DIFERENTES FORMAS DE ATUAÇÃO DOS ALUNOS EM UMA ATIVIDADE
DE MODELAGEM MATEMÁTICA: RELATO DE UMA EXPERIÊNCIA
Cristina Cirino de Jesus
Colégio Estadual Padre José Canale. Apucarana – Pr
Lilian Akemi Kato
Universidade Estadual de Maringá – UEM. Departamento de
Matemática
Resumo
Este trabalho apresenta algumas discussões originadas de uma atividade desenvolvida, na
forma de projetos e fora do ambiente de sala de aula, com alunos da 7ª série da rede
pública de ensino. O objetivo deste projeto é despertar o interesse, dos alunos, pela
matemática, promovendo um ensino centrado em uma aprendizagem com base na
investigação por meio de discussões de situações que se originam no cotidiano, e
apresentando uma matemática com mais significado. Para a obtenção desses objetivos,
optou-se pela realização de uma atividade fundamentada na modelagem procurando
romper com um ensino reduzido em memorizações e repetição de procedimentos. Esta
atividade contribuiu também para desenvolver nos alunos o hábito pela pesquisa, a
capacidade de tomar decisões e aprender a trabalhar coletivamente. Outro resultado
relevante deste trabalho foi a reflexão quanto ao papel do professor e do aluno no processo
de ensino-aprendizagem e suas conseqüências na formação profissional e pessoal do
cidadão.
Palavras-chaves:
significativa.
Modelagem
matemática,
interdisciplinaridade,
aprendizagem
Introdução
O processo de ensino-aprendizagem de matemática na educação básica ainda
permanece fundamentado na reprodução de procedimentos e na acumulação de
informações. Neste formato, os conteúdos são abordados essencialmente da mesma
maneira em que são apresentados no livro didático, em geral de forma linear, seqüencial e
sem contradições. Em alguns casos, o professor se atreve a propor mudanças na forma
didática de apresentar o conteúdo, no entanto, ele esbarra em algumas dificuldades que vão
desde a sua própria formação até questões referentes à administração e a proposta
pedagógica da escola.
Tudo isso resulta no consenso geral, que as pessoas têm, de que fazer matemática
ainda é sinônimo de ouvir, repetir, resolver e memorizar procedimentos a partir de
exemplos dados pelo professor. Em contraposição a essa idéia, as discussões pedagógicas e
as diretrizes curriculares apontam para uma mudança na maneira de ensinar, implicando
em modificações que proporcionem uma aprendizagem significativa que contribua para
uma melhor formação do aluno.
No entanto, essa nova postura exige uma atuação participativa do educando e do
professor promovendo um processo de ensino-aprendizagem que transcenda a repetição e
memorização de conteúdos.
“A atividade de matemática escolar não é olhar para coisas prontas e definitivas,
mas a construção e a apropriação de um conhecimento pelo aluno, que se servirá dele para
compreender e transformar sua realidade” (PCN, p. 19).
O ensino de matemática prestará sua contribuição à medida que forem
exploradas metodologias que priorizem a criação de estratégias, a comprovação,
a justificativa, a argumentação, o espírito crítico e favoreçam a criatividade, o
trabalho coletivo, a iniciativa pessoal e a autonomia advinda do desenvolvimento
da confiança na própria capacidade de conhecer e enfrentar desafios (PCN, p.
31).
Segundo Pais (2005) “um dos objetivos da Educação Matemática é contribuir para
que o aluno possa desenvolver certa autonomia intelectual, implicando na ruptura da
maneira tradicional de ensinar”.
A Modelagem como uma das tendências da Educação Matemática proporciona
um ensino centrado na busca de soluções, despertando o interesse para o estudo da
matemática contribuindo para uma aprendizagem reflexiva rompendo com a concepção de
um ensino baseado na transmissão de conteúdos.
Trata-se de uma estratégia que valoriza a criatividade, o hábito da pesquisa, a
capacidade de levantar e testar hipóteses, o trabalho em grupo e principalmente promover o
contato da matemática com outras disciplinas.
Nas atividades de modelagem fica evidente o aspecto interdisciplinar. Os alunos
têm a oportunidade de aplicar a matemática em situações que tiveram origem em outras
áreas. A matemática é abordada dentro de uma realidade ganhando significado para o
aluno. Ao desenvolver essas atividades o aluno percebe a importância e a aplicabilidade da
matemática em sua realidade.
327 Fundamentados na perspectiva que a modelagem proporciona um ensino de
matemática dinâmico e dentro de um contexto, elaboramos uma atividade com o objetivo
de desenvolver um ensino com base na investigação, que discute situações advindas de seu
cotidiano. Esta atividade foi desenvolvida na forma de projetos no período de contra turno.
O que nos motivou a realizar este projeto foi a vontade de trabalhar uma
matemática com significado, com a expectativa de conseguir despertar nos alunos uma
postura ativa, tornando-os agentes colaboradores de sua aprendizagem.
Referencial Teórico
Para muitos educadores matemáticos é importante trabalhar situações que se
originam no cotidiano, uma vez que ao fazer a correspondência entre a matemática escolar
com a utilizada no dia a dia o aluno tem a oportunidade de constatar a importância dessa
ciência para a sociedade.
De acordo com Bassanezi (2002) “a modelagem matemática consiste
essencialmente na arte de transformar problemas da realidade e resolvê-los, interpretando
suas soluções na linguagem do mundo real”.
Segundo Barbosa (2001) “modelagem pode ser entendida como um ambiente de
aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da
matemática, situações com referência na realidade”.
A modelagem constitui um ramo próprio da matemática que tenta traduzir
situações reais para a linguagem matemática, para que por meio dela se possa
melhor compreender, prever e simular ou ainda, mudar determinadas vias de
acontecimentos, com estratégias de ação, nas mais variadas áreas de
conhecimento (BIEMBENGUT e HEIN, 2005).
Numa proposta de ensino-aprendizagem com modelagem os alunos ultrapassam o
ensino de matemática que prima pela transmissão e memorização de conteúdos, na medida
em que buscam soluções, elaboram conjecturas, argumentam e pesquisam, tornam-se
responsáveis pela produção de conhecimentos.
A modelagem no ensino pode ser um caminho para despertar no aluno interesse
por tópicos matemáticos que ele ainda desconhece, ao mesmo tempo que
aprende a arte de modelar, matematicamente. Isso porque é dada ao aluno a
oportunidade de estudar situações-problema por meio de pesquisa,
desenvolvendo seu interesse e aguçando seu senso crítico (BIEMBENGUT e
HEIN, 2005).
328 Ao privilegiar situações que valorizam a troca de informações entre professor e
aluno, a modelagem auxilia na desmistificação da idéia de que apenas o professor é
produtor de conhecimento.
Ao realizar atividades de modelagem o aluno tem a oportunidade de utilizar a
matemática para compreender situações do meio em que vive desenvolvendo uma visão
crítica e reflexiva.
Atividades dessa natureza geram a possibilidade dos alunos se envolverem em
discussões sobre o papel da matemática na sociedade, o que talvez não seja uma
marca tão aparente em outros ambientes de aprendizagem. [...] trata-se de
atividades que discutem matemática à luz de um contexto que não é o da área
específica (BARBOSA, 2003, 2004).
Ao trabalhar com situações abertas, a modelagem contribui para que o aluno
desenvolva uma postura participativa e ainda permite ao professor compreender como o
aluno constrói seu conhecimento criando um ambiente de aprendizagem.
A experiência de modelar uma situação ou de resolver um problema em aberto,
absolutamente necessária no estudo da matemática deveria ser dada em todos os
níveis de ensino. Para que os alunos aprendam matemática é preciso que lhes
seja dada a oportunidade de resolver problemas de fato, ou seja, problemas em
aberto (BURIASCO, 1995).
Para Barbosa (2003) “se a atividade é aberta e, portanto, um problema, o professor
não pode prescrever para o aluno que etapas deverá cumprir, mas permitir que ele próprio
esboce seu caminho”.
Desenvolvimento
A atividade de modelagem que apresentamos neste trabalho, foi desenvolvida
com alguns alunos da rede estadual de ensino, da 7ª série na cidade de Apucarna-Pr, na
forma de projetos e em período de contra turno com a duração de 22 dias.
Em todo o processo do desenvolvimento da atividade, os alunos tiveram liberdade
para escolher a forma de trabalho, apresentação, os conteúdos e as hipóteses em relação ao
problema proposto sob a orientação do professor. Inicialmente demonstraram insegurança,
pois não estavam acostumados a tomar decisões e também pelo fato de nunca terem
trabalhado matemática por outros processos que não fosse por repetição de exercícios.
329 No primeiro momento, apresentamos aos alunos a idéia do trabalho e a forma
como eles iriam trabalhar. A atividade foi desenvolvida em cinco grupos, com sete ou oito
participantes. Estabelecemos também que eles deveriam relatar todo o desenvolvimento do
trabalho e apresentar à sala.
O problema proposto para esta atividade consistia em analisar a seguinte situação:
“O senhor Vladimir, presidente da associação do bairro de nossa escola, deu 40
m de tela que, sobraram do cercado que fizeram ao redor do ginásio de esportes da
comunidade, para que a escola utilizasse da maneira que fosse melhor. O diretor pensou
então que poderíamos construir um cercado para fazer uma horta ou até mesmo um
pomar. Mas será que a idéia do diretor pode ser concretizada? Qual seria o tamanho
dessa horta ou pomar para utilizarmos os 40 m de tela doados? Em que local da escola
seria construída? Quais plantas seriam cultivadas?”
Diante desta proposta de trabalho os alunos organizaram-se em grupos, de
maneira que os que moravam perto uns dos outros ficassem no mesmo grupo, o que
facilitaria a comunicação e os encontros entre eles, uma vez que o projeto seria
desenvolvido fora do horário de aula. Depois estabelecemos ainda que o grupo que
precisasse vir à biblioteca ou utilizar o espaço escolar para fazer o projeto teria que
agendar com a coordenação um horário para terem acesso às dependências do colégio sem
maiores problemas.
A seguir apresentamos um relato sobre os projetos que foram elaborados pelos
grupos:
Professor: O que vocês escolheram para construir? E por quê?
Grupo 1: Escolhemos fazer uma horta, porque leva menos tempo para produzir
do que uma árvore frutífera. Optamos ainda por mesclar ervas medicinais com as verduras.
Grupo 2: Nosso grupo decidiu fazer uma horta. Pois as verduras podem ser
aproveitadas pela escola na hora do almoço, para os alunos que ficam na sala de apoio e
que almoçam na escola.
330 Grupo 3: A idéia da construção de uma horta ou um pomar pode sim ser feita em
nossa escola, pois temos espaço suficiente. Nosso grupo decidiu fazer dois cercados, em
um espaço nós iremos plantar verduras e no outro iremos plantar frutas.
Grupo 4: Vamos fazer uma horta. Porque as verduras crescem mais rápido.
Grupo 5: Escolhemos uma horta.
Professor: Qual o local que vocês escolheram para construir essa horta/pomar?
Grupo 1: Escolhemos para construir nossa horta um espaço que tem atrás da
nossa sala.
Grupo 2: O local que escolhemos é o espaço que fica atrás do estacionamento do
colégio, pois é um lugar onde os alunos não terão contato e fica próximo à casa do caseiro
e também lá existe uma torneira, assim podemos regar as plantas sempre que precisarmos.
Grupo 3: Escolhemos o terreno que fica atrás da nossa sala, por ser um local onde
a luz bate e dá pra fazer a construção tranquilamente.
Grupo 4: Vamos construir nossa horta atrás da quadra, pois lá bate bastante sol e
os alunos não ficam passando por lá.
Grupo 5: Pensamos em fazer nossa horta no espaço atrás de nossa sala. É um
lugar plano, que tem uma terra boa e os alunos não têm acesso a esse local.
Professor: E quanto ao formato da horta/pomar? Quais dimensões ela teria?
Grupo 1: Em primeiro lugar pensamos em fazer algo diferente como uma horta
em formato circular, mas conversando com outras pessoas, achamos que não iria ficar legal
na hora de dispor as plantas. Então medimos (com a ajuda do professor de educação física)
o terreno e fizemos o desenho de uma horta quadrada de 10m de lado e outra de formato
retangular de 5m de largura por 15m de comprimento, em seguida calculamos a área de
cada horta e então decidimos fazer no formato quadrado que apresentou uma área de
100m² enquanto a outra era de 75m².
Grupo 2: Fomos olhar o espaço que escolhemos e medimos, com a ajuda do
caseiro, para ver quais seriam nossas possibilidades. Vimos que a largura da horta não
poderia ultrapassar 5m porque era à medida que tinha entre a escola e o muro. Fizemos
várias medições pensamos em 5m por 15m; em 4m por 16m; 3m por 17m e acabamos por
ficar com a última medida de 3m de largura por 17m de comprimento, pois assim ficaria
um espaço de 1m de um lado e outro, calculamos a sua área e deu 51m². Se usássemos 5m
331 por 15m a horta ficaria grudada no muro e 4m por 16m também ficaria muito próximo. Aí
pegamos um barbante e delimitamos o espaço para termos de como ficaria a horta.
Grupo 3: Escolhemos o formato quadrado com 5m de lado para fazer a horta e o
pomar. Assim cada espaço terá 25m² de área e utilizaremos 20m de tela para cercar cada
um.
Grupo 4: Antes de escolhermos as medidas fizemos vários testes, como no nosso
grupo tem o Éder, que é servente de pedreiro, ele deu a idéia de desenharmos vários
modelos para vermos como a horta ficaria no papel, igual quando se faz uma planta de uma
casa. Fizemos vários desenhos, quadrada, retangular, pentagonal e circular. No final
queríamos fazer uma horta circular para ficar diferente e fizemos o cálculo da área vimos
que ela teria uma área maior que a quadrada, mas desistimos, pois é muito complicado
trabalhar com números não exatos. Então pensamos na quadrada, mas a largura não dava
no espaço que escolhemos e como não queríamos trocar de lugar, ficamos com um formato
retangular com dimensões de 5m de largura por 15m de comprimento com uma área de
75m².
Grupo 5: Nossa primeira escolha foi fazer uma horta de 10m de lado tendo um
formato quadrado. Mas depois pensamos na área e fizemos outros testes para ver se não
encontrávamos um formato que tinha área maior que 100m². Os testes que fizemos foi 12m
por 8m, mas deu 96m², 14m por 6m, mas deu 84m² e aí nem fizemos mais porque vimos
que iria sempre dar uma área menor do que a horta quadrada de 10 por 10, assim ficamos
com nossa primeira idéia uma horta quadrada de 10m de lado com área de 100m².
Professor: O que irão plantar nessa horta?
Grupo 1: Vamos plantar verduras e algumas ervas medicinais. Iremos plantar:
babosa; camomila, hortelã, alecrim, salsinha, maracujá, abóbora, couve e alface.
Grupo 2: Decidimos que vamos plantar mandioca, cenoura, couve e chuchu.
Grupo 3: O que iremos plantar na horta: cebolinha, repolho, beterraba, cenoura e
couve. No pomar escolhemos: acerola, poncã, mexerica, limão e maracujá.
Grupo 4: Vamos plantar cebolinha, salsinha, cenoura, abóbora e chuchu.
Grupo 5: Cebolinha, salsinha, alface, cenoura e couve.
Professor: Por que escolheram essas verduras/frutas?
Grupo 1: Escolhemos as ervas medicinais mais comuns e que tínhamos em casa,
assim dá pra pegar algumas mudas. E depois fizemos uma pesquisa para ver qual era a
332 utilidade delas. Assim vimos que: Babosa – serve para a cicatrização; Camomila – serve
para aliviar dores de estômago e como calmante; Hortelã – serve para acabar com os
vermes e dores abdominais; Alecrim – serve para febre e dores de cabeça e ainda como
tempero; Salsinha
– tempero; Maracujá – serve para fazer suco e calmante; Abóbora – rica em
vitamina A; Couve – rica em ferro e alface é fonte de vitamina B.
Grupo 2: Iremos plantar essas verduras que são fontes de vitaminas para serem
utilizadas no almoço da escola.
Grupo 3: Escolhemos essas verduras por que ocupam menos espaço e são
melhores para controlar na hora de regar e poderíamos depois vendê-las arrecadando um
dinheiro para a escola usar em outros projetos. Para as frutas fizemos uma pesquisa e
vimos que essas frutas levam pouco tempo para produzir frutos numa média de um ano ou
dois e são plantadas por meio de mudas. Achamos melhor plantarmos uma muda de cada
árvore. Também baseamos nossa escolha porque podemos utilizar a acerola, o limão e
maracujá para fazer sucos aqui na escola. Além da acerola e do limão serem fontes de
vitamina C.
Grupo 4: Escolhemos essas verduras porque são fáceis de cultivar não precisam
de muitos cuidados e podem ser aproveitadas pelas merendeiras para fazer o almoço aqui
da escola.
Grupo 5: Porque são verduras que todo mundo gosta. E é mais fácil de cuidar.
Professor: De que maneira vocês irão plantar essas verduras/frutas na horta?
Grupo 1: Pensamos em fazer uma horta suspensa com a utilização de alguns
caixotes, as plantas seriam cultivadas nos canteiros formados pelas caixas e elaboramos um
sistema de irrigação onde elas seriam regadas duas vezes ao dia. Também pensamos em
captar água da chuva para utilizar na irrigação de nossas plantas.
Grupo 2: O caseiro nos deu uma dica para plantarmos tudo em fileiras, uma
fileira de mandioca, uma fileira de couve, uma de cenoura e plantar o chuchu perto da tela
para que ele pudesse espalhar as ramas na tela assim não ocupando espaço na horta.
Grupo 3: Escolhemos plantar as verduras em fileiras e as frutas plantaremos uma
em cada canto da horta deixando espaço suficiente para uma não atrapalhar o crescimento
da outra e o maracujá perto da tela para as ramas se espalharem.
333 Grupo 4: Pensamos em fazer uma canteiro para cada verdura, só o chuchu que
iremos deixar a rama se espalhar pela tela o que nos sobra mais espaço. Aí vimos também
que a abóbora iria precisar de mais espaço porque as ramas delas se espalham então
deixamos um espaço maior para o seu plantio.
Grupo 5: Pegamos uma trena e medimos o local da horta e com um barbante
fomos marcando os lados da horta e depois fomos marcando os canteiros, enquanto
fazíamos isso fomos desenhando para discutir depois qual seria a melhor maneira de
colocar os canteiros. Decidimos então fazermos canteiros quadrangulares com um metro
quadrado cada, deixando espaços para que nós pudéssemos circular dentro da horta.
Os relatos acima se referem às falas dos alunos na apresentação dos projetos.
Após a exposição houve ainda uma discussão onde foram levantados os seguintes
questionamentos:
Professor: Além dessas dimensões que vocês apresentaram podemos considerar
outras? E outros formatos?
Grupo1: Sim. Nós usamos o formato quadrado, mas ela poderia ser circular.
Grupo 2: Sim, nós fizemos alguns testes.
Grupo 3: Nós sabemos que pode ter outros formatos.
Grupo 4: É mesmo. Também pensamos na circular, mas ficou difícil marcar o
espaço e nós também fizemos o desenho de um formato pentagonal que poderia ter 8m de
lado.
Grupo 5: Fizemos os testes mais escolhemos a horta com a maior área.
Colocamos no quadro todas as possibilidades das dimensões que a horta poderia
apresentar.
Professor: Qual grupo teve a horta com maior área?
Todos responderam que foi a horta do grupo 1 e do grupo 5 com 100m²
Professor: Em qual formato teríamos a área máxima?
Grupos 1, 2, 3 e5: o formato quadrado de 100m².
Grupo 4: Teríamos a área máxima no formato circular, com aproximadamente
127m².
Professor: Como vocês descobriram isso?
334 Grupo 4: Como nós sabemos que temos 40m então esses 40m seria o
comprimento da circunferência, nós usamos o cálculo do comprimento da circunferência
para calcular o raio, vimos que deu 6,36m aproximadamente depois aplicamos a fórmula
da área de círculo e deu aproximadamente 127m².
Professor: Vocês podem demonstrar isso no quadro?
Grupo 4: O que nós fizemos foi: C = 2 . 3,14. r
trocando C por 40 temos
40 = 2. 3,14. r
r = 40: 6,28
assim r = 6, 3694267...
Usando somente duas casas após a vírgula temos a área: A = 3,14. 6,36² = 3,14.
40,44 = 126,98 m² aproximadamente 127m².
Considerações Finais
A interdisciplinaridade, a investigação, a capacidade de tomar decisões e o
trabalho coletivo foram as principais características da modelagem que ficaram
evidenciadas durante a realização do projeto.
Demonstraram isso quando justificaram suas escolhas em relação ao que iriam
plantar, principalmente o grupo 1 que pesquisou sobre as ervas medicinais. Ou ainda
quando fundamentaram suas escolhas no espaço com maior área. A maneira com que se
organizaram apontou um espírito de coletividade e uma autonomia que transpareceu
durante a realização e apresentação do projeto.
A forma como os alunos expuseram os trabalhos indicaram que eles assumiram
essa atividade com muita responsabilidade e compromisso, pois eles aceitaram a proposta e
elaboraram o projeto com muita dedicação e buscaram fora da sala de aula idéias que
pudessem colaborar com o desenvolvimento da atividade.
Foi evidente a participação diferenciada dos grupos sendo que alguns alunos
recusaram-se a participar da atividade, alegando que a situação proposta nada tinha de
relação com a matemática. Alguns declararam: “Isso nada tem a ver com matemática,
nunca vi estudar matemática desse jeito”. Outros ainda: “Para mim o que estamos fazendo
não é matemática, prefiro fazer exercícios do livro”.
Entretanto a maioria dos alunos que realizaram o projeto percebeu que estavam
fazendo matemática de um modo diferente e gostaram muito.
335 “Achei uma matemática diferente, no começo não entendi o porquê do projeto
para a aula de matemática mais depois que começamos a medir, a calcular a área da
horta vi que ali estava à matemática”.
“Esse projeto me animou a estudar matemática. Não sei por que os professores
não trabalham sempre assim, gostei muito e quero fazer de novo”.
Em relação ao conteúdo matemático aplicado neste trabalho, todos os grupos
conseguiram estabelecer relações de área e perímetro, sendo que alguns fundamentaram
suas escolhas pelo cálculo da área e esse assunto não era tema de estudo em sala aula
naquele momento, no entanto os grupos naturalmente utilizaram esse conteúdo sem
maiores dificuldades.
A idéia de escala também esteve presente ao fazerem o desenho da horta. O grupo
1, por exemplo, ao fazer o desenho da horta representou com um quadrado de 10 cm
estabelecendo que para cada 1cm corresponderia a 1m.
Em diversas situações, no desenvolvimento do trabalho, os alunos tiveram que
fazer simplificações e hipóteses para proporem uma solução, atitude esta completamente
diferente das atividades de resolução de problemas comuns nas aulas de matemática.
Durante as apresentações dos projetos, alguns alunos manifestaram suas opiniões
em relação ao trabalho desenvolvido indicando que eles puderam perceber a importância
da matemática no dia a dia e que ela foi essencial para a conclusão desta atividade, no
entanto era uma “matemática diferente”, pois eles tiveram que buscar dados em fontes
diversas fora da escola e dos livros didáticos de matemática.
Deste modo entendemos que o projeto contribuiu para uma aprendizagem mais
dinâmica e significativa da matemática evidenciando sua aplicação em situações do
cotidiano, levando a uma ruptura com uma aprendizagem fundamentada na repetição e
memorização.
Outras conseqüências favoráveis desta atividade foram à aplicabilidade da
interdisciplinaridade, e isso ocorreu de maneira natural entre os alunos envolvidos no
projeto com professores de outras áreas e funcionários da escola.
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