvidos a partir de temas "nãomatemáticos", que podem ser escolhidos pelo professor ou pelos alunos.
Aqui, a formulação do problema, a coleta de dados e a resolução são
tarefas dos alunos. (BARBOSA, 2004, P.76,77)
Em geral nas primeiras experiências, o trabalho fica mais centrado no
professor, ou seja, o professor toma para si a maior parte das tarefas, e à medida
que começa a sentir-se mais seguro, transfere-as assumindo, cada vez mais, o
papel de mediador entre o conhecimento e o aluno.
A modelagem Matemática é uma forma de trazer propostas de ensino que
possam levar estímulo do mundo externo para o mundo abstrato da Matemática.
Estratégias para o ensino e aprendizagem de funções no Ensino Médio
O ensino de funções, como é proposto nas escolas de Ensino Médio,
apresenta consideráveis dificuldades conceituais e metodológicas. Os professores
mostram uma
grande
preocupação
com definições
e notações
rigorosas
(CAMPITELI, 2006). Se gasta muito tempo explicando as operações de união,
interseção e produto cartesiano de conjuntos, para se chegar à definição de função
como um caso particular de relação entre dois conjuntos.
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“O tratamento que se dá ao ensino de funções não tem sido adequado porque
não se dá um lugar de relevo a relação da matemática com a realidade”
(CAMPITELI, 2006, p.15).
Em geral, os livros didáticos apresentam o conteúdo de função de maneira
bastante formalizada e sem muitas aplicações. Pouca ênfase é dada para a
representação de fenômenos que podem ser descritos por esta função.
O ensino de funções como é visto em vários livros didáticos, do Ensino
Médio, estão carregados de terminologias e notações de maneira artificial e
descontextualizados. O professor deve então planejar ações educativas a serem
desenvolvidas em sala de aula, de maneira a possibilitar a superação dos problemas
de ensino e aprendizagem do conceito de função, beneficiando o bom aprendizado
das idéias matemáticas. BIEMBENGUT (2001, p. 43) diz que:
Apesar do valor da teoria matemática, ”sustentáculo” das aplicações,
acreditamos que o ensino de Matemática, integrando teoria e aplicação,
pode contribuir para os alunos, em particular do Ensino Fundamental e
Médio, melhor compreenderem os temas abordados.
A modelagem matemática contribui “para que se promova uma aprendizagem
não apenas da teoria matemática, mas também da área em que seja ferramenta“
(BIEMBENGUT, 2001, p. 43).
Situações de modelagem matemática podem contribuir para que os alunos
percebam o aspecto dinâmico do conceito de função, como uma relação à variação
entre duas grandezas. Além disso, pode se conceber as funções como uma
ferramenta, a ser utilizada para explicar e entender várias situações reais.
A modelagem matemática ajuda o aluno a interpretar e compreender os
diversos fenômenos do nosso cotidiano que podem ser representados por funções
matemáticas, de forma criativa, motivadora e eficaz.
Atividades de Modelagem desenvolvidas em sala de aula
As atividades com modelagem Matemática foram desenvolvidas com os
alunos da 1a série do Ensino Médio do Colégio Estadual "Humberto de Campos" do
município de Querência do Norte-Paraná, num período de aproximadamente um
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bimestre, no primeiro bimestre do ano de 2008.
No colégio, o conteúdo de funções vem sendo apresentado por meio de
material organizado pelos professores e com recurso de livros didáticos, o que se
tornou um desafio a mais para a realização das atividades com modelagem.
Por estar inseridos em curso regular de ensino com conteúdo programático a
ser seguido e cumprido, e sendo a primeira vez a utilizar o recurso da Modelagem
Matemática em sala de aula foi definido, previamente, o tema a ser trabalhado com
os alunos. O tema escolhido: Velocidade.
Fez necessário um estudo detalhado do tema para limitar o que deveria ser
estudado, pois poderiam ser enfatizados vários aspectos. No entanto, neste trabalho
o enfoque é para a estimativa do valor da velocidade em várias situações. A
intenção é direcionar o trabalho na busca de um modelo, que utilize as funções
matemáticas como modelo matemático para descrevê-lo.
Para iniciar as atividades com Modelagem Matemática o professor conversa
com os alunos sobre a forma que irá abordar o conteúdo de funções, que será
desenvolvido de forma diferente da habitual, com outra metodologia. Explica que
serão propostas atividades com Modelagem Matemática da qual o professor
elaborou um problema inicial devidamente relatado com dados qualitativos e
quantitativos, cabendo aos alunos a investigação e resolução.
Utiliza-se a metodologia de trabalho em grupo para que cada aluno possa
socializar suas idéias com os demais. Durante as atividades o professor estimula o
debate, discussões, troca de experiências.
Para avaliar o trabalho com modelagem matemática deverá ser utilizados
vários
instrumentos
de
coleta
de
informações.
Observações
durante
o
desenvolvimento das atividades como: falas dos alunos, atitudes que forem
importantes deve ser registrada e a análise dos trabalhos produzidos pelos alunos
precisa ser incorporada como elementos de informação. Será solicitadas duas
produções de textos, a primeira antes de iniciar as atividades de Modelagem
Matemática e a segunda após a conclusão do trabalho de Modelagem Matemática.
Em relação às produções, a primeira tem como objetivo identificar as percepções
dos alunos sobre o tema a ser desenvolvido. E a outra produção será aplicada para
verificar se houve mudança no sentimento e no modo de aprender Matemática, bem
como se o aluno achara interessante trabalhar os conteúdos com o tema proposto e
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se essa metodologia de ensino facilitou a compreensão do conceito de função.
A descrição a seguir é uma forma abreviada de algumas situações de
modelagem matemática desenvolvidas em sala de aula.
Primeiro Momento:
Na primeira atividade o professor solicita aos alunos a produção de um texto a
partir das questões: O que você entende por velocidade? O que você entende
quando falamos em função?
Em seguida alguns relatos são lidos e uma discussão sobre o assunto se
inicia.
Comentários:
Neste primeiro momento ocorre o envolvimento dos alunos com o tema. As
questões propostas pelos alunos e suas respectivas respostas servem para o
professor avaliar o que e quanto os alunos conhecem e o grau de interesse a
respeito do tema abordado.
Os
alunos
não
produziram
um
texto,
responderam
as
perguntas
separadamente. Provavelmente não perceberão relação entre velocidade e função.
A maioria descreveram a velocidade associada a rapidez de um movimento. Veja os
registros:
“Na minha opinião quando eu ouso a palavra “velocidade” eu penso que é
tudo aquilo que corre muito rápido. Ex: carro, moto, bicicleta,etc.” (registro
de aluno)
“Velocidade é o tempo que você leva para percorrer de um lugar para
outro.” (registro de aluno)
Ao se referirem à função descreveram como um cargo que uma pessoa
ocupa. Quando citam a função no sentido matemático descrevem como conta.
“Função é o que você tem que fazer por exemplo o professor tem a função
de ensinar.” (registro de aluno)
“Uma função que uma determinada pessoa tem numa empresa, em sua
casa, ou seja função e que nos essecutamos num determinado
espaço.cada um de nós temos uma função cabe a nós essecutala do
melhor jeito possível.”( registro de aluno)
“Eu entendo em dois tipos de função: Emprego, “você é destinada a fazer
uma certa função”e função também conheço por conta.” (registro de
aluno).
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Segundo Momento:
Utiliza-se um projetor multimídia para apresentar slides contendo a seguinte
situação:
DEVAGAR!!!
140 na curva? Vai rapidinho pro céu...
No percurso, rumo à balada, aconteceu de tudo: furou o pneu, acabou a
gasolina...
Vamos ajudar os nossos colegas.
Como podemos monitorar a velocidade do carro, se o velocímetro não
funciona?
Como poderíamos estimar a velocidade do carro?
Comentários:
A situação-problema foi estabelecida pelo professor visando proporcionar aos
alunos o primeiro contato com o processo de modelagem.
Os alunos ficaram curiosos em saber como descobrir a velocidade, como
poderiam agir para não ultrapassar a velocidade permitida na rodovia, se seriam
multados, se corriam risco de acidentes. Levantaram hipóteses de solução, gerando
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uma discussão, onde a maioria dos alunos empolga. Trataram o problema como um
“Problema” que qualquer pessoa poderia enfrentar no dia-a-dia, mas eles não
sabiam exatamente como proceder. Durante a discussão os alunos se propuseram a
buscar informações, através de uma pesquisa, sobre as leis de trânsito. Nesse
momento, alguns alunos sugeriram que fosse dividido o trabalho em equipes, e que
cada equipe apresentasse aos demais colegas da classe o resultado das pesquisas
realizadas. O professor acompanhou o trabalho dos alunos em sala de aula,
ajudando a organizar e escolher os temas a serem pesquisados.
Os temas escolhidos pela turma foram:
Como tirar a carteira de habilitação
Acidentes ocasionados por excesso de velocidade
Sinalização nas rodovias
Leis de trânsito
Infrações no trânsito e suas medidas
Definidos os temas, o próximo passo foi à organização da turma em grupos,
de até cinco componentes. Cada grupo ficou encarregado de realizar a pesquisa em
período extraclasse. Algumas equipes buscaram informações na auto-escola da
cidade, outros fizeram pesquisa na internet. A turma tornou-se ativa, algumas
equipes apresentaram sua pesquisa utilizando cartazes ilustrativos, outras montaram
slides e utilizaram o projetor multimídia.
Durante as apresentações os alunos discutiam, trocavam informações até
pessoais. Demonstraram muito interesse, principalmente com relação aos acidentes
provocados por excesso de velocidade. Comentaram durante a discussão, que
qualquer um deles poderia enfrentar situações semelhantes às citadas nos trabalhos
apresentados.
Terceiro Momento:
Na aula seguinte o professor levanta a seguinte pergunta: O que significa
80 km/h?
Segue com a atividade:
Atividade 1: Suponha que uma pessoa realize uma caminhada com passos
constantes e no ritmo de 2 passos por segundo. Então no primeiro segundo ela terá
percorrido a distância de 2 passos, no segundo terá percorrido 4 passos, no terceiro
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terá percorrido 6 passos, e assim por diante. Complete a tabela a seguir para ajudar
a organizar essas informações.
Tabela 1: Dados referentes à Atividade 1
Tempo (em segundos)
Distância (em passos)
Raciocínio envolvido
1
2
2=2.1
2
4
4=2.2
...
...
...
T
d
d=
3
4
5
6
Observe que existe uma relação de dependência entre a distância percorrida
(em passos) pela pessoa e o tempo que ela gastou para percorrê-la. Podemos dizer
que a distância percorrida é expressa em função do tempo, isto é, a distância
depende do tempo. A cada unidade de tempo corresponde um único valor para a
respectiva distância percorrida.
Como podemos expressar essa relação de dependência?
Quando uma das variáveis depende da outra, ela sofrerá alterações em seu
valor, se houver variação da primeira.
Uma das variáveis será a variável
dependente e a outra a variável independente. No problema apresentado na
Atividade 1, quem é a variável dependente? E a variável independente?
Comentários:
Várias tentativas foram feitas para explicar o que significa 80 km/h. Muitos
alunos sabem que é a velocidade do carro, mas não compreendem o significado da
representação 80 km/h. A partir das respostas dadas pelos alunos o professor
levanta outras questões que ajudam à organização as discussões e levarem os
alunos a compreenderem que naquela rodovia é permitido percorrer até 80 km em
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14
uma hora.
Outras atividades de livros didáticos foram propostas aos alunos com o intuito
de observarem e descobrirem relações em outras situações da vida ou em outras
áreas da matemática.
Durante a realização destas atividades o termo função foi surgindo
naturalmente e os alunos incorporaram o termo ao seu vocabulário sem dificuldades.
No começo associaram com a idéia de dependência, onde apresentavam relações
entre duas grandezas em que uma dependia da outra. Observe a fala de um aluno
durante uma atividade extraída de um livro didático:
“O valor que se paga na conta de luz está em função da quantidade de
energia que se gasta”.
O uso de tabelas para relacionar duas grandezas organizando as informações
de uma dada situação, facilita e ajuda o aluno a perceber que se variarmos o valor
da variável independente, a função associa outro valor a variável dependente. Ficam
claras, também, as associações feitas, onde a cada valor de uma das grandezas
está associado, de alguma forma, um único valor da outra grandeza.
Sem introduzir o conceito de função o aluno já incorpora o caráter dinâmico
do conceito. E os alunos começam a interiorizar o conceito por meio de experiências
de seu dia-a-dia.
Para concluir as atividades o professor introduz uma definição matemática de
função e solicita aos alunos que consultem sobre outras situações do seu dia-a-dia
que podem ser expressas por relações funcionais e procurar nos livros de
Matemática algumas definições de função.
Quarto momento
O professor lembra aos alunos da situação dos quatro amigos (problema
inicial) e utiliza os termos utilizados por eles: a velocidade está associada a “rapidez”
do movimento. E prossegue com um debate propondo várias questões. Como
podemos estimar a velocidade de um objeto em movimento? Como calcular a
velocidade? O que vocês estão estudando na disciplina de Física? Está estudando
velocidade, movimento retilíneo uniforme? Como o professor de física representa
este movimento?
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Comentários:
Houve certa dificuldade para se expressarem, então o professor apresenta
um texto sobre o Movimento Uniforme e as funções afins. Explica que a Física utiliza
modelos matemáticos (funções) para representar seus movimentos. Compara a
função da equação horária d = d0 + v.t do movimento uniforme com a função afim
representada matematicamente por y = ax + b.
No início alguns alunos apresentaram bastante dificuldade em relacionar a
função afim com a equação horária d = d0 + v.t por causa das diferentes simbologias
usadas pela física e pela matemática. Conforme compreendiam,
algumas falas
eram registradas:
“A física e a matemática se encaixão se aprendem física aprendem matemática”
(registro de aluno)
“deu para compreender melhor as duas matérias”. (fala de aluno)
“a matemática acaba ajudando nos cálculos da disciplina de física”. (fala de aluno)
Em seguida propõe a seguinte atividade:
Imagine que uma raposa faminta (predador) vê um coelho (presa) a 20m de
distância. Neste momento a raposa inicia uma corrida atrás do coelho. O coelho
muito esperto também corre rumo a um esconderijo que se localiza 10m à sua
frente. Será que a raposa conseguirá pegar o coelho? E se o esconderijo do coelho
estivesse a 20m de distância?
Para estudar a situação proposta, sugerimos o seguinte procedimento:
1- Primeiro estudaremos o movimento da raposa.
a) Escreva a equação que representa a função do movimento da raposa.
b) Represente esta função no plano cartesiano.
2- Repita o mesmo procedimento para o estudo do movimento do coelho.
a) Escreva a equação que representa a função do movimento do coelho.
b) Represente esta função no mesmo plano cartesiano utilizado para
representar o movimento da raposa.
SUGESTÂO: Utilize cores diferentes na construção do gráfico de cada
função.
3- Agora, analisando os gráficos obtidos, responda às seguintes questões:
a) O que você pode concluir sobre o comportamento dos gráficos?
b) Existe algum ponto de interseção entre o gráfico das duas funções?
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c) Qual o significado do ponto de interseção dos dois gráficos?
d) A raposa pega o coelho?
Comentários:
Para esta atividade o professor levou uma tabela contendo a velocidade
máxima de alguns mamíferos extraída do artigo “A máxima velocidade entre as
espécies”, que trata sobre a Física nos Esportes dos autores GOMES e PARTELI,
(2006).
Os alunos ficaram motivados e curiosos com a velocidade dos animais,
queriam saber qual o animal mais veloz e se surpreenderam com a chita, pois
imaginavam ser um chipanzé. Muitos alunos queriam ver imagens da chita e se
prontificaram a pesquisar na internet e trazer na aula seguinte.
Com relação à atividade proposta, alguns alunos achavam que a raposa iria
pegar o coelho, outros discordavam, criavam respostas sem embasamento teórico,
simplesmente porque assim pensavam. Alguns alunos não gostaram da sugestão
oferecida na atividade, não queriam representar em gráficos e tentaram por outros
caminhos sem muito êxito, pois não conseguiam demonstrar com clareza o
resultado, havia dúvidas no resultado. Quando os primeiros alunos terminaram os
gráficos e perceberam que os gráficos das funções expressavam com clareza a
situação
proposta
ficaram
eufóricos
e
demonstravam
estar
felizes
por
compreenderem a situação. Neste momento os outros também foram tentar pelo
modelo matemático e se encantaram com a leitura dos gráficos das funções. Neste
momento percebe-se a diferença de uma aprendizagem com significados e com
prazer daquelas em que o aluno apenas responde para obter o resultado.
Quinto Momento
Explorando um pouco mais sobre a velocidade dos animais o professor
propõe a reflexão do texto a seguir:
A fuga da presa ou o sucesso do predador estão dependentes da velocidade
de cada um, e contribuem para um maior ou menor sucesso evolutivo dos animais
envolvidos. No caso destes animais, a luta pela sobrevivência depende
simplesmente de quem corre mais rápido ao perseguir a presa desejada, ou para
fugir do inimigo.
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A lei da sobrevivência impera em todos os níveis da vida, controlando o
número de indivíduos de uma espécie a fim de que esta não entre em extinção e
nem ocorra a super população.
À sucessão de seres vivos, ordenada de acordo com a seqüência na
obtenção de alimentos na natureza, denominamos de cadeia alimentar.
Os seres vivos que produzem seus próprios alimentos são chamados de
produtores.
Os que se alimentam de vegetais e animais recebem o nome de
consumidores. E os seres que decompõem restos de animais e vegetais são os
decompositores.
Em seguida o professor propõe as equipes que discutam sobre a seguinte
situação:
Vamos determinar um modelo de interação entre duas espécies, onde uma
delas (a presa) dispõe de alimentos em abundância, e a segunda espécie (o
predador) tem como suprimento alimentar exclusivamente a população de presas.
Analisando as velocidades das presas e dos predadores, você poderia
identificar algum tipo de relação entre a velocidade das presas e dos predadores?
Observe a representação de uma cadeia alimentar a seguir:
CAPIM
produtor
⇒
COELHO
consumidor primário
presa (18 m/s)
⇒
RAPOSA
consumidor secundário
predador (20 m/s)
Discuta com seus colegas e com o professor as seguintes questões:
a) Suponha que a raposa esteja num meio no qual seu alimento seja
exclusivamente o coelho e que durante a caçada a raposa e o coelho conseguem
manter suas velocidades constantes, conforme descrito no quadro anterior. Nessas
condições, a presa vai ser capturada pelo predador?
b) Suponha que a raposa esteja num meio onde além dos coelhos existem
outras fontes de alimento. O que aconteceria se os coelhos atingissem velocidades
superiores às das raposas? Estes animais formariam uma cadeia alimentar? Por
quê?
Comentários:
Alguns alunos perceberam que nas condições da questão (a) a velocidade é
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fundamental para a sobrevivência do animal (presa ou predador) e seria possível
representar a situação usando o modelo da atividade anterior. Na questão (b) até
poderiam usar o mesmo modelo desde que fosse atribuído um valor maior para a
velocidade do coelho do que a velocidade da raposa. Porém, os alunos perceberam
que nas condições citadas esses animais não formariam uma cadeia alimentar. Fala
de um aluno: “Professora se a raposa tem outros alimentos não vai perder tempo
correndo atrás do coelho”.
Sexto Momento
Comenta sobre o problema inicial dos quatro amigos. E algumas questões
foram levantadas.
Quais instrumentos são necessários para determinar a velocidade de um
móvel?
Você deve ter observado que a velocidade é expressa por uma relação entre
duas grandezas. Esta informação ajuda os nossos colegas do problema inicial?
Como?
Então, como eles poderiam estimar a velocidade do veículo em um dado
momento da viagem, uma vez que o velocímetro está quebrado? O jeito é buscar
uma solução sem o recurso do velocímetro. O que você sugere?
Como você faria para estimar a velocidade do carro nas condições que o
quatro amigos se encontram?
Conversando com os alunos o professor propõe uma análise das soluções
propostas por eles.
O professor pede aos alunos que produzam um texto relatando sobre o
estudo das funções por meio da Modelagem Matemática e que expressem o que
acharam sobre a forma pelo qual foi desenvolvido o tema. Se esta metodologia
influenciou na aprendizagem, se gostaram.
Comentários:
Na análise dos resultados deve ocorrer o que BIEMBENGUT (2005)
denomina de validação do modelo obtido. Analisando os resultados que o modelo
oferece quando aplicado à situação que o originou, é possível refletir sobre a
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solução, verificando a ocorrência de incoerências e enganos tornando o modelo
adequado ou não.
Muitas sugestões foram propostas pelos alunos para resolver a situação
problema inicial dos quatro amigos.
“Calcular a distância percorrida com o tempo gasto... Ex: Olhar a placa de
velocidade permitida calcular com o tempo gasto, olhando no relógio.
Ou seja, dividir a distância se descobre com placas informativas, etc.
“Velocidade é a distância em função do tempo.” (registro de um grupo de
alunos)
Muitas questões surgiram durante a análise dos resultados, por exemplo: Se
o velocímetro está quebrado então o marcador de quilômetros não funciona.
Disseram que são juntos. Quando um para de funcionar o outro também. Eles
perceberam que havia outro problema: como saber a distância?
Várias alternativas foram sugeridas e a que validaram como a mais viável na
visão da turma foi a de usar um relógio para medir o tempo e contar os postes de luz
a beira da estrada. Consideraram a distância entre os postes sempre iguais.
As atividades com Modelagem Matemática contribuíram para que os alunos,
por meio da compreensão e discussão das atividades e utilizando recursos
matemáticos, percebessem que é possível fazer previsões razoáveis quanto à
velocidade de um carro em movimento.
Nos textos produzidos pelos alunos aparecem citações que expressam
simpatia pelas atividades com modelagem, elogios ao trabalho, especialmente as
atividades realizadas em grupo e as discussões que oportunizam a fala do aluno.
“eu gostei muito da forma como a professora ensinou e seria melhor se
toda alula fosse assim.” (registro de aluno)
“eu gostei desse método de ensino, porque se tornou uma aula boa, não
cansativa e a gente aprende com as coisas do dia-a-dia...” (registro de
aluno).
“legal eu estou me desenvolvendo muito bem e estou gostando tomara que
continui assinn.” (registro de aluno)
A maioria dos alunos manifesta a favor do uso da modelagem durante as
aulas de matemática. Infelizmente para alguns alunos essa visão diferenciada de
ensino não foi adquirida e para eles a forma tradicional de ensino é melhor.
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“Eu não gostei muito dessa aula, por que prefiro fazer contas no quadro,
por que eu aprendo melhor. Da maneira que empregada é legal, mas
prefiro fazer contas, colocar a cabeça para pensar em enormes contas.”
(registro de aluno)
Este aluno relata sua preocupação achando que estaríamos perdendo tempo
e negligenciando o conteúdo. Romper totalmente com a forma usual de ensino não
foi possível e outras aplicações de metodologias diferenciadas são necessárias, no
intuito de mudar tal visão.
No entanto, percebemos que a aprendizagem destes alunos por meio da
Modelagem Matemática melhorou. Alguns alunos começaram agir de forma mais
autônoma, estabelecendo relações que até então não tinha percebido ou pensado. E
isso encoraja e leva a acreditar que a Modelagem Matemática como uma alternativa
pedagógica pode contribuir para melhorar o desempenho escolar dos alunos
facilitando a aprendizagem, de modo que os mesmos alcancem um aprendizado
mais significativo, contribuindo na formação de sujeitos ativos do conhecimento,
capazes de atuar como cidadãos conscientes dos problemas da sociedade.
(BASSANEZI, 2002), (BARBOSA, 2004), (BIEMBENGUT, 2005)
Considerações Finais
Baseando nas recomendações feitas pelos autores pesquisados e nas
experiências que normalmente vivencia na sala de aula, pensou-se em novos
caminhos que conduzissem o aluno a uma aprendizagem significativa do conceito
de função.
Iniciou-se assim, com uma atividade produzida durante o estudo do PDE, no
caso o material didático: Folhas. Este material proporciona confiança, pois existia
certa insegurança em desenvolver uma modelagem onde os alunos fossem escolher
os temas. Imaginava que os alunos poderiam escolher temas que não estivesse ao
alcance do aluno e mesmo do professor, afinal não tinha nenhuma experiência com
trabalho de modelagem.
Esta primeira experiência com Modelagem Matemática permitiu avaliar as
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atitudes do professor na condução não só da modelagem em si, mas também da
aula como um todo, confirmando a necessidade de mudanças na prática pedagógica
em sala de aula.
No decorrer do trabalho com modelagem, observa-se que a maioria dos
alunos executa as atividades com gosto e prazer, pois os alunos conseguem
verificar a aplicabilidade do que estudam.
Com base nas observações realizadas em sala de aula e documentos
produzidos pelos alunos constatou-se que a escolha do tema fez despertar a
participação ativa e interessada pela maioria dos alunos, por estar relacionado ao
contexto real do seu dia-a-dia.
No decorrer das atividades com modelagem matemática, alguns alunos
começaram aceitar resoluções diferentes para o mesmo problema, pois antes
aceitavam somente a resolução do professor e procuravam resolver todos os
exercícios da mesma forma.
Nessa abordagem, o conceito de função assume um papel importante como
modelo matemático para a resolução de situações do cotidiano do aluno, bem como
ferramenta para conexão e trânsito entre áreas do saber e dentro da própria
matemática.
O trabalho com Modelagem Matemática proporciona um ambiente de sala de
aula de participação ativa dos alunos. Alguns achavam que se tornava mais
agradável desta forma, enquanto outros, com receio do novo, criticavam dizendo que
perdia muito tempo, que matemática tem que “aprender a fazer conta”.
Comparando os resultados das avaliações realizadas no período de aplicação
das atividades de Modelagem Matemática com as avaliações anteriores, percebeuse uma melhora significativa na forma do aluno se expressar.
A partir dessas polêmicas, confirma-se a importância de mudar a forma de
propor os conteúdos de matemática, muitas vezes, esquece de preparar o aluno
para tornar-se um cidadão ativo, critico que saiba buscar o conhecimento quando
necessitar para resolver algum problema de sua vida.
Ao analisar esta experiência percebe-se que os alunos ao se depararem com
uma situação na qual tiveram que pensar criticamente, apresenta maior
envolvimento, interesse e dedicação. Os alunos passam a enxergar a Matemática
em nosso cotidiano de uma forma prática e objetiva, não apenas aquela vista nos
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livros didáticos, sem vida e distante da realidade de seu dia-a-dia.
Com este estudo pôde-se verificar as possibilidades metodológicas oferecidas
pela Modelagem Matemática tanto para motivar quanto para a melhoria da
aprendizagem destes alunos.
Assim, a Modelagem Matemática pode ser entendida como uma alternativa
metodológica que o professor pode utilizar para ensinar Matemática, além de
diferenciar e dinamizar as nossas práticas pedagógicas.
Referências
BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática: O que é? Por quê? Como? Veriatati, n.4,
p.73-80, 2004.
BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma
nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2006.
BASSANEZI, R. C. Modelagem como Metodologia de Ensino de Matemática.
IMECC – UNICAMP
BEAN, D. O que é modelagem matemática? In: Educação Matemática em Revista,
São Paulo, SBEM, v.8, n.9/10, p.49-57, abril, 2001.
BIEMBENGUT, M. S. Modelagem matemática & implicações no ensino e na
aprendizagem de matemática. 2ª ed. Blumenau: Edfurb, 2004,
__________. Funções Reais: Uma abordagem por meio de modelos matemáticos.
In: Tópicos de Matemática para o ensino médio, Blumenau: Edifurb, 2001, p. 41 -57
BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. 4ª ed. São
Paulo: Contexto, 2005.
CAMPITELI, H. C.; CAMPITELI, V. C. Funções. Ponta Grossa: Editora UEPG, 2006.
130p.
FIORENTINI, D. Alguns modos de ver e conceber o ensino da matemática no Brasil.
São Paulo: UNICAMP. Revista Zetetiké, ano 3, n.4, 1995. p.1- 37
PARANÁ. Secretaria de Educação do Estado. Departamento de Ensino Médio.
Orientações Curriculares de Matemática. Curitiba, 2006.
GOMES, M.A.F.; PARTELI, E.J.R. A Física nos Esportes in: Física: Ensino Médio.
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Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2006. 185 p.: il.
(Coleção Explorando o Ensino; volume 7)
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