Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss
A Lei de Gauss:
Para compreendermos a Lei de Gauss,
precisamos entender o significado de fluxo elétrico.
A Lei de Gauss está centralizada no que
chamamos hipoteticamente de superfície gaussiana.
Esta superfície pode ser formada com a forma que
quisermos, porém é adequada aquela que apresentar as
devidas simetrias que o problema se apresenta. Por
exemplo, uma carga pontual possui linhas de força
distribuídas esfericamente; então a superfície
gaussiana mais adequada é uma esférica.
™ Fluxo:
A Lei de Gauss relaciona o fluxo do campo
elétrico por uma superfície fechada com uma
distribuição de cargas que estão envolvidas por essa
superfície:
G G
∫ E.dA = ε
Ou seja, se pega a componente paralela do
vetor v ao vetor normal à superfície A e multiplica-se
pela área A. Para definirmos o fluxo de um campo
elétrico, consideramos uma área A que representa uma
superfície gaussiana, sendo atravessada pelas linhas de
campo elétrico. Definimos por:
G G
ψ = ∫∫ D ⋅ dS = Qi
G
F = Fx (x, y, z)aˆ x + Fy (x, y, z)aˆ y + Fz (x, y, z)aˆ z Seja
S uma superfície contida numa região B, na qual as
derivadas parciais de Fx, Fy e Fz são contínuas e V uma
região limitada por B. Se aˆ n é um vetor normal exterior
à S, então:
G
G G
ˆ
F
⋅
a
dS
=
∇
n
∫∫
∫∫∫ ⋅ FdV
S
V
ou
G G
G G
F
⋅
d
S
=
∇
∫∫
∫∫∫ ⋅ FdV
G G Qi
Ou ∫∫ E ⋅ dS =
G
G
D = ε0E
0
™Teorema da Divergência
(Teorema Gauss):
Seja
S
S
q
Note que a carga q é a soma de todas as cargas,
positivas e negativas, interiores à superfície gaussiana.
A Lei de Gauss permite provar um importante
teorema sobre condutores isolados:
Se um excesso de carga é colocado em um
condutor isolado, a carga irá se mover inteiramente
sobre a superfície do condutor, nenhuma carga irá se
encontrar no interior do corpo de um condutor.
Definimos como fluxo de um vetor v através
de uma superfície de área A o produto:
G G
Ψ = v . A = vA cosθ
1
ε0
S
V
Aplicando o Teorema de Gauss:
G
G
G G
∫∫ D ⋅ dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ DdV
(Para o espaço livre).
Figura 1 – Fluxo através de uma superfície Gaussiana.
S
V
Como, da Lei de Gauss:
G
G
ψ = ∫∫ D ⋅ dS = Qi
S
E para uma distribuição volumétrica de carga:
Qi = ∫∫∫ ρ v dV
V
Observe que:
G
G
G G
∫∫ D ⋅ dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ DdV = ∫∫∫ ρ dV
v
S
V
G G
∇ ⋅ D = ρv
v
Exemplo 1 - Campo elétrico de uma carga
puntiforme: Imagine um superfície esférica que englobe
uma carga pontual q. Então:
G
O círculo na integração representa que a
integral deve ser feita sobre a superfície gaussiana
fechada.
G
Qi
∫∫ E ⋅ dS = ε
S
0
⇒ E.4πr 2 =
q
ε0
→E=
1
4πε 0
q
r2
1
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Figura 2 – Superfície Gaussiana esférica para calcular o
campo elétrico de uma carga puntiforme.
2
Figura 4 – Superfície Gaussiana cilíndrica envolvendo o
fio com densidade de carga linear.λ=rL.
r
Exemplo 2 - Campo de um condutor plano
infinito de densidade de carga superficial rs:
L
G
G
Qi
∫∫ E ⋅ dS = ε
S
Figura 3 – Superfície Gaussiana cilíndrica para o cálculo
do campo de um plano carregado.
Escolhendo uma superfície gaussiana
cilíndrica, a carga q está na superfície do condutor:
Note que o campo elétrico possui sentido divergente.
Então, aplicando a Lei de Gauss:
G G
q
∫∫ E ⋅ dS = E. A + (− E ).(− A) = ε 0
0
⇒ E 2πρL =
ρLL
ε0
⇒E=
1 ρL
2πε 0 ρ
Exemplo 4 - Esfera condutora de raio R
carregada com carga elétrica Q na superfície:
No seu interior o campo é nulo; para r > R
podemos imaginar que a superfície esférica gaussiana
engloba uma carga elétrica puntiforme Q:
Figura 5 – Superfície Gaussiana esférica envolvendo uma
casca esférica de raio R
S
E=
ρS
2ε 0
Exemplo 3 - Campo elétrico de um fio
infinito de densidade de carga linear ρ L .
Nesse caso, a superfície gaussiana adequada é
um cilindro de raio r qualquer:
⎧⎪ 0, se r < R
E=⎨ 1 Q
⎪⎩ 4 πε 0 r 2 se r ≥ R
Exemplo 5 - Distribuição esférica de raio R de
carga elétrica Q com densidade volumétrica rv:
Devemos
imaginar
duas
superfícies
gaussianas, de raios r > R e r < R:
2
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G G q
ρ
Se r < R ⇒∫ E.dA = ε0 ⇒ E.4πr2 = ρ 43 πr3 / ε0 ⇒ E = 3ε0 r
3
(b) Plano carregado.
3
G G q
ρ43π R3
ρ R
2
Se r > R ⇒ ∫ E.dA = ε0 ⇒ E.4πr = ε0 ⇒ E = 3ε0 2
r
Figura 6 – Superfícies Gaussianas esférica envolvendo
uma distribuição volumétrica de carga de raios r > R (a) e r < R (b):
(c) Plano carregado de um lado.
Figura 7 – Superfícies Gaussianas para diferentes
situações:
(a) Fio.
3
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4
π
π
2
Q 2
sen
d
ψ=
θ
θ
∫0 dφ
4π ∫0
(d) Capacitor de placas paralelas com
densidades iguais e diferentes nas placas.
ψ=
π
π
Q
[− cos θ ]02 [φ ]02
4π
Q
[− cos π2 − (− cos 0)][ π2 − 0]
4π
Q π Q 60
ψ=
= = µ = 7,5µC
4π 2 8 8
ψ=
(b) a superfície fechada definida por
ρ = 26 cm e z = ± 26 cm.
G
G
G
G
G
G
G
G
ψ =w
∫∫ D ⋅ dS = w
∫∫ D ⋅ dS L + w
∫∫ D ⋅ dST w
∫∫ D ⋅ dST
i
S
Exemplo 6 – (e 3.1 – Hayt pg. 34)
Dada uma carga pontual de 60µC, localizada
na origem, determine o fluxo elétrico total que passa
através:
(a) da porção de uma esfera limitada de r =
26 cm limitada por 0 < θ < π/2 e 0 < φ < π/2.
(b) a superfície fechada definida por ρ = 26
cm e z = ± 26 cm.
(c) do plano z = 26 cm.
Solução:
G
G
ψ = ∫∫ D ⋅ dS = Qi
S
Ou
G G Qi
E
∫∫ ⋅ dS =
S
ε0
(a) da porção de uma esfera limitada de r =
26 cm limitada por 0 < θ < π/2 e 0 < φ < π/2.
π π
G G 22 Q
2
ψ =w
D
∫∫S ⋅ dS = ∫0 ∫0 4π r 2 aˆr ⋅ r senθ dθ dφ ar
SL
STi
s
STs
G
dS L = ρ dφ dzaˆ ρ
G
dSTs = ρ d ρ dφ aˆ z
G
dSTi = ρ d ρ dφ ( −aˆ z )
G
Q
D=
aˆr
4π r 2
G G + 2 2π Q
D
w
∫∫S ⋅ dS L = −∫L ∫0 4π r 2 aˆr ⋅ ρ dφ dzaˆρ
L
L
2
G G
Q
D
w
∫∫S ⋅ dSL = 4π
L
+ L2 2π
ρ
∫∫r
2
aˆr ⋅ aˆ ρ dφ dz
− L2 0
4
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aˆr = senθ cos φ aˆ x + senθ senφ aˆ y + cos θ aˆ z
aˆ ρ = cos φ aˆ x + senφ â y
aˆr ⋅ aˆ ρ = senθ cos φ + senθ sen φ
2
2
aˆr ⋅ aˆ ρ = senθ ( cos 2 φ + sen 2φ )
aˆr ⋅ aˆ ρ = senθ
Observe da figura que:
z
G G
Q
2π
w
∫∫S D ⋅ dSL = 4π [φ ]0
L
r
y
r = x + y + z2
2
ρ = x2 + y2
r = ρ 2 + z2
Então:
ρ
aˆr ⋅ aˆ ρ =
r
Substituindo, teremos:
+ L2 2π
G G
Q
D
w
∫∫S ⋅ dSL = 4π
L
G G
Q
D
w
∫∫S ⋅ dS L = 4π
L
L
SL
G G
Q
D
w
∫∫S ⋅ dSL = 4π
L
2π
=
Q
4π
0
−L
2
r
0
+ L2 2π
∫∫
− L2 0
2π
ρ2
r3
+L
∫ dφ ∫
−L
0
+L
∫ dφ ∫
ρ ρ
∫∫r
− L2
(z
ρ
2
1 + tg θ
2
z + ρ2
2
z = 0.26
z
z2 + ρ 2
z =−0.26
dφ dz
dφ dz
ρ
G G Q ⎛ 0.26
0.26 ⎞
D
w
∫∫S ⋅ dS L = 2 ⎜⎝ 0.26 2 + 0.26 2 ⎟⎠
L
G G Q 2
D
w
∫∫S ⋅ dS L = 2 2
L
G G
Q
D
w
∫∫S ⋅ dS L = 2
L
2π R
G G
Q
1
D ⋅ dSTs =
aˆr ⋅ aˆ z ρ d ρ dφ
w
∫∫
∫
∫
4π 0 0 r 2
ST
s
Observe da figura que:
z
r
2
π
R
G G
Q
1 z
D ⋅ dSTs =
ρ d ρ dφ
w
∫∫
∫
∫
4π 0 0 r 2 r
ST
aˆr ⋅ aˆ z = cos θ =
2
r3
dz
2
+ρ
z
=
G G Q⎛
⎞
0.26
−0.26
D
⋅
dS
=
−
⎜
⎟
L
w
∫∫S
2 ⎝ 0.262 + 0.262
0.262 + 0.262 ⎠
L
r
2
tgθ
G G Q
D
w
∫∫S ⋅ dS L = 2
L
ρ
ρ sec 2 θ dθ
+L
G G
Q
1
⋅
=
π
D
dS
2
sec 2 θ dθ
L
3
w
∫∫S
∫
π
θ
4
sec
−L
L
G
r
senθ =
G
( ρ tg θ + ρ )
2 32
2
G G Q +L
w
∫∫S D ⋅ dSL = 2 −∫L cos θ dθ
L
G G
Q
D
w
∫∫S ⋅ dS L = 4π senθ
L
x
G
−L
2
ρ
ρ
w
∫∫ D ⋅ dS
∫
ρ2
+L
G G
Q
ρ3
⋅
=
2
π
sec2 θ dθ
D
dS
L
32
w
∫∫S
∫
3
2
4π
− L ρ ( tg θ + 1)
L
Como: senθ =
φ
+L
G G Q +L 1
D
w
∫∫S ⋅ dSL = 2 −∫L secθ dθ
L
θ
z
5
)
2 32
dz
Chamando:
z = ρ tgθ ⇔ dz = ρ sec 2 θ dθ
s
G G
Q
⋅ dSTs =
D
w
∫∫
4π
ST
s
2π R
∫∫
0 0
(ρ
zρ
2
+ z2 )
32
d ρ dφ
5
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G G
Q
D ⋅ dSTs =
w
∫∫
4π
ST
s
2π
zρ
R
∫ dφ ∫
0
(ρ
0
2
+z
)
2 32
dρ
u = ρ + z ⇔ du = 2 ρ d ρ
Chamando de
du
ρd ρ =
2
2
2
R
G G
z du2
Q
⋅
=
2
π
D
dS
Ts
w
∫∫
∫0 u 2 3 2
4π
ST
( )
s
R
G G
Q
−3
D
dS
z
u 2 du
⋅
=
Ts
w
∫∫
∫
4 0
ST
6
G G Q⎡ 1 ⎤
D
w
∫∫S ⋅ dSTi = 2 ⎢⎣1− 2 ⎥⎦
Ti
G G
G G
G G
G G
ψ =w
D
⋅
dS
=
D
⋅
dS
+
D
⋅
dS
D
L
T
∫∫
w
∫∫
w
∫∫
∫∫ ⋅ dSTs
i w
S
SL
STi
G
G
Q
Q⎡
1 ⎤
+ 2 ⎢1 −
2⎣
2
2 ⎥⎦
S
G G Q
Q
ψ =w
D
∫∫S ⋅ dS = 2 + Q − 2
G G
ψ =w
∫∫ D ⋅ dS = Q
ψ =w
∫∫ D ⋅ dS =
S
G
s
G
G
w
∫∫ D ⋅ dS
Ts
STs
=
Q u
z
4 − 3 +1
2
S
(c) do plano z = 26 cm.
Pela simetria do problema:
1
G G
Q u 2
D
dS
z
⋅
=
Ts
w
∫∫
4 −1
STs
2
G G
Q
−1
D ⋅ dSTs = 2 z
w
∫∫
4
u
ST
G
G
Ts
STs
G
G
G
S
Q
2
ψ =w
∫∫ D ⋅ dS = 30µC
ρ = 0.26
=−
G
ψ =w
∫∫ D ⋅ dS =
s
w
∫∫ D ⋅ dS
G
ψ =w
∫∫ D ⋅ dS = 60µC
3
− +1
2
−
STs
⎤
Q ⎡
1
z⎢
⎥
2 ⎢⎣ z 2 + ρ 2 ⎥⎦
ρ =0
G G
⎡
⎤
Q
1
1
D
w
∫∫S ⋅ dSTs =− 2 0.26⎢⎣ 0.262 +0.262 − 0.262 +02 ⎥⎦
Ts
G G
Q
1 ⎤
⎡ 1
D
w
∫∫S ⋅ dSTs =− 2 0.26⎢⎣0.26 2 − 0.26⎥⎦
Ts
G G
Q 0.26 ⎡ 1 ⎤
D
w
∫∫S ⋅ dSTs =− 2 0.26 ⎢⎣ 2 −1⎥⎦
Ts
G G Q⎡ 1 ⎤
D
w
∫∫S ⋅ dSTs = 2 ⎢⎣1− 2 ⎥⎦
Ts
G G Q⎡ 1 ⎤
D
w
∫∫S ⋅ dSTs = 2 ⎢⎣1− 2 ⎥⎦
Ts
O fluxo na tampa inferior é calculado de
maneira análoga, fornecendo o resultado:
S
Ou:
G G +∞ +∞ Q
ψ =w
∫∫S D ⋅ dS = −∞∫ −∞∫ 4π r 2 aˆr ⋅ aˆ z dxdy
G G +∞ +∞ Q z
ψ =w
∫∫S D ⋅ dS = −∞∫ −∞∫ 4π r 2 r dxdy
G
G
ψ =w
∫∫ D ⋅ dS =
S
+∞ +∞
Qz
1
dxdy
∫
∫
2
2
4π −∞ −∞ ( x + y + z 2 )3 2
Exemplo 7 – (e 3.2 – Hayt pg. 34)
Calcule D em coordenadas retangulares no
ponto P (2, -3, 6) produzido por:
(a) uma carga pontual QA = 55 mC em Q(-2, 3,
-6).
(b) uma linha de cargas uniforme de ρLB = 20
mC/m no eixo x.
(c) uma densidade superficial de carga de ρSC
= 120 µC/m2 no plano z = -5m.
Solução:
6
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3, -6).
(a) uma carga pontual QA = 55 mC em Q(-2,
G Q
aˆ
D = A G RG 2
4π rP − rA′
G
rA′ = −2aˆ x + 3aˆ y − 6aˆ z
G
rP = 2aˆ x − 3aˆ y + 6aˆ z
G G
rP − r ′
aˆ R = G G
rP − rP′
aˆ R =
4aˆ x − 6aˆ y + 12aˆ z
4aˆ x − 6aˆ y + 12aˆ z
=
G
4
6
12
aˆ x − aˆ y + aˆ z
14
14
14
( )
µC
m2
(b) uma linha de cargas uniforme de ρLB = 20
mC/m no eixo x.
G ρ aˆ
D= L ρ
2π ρ
(a) E =
1 G
D
ε0
G 1
E = 0.3nr 2 aˆr
ε0
G
E=
1
0.3 ⋅10−9 ⋅ 22 aˆr
−12
8.85 ⋅10
G
E = 135,5aˆr ( Vm )
G G
(b) Q = Ψ = w
∫∫ D ⋅ dS
S
2
2
Q=Ψ=w
∫∫ 0.3nr aˆr ⋅ r senθ dθ dφ
S
( −3) + 62 = 45
aˆ ρ = −
Dada a densidade de fluxo elétrico D =0,3r2ar
nC/m no espaço livre:
(a) determine E no ponto
P(r = 2, θ =25°,φ = 90°).
(b) determine a carga total dentro da esfera r =
3.
(c) determine o fluxo elétrico total que deixa a
esfera r = 4.
2
Solução:
G
55m ⎡ 4
6
12 ⎤
D=
aˆ x − aˆ y + aˆ z ⎥
2 ⎢
4π 14 ⎣14
14
14 ⎦
G
D = 6.38aˆ x − 9.57 aˆ y + 19.14aˆ z
ρ=
7
2
3
aˆ y +
6
2π π
Q = 0.3nr 4 ∫ ∫ senθ dθ dφ
0 0
âz
3 5
3 5
6
⎡ 3
⎤
aˆ +
aˆ
−
G 20m ⎢⎣ 3 5 y 3 5 z ⎥⎦
D=
2π
3 5
G 20m ⎡ 3
6 ⎤
ˆ
D=
a
aˆ z
−
+
y
2π ⎢⎣ 45
45 ⎥⎦
G
⎛ µC ⎞
D = −212aˆ y + 424aˆ z ⎜ 2 ⎟
⎝m ⎠
(c) uma densidade superficial de carga de ρSC
= 120 µC/m2 no plano z = -5m.
G ρ
D = S aˆ N
2
G 120µ
D=
aˆ Z
2
G
D = 60aˆZ
Q = 0.3n34 4π
Q = 305nC
G G
(c) Ψ = w
∫∫ D ⋅ dS
S
2
2
Ψ=w
∫∫ 0.3nr aˆr ⋅ r senθ dθ dφ
S
Ψ = 0.3n 4 4 4π
Ψ = 965.09nC
Exemplo 9 – (e 3.3 – Hayt pg. 36)
Calcule o fluxo elétrico total deixando uma
superfície cúbica formada por seis planos x, y, z = ±5,
se a distribuição de cargas é:
(a) duas cargas pontuais, uma de 0,1 µC em
(1,-2,3) e outra de 17 µC em (-1, 2, -2);
( )
µC
m
2
Exemplo 8 – (e 3.3 – Hayt pg. 36)
(b) uma linha de cargas uniforme de πµC/m
em x = -2, y = 3;
(c) uma superfície de cargas uniforme de
0,1µC/m2 no plano y = 3x.
Solução:
7
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(a)
G G
Ψ=w
D
∫∫ ⋅ dS = Q1 + Q2
8
A interseção do cubo de lado 10 com o plano
dá um retângulo, de dimensões:
S
1, 7
µ
7
Ψ = 0, 243µ C
Ψ = 0,1µ + 17 µ =
d/2
y=5
G G
D
(b) Ψ = w
∫∫ ⋅ dS = Qi
x=5/3
5
S
z
5/3
-2
2
d
3
y
x
O comprimento da linha que está dentro do
cubo possui uma carga de:
G G
Ψ=w
D
∫∫ ⋅ dS = ρ L d
S
Ψ = πµ10
Ψ = 31, 4 µ C
x
2
25
⎛d ⎞
⎛5⎞
2
⎜ ⎟ = 5 + ⎜ ⎟ = 25 +
9
⎝2⎠
⎝ 3⎠
2
d
225 + 25 250
=
=
4
9
9
4 ⋅ 250
d=
9
10
d=
10
3
A Carga interna ao cubo será:
Qi = ρ s S = ρ s ⋅ d ⋅ 2l
Qi = 0,1µ ⋅
(c) uma superfície de cargas uniforme de
0,1µC/m2 no plano y = 3x.
10 10
10 10
⋅ 2⋅5 =
µ
3
3
Ψ = Qi = 10,54µC
Exemplo 10 – (e 3.5 – Hayt pg. 39)
Uma carga pontual de 0,25µC está localizada
em r=0, e duas densidades superficiais de cargas
uniformes estão localizadas como se segue: uma de
2mC/m2 em r = 1cm e outra de -0,6 mC/m2 em r = 1,8
cm. Calcule D em:
(a) r = 0,5 cm.
(b) r = 1,5 cm.
(c) r = 2,5 cm.
(d) Que densidade superficial de carga
uniforme deve ser estabelecida em r = 3 cm para causar
D = 0 em r = 3,5 cm?
Solução:
(a) r = 0,5 cm
8
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G
Q
D=
aˆr
4π r 2
G
0, 25µ
D=
aˆr
−2 2
4π ( 0,5 ⋅10 )
G
D = 796aˆr
9
(a) Determine o fluxo elétrico total que
atravessa a superfície retangular
z = 2, 0 < x < 2, 1 < y < 3 na direção az;
(b) Determine E em P(2, -1, 3);
(c) Determine um valor aproximado para a
carga total contida em uma esfera incremental
localizada em P(2, -1, 3) e tendo um volume de 10-12
m3.
( )
µC
m2
(b) r = 1,5 cm
Solução:
G
Q
Q
D=
aˆ + s 2 aˆr
2 r
4π r
4π rs
(a) Fluxo elétrico total que atravessa a
superfície retangular
z = 2, 0 < x < 2, 1 < y < 3 na direção az;
G
ρ s1 4π r12
Q
D=
aˆr +
aˆr
4π r 2
4π r 2
G
D=
0, 25µ
4π (1,5 ⋅10
aˆr +
)
−2 2
2m ⋅ 4π (1, 0 ⋅10−2 )
4π (1,5 ⋅10
2
)
−2 2
G
D = 88, 4 ⋅10 −6 aˆr + 888,88 ⋅10 −6 aˆr
G
D = 977,3aˆr µmC2
G
dS = dxdyaˆ z
G G
Ψ=w
D
∫∫ ⋅ dS
aˆr
S
G G
D ⋅ dS = 16 x 2 yz 3 dxdy
2 3
2
3
Ψ=w
∫∫ 16 x yz dxdy = ∫ ∫ 16 x yz dydx
( )
2
−2 2
−2 2
G
D = 40, 79 aˆ r
−2 2
µC
m2
(d) Que densidade superficial de carga
uniforme deve ser estabelecida em r = 3 cm para
causar D = 0 em r = 3,5 cm?
2
Exemplo 11 – (e 3.6 – Hayt pg. 41)
No espaço livre,
G
D = 8 xyz 4 aˆ x + 4 x 2 z 4 aˆ y + 16 x 2 yz 3 aˆ z
1
2
( )
ρ s = −28,33 ( µmC )
0
3
3
r
G
ρs1 4π r12
ρs1 4π r22
ρ s 4π rs2
Q
ˆ
ˆ
ˆ
D=
a
+
a
+
a
+
aˆr
r
r
r
4π r 2
4π r 2
4π r 2
4π r 2
G
Q
2 ⋅10−3 ⋅ 4π (1, 0 ⋅10−2 ) 2
ˆ
D=
a
aˆr
+
r
4π (3,5 ⋅10−2 ) 2
4π (3,5 ⋅10−2 ) 2
G
ρ s 4π (3 ⋅10−2 ) 2
−0, 6 ⋅10−3 ⋅ 4π (1,8 ⋅10−2 ) 2
ˆ
a
aˆr = 0
+
+
r
−2 2
−2 2
4π (3,5 ⋅10 )
4π (3,5 ⋅10 )
G
D = 16, 24µ aˆr + 163, 265µ aˆr
G
−158, 69µ aˆr + 0, 7346 ρ s aˆr = 0
3
⎡ x3 ⎤ ⎡ y 2 ⎤
Ψ = 16 z z = 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ 3 ⎦ 0 ⎣ 2 ⎦1
23 ⎡ 32 12 ⎤
Ψ = 16 ⋅ 8 ⎢ − ⎥
3 ⎣2 2⎦
−2 2
r
2
Ψ = 16z 3 ∫ x 2 dx ∫ ydy
G
ρ s1 4π r12
ρ s1 4π r22
Q
ˆ
ˆ
D=
a
+
a
+
aˆr
r
r
4π r 2
4π r 2
4π r 2
G
2m ⋅ 4π (1, 0 ⋅10 )
−0, 6m ⋅ 4π (1,8 ⋅10 )
0, 25µ
D=
aˆ +
aˆ +
aˆ
4π ( 2, 5 ⋅10 )
4π ( 2,5 ⋅10 )
4π ( 2,5 ⋅10 )
G
D = 31,83µ aˆ r + 320 µ aˆ r − 311, 04 µ aˆ r
r
0 1
S
(c) r = 2,5 cm.
−2 2
3
23 ⎡ 9 1 ⎤
Ψ = 128 ⎢ − ⎥
3 ⎣2 2⎦
Ψ = 1365, 33 pC
(b) Determine E em P(2, -1, 3);
G
G D 8 xyz 4 aˆ x + 4 x 2 z 4 aˆ y + 16 x 2 yz 3 aˆ z
E= =
ε0
ε0
( )
pC
m2
G
G D 8 ⋅ 2 ⋅ (−1)34
16 ⋅ 22 ( −1) 33
4 ⋅ 2 2 ⋅ 34
E=
aˆ x +
aˆ y +
aˆ z ( CN )
=
ε0
8,85
8,85
8,85
G
E = −146, 44aˆ x + 146, 44aˆ y − 195, 25aˆ z ( CN )
(c) Determine um valor aproximado para a
carga total contida em uma esfera incremental
localizada em P(2, -1, 3) e tendo um volume de 10-12
m3.
( ).
pC
m2
9
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss
G G
Q
Q = ∫∫∫ ρv dV ⇔ ∇ ⋅ D = ρv ≅
∆V
V
G G 1 ∂
(ρDρ ) + 1 ∂Dφ + ∂Dz
∇⋅D =
ρ ∂ρ
ρ ∂φ
∂z
2
2
2
G G 1 ∂
1 ∂( ρz sen2φ) ∂( 2ρ zsen φ)
2
2
∇⋅ D =
2
z
sen
+
+
ρ
ρ
φ
(
) ρ ∂φ
∂z
ρ ∂ρ
2
2
2
G G 2z sen φ ∂ 2 ρ z ∂ ( sen2φ )
∂( z)
∇⋅ D =
ρ )+
+ 2ρ 2 sen2φ
(
∂ρ
∂φ
∂z
ρ
ρ
G G
Q = ∆V ⋅ ∇ ⋅ D
G
D = 8 xyz 4 aˆ x + 4 x 2 z 4 aˆ y + 16 x 2 yz 3 aˆ z
10
( )
pC
m2
G G ⎛ ∂
⎞
∂
∂
∇ ⋅ D = ⎜ ( 8 xyz 4 ) + ( 4 x 2 z 4 ) + (16 x 2 yz 3 ) ⎟ ( p )
∂
x
∂
y
∂
z
⎝
⎠
G G
∇ ⋅ D = 8 yz 4 p + 0 + 48 x 2 yz 2 p
G G
∇ ⋅ D = ( 8(−1)34 + 0 + 48 ⋅ 22 (−1)32 )(10−12 )
G G
∇ ⋅ D = ( 8(−1)34 + 0 + 48 ⋅ 22 (−1)32 ) (10−12 )
G G
Q = ∆V ⋅∇ ⋅ D = −2, 376 ⋅10−21 C
G G 2z2sen2φ
2ρ + z2 2cos2φ + 2ρ2sen2φ ⋅1
∇⋅ D =
ρ
G G
∇⋅ D = 4z2sen2φ + 2z2 cos2φ + 2ρ2sen2φ
G G
2
∇⋅ D(ρ = 2,φ =110°, z = -1) = 4( −1) sen2110º +
2( −1) cos( 2⋅110°) + 2⋅ 22 sen2110°
2
G G
2
∇⋅ D(ρ = 2,φ =110°, z = -1) = 4( −1) sen2110º +
2( −1) cos( 2⋅110°) + 2⋅ 22 sen2110°
2
Exemplo 12 – (e 3.7 – Hayt pg. 42)
Para cada um dos seguintes itens, determine
um valor numérico para div D no ponto especificado:
G
2
2
2
(a) D = ( 2xyz − y ) aˆx + ( x z − 2xy) aˆy + x yaˆz
( ) em
C
m2
PA(2, 3, -1).
(b)
G
D = 2ρz2sen2φaˆρ + ρz2sen2φaˆφ + 2ρ2zsen2φaˆz
em PB(ρ = 2, φ = 110°, z =-1).
(c)
G
D = 2rsenθ cosφaˆr + r cosθ cosφaˆθ −rsenφaˆφ
( )
C
m2
( ) em
C
m2
PB(r = 1,5; θ = 30°, φ = 50°).
Solução:
(a)
G
D = ( 2xyz − y2 ) aˆx + ( x2 z − 2xy) aˆy + x2 yaˆz
( ) em
C
m2
PA(2, 3, -1). Em coordenadas cartesianas:
G G ∂D ∂Dy ∂Dz
∇⋅D = x +
+
∂x
∂y
∂z
G G ∂ ( 2 xyz − y 2 ) ∂ ( x 2 z − 2 xy ) ∂ ( x 2 y )
∇⋅D =
+
+
∂x
∂y
∂z
G G
∇ ⋅ D = 2 yz − 2 x + 0
G G
∇ ⋅ D (2, 3, -1) = 2 ⋅ 3 ⋅ ( −1) − 2 ⋅ 2
G G
∇ ⋅ D(2, 3, -1) = −10 mC3
( )
(b)
G
D = 2ρz2sen2φaˆρ + ρz2sen2φaˆφ + 2ρ2 zsen2φaˆz
em PB(ρ = 2, φ = 110°, z =-1).
( )
C
m2
G G
∇⋅ D(ρ = 2,φ =110°, z = -1) = 9.06
G
( )
C
m3
(c) D = 2rsenθ cosφaˆr + r cosθ cosφaˆθ − rsenφaˆφ
( ) em
C
m2
PB(r = 1,5; θ = 30°, φ = 50°).
G G 1 ∂
1 ∂ ( senθ Dθ )
1 ∂Dφ
∇⋅ D = 2 ( r 2 Dr ) +
+
r ∂r
rsenθ
rsenθ ∂φ
∂θ
G G 1 ∂ 2
1 ∂ ( senθ r cosθ cosφ )
∇⋅ D = 2 ( r 2rsenθ cosφ ) +
+
r ∂r
rsenθ
∂θ
1 ∂ ( −rsenφ )
rsenθ
∂φ
⎛ sen2θ ⎞
G G 2senθ cosφ ∂ 3 r cosφ ∂ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
∇⋅ D =
( r ) + rsenθ ∂θ +
∂r
r2
−r ∂ ( senφ )
rsenθ ∂φ
G G 2senθ cosφ 2 r cosφ ⎛ 2cos2θ ⎞
∇⋅ D =
3r +
⎜
⎟+
r2
rsenθ ⎝ 2 ⎠
−1
cosφ
senθ
G G
cos φ cos 2θ cosφ
∇⋅ D = 6senθ cosφ +
−
senθ
senθ
G G 6sen2θ cosφ + cos2θ cosφ − cosφ
∇⋅ D =
senθ
G G 6sen2θ cosφ + ( cos2 θ − sen2θ ) cosφ − cosφ
∇⋅ D =
senθ
10
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss
11
G G 1 ∂
G G 6sen2θ cosφ + cos2 θ cosφ − sen2θ cosφ − cosφ
1 ∂( z cosφ) ∂( ρsenφ)
∇⋅ D =
+
( ρzsenφ) +
∇⋅ D =
ρ ∂ρ
ρ ∂φ
∂z
senθ
2
2
2
G
G
∂
cos
φ
) +0
zsenφ ∂
z (
G G 6sen θ cosφ + (1− sen θ ) cosφ − sen θ cosφ − cosφ
∇⋅ D =
(ρ) +
∇⋅ D =
ρ
ρ
ρ
φ
∂
∂
senθ
G G zsenφ zsenφ
G G 6sen2θ cosφ + cosφ − sen2θ cosφ − sen2θ cosφ − cosφ
∇⋅ D =
−
∇⋅ D =
senθ
ρ
ρ
G G
G G 4sen2θ cosφ
C
ρv =∇⋅ D = 0 m3
∇⋅ D =
senθ
G
G G
(c) D = senθ senφaˆr + cosθ senφaˆθ + cosφaˆφ C2 .
∇⋅ D = 4senθ cosφ
m
G G
G G 1 ∂
1 ∂ ( senθ Dθ )
1 ∂Dφ
∇⋅ D = 4sen30° cos50°
∇⋅ D = 2 ( r 2 Dr ) +
+
G G
1
∂θ
r ∂r
rsenθ
rsenθ ∂φ
∇⋅ D = 4 0.6427
2
G G 1 ∂ 2
1 ∂ ( senθ cosθ senφ )
G G
∇⋅ D = 2 ( r senθ senφ ) +
+
∇⋅ D = 1,28 mC3
r ∂r
rsenθ
∂θ
( )
( )
Exemplo 13– (e 3.8 – Hayt pg. 41)
Determine a expressão para a densidade
volumétrica de carga associada com cada campo D a
seguir:
G 4 xy
4 x2
2x2 y
D=
aˆ x +
aˆ y + 2 aˆ z mC2 .
z
z
z
G
(b) D = zsenφ aˆ ρ + z cos φ aˆφ + ρ senφ aˆ z ( C
m
( )
(a)
2
G
(c) D = senθ senφaˆr + cosθ senφaˆθ + cosφaˆφ
( )
)
C
m2
Solução:
(a)
G 4 xy
4 x2
2x2 y
D=
aˆ x +
aˆ y + 2 aˆ z
z
z
z
( ).
C
m2
Em coordenadas cartesianas:
G G
ρv = ∇ ⋅ D =
∂Dx ∂Dy ∂Dz
+
+
∂x
∂y
∂z
G G ∂ ⎛ 4 xy ⎞ ∂ ⎛ 4 x 2 ⎞ ∂ ⎛ 2 x 2 y ⎞
∇⋅D = ⎜
⎟+ ⎜
⎟
⎟+ ⎜
∂x ⎝ z ⎠ ∂y ⎝ z ⎠ ∂z ⎝ z 2 ⎠
G G 4y
4 x2 y
∇⋅D =
+0− 3
z
z
G G 4 yz 2 − 4 x 2 y
ρv = ∇ ⋅ D =
z3
G G
4y
∇ ⋅ D (2, 3, -1) = 3 ( z 2 − x 2 ) mC3
z
G
(b) D = zsenφ aˆ ρ + z cos φ aˆφ + ρ senφ aˆ z
G G
1 ∂ ( cosφ )
rsenθ ∂φ
⎛ sen2θ ⎞
G G senθ senφ ∂ 2 senφ ∂ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
∇⋅ D =
( r ) + rsenθ ∂θ +
∂r
r2
1 ∂ ( cosφ )
rsenθ ∂φ
G G senθ senφ
senφ ⎛ 2cos2θ ⎞
∇⋅ D =
2r +
⎜
⎟+
2
r
rsenθ ⎝ 2 ⎠
1
( −senφ )
rsenθ
G G 2senθ senφ senφ cos2θ senφ
∇⋅ D =
+
−
r
rsenθ
rsenθ
2
2
2
G G 2sen θ senφ senφ ( cos θ − sen θ ) senφ
∇⋅ D =
+
−
rsenθ
rsenθ
rsenθ
2
2
G G 2sen θ senφ senφ (1− 2sen θ ) senφ
∇⋅ D =
+
−
rsenθ
rsenθ
rsenθ
G G 2sen2θ senφ senφ − 2sen2θ senφ senφ
∇⋅ D =
+
−
rsenθ
rsenθ
rsenθ
G G
C
ρv =∇⋅ D = 0 m3
( )
Exemplo 13– (e 3.9 – Hayt pg. 45)
Dado o campo:
( )
( ).
ρv = ∇ ⋅ D =
( )
C
m2
1 ∂
1 ∂Dφ ∂Dz
ρ Dρ ) +
+
(
ρ ∂ρ
ρ ∂φ
∂z
G
D = 6 ρ sen 12 φ aˆ ρ + 1, 5 ρ cos 12 φ aˆφ
( )
C
m2
calcule ambos os lados do teorema da
divergência para a região limitada por:
ρ = 2, φ = 0, φ = π , z = 0 e z = 5.
Solução:
G G
G G
Ψ=w
∫∫ D ⋅ dS = Qi = ∫∫∫ ∇ ⋅ DdV
S
V
11
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aˆ NT = − aˆ z
A região formada é composta por quatro
superfícies SL, STs, STi e Sp, como ilustramos abaixo,
i
G
juntamente com os vetores dS para cada superfície:
¾
12
Superfície lateral SL:
¾
Superfície plana lateral Sp:
G
dS p = dS p ( − aˆφ ) = − d ρ dzaˆφ
aˆ N p = −aˆφ (φ = 0 ) ; aˆ N p = aˆφ (φ = π )
aˆ N = aˆ ρ
G
dS L = dS L aˆ ρ = ρ dφ dzaˆ ρ
aˆ N L = aˆ ρ
¾ Superfícies inferior e superior (STs, STi):
G
dSTs = dST aˆ z = ρ d ρ dφ aˆ z
aˆ NT = aˆ z
¾
Superfície fechada S:
s
G
dSTi = dST ( − aˆ z ) = − ρ d ρ dφ aˆ z
12
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13
G G
D
∫∫ ⋅ dS = 0C
STi
G G π2
D
∫∫ ⋅ dSTi = ∫ ∫ ( 6ρ sen 12 φ aˆρ + 1,5ρ cos 12 φ aˆφ ) ⋅ ( ρ d ρ dφ aˆz )
0 0
STs
Como: aˆ ρ ⋅ aˆ z = 0 ∴ aˆ z ⋅ aˆφ = 0
G G
D
∫∫ ⋅ dS = 0C
STs
G G 52
D
∫∫ ⋅ dS = ∫∫ ( 6ρsen 12 φaˆρ +1,5ρ cos 12 φaˆφ ) ⋅( −d ρdzaˆφ )
0 0
Sp
Como: aˆφ ⋅ aˆφ = 1∴ aˆ ρ ⋅ aˆφ = 0
G G 52
D
∫∫ ⋅ dS = ∫∫ −1,5ρ cos 12 φd ρdz
0 0
Sp
5
2
G G
1
D
⋅
dS
=
−
1,5cos
φ
dz
2 ∫
∫∫
∫ ρd ρ
0
Sp
2 ρ =2
G G
z =5 ⎡ ρ ⎤
1
∫∫S D ⋅ dS = −1,5cos ( 2 0) [ z]z=0 ⎢⎣ 2 ⎥⎦
ρ =0
p
2
G G
⎡ 2 02 ⎤
∫∫S D ⋅ dS = −1,5cos ( 0) [5 − 0] ⎢⎣ 2 − 2 ⎥⎦
p
G G
D
∫∫ ⋅ dS = −1,5⋅1[5][ 2]
Assim:
G G
G G
G G
G G
G G
D
⋅
dS
=
D
⋅
dS
+
D
⋅
dS
+
D
⋅
dS
+
D
w
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫ ⋅ dS
S
SL
G
STi
5π
G
∫∫ D ⋅ dS = ∫∫ ( 6ρ sen
L
1
2
STs
Spi
φ aˆρ + 1,5ρ cos 12 φ aˆφ ) ⋅ ( ρ dφ dzaˆρ )
0 0
SL
Como: aˆ ρ ⋅ aˆ ρ = 1∴ aˆ ρ ⋅ aˆφ = 0
Sp
G G 5π 2
D
∫∫ ⋅ dSL = ∫∫ 6ρ sen 12 φdφ dz
0 0
SL
5
π
G G
2
∫∫ D ⋅ dSL = 6ρ ∫ dz ∫ sen 12 φ dφ
0
SL
0
G G
φ =π
z =5
2
D
∫∫ ⋅ dSL = 6 ⋅ 2 [ z ]z=0 [ −2cos 12 φ ]φ =0
SL
G G
D
∫∫ ⋅ dS = −15C
Sp
G G
G G
G G
G G
G G
D
⋅
dS
=
D
⋅
dS
+
D
⋅
dS
+
D
⋅
dS
+
D
w
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫ ⋅ dS
S
SL
STi
S
G G
D
∫∫ ⋅ dS = 240C
Spi
G G
w
∫∫ D⋅ dS = 225C
SL
SL
STs
G G
D
w
∫∫ ⋅ dS = 240+0+0−15
G G
∫∫ D ⋅ dSL = 24[5 − 0] ⎡⎣−2cos ( 12 π ) − ( −2cos ( 12 0) )⎤⎦
G G
D
∫∫ ⋅ dSL = 24 ⋅ 5[ 2]
0
S
¾
Integral de volume:
G G
Ψ = ∫∫∫ ∇ ⋅ DdV
V
G G 1 ∂
1 ∂Dφ ∂Dz
G G π2
ρ Dρ ) +
∇
⋅D =
+
(
1
1
ˆ
ˆ
ˆ
D
⋅
dS
=
ρ
sen
φ
a
+
ρ
φ
a
⋅
−
ρ
d
ρ
d
φ
a
6
1,5
cos
T
z)
ρ
φ) (
2
2
∂z
ρ ∂ρ
ρ ∂φ
∫∫
∫ ∫(
SL
i
STi
0 0
Como: aˆ ρ ⋅ aˆ z = 0 ∴ aˆ z ⋅ aˆφ = 0
G
D = 6 ρ sen 12 φ aˆ ρ + 1, 5 ρ cos 12 φ aˆφ
( )
C
m2
13
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss
14
G G 1 ∂
1 ∂
∂0
∇⋅D =
( ρ 6 ρ sen 12 φ ) +
(1,5ρ cos 12 φ ) +
ρ ∂ρ
ρ ∂φ
∂z
G G 6sen 12 φ ∂
∇⋅ D =
( ρ 2 ) + 1,5ρρ ∂∂φ ( cos 12 φ )
ρ ∂ρ
G G 6 sen 12 φ
1,5ρ ⎛ 1
⎞
2ρ +
∇⋅D =
− sen 12 φ ⎟
ρ
ρ ⎜⎝ 2
⎠
G G
1,5
∇ ⋅ D = 12 sen 12 φ −
sen 12 φ
2
G G 22,5
∇⋅D =
sen 12 φ
2
5 π 2
G G
22,5
∇
⋅
DdV
=
sen 12 φρ d ρ dφ dz
∫∫∫
∫
∫
∫
2
V
0 0 0
5
2
π
G G
22,5
∇ ⋅ DdV =
dz ∫ ρ d ρ ∫ sen 12 φ dφ
∫∫∫
∫
2
V
0
0
0
ρ =2
G G
22,5 z =5 ⎡ ρ 2 ⎤
φ =π
∇ ⋅ DdV =
[ z ]z =0 ⎢ ⎥ [ −2 cos 12 φ ]φ =0
∫∫∫
2
⎣ 2 ⎦ ρ =0
V
G G
⎡22 02 ⎤
22,5
∇⋅
=
−
DdV
5
0
[ ] ⎢ − ⎥ ⎡⎣−2cos( 12 π) −( −2cos( 12 0) )⎤⎦
∫∫∫V
2
⎣ 2 2⎦
G G
22,5
∫∫∫V ∇⋅ DdV = 2 [5][2][2]
G G
∇
∫∫∫ ⋅ DdV = 225C
V
14
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss
15
2π
+∞
0
−∞
Q = ∫ dφ ρ ∫ 5 ⋅ 10 −9 e
™ Exercícios – Capítulo 3 - Hayt
1. Uma lata de pintura de metal vazia é
colocada em uma mesa de mármore, sua tampa é
retirada, e ambas as partes são descarregadas
conectando-as à terra. Um fio isolante de náilon é
colado no centro da tampa e três moedas, de 5, 10 e 50
centavos são coladas ao fio de forma que não se
toquem. A moeda de 50 centavos é aplicada uma carga
de +5 nC e as moedas de 5 e 10 centavos permanecem
descarregadas. A montagem é descida até a lata de
forma que as moedas fiquem suspensas e longe das
paredes, estando a tampa presa. O lado de fora da lata
é temporariamente conectado de novo a terra. O
dispositivo é cuidadosamente desmontado com luvas e
ferramentas isolantes.
(a) Que cargas são encontradas em cada uma
das cinco peças metálicas?
(b) Se fosse aplicada à moeda de 50 centavos
uma carga de + 5 nC, à de l0 centavos uma carga de 2 nC e à de 5 centavos uma carga de - l nC, qual seria
a distribuição final de cargas?
2. Uma carga pontual de 12 nC está
localizada na origem. Quatro linhas de cargas
uniformes estão localizadas no plano x = O como se
segue: 80 nC/m em y = - l e -5 m, -50nC/m e y = -2e 4m.
(a) Determine D em P(0, -3, 2);
(b) Quanto fluxo elétrico atravessa o plano x
= -3 e em que direção?
(c) Quanto fluxo elétrico deixa a superfície da
esfera de 4 m de raio centrada em C(0, -3, 0) ?
3. A superfície cilíndrica r = 8 cm contém
uma densidade superficial de carga
ρ S = 5e −20 z
nC/m2.
Q = 5 ⋅ 10 φ
−9
0
⎛ e 20 z 0
e − 20 z
+
Q = 10π ⋅ 10 ⋅ 8 ⋅ 10 ⋅ ⎜
⎜ 20
− 20
z → −∞
⎝
1 ⎞
⎛ 1
Q = 80π ⋅ 10 −11 ⋅ ⎜ + ⎟
⎝ 20 20 ⎠
⎛ 2 ⎞
Q = 80π ⋅ 10 −11 ⋅ ⎜ ⎟
⎝ 20 ⎠
−11
Q = 8π ⋅ 10
Q = ∫∫ ρ S dS
Q=
∫ ∫ 5 ⋅10
z =0
⎞
⎟
⎟
⎠
Q = 0,2513 ⋅ 10 −9 = 0,25nC
(b) – Cálculo do fluxo:
z
5
1
Q = ∫∫ ρ S dS
R
π
2
Q=∫
6
0 , 05
∫ρ
S
ρdφdz
0 , 01
π
2
0 , 05
Q = ρ ∫ dφ ∫ 5 ⋅ 10 −9 e
π
6
− 20 z
dz
0 , 01
e −20 z
Q = 0,08 ⋅ 5 ⋅ 10 ⋅ φ
− 20
π
2
π
6
0 , 05
0 , 01
e −20⋅0,01 ⎞
⎛ π π ⎞⎛ e
⎟
Q = 4 ⋅ 10 −10 ⋅ ⎜ − ⎟⎜⎜
−
− 20 ⎟⎠
⎝ 2 6 ⎠⎝ − 20
−20⋅0 , 05
S
2π +∞
z → +∞
−2
−9
Solução:
dz
+∞
⎞
⎛ 0 − 20 ( − z )
⎜
dz + ∫ e − 20 z dz ⎟⎟
⋅ ρ ⋅⎜ ∫e
0
⎠
⎝ −∞
−9
π
(a) Qual a quantidade de carga total presente?
(b) Quanto fluxo elétrico deixa a superfície
r = 8 cm,
l cm < z < 5 cm,
30° < f < 90°?
2π
− 20 z
−9
e
− 20 z
ρdφdz
0 −∞
15
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss
4
⎛π ⎞
⋅ 10 −10 ⋅ ⎜ ⎟ e −0, 2 − e −1
20
⎝3⎠
Q = 9,4384 ⋅ 10 −12 C
Q = 9,4384 pC
(
Q=
)
16
2
3
3
0
0
0
5
Qi = 0 − 20∫ dx ∫ ydy + 8∫ ydy ∫ dz + 0
0
3
3
⎛ y2 ⎞ 5
⎛ y2 ⎞
Qi = 20(2 − 0 )⎜⎜ ⎟⎟ + 8⎜⎜ ⎟⎟ z 0
⎝ 2 ⎠0 ⎝ 2 ⎠0
9 ⎛9⎞
Qi = 40 ⋅ + 8⎜ ⎟5
2 ⎝2⎠
Qi = 180 + 180
4. As superfícies cilíndricas r = l, 2 e 3 cm
possuem densidades superficiais de carga uniformes
de 20, - 8 e 5 nC/m2, respectivamente, (a) Quanto
fluxo elétrico passa através da superfície fechada r = 5
cm, 0 < z < l m?
(b) Determine D em P(l cm, 2 cm, 3 cm).
Qi = 360C
5. Seja:
G
D = 4 xyaˆ x + 2( x 2 + z 2 )aˆ y + 4 yzaˆ z C m 2
Calcule as integrais de superfície para
determinar a carga total contida no paralelepípedo
retângulo 0 < .x: < 2. 0 < y < 3, 0 < z < 5 m.
Solução:
7. Uma densidade volumétrica de carga está
localizada no espaço livre com:
ρ v = 2e −1000 r nC/m3 para 0< r < l mm e rv=
Observando a figura:
z
5
6. Duas linhas de cargas uniformes de 20 nC/m
cada estão localizadas em y = l., z = ± l m. Determine o
fluxo elétrico total deixando a superfície da esfera de
raio 2 m, se ela está centrada em: (a) A(3. l. 0); B(3, 2,
0).
O em qualquer outra parte,
(a) Determine a carga total contida na
superfície esférica r = l mm.
(b) Usando a lei de Gauss, calcule o valor de
D, na superfície r = l mm.
Sxy
Sxz
Syz
0
2
Solução:
3
y
(a) A carga total será dada por:
Qi = ∫∫∫ ρ v dV ⇒ Qi = ∫∫∫ ρ v r 2 senθdrdφdθ
v
x
G G
Qi = ∫∫ D ⋅ dS =
S
G
+ ∫∫ D ⋅ aˆ y +
S xz
y =3
G
+ ∫∫ D ⋅ aˆ x +
S zy
x=2
G
∫∫ D ⋅ aˆ z +
S xy
z =0
G
D
∫∫ ⋅ (− aˆ y )
G
∫∫ D ⋅ (− aˆ z )
V
Qi = 2 ⋅10
−9
0.001
0
S xy
z =5
∫r e
2 −1000 r
y =0
G
D
∫∫ ⋅ (− aˆ x )
Qi = 40 ,36 ⋅ 10 −19 C
(b) Usando a lei de Gauss:
G
G
x =0
2 3
ψ = ∫ DS ⋅ dS = Qi
0 0
0 0
2π π
Qi = − ∫ ∫ 4 y z z =0 dydx + ∫ ∫ 4 y z z =5 dydx
2 5
+ ∫ ∫ 2( x + z )dzdx − ∫ ∫ 2( x + z )dzdx
2
0 0
2
S
∫∫D r
r
2
senθdθdφ = Qi
0 0
0 0
3 5
3 5
0 0
0 0
0
Qi = 4,036 ⋅ 10 −9 nC
S zy
2
0
dr ∫ senθ dθ ∫ dφ
0.001
2 3
2
2π
⎡
⎛ 1 + 1000 r + 500000 r 2 ⎞ ⎤
π
2π
Qi = 2 ⋅10 −9 ⎢ − e −1000 r ⎜⎜
⎟⎟ ⎥ [− cos θ ]0 [φ ]0
500000000
⎝
⎠⎦ 0
⎣
Qi = 2 ⋅ 10 −91,606 ⋅ 10 −10 2 ⋅ 2π
S xz
2 5
π
+ ∫ ∫ 4 yxx = 2 dzdy + ∫ ∫ − 4 y x x =0 dzdy
Dr =
Dr =
4,036 ⋅10 −18
(
4π 10
)
−3 2
Qi
4πr 2
= 0,32117 ⋅10 −12
16
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss
17
Dr = 3,2117 ⋅10 −13 C m 2
Dr = 130,1 nC m 2
Dr = 3,2117 ⋅10 −4 nC m 2
8. Duas linhas de cargas uniformes de 5 nC/m
estão localizadas no espaço livre em x =1, y = 1 e z =
l.
(a) Obtenha a expressão para D em
coordenadas cartesianas em P(0, O, z);
(b) Esboce |D| versus z em -3< z < 10.
9. Uma densidade volumétrica de carga
uniforme de 80 mC/rn3 está presente na região 8 mm <
r < 10 mm. Seja rv = 0 para 0 < r < 8 mm.
(a) Determine a carga total dentro da
superfície esférica r = 10 mm;
(b) Determine D, em r = 10 mm; (c) Se não
há carga para r > 10 mm, determine D, em r = 20 mm.
10. Seja rs = 8 mC/m2 na região onde x = 0, -4 < z
< 4 m e rs = 0 em qualquer outra parte. Determine D
em P(x, 0, z), onde x > 0.
11. Em coordenadas cilíndricas, seja rs = 0 para
r < l mm, ρ v = 2sen2000πρ (nC/m3) para l mm < r
< l ,5 mm e rs = 0 para r > 1,5 mm. Determine D em
toda parte.
Solução:
G G
∇ ⋅ D = ρV
Em coordenadas cilíndricas:
Solução:
G G 1 ∂
(ρDρ ) + 1 ∂Dφ + ∂Dz
∇⋅D =
ρ ∂ρ
ρ ∂φ
∂z
1 ∂
(ρDρ ) = 2nsen(2000πρ )
ρ ∂ρ
∂
(ρDρ ) = 2nρsen(2000πρ )
∂ρ
(a) A carga total será dada por:
Qi = ∫∫∫ ρ v dV ⇒ Qi = ∫∫∫ ρ v r 2 senθdrdφdθ
v
V
Qi = ∫∫∫ 80 ⋅ 10 r senθdrdφdθ
−6 2
V
0.01
2π
π
0
0
0
Qi = 80 ⋅10−6 ∫ r 2 dr ∫ dφ ∫ senθ dθ
Qi = 80 ⋅10 −6
3 0.01
r
3
2π
(
π
φ 0 − cos θ 0
)
0.008
3
0,01 − 0.0083
2π ⋅ 2
3
Qi = 80 ⋅10 −6 ⋅1,62667 ⋅10 −7 ⋅ 4π
Qi = 80 ⋅10 −6
Qi = 80 ⋅10 −6 ⋅1,62667 ⋅10 −7 ⋅ 4π
Qi = 1635,307 ⋅10 −13 C
Qi = 163,5307 pC
(ρD ) = 2n ∫ ρsen(2000πρ )dρ
ρ
ρDρ = 2n
Dρ =
Dρ =
− 2000πρ cos(2000πρ) + sen(2000πρ)
+C
4000000π 2
⎡
2n
− ρ cos( 2000 πρ ) +
ρ 2000 π ⎢⎣
2n
ρ (2000π )2
sen ( 2000 πρ )
⎤
+ C⎥
2000 π
⎦
[− 2000πρ cos(2000πρ) + sen(2000πρ ) + C 2000π ]
Dρ =
2 ⋅ 10 −9
[2000π (C − ρ cos(2000πρ )) + sen(2000πρ )]
ρπ 2 4 ⋅ 10 6
Dρ =
10−15
2π (103 C −103 ρ cos(2000πρ)) + sen(2000πρ)
2π 2 ρ
[
]
(b) D, em r = 10 mm
G
G
ψ = ∫ DS ⋅ dS = Qi
S
2π π
∫ ∫ D r senθdθdφ = Q
2
r
i
0 0
Dr =
Qi
163,53 ⋅10 −12
=
4πr 2
4π ⋅ 0,012
Dr = 13,01 ⋅10 −8
Dr = 130,1 ⋅10 −9
12. Uma densidade volumétrica de carga não uniforme de rv = 120r C/m3 está situada dentro de uma
rv = 0 em qualquer
superfície esférica de r = l m e
outra parte, (a) Determine D, em toda parte; (b) Qual
densidade superficial de carga rs2 deve estar presente na
superfície r= 2 m de modo que Dr’r= Drr’+? (c.) Esboce
Dr versus r para 0 < r < 5 com ambas as distribuições
presentes.
17
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss
13. Três superfícies esféricas em r =2. 4 e 6 m
possuem densidades superficiais de carga de 20
nC/m2, -4nC/m2 e rs0,. Respectivamente.
(a) Determine D em r = 1, 3 e 5 m:
(b) Determine rs0, de modo que D = 0 em r =
7m.
Solução:
(a) Da Lei de Gauss:
G G
D
∫∫ ⋅ dS = Qi
S
r = 1ï Como não há carga internamente à essa
superfície:
Dr = 0.
r = 3 ï Escolhendo uma superfície Gaussiana
de raio r > 3
D 4πr 2 = ρ S1 4π ⋅ 22
ρ
4π
D = ρ S1
⋅ 4 = 4 S21
2
4πr
r
−9
20 ⋅ 10
D(r = 3) == 4
= 8.889 ⋅ 10− 9 C m 2
2
3
r = 5 ï Escolhendo uma superfície
Gaussiana de raio r > 5
G G
D
∫∫ ⋅ dS = Qi
S
(b) determine Dr para r > l mm:
(c) Que densidade linear de carga rL em r = 0
daria o mesmo resultado que o do item b?
15 Duas densidades volumétricas de carga estão
localizadas como se segue: rv = 0 para r < l mm e para
r > 2 mm e rv = 4rmC/m2 para l < r < 2 mm.
(a) Calcule a carga total na região 0 < r < r1; 0 <
z < L, onde l < r1 < 2 mm;
(b) Use a lei de Gauss para determinar Dr em r =
r1;
(c) Calcule Dr em r = 0,8mm; 1.6 mm e 2.4 mm.
Solução:
ρ v = 4 ρ µmC ⇒ {1 < ρ < 2 mm
3
⎧ ρ < 1 mm
⎩ ρ > 2 mm
ρv = 0 µmC ⇒ ⎨
3
(a) Carga para:
⎧0 < ρ < ρ1
⎪
⎨0< z< L
⎪1 < ρ < 2
1
⎩
L ρ1 2π
Q = ∫∫∫ ρ v dV = ∫
Q = 4µ ∫ dφ
0
D 4πr = 320 nπ − 256 nπ
2
ρ
0
3 ρ1
3
L
z0
0.001
⎛ ρ − (10− 3 )3 ⎞
⎟L
Q = 4µ 2π ⎜
⎜
⎟
3
⎝
⎠
8πL 3
Q=
(
ρ1 − 10 − 9 )µC
3
3
1
(b) Lei de Gauss para determinar Dr em r = r1;
G G
D
∫∫ ⋅ dS = Q
S
14. Se rv = 5 nC/rn3 para 0 < r < l mm e não há
outras cargas presentes:
(a) determine D, para r < l mm:
∫ ρ dρ ∫ dz
2π
(b) Escolhendo uma superfície de raio > 7,
teremos envolvido três cargas:
4
C
4π 36 ρ s0 = −64nπ ⇒ ρ s0 = − ⋅ 10 − 9 2
9
m
L
2
0.001
Q = 4π φ 0
64nπ
D=
4πr 2
6410−9 π
D=
⇒ D = 6,4 ⋅ 10−10 C m 2
2
4π 5
4πr 2 Dr = 64nπ + 4π 62 ρ s0 = 0
ρ1
2π
D 4πr 2 = 20n 4π ⋅ 4 − 4n 4π 16
4πr 2 Dr = A1ρ s1 + A2 ρ s 2 + A3 ρ s3
∫ ∫ 4ρµρdφdρdz
0 0.001 0
V
D 4πr 2 = ρ S1 4π ⋅ 22 + ρ S 2 4π 42
G G
D
∫∫ ⋅ dS = Q1 + Q2 + Q3
18
S
L 2π
∫ ∫ D ρ ρ d φ dz
=
0 0
2πLDρ ρ1 =
8π L 3
ρ 1 − 10 − 9 µ
3
(
)
8πL 3
ρ1 − 10 − 9 (µC )
3
(
)
18
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss
8πL
ρ13 − 10 − 9 µC m 2
2πLρ1 3
4
Dρ 1 =
ρ13 − 10 − 9 µC m 2
3ρ1
(
Dρ 1 =
)(
(
)(
)
19
(c) Estime a carga total contida dentro do cubo
usando a Eq. 8.
)
Solução:
z
(c) Calculo de:
Dr em r = 0,8mm=8.10-4m
Dρ ( ρ1 = 8mm) = 0
S
Pois não há carga interna a uma superfície
Gaussiana cilíndrica de raio r1 = 0,8mm. A
distribuição de carga é nula para r1 < 1mm.
Dr em r = 1.6 mm
y
Dr em r = 2.4 mm.
x
G G
D
∫∫ ⋅ dS = Q
S
L 2π
∫ ∫ Dρ ρdφdz =
0 0
Dρ =
((
)
3
8πL
2 ⋅ 10− 3 − 10− 9 (µC )
3
)
8πL
(
(8 − 1)10− 9 )(µC m 2 )
2πLρ 3
4
(
Dρ =
(8 − 1)10− 9 )(µC m 2 )
3ρ
Substituindo: r = 2.4 mm=2.4.10-3m
Dρ =
4
(
(8 − 1)10− 9 )(µC m 2 )
−3
3 ⋅ 2,4 ⋅ 10
Dρ = 3.88 ⋅ 10−6 µC m 2
(
)
16. Dada a densidade de fluxo elétrico
G
D = 2 xyaˆ x + x 2 aˆ y + 6 z 3a z (C/m2) use a lei de
Gauss para calcular a carga total contida no volume 0
< x,y,z < a;
(b) Use Eq. 8 para determinar um valor
aproximado para a carga acima. Calcule as derivadas
em P(a, a/2, a/2);
(c) Mostre que os resultados dos itens a e b são
equivalentes no limite aö0.
(a) Fluxo total no cubo de superfície S de
superfícies S1, S2, S3, S4, S5 e S6 especificadas por:
⎧ S1 : x = 1 ⇒ aˆn1 = −aˆ x
⇔ dS1 = dS2 = dydz
⎨
⎩S 2 : x = 1.2 ⇒ aˆn2 = aˆ x
⎧ S3 : y = 1 ⇒ aˆ n3 = − aˆ y
⇔ dS3 = dS 4 = dxdz
⎨
⎩S 4 : y = 1.2 ⇒ aˆ n4 = aˆ y
⎧ S 5 : z = 1 ⇒ aˆ n5 = −aˆ z
⇔ dS 5 = dS 6 = dxdy
⎨
⎩S 6 : z = 1.2 ⇒ aˆ n6 = aˆ z
Escrevendo a integral fechada
superfície S na soma de todas as 6 faces:
sobre a
G G
G
G
ˆ
D
d
S
D
a
dS
D
⋅
=
⋅
+
∫∫
∫∫ n1 1 ∫∫ ⋅ aˆn2 dS2 +
S
S1
S2
G
G
G
ˆ
ˆ
D
a
dS
D
a
dS
D
⋅
+
⋅
+
∫∫ n3 3 ∫∫ n4 4 ∫∫ ⋅ aˆn5 dS5
S3
S4
G
+ ∫∫ D ⋅ aˆn6 dS6
S5
S6
17. Um cubo é definido por l < x,y,z < 1.2. Se
G
D = 2 x 2 yaˆ x + 3x 2 y 2 aˆ y (C/m2):
(a) aplique a lei de Gauss para determinar o
Fluxo total deixando a superfície fechada do cubo.
(b) calcule
∂Dx ∂Dy ∂Dz
+
+
no centro do
∂x
∂x
∂x
cubo.
19
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss
G
G
∫∫ D ⋅ d S = − (1 .2
20
)
(
)
− 12 (1 . 2 − 1) + 1 . 44 1 . 2 2 − 1 (1 . 2 − 1)
2
S
G
Como: D = 2 x yaˆ x + 3 x y aˆ y , ilustramos esse
2
2
2
campo vetorial na região abaixo:
(
)
− 1.23 − 13 (1.2 − 1) +
G
G
G
G
∫∫ D ⋅ d S
S
(
)
4.32
1.23 − 13 (1.2 − 1)
3
= 0 . 44 (0 . 44 )(0 . 2 ) + 0 . 44 (0 . 728 )(0 . 2 )
∫∫ D ⋅ d S = − 0 .44 (0 .44 )(0 .2 ) + 0 .44 (0 .728 )(0 .2 )
S
− (1.728 − 1)(0.2) +
G
G
G
G
4.32
(1.728 − 1)(0.2)
3
∫∫ D ⋅ d S = 0 .44 (0 .44 )(0 .2 ) + 0 .44 ( 0 .728 )( 0 .2 )
S
∫∫ D ⋅ d S
S
= 0 . 03872 + 0 . 064064
G
G
D
⋅
d
S
= 0 . 102784 C m 2
∫∫
S
G G
(b) ∇ ⋅ D =
(
Fazemos os produtos escalares:
G
G
D ⋅ aˆn1 = D ⋅ (− aˆ x ) = −2 x 2 y
G
G
D ⋅ aˆn2 = D ⋅ aˆ x = 2 x 2 y
G
G
D ⋅ aˆn3 = D ⋅ (− aˆ y ) = −3x 2 y 2
G
G
D ⋅ aˆn4 = D ⋅ aˆ y = 3 x 2 y 2
G
G
D ⋅ aˆn5 = D ⋅ (− aˆ z ) = 0
G
G
D ⋅ aˆn6 = D ⋅ aˆ z = 0
1 . 21 . 2
G 1 .21 .2
G
2
2
∫∫ D ⋅ d S = ∫ ∫ − 2 ⋅ 1 ⋅ ydydz + ∫ ∫ 2 ⋅ 1 .2 ⋅ ydydz
1 1
1 1
S
1.21.2
+
∫ ∫ − 3⋅ x
1.21.2
2
⋅12 dxdz +
1 1
∫ ∫ + 3x
2
⋅1.2 2 dxdz
1
1.2
1.2
1
1
1
1
)
G G
G G
Q
⇔ Q =V ⋅∇ ⋅ D
V
3
Q = 0.2 ⋅ 12.826 ⇒ Q = 0.1026C
(c) ∇ ⋅ D =
ρv =
um campo vetorial dado por
G 18. 4 Seja
4 4
G = 5 x y z aˆ y .Calcule ambos os lados da Eq. 8 para
este campo G o volume definido por x = 3 e 3,1, y = 1 e
1,1 e z = 2 e 2.1. Calcule as derivadas parciais no centro
do volume.
1.2
1.2
1
1
19. Uma superfície esférica de raio 3 mm está
centrada em P(4, l, 5) no espaço livre. Seja
1
G
D = xaˆ x C/m2. Use os resultados da Seção 3.4 para
− 3 ∫ x 2 dx ∫ dz + 4.32 ∫ x 2 dx ∫ dz
2 1 .2
G
G
y
∫∫S D ⋅ d S = − 2 2
1.2
) (
G G ∂ 2 x 2 y ∂ 3x 2 y 2
∇⋅D =
+
∂x
∂y
G G
∇ ⋅ D = 4 xy + 6 x 2 y 2
G G
∇ ⋅ D (1.1,1.1,1.1) = 4 ⋅ 1.1 ⋅ 1.1 + 6 ⋅ 1.121.12
G G
∇ ⋅ D (1.1,1.1,1.1) = 12.826
1 1
1 .2
1 .2
1 .2
1 .2
G
G
∫∫ D ⋅ d S = − 2 ∫ ydy ∫ dz + 8 ∫ ydy ∫ dz
S
∂Dx ∂Dy
+
∂y
∂x
1 .2
z1
1
y2
+ 2 ⋅ 1 .44
2
1 .2
1 .2
z1
estimar o fluxo elétrico líquido que deixa a superfície
esférica.
1
1.2
x3
x3
1.2
1.2
−3
z 1 + 4.32
z
31
31 1
20
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss
21
(a) calcule div D cm P;
(b) calcule a fração mais à direita da Eq. 13 para
a = l m. 0.1 m e l mm.
Solução:
Esfera: raio r = 3mm centrada em P(4, 1, 5):
-1.002
1.002
-4.002
-1
-0.998
-4
-3.998
21. Calcule a divergência de D no ponto
especificado se
G
(a) D = 1 [10 xyz aˆ x + 5 x 2 zaˆ y + (2 z 3 − 5 x 2 y )aˆ z ]
z2
em P(-2, 3, 5);
G
(b) D = 5 z 2 aˆ ρ + 10 ρzaˆ z em P(3, -450, 5);
(c)
G
D = 2 rsen θsen φaˆ r + r cos θsen φaˆθ + r cos φaˆφ e
m P(3, 450, -45°).
-4.998
-5
Solução:
-5.002
(a) Nas coordenadas cartesianas:
G
Campo vetorial: D = xaˆ x
G G ∂ ⎛ 10xyz ⎞ ∂ ⎛ 5x2 z ⎞ ∂ ⎛ 2z 3 − 5x2 y ⎞
∇ ⋅ D = ⎜ 2 ⎟ + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟
z2
∂x ⎝ z ⎠ ∂y ⎝ z ⎠ ∂z ⎝
⎠
G G ∂ ⎛ 10xy ⎞ ∂ ⎛ 5x 2 ⎞ ∂
⎟+
∇⋅ D = ⎜
2 z − 5x 2 yz −2
⎟+ ⎜
∂x ⎝ z ⎠ ∂y ⎜⎝ z ⎟⎠ ∂z
G G ∂ ⎛ 10xy ⎞ ∂ ⎛ 5x 2 ⎞ ∂
⎟+
∇⋅ D = ⎜
2 z − 5x 2 yz −2
⎟+ ⎜
∂x ⎝ z ⎠ ∂y ⎜⎝ z ⎟⎠ ∂z
G G 10 y
10x 2 y
∇⋅ D =
+0+2+ 3
z
z
G G
10 ⋅ 3
10(−2) 2 3
∇ ⋅ D(−2,3,5) =
+2+
5
53
G G
24
30
∇ ⋅ D(−2,3,5) = + 2 +
25
5
G G
150 + 50 + 24 224
∇ ⋅ D(−2,3,5) =
=
25
25
G G
∇ ⋅ D(−2,3,5) = 8.96
(
(
Fluxo que deixa a seção:
)
)
G G
Ψ = ∫∫ D ⋅ dS = Q
S
G G
∇ ⋅ D = ρv
G G ∂x
∇⋅D =
= 1 ⇒ ρv = 1
∂x
Q
4
ρ v = ⇒ Q = ρ v ⋅ πR 3
V
3
(
4
Q = 1 ⋅ π 3 ⋅10 −3
3
)
3
= 113.09 ⋅10 −9 = 113.09nC
20. Um cubo de volume a3 possui suas faces
paralelas às superfícies do sistema de coordenadas
cartesianas e está centrado cm P(3, - 2, 4). Dado o
campo
G
D = 2 x3aˆ x C/ m2
21
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss
Ilustração do vetor D num cubo -4 ≤ x,y,z ≤4.
G G
∇ ⋅ D = 6senθsenφ +
(b) Nas coordenadas cilíndricas:
senφ
(−sen2θ + cos2 θ )
senθ
senφ
−
senθ
G G 1 ∂
(ρDρ ) + 1 ∂Dφ + ∂Dz
∇⋅D =
ρ ∂ρ
ρ ∂φ
∂z
G G
∇ ⋅ D 3,450 ,−450 = 6sen450 sen(−450 ) +
G
⎧ D = 5z 2
D = 5 z 2 aˆ ρ + 10 ρ zaˆ z ⇔ ⎨ ρ
⎩ D z = 10 ρ z
(
G G 1 ∂
1 ∂ (0) ∂ (10 ρz )
(
ρ (5 z 2 ) ) +
∇⋅D =
+
ρ ∂ρ
ρ ∂φ
∂z
2
G G 5z
∇⋅D =
+ 0 + 10 ρ
ρ
G G
5(5) 2
∇ ⋅ D (3,−45 0 ,5) =
+ 0 + 10(3)
3
G G
125 + 90 215
∇ ⋅ D(3,−45 0 ,5) =
=
3
3
G G
0
∇ ⋅ D(3,−45 ,5) = 71.67
(c) Nas coordenadas esféricas:
G G 1 ∂
∂D
1 ∂
(Dθ senθ ) + 1 φ
∇⋅ D = 2 (r 2 Dr ) +
rsenθ ∂θ
rsenθ ∂φ
r ∂r
G
D = 2 rsen θsenφaˆ r + r cos θsenφaˆθ + r cos φaˆφ
⎧ Dr = 2rsenθsenφ
⎪
⎨ Dθ = r cos θsenφ
⎪ D = r cos φ
φ
⎩
G G 1 ∂ 2
∇⋅ D = 2
r (2rsenθsenφ ) +
r ∂r
(
)
1 ∂
((r cosθsenφ)senθ ) + 1 ∂(r cosφ)
∂φ
rsenθ ∂θ
rsenθ
G G 1 ∂
2r 3 senθsenφ +
∇⋅ D = 2
r ∂r
(
)
1 ∂
(r cosθsenθsenφ ) + 1 (−rsenφ)
rsenθ ∂θ
rsenθ
G G 1
∇ ⋅ D = 2 6r 2 senθsenφ +
r
1
rsenφ(−senθsenθ + cosθ cosθ )
rsenθ
senφ
−
senθ
22
)
sen(−45 )
(−sen2 450 + cos2 450 )
sen450
sen(−450 )
−
sen450
0
G G
2 ⎛− 2⎞
⎟+
∇ ⋅ D 3,450 ,−450 = 6
⋅⎜
2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
(
)
1 1 − 22
−1(− + ) −
2 2
22
G G
∇ ⋅ D 3,450 ,−450 = −3 + 0 + 1
G G
∇ ⋅ D 3,450 ,−450 = −2
(
(
)
)
G
22. Seja D = 8 ρsen φaˆ ρ + 4 ρ cos φaˆ φ . C/m2.
(a) Determine div D.
(b) Determine a densidade volumétrica de carga
cm P(2,6, 380; -6,1);
(c) Quanta carga esta localizada dentro da região
definida por 0 < r < 1,8; 200 < f < 700 e 2,4 < z < 3, l?
23 (a) Uma carga pontual Q está situada na
origem. Mostre que div D = 0 por toda parte, exceto na
origem. (b) Substitua a carga pontual por uma
densidade volumétrica de carga uniforme rv0 para 0 ≤ r
≤ a. Relacione rv0 a Q e a de modo que a carga total
seja a mesma. Determine div D por toda a parte.
Solução:
G G 1 ∂
∂D
1 ∂
(Dθ senθ ) + 1 φ
∇⋅ D = 2 (r 2 Dr ) +
rsenθ ∂θ
rsenθ ∂φ
r ∂r
Dr =
Q
4πr 2
G G 1 ∂⎛ Q ⎞
1 ∂
(0senθ ) + 1 ∂0
∇ ⋅ D = 2 ⎜ r2 2 ⎟ +
r ∂r ⎝ 4πr ⎠ rsenθ ∂θ
rsenθ ∂φ
G G 1 ∂⎛Q⎞
∇⋅ D = 2 ⎜ ⎟
r ∂r ⎝ 4π ⎠
22
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss
G G 1
∇⋅ D = 2 0
r
G G
∇⋅ D = 0
23
(c) Quanto fluxo elétrico deixa a esfera de r =- 4
m?
(d) Quanta carga está contida dentro da esfera r
=- 4 m?
(b) Densidade de carga uniforme:
Solução:
ρv
0
Q
Q
= = 4 3 ⇒ Q = 43 πa 3 ρ v0
V 3 πa
G G ⎧⎪ 43 πr 3 ρ v0 se r < a
D
∫∫S ⋅ dS = ⎨⎪ 43 πa 3 ρ v se r > a
0
⎩
3
(
⎧⎪ 43 πr 3 ρ v0 se r < a
Dr 4πr = ⎨ 4 3
⎪⎩ 3 πa ρ v0 se r > a
⎧ 13 rρ v0 se r < a
⎪
Dr = ⎨ 1 a 3
⎪⎩ 3 r 2 ρ v0 se r > a
(
G G 5
3
∇ ⋅ D = 2 2r (r − 3) + 3r 2 (r − 3) 2
r
( )
24. Dentro da casca cilíndrica 3 < r < 4 m. a
densidade de fluxo elétrico é dada por:
e
a
densidade
volumétrica de carga em r = 4?
(b) Qual é a densidade de fluxo elétrico em r = r
=m?
(c) Quanto fluxo elétrico deixa a superfície
fechada: 3 < r < 4, 0 < f < 2π, -2,5 < z < 2,5?
(d) Quanta carga está contida dentro do volume
3 < r < 4, 0 < f < 2π, -2,5 < z < 2,5 ?
25. Dentro da casca esférica 3 < r < 4 m. a
densidade de fluxo elétrico é dada por
G
3
D = 5(r − 3) aˆ r C/m2.
(a) Qual é a densidade volumétrica de carga em
r = 4?
4 m?
)
1 ∂
((0)senθ ) + 1 ∂(0)
rsenθ ∂θ
rsenθ ∂φ
G G 1 ∂
∂D
1 ∂
(Dθ senθ ) + 1 φ
∇⋅ D = 2 (r 2 Dr ) +
rsenθ ∂θ
rsenθ ∂φ
r ∂r
G G
∇ ⋅ D = 0 se r > a
G G 1 ∂ ⎛ 2 rρv0 ⎞
⎟ se r > a
∇⋅ D = 2 ⎜⎜ r
r ∂r ⎝ 3 ⎟⎠
G G ρv ∂
∇⋅ D = 02 r3 se r > a
3r ∂r
G G ρv0 2
∇⋅ D = 2 3r se r > a
3r
G G
∇⋅ D = ρv0 se r > a
Qual
G
3
D = 5(r − 3) aˆ r
Dr = 5(r − 3)
G G 1 ∂ 2
r (5(r − 3) 3 ) +
∇⋅D = 2
r ∂r
2
G
3
D = 5(ρ − 3) aˆ ρ C/m2.
(a) Densidade em r = 4m:
(b) Qual é a densidade de fluxo elétrico em r =-
G G 5
∇ ⋅ D = 2 (r − 3) 2 (5r 2 − 6r )
r
G G 5
∇ ⋅ D = (r − 3) 2 (5r − 6)
r
(
(
)
)
)
G G
5
∇ ⋅ D(r = 4) = (4 − 3) 2 (5 ⋅ 4 − 6)
4
G G
5
35
∇ ⋅ D(r = 4) = (14) =
4
2
G G
∇ ⋅ D(r = 4) = 17,5 C m 2
(
)
(b) Densidade do fluxo elétrico:
r = 4m:
G
3
D = 5(r − 3) aˆ r
G
3
D ( r = 4) = 5(4 − 3) aˆ r
G
D ( r = 4) = 5aˆ r C m 2
(
)
(c) Fluxo elétrico que deixa a esfera:
G G
Ψ = ∫∫ D ⋅ dS = Q
S
Q = 4πr 2 5(r − 3)
3
Q ( r = 4) = 4π 4 2 5(4 − 3)
Q ( r = 4) = 320π (C)
3
(d) Carga contida na esfera r = 4m?
23
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss
v
G G 5
∇ ⋅ D = (r − 3) 2 (5r − 6)
r
G G 5
ρ v = ∇ ⋅ D = (r − 3) 2 (5r − 6)
r
(
)
(
)
5(r − 3) 2 (5r − 6) 2
r senθdφdθdr
∫0
r
ρ v (r = 0.06) = 1.2 mC m3
(b) Cálculo de rv, para r = 0.1 m:
G
D = 0,1 r 2 aˆ r
G G 1 ∂ 2
r (0.1 r 2 )
∇⋅D = 2
r ∂r
G G 5m ∂
(0.1) = 0
∇⋅D = 2
r ∂r
ρ v (r = 0.1) = 0
(
4
Q = 4π ∫ 5r (r − 3) (5r − 6)dr
2
4
Q = 20π ∫ r (r − 3) 2 (5r − 6)dr
3
[
]
Q = 20π [4 (4 − 3) − 3 (3 − 3) ]
Q = 20π r 2 (r − 3)
3 r =4
r =3
3
2
3
Q = 320π (C )
G 5senθ cos φ
26. Dado o campo D =
aˆ r
r
C/m , determine:
(a) a densidade volumétrica de carga rv.
(b) a carga total contida na região r < 2 m;
(c) o valor de D na superfície r = 2.
(d) o fluxo elétrico total que deixa a superfície r
= 2.
G
(c)
Densidade superficial em r = 0,08
para que D =0 para r > 0,08m?
G G
D
∫∫ ⋅ dS = Qi
S
Qi = ∫∫∫ ρ v dV + ∫∫ ρ s dS
v
Qi =
2π π
+
)
(a) Cálculo de rv, para r = 0.06 m:
G G
∇ ⋅ D = ρv
G
D = 5r 2 aˆ r
2
senθdrdθdφ
∫∫ρ
s
r 2 senθdθdφ
0 0
G
D = 0,1 r 2 aˆ r C/m2 para r > 0.08 m.
Solução:
∫ ∫ ∫ 20mrr
0 0 0
2
(a) Determine rv, para r = 0.06 m;
(b) Determine rv para r = 0.1 m.
(c) Que densidade superficial de carga deve ser
colocada em r = 0.08 m para que D = 0 para r >
0,08m?
S
G G
ρ v = ∇ ⋅ D = 20mr
2π π 0.08
27. Seja D = 5r aˆ r mC/m2 para r < 0,08 m e
(
)
ρ v (r = 0.1) = 0C / m3
Q = 20π ⋅ 16
2
)
(
3
2
)
( )
4 π 2π
3 0
G G 1 ∂ 2 2
∇⋅ D = 2
r (5r m)
r ∂r
G G 5m ∂ 4 5m
r = 2 ⋅ 4r 3 = 20mr
∇⋅D = 2
r ∂r
r
ρ v (r = 0.06) = 20 ⋅ 0.6m
(
Q = ∫∫∫ ρ v dV
Q = ∫∫
24
Qi = 20m ⋅ 4π
0.08
∫r
3
dr + ρ s 4π ⋅ 0.08 2
0
r4
Qi = 20m ⋅ 4π
4
0.08
+ ρ s 4π ⋅ 0.08 2
0
Qi = 0.0008192mπ + ρ s 0.0256π
G G
D
∫∫ ⋅ dS = Qi = 0
S
Qi = 0.0008192mπ + ρ s 0.0256π = 0
0.0008192mπ
ρs = −
= −0.032 mC m 2
0.0256π
24
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss
ρ s = −32 µC m 2
28. A densidade de fluxo elétrico é dada por
G
D = 20 ρ 3 aˆ ρ C/m2, para r < 100 mm e
G
D = kaˆ ρ para r > 100 mm.
(a) Determine k de modo que D seja contínua
em r = 100 mm;
(b) Determine e esboce rv, como uma função
de r.
29. Em uma região do espaço livre que inclui
o volume:2 < x,y,z < 3,
G
2
D = 2 yz aˆ x + xz aˆ y − 2 xy aˆ z C m 2 .
z
[
]
(a) Calcule a integral de volume do teorema
da divergência para o volume definido por: 2 < x,y,z <
3;
(b) Calcule a integral de superfície para a
superfície fechada correspondente.
2
V
2
2
3
3
3
G G
⎡ x2 ⎤ ⎡ y2 ⎤ ⎡ −1 ⎤
∇ ⋅ DdV = 8⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥
∫∫∫
⎣ 2 ⎦ 2 ⎣ 2 ⎦ 2 ⎣ 2z ⎦ 2
V
G G
⎡ 32 − 2 2 ⎤ ⎡ 32 − 2 2 ⎤ ⎡ − 1
−1 ⎤
∇
⋅
=
D
dV
8
−
⎢
⎥⎢
⎥⎢
2
∫∫∫
2 ⋅ 2 2 ⎥⎦
⎣ 2 ⎦⎣ 2 ⎦⎣ 2 ⋅ 3
V
G G
8
⎛1 1⎞
∇ ⋅ DdV = ⋅ 5 ⋅ 5⎜ − ⎟
∫∫∫
8
⎝4 9⎠
V
G G
25 ⋅ 5
∇ ⋅ DdV =
∫∫∫
4⋅9
V
G G
125
C
∇
⋅ DdV =
∫∫∫
36
V
(b) Integral de superfície para a superfície
fechada correspondente.
Escrevendo a integral sobre a superfície fechada S
na soma de todas as 6 faces:
S
S1
S2
G
G
G
∫∫ D ⋅ aˆn3 dS3 + ∫∫ D ⋅ aˆn4 dS 4 + ∫∫ D ⋅ aˆn5 dS5
G G
∫∫∫ ∇ ⋅ DdV
V
S3
G G ∂D x ∂D y ∂D z
+
+
∇⋅D =
∂y
∂z
∂x
G
2
D = 2 yz aˆ x + xz aˆ y − 2 xy aˆ z C m 2
z
2y
2x
4 xy
⇔ Dx =
⇔ Dy =
⇔ Dz = − 2
z
z
z
G G ∂ 2zy ∂ ( 2zx ) ∂ − 4zxy2
∇⋅D =
+
+
∂x
∂y
∂z
G G
⎛ 2 xy ⎞
∇ ⋅ D = 0 + 0 − 4⎜ − 3 ⎟
⎝ z ⎠
G G 8 xy
∇⋅D = 3
z
[
]
(
( )
8 xy
∫∫∫ ∇ ⋅ DdV = ∫∫∫ z
V
3
3
3
G G
−3
∫∫∫ ∇ ⋅ DdV = 8∫ xdx ∫ ydy ∫ z dz
G G
G
G
ˆ
⋅
=
⋅
+
D
d
S
D
a
dS
D
n
1
∫∫
∫∫ 1
∫∫ ⋅ aˆn2 dS2 +
Solução:
(a) – Integral de volume:
G G
25
3
)
S4
G
+ ∫∫ D ⋅ aˆn6 dS6
S5
S6
G
2
Como: D = 2 yz aˆ x + xz aˆ y − 2 xy aˆ z C m 2 ,
z
[
]
ilustramos esse campo vetorial na região abaixo:
Fazemos os produtos escalares:
Definindo as tampas do cubo:
⎧S1 : x = 2 ⇒ aˆ n1 = −aˆ x
⇔ dS1 = dS 2 = dydz
⎨
⎩ S 2 : x = 3 ⇒ aˆ n2 = aˆ x
⎧S 3 : y = 2 ⇒ aˆ n3 = − aˆ y
⇔ dS 3 = dS 4 = dxdz
⎨
⎩ S 4 : y = 3 ⇒ aˆ n4 = aˆ y
⎧S 5 : z = 2 ⇒ aˆ n5 = −aˆ z
⇔ dS 5 = dS 6 = dxdy
⎨
⎩ S 6 : z = 3 ⇒ aˆ n6 = aˆ z
dV
V
3 3 3
G G
8 xy
∇ ⋅ DdV = ∫ ∫ ∫ 3 dxdydz
∫∫∫
V
2 2 2 z
G
G
y
D ⋅ aˆ n1 = D ⋅ (− aˆ x ) = −2
z
G
G
y
D ⋅ aˆ n2 = D ⋅ aˆ x = 2
z
25
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss
G
G
x
D ⋅ aˆ n3 = D ⋅ (− aˆ y ) = −2
z
G
G
x
D ⋅ aˆ n4 = D ⋅ aˆ y = 2
z
G
G
xy
D ⋅ aˆ n5 = D ⋅ (− aˆ z ) = 4 2
z
G
G
xy
D ⋅ aˆ n6 = D ⋅ aˆ z = −4 2
z
G
G
∫∫ D ⋅ d S =
S
2 3
∫∫− 2
2 2
3 3
y
⋅dydz +
z
26
G 16
D=
cos 2θaˆ θ (C/m2)
r
, use dois métodos diferentes para determinar a carga
dentro da região:
1 < r < 2m, 1 < θ < 2 rad, 1 < f < 2 rad.
Solução:
Determinação por:
G G
∇ ⋅ D = ρv
3 3
y
∫2 ∫2 2 z dydz
G G 1 ∂
∂D
1 ∂
(Dθ senθ ) + 1 φ
∇⋅ D = 2 (r 2 Dr ) +
rsenθ ∂θ
rsenθ ∂φ
r ∂r
Dr = 0
⎧
⎪
16
⎨ Dθ = cos 2θ
r
⎪
D
φ =0
⎩
3 3
x
x
+ ∫ ∫ − 2 dxdz + ∫ ∫ 2 dxdz
z
z
2 2
2 2
3 3
+ ∫∫4
2 2
3 3
xy
xy
dxdy + ∫ ∫ − 4 dxdy
2
z
z
2 2
G G
4
D
∫∫S ⋅ d S = 2 2
3
3
4
∫2 xdx ∫2 ydy − 3 2
3
3
3
2
2
∫ xdx ∫ ydy
3
3
3
G 4 ⎡ x2 ⎤ ⎡ y2 ⎤
G
4 ⎡ x2 ⎤ ⎡ y2 ⎤
∫∫S D ⋅ d S = 4 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ − 9 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦
2
2
2
2
G G
⎡ 32 − 2 2 ⎤ ⎡ 32 − 2 2 ⎤
D
d
S
⋅
=
1
⎢
⎥⎢
⎥
∫∫S
⎣ 2 ⎦⎣ 2 ⎦
4 ⎡ 32 − 2 2 ⎤ ⎡ 32 − 2 2 ⎤
− ⎢
⎥⎢
⎥
9 ⎣ 2 ⎦⎣ 2 ⎦
G G ⎡5 ⎤⎡5 ⎤ 4 ⎡5 ⎤⎡5 ⎤
∫∫S D ⋅ d S = ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ − 9 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦
G G 25 ⎛
4⎞
D
∫∫S ⋅ d S = 4 ⎜⎝ 1 − 9 ⎟⎠
G G 25 5
D
∫∫S ⋅ d S = 4 9
G G 125
∫∫S D ⋅ d S = 36 C
30. Se:
G
D = 15 ρ 2 sen φaˆ ρ + 10 ρ 2 cos 2φaˆ φ
calcule ambos os lados do teorema da divergência para
a região 1 < r < 2m, 1 <f < 2 rad, 1 < z < 2 m.
31. Dada a densidade de fluxo:
G G 1 ∂
1 ∂ ⎛16
1 ∂0
⎞
∇⋅ D = 2 r2 0 +
⎜ cos2θsenθ ⎟ +
r ∂r
rsenθ ∂θ ⎝ r
rsen
θ ∂φ
⎠
G G
16
∂
(cos 2θ sen θ )
∇⋅D = 2
r sen θ ∂ θ
G G
16
(− 2sen2θsenθ + cos 2θ cosθ )
∇⋅D = 2
r senθ
G G 16
∇ ⋅ D = 2 (− 2 sen 2θ + cos 2θ ctg θ )
r
16
ρ v = 2 (− 2 sen 2θ + cos 2 θ ctg θ )
r
( )
Cálculo da carga:
Q = ∫∫∫ ρ v dV
v
16
Q = ∫∫∫ 2 (− 2sen2θ + cos 2θctgθ )dV
r
v
16
Q = ∫∫∫ 2 (− 2sen2θ + cos 2θctgθ )r 2 senθdrdθdφ
r
v
2
2
2
Q = 16∫ dr ∫ dφ ∫ (− 2sen2θsenθ + cos 2θ cosθ )dθ
1
1
1
2
2
⎛
⎞
Q = 16 r 1 ⋅ φ 1 ⎜⎜ − 2 ∫ sen 2θsen θ dθ + ∫ cos 2θ cos θdθ ⎟⎟
1
1
⎝
⎠
2
2
2
⎛ 2
⎞
Q = 16 ⋅ ⎜⎜ − 2 ∫ sen 2θsenθ dθ + ∫ cos 2θ cos θdθ ⎟⎟
1
⎝ 1
⎠
2
2
1
1
Q = −32∫ sen2θsenθ dθ + 16∫ cos 2θ cos θ dθ
26
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss
2 sen 3θ
Q = −32
3
2
1
27
2
⎛ sen 2θ sen3θ ⎞
+ 16⎜
+
⎟
6 ⎠1
⎝ 2
Q = −3.9069C
G
32. Se: D = 2 raˆ r (C/m2), determine o fluxo
elétrico total deixando a superfície do cubo 0 ≤ x,y,z ≤
0,4;
27