Faculdade de Engenharia – NuGeo/Núcleo de Geotecnia
Mecânica dos Solos II
Prof. M. Marangon
EMPUXOS DE TERRA
Unidade 6 - EMPUXOS DE TERRA
A determinação do valor do empuxo de terra, que deve ser entendido como a ação
produzida pelo maciço terroso sobre as obras com ele em contato, é fundamental na análise
e projeto de obras como muros de arrimo, cortinas em estacas pranchas, cortinas
atirrantadas, escorramentos de escavações em geral, construções em subsolos, encontros de
pontes, entre outras situações semelhantes a estas.
As fotos abaixo ilustram algums exemplos de obras de contenção em que são
utilizadas diferentes soluções na estrutura de contenção a saber: (a) muro em solo-cimento
- bairro de N. S. de Lurdes (J. Fora), (b) muro em concreto ciclópico - bairro Aeroporto (J.
Fora), (c) muro em pedras arrumadas manualmente em gaiolas metálicas – gabiões e (d)
muro em concreto armado.
(a)
(b)
(c)
(d)
Para a determinação das pressões de empuxo de terra (pressões horizontais)
utilizaremos inicialmente os conceitos da teoria de elasticidade que relaciona o
comportamento das tensões e deformações em diferentes direções nos materiais.
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6.1 – Conceitos básicos e fundamentais de empuxo
Teoria da Elasticidade
Inicialmente abordaremos alguns conceitos da teoria da elasticidade no que se
refere ao comportamento dos solos e suas características de deformabilidade quando
submetido a uma pressão de compressão.
Para cada tensão (carga) temos uma
deformação
(Lei
de
Hooke
=
proporcionalidade tensão-deformação). O
parâmetro que reflete este comportamento é
dado pelo:
Módulo da Elasticidade = E = Módulo de
Young = Módulo de Deformabilidade.
σ = Ε ε, logo:
E=
Figura 6.1 – Deformação de um corpo
submetido a um carregamento
∆Tensão
∆Deformação
Assim poderemos, a partir do gráfico tensão
x deformação obtida em um ensaio de
compressão, determinar o módulo de
elasticidade em um segmento reto
Módulo inicial = é o adotado na condição em que o equilíbrio é elástico (retirada a
carga o corpo volta a forma primitiva sendo que, nos solos o retorno se
dá sempre parcialmente, havendo uma deformação residual ou
plástica).
Considerando que o corpo de prova de solo sofre uma tensão de compressão, no
sentido da altura, este sofre uma deformação neste sentido e conseqüentemente no sentido
de seu diâmetro b, teremos então:
ε=
σ
σ
∆L
, logo E = v ou E = H
∆H
∆b
L
H
b
A partir das deformações nos sentidos horizontal e vertical poderemos determinar o
Coeficiente de Poisson (µ). O Coeficiente de Poisson é o parâmetro que reflete o quanto o
solo deforma no sentido horizontal em relação à deformação no sentido do carregamento.
∆b
∆Deformação horizontal ε h
Logo:
ou µ = b
µ=
=
∆H
∆Deformação vertical
εv
H
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Valores típicos para Módulo de Elasticidade (E) de solos
Como ordem de grandeza, pode-se indicar os valores apresentados na tabela 6.1
como módulos de elasticidade para argilas sedimentares saturadas, em solicitações
rápidas, que não dão margem à drenagem.
Para as areias, os módulos são os correspondentes à situação drenada (tabela 6. 2),
pois a permeabilidade é alta, em relação ao tempo de aplicação das cargas.
Tabela 6.1 – Módulos de elasticidade típicos de argilas saturadas não drenada.
Módulo de elasticidade
Consistência
MPa
kN/m²(kPa)
Muito mole
< 2,5
< 2500
Mole
2,5 a 5
2500 a 5000
Consistência média
5 a 10
5000 a 10000
Rija
10 a 20
10000 a 20000
Muito rija
20 a 40
20000 a 40000
Dura
> 40
> 40000
Tabela 6.2 – Módulos de elasticidade típicos de areias em solicitação drenada, para
tensão confinante de 100 kPa.
Módulo de elasticidade
Compacidade
Fofa
Compacta
MPa kN/m² (kPa) MPa KN/m² (kPa)
Areias de grãos frágeis, angulares
15
15000
35
35000
Areias de grãos duros, arredondados
55
55000
100
100000
Areia (S. Paulo), bem graduada, pouco argilosa 10
10000
27
27000
Valores típicos para coeficiente de Poisson (µ) de solos
Para solos, tem-se a seguinte variação: 0,25 < µ < 0,5
Relação entre as tensões vertical e horizontal
Segundo o princípio da superposição dos efeitos: “A superposição dos estados
elásticos diferentes ocasiona a superposição das deformações correlatas”.
A deformação no sentido da aplicação de σV, será:
ε=
σv
∆H σ v
ou
=
E
H
E
Para termos a deformação no sentido normal (horizontal), basta multiplicarmos por
µ cada uma das parcelas da última igualdade acima, assim:
∆b
σ
∆H ∆b
⇒ Deformação no sentido ortogonal (horizontal)
=
µ. v = b .
∆H H
b
E
H
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Agora, se quisermos a deformação no sentido ortogonal ao considerado (no caso
vertical), por analogia temos:
∆H
σ
∆b ∆H
µ. H = H
=
∆b b
E
H
b
Em função da elasticidade do material (E e µ), verifica-se existir, uma
proporcionalidade entre a tensão vertical e a correspondente tensão horizontal. O
material recebe o esforço, absorve-o e se deforma segundo seus parâmetros de elasticidade.
Dentro deste princípio, qualquer valor de pressão horizontal será sempre
calculado em função da pressão vertical que, em função apenas da ação do peso próprio
do solo, corresponde, no sentido vertical, à pressão efetiva (e ocorrendo pressão neutra
adicionando-se o valor da mesma).
σH = K. σV
sendo K o chamado coeficiente de empuxo de terra.
• Diagrama de tensões horizontais
Caso se desloque um volume de massa de solo de uma região, podemos substituí-lo
por um plano cujo traço é OO'. Conforme a Figura 6.2, teremos:
Maciço de solo homogêneo, com uma
única camada sem NA e com o terrapleno
horizontal (i = 0), isto é, não há
desenvolvimento de pressão neutra.
Figura 6.2 – Diagrama de tensões horizontais
A pressão lateral, normal a um plano
vertical, será σH que, sendo proporcional
a σV, dará um diagrama de distribuição
idêntica (mesma forma) que para esta
tensão.
Traçando-se o diagrama de pressões horizontais ou pressões laterais que agem
sobre o plano, teremos condição de calcular a resultante deste esforço horizontal que é
chamadosimplismente de empuxo, correspondente a área do diagrama de pressões
horizontais e agindo no centro de gravidade do mesmo (isto é, no terço inferior da sua
altura).
h
h
h
h
0
0
0
0
Empuxo= ∫ σ H .dh = ∫ K.σ v .dh = ∫ K.γ.h.dh = K.γ.∫ h.dh
1
1
Empuxo = K.γ. .h 2 ⇒ E = .K.γ.h 2
2
2
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6.2 – Empuxo no repouso
Condição em que o plano de contenção não se movimenta
Consideramos, neste tipo de empuxo, um equilíbrio perfeito em que a massa de
solo se mantem absolutamente estável, sem nenhuma deformação na estrutura do solo,
isto é, está num equilíbrio elástico.
Consideramos a massa semi-infinita de solo homogêneo, em uma só camada
permeável, sem ocorrência de lençol freático e com o terrapleno horizontal. Estando o solo
num equilíbrio elástico, os esforços na direção horizontal podem ser calculados baseados
nas constantes elásticas do material, isto é, dentro dos parâmetros de elasticidade (E e µ).
Suponhamos uma massa de solo onde, na profundidade h destacamos um
determinado elemento que pode, verticalmente, se deformar pelo efeito do peso do
material ocorrente acima; mas, essa deformação é equilibrada lateralmente devido à
continuidade da massa em todas as direções. A massa confina o elemento com as tensões
laterais, proporcionais à sobrecarga de peso. Esta situação, do elemento destacado, pode
ser representada por uma situação equivalente onde o solo tenha sido deslocado, e um
plano considerado imóvel, indeformável e sem atrito de contato substitui essa ausência,
conforme representado na figura 6. 3 pelo plano de traço OO'.
Situação inicial
Situação após retirar a massa de solo
Figura 6.3 – Representação dos esforços atuantes em um ponto no interior da massa de
solo
A pressão lateral que o solo exerce na profundidade h será dada pela expressão:
σ h = K 0 .σ v
Para o solo considerado (figura 6.3) a pressão vertical σv é igual a pressão efetiva.
Em situações de solos permeáveis, abaixo do NA, isto é, havendo surgimento de
pressão neutra, em toda profundidade o diagrama de pressões horizontais ficará acrescido
dessa parcela da pressão neutra.
Na figura 6.4 representamos o diagrama de pressões horizontais, cujas áreas nos
dão o esforço total para as duas hipóteses consideradas.
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Figura 6.4 – Diagrama de pressões horizontais
As estruturas cujos paramentos são travados (engastados) e não tem possibilade de
sofrerem grandes variações de temperatura (no caso de obras enterradas), podem ser
consideradas indeformados e dimensionados para absorverem estes esforços no
repouso.
As pressões no repouso, preconizadas aqui, não dependem da resistência ao
cisalhamento do solo, mas, de suas constantes elásticas conforme consideramos nas
deduções.
•
Determinação do valor do coeficiente de cálculo K em função dos parâmetros de
deformação (parâmetros elásticos) do solo
Condição de Deformação Unitária Horizontal Nula
Consideremos um ponto no interior de uma massa de solo homogêneo,
representado pelo cubo da figura 6.5, onde agem as tensões:
σV = no sentido da gravidade, vertical, que no caso
do simples peso próprio dos solos, é a pressão
efetiva, (quando não há pressão neutra);
σH e σ’H = nos sentidos laterais, agindo nas outras
faces do cubo e correspondentes a continuidade da
massa e a elasticidade do material do cubo.
Figura 6.5 – Tensões que agem no
interior de uma massa de solo
Admitindo-se o solo perfeitamente elástico para estas solicitações e na condição de
repouso absoluto, sem movimentação, temos:
a) Em relação à face destacada, teremos as ocorrências:
1 – Deformação horizontal devida a ação da tensão σH
µ.
σv
= uma das parcelas da deformação dessa face
E
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2 – Deformação horizontal, no sentido ortogonal, devido a ação da outra tensão σ’H
µ.
σ' H
= outra parcela da deformação dessa face
E
As parcelas de deformações 1 e 2 têm sentidos contrários à deformação ocorrente
devido a σH, na face destacada, ou seja:
Deformação horizontal devido essa ação da tensão σH, na face considerada, é:
σ
ε = H = parcela em sentido contrário as deformações ocorrentes devidas a σV e σ’H.
E
Então, para satisfazer a condição de deformação horizontal unitária nula (na face
considerada), teremos a seguinte equação:
µ.
σ
σv
σ'
σ
σ'
σ
+ µ. H = H ou µ. v + µ. H − H = 0
E
E
E
E
E
E
b) Sendo o maciço de material homogêneo e considerado elástico, para os valores
das tensões, teremos que a tensão horizontal σH é proporcional a tensão σV, donde tem-se a
relação:
σ H = K.σ v
* No caso da consideração de repouso absoluto chamaremos KO de coeficiente de
empuxo no repouso (coeficiente de cálculo de σH). Assim: σ H = K 0 .σ v
A tensão horizontal será proporcional a tensão vertical de um valor K0
correspondente ao coeficiente no repouso absoluto.
Considerando o solo homogêneo e contínuo e substituindo na equação anterior,
temos:
µ.
K .σ
K .σ
σv
+ µ. 0 v − 0 v = 0
E
E
E
Simplificando a equação:
µ + µ.K 0 − K 0 = 0 , tirando-se o valor de K0:
K0 =
µ
1− µ
Valores de K0
Quando é considerado o repouso absoluto, esta condição será satisfeita em
função das constantes elásticas do material e o coeficiente de proporcionalidade entre
σH e σV (pressões no ponto), deduzido, é função, apenas, do Coeficiente de Poisson.
No caso dos solos, o Coeficiente de Poisson é variável em função do material e
situação de estar drenado ou não. Assim, do livro do SORVERS, temos a tabela 6.3 para os
valores de K0 calculados.
O Prof. CAPUTO (1987) sugere, de uma forma genérica, os seguintes valores para
K0 apresentados na tabela 6.4.
Tabela 6.3 – Valores de K0 para situações drenadas e não-drenadas
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Solo
K0 efetivo drenado
K0 total sem drenagem
Argila média (mole)
0,6
1,0
Argila dura
0,5
0,8
Areia solta
0,6
–
Areia compacta
0,4
–
Considerado o coeficiente de Poisson, para solos: 0,25 < µ < 0,5.
Tabela 6.4 – Valores genéricos de K0
Solo
K0
argila
0,70 a 0,75
Areia solta
0,45 a 0,50
Areia compacta
0,40 a 0,45
A dedução de Jaky indica K 0 ≅ 1 − sen ϕ para solos normalmente adensados.
Quanto mais resistente o solo, mais rígido, portanto menos elástico. Logo, maior a
capacidade de absorver tensões internas, e assim, menores as deformações possíveis e as
suas transmissões laterais.
6.3 – Condições em que o plano de contenção se movimenta
Nas estruturas, fora das condições iniciais ilustradas acima, poderemos ter
deslocamentos do plano de contenção em valores capazes de ativar a resistência interna
ao cisalhamento da estrutura de solo, pois, nem sempre, a estrutura é travada e apresenta as
condições de repouso absoluto. Ao se movimentarem, e serem capazes de acionar as
resistências internas ao cisalhamento da massa de solo, serão desenvolvidas tensões
horizontais diferentes das consideradas com os parâmetros da elasticidade.
São dois os estados de tensões desenvolvidos quando há o deslocamento da parede
de contenção, conforme ilustrado na figura 6. 6.
Figura 6. 6 – Variações no tipo de empuxo com o deslocamento da parede.
Desenvolvimento do empuxo
A tabela 6. 5 indicam inclinações típicas mínimas de afastamento do paramento
vertical para acionar a resistencia ao cisalhamento no plano de ruptura e produzir os
estados ativo e passivo de empuxo (segundo, Sowers e Sowers):
Tabela 6. 5 – Valores de inclinações típicas mínimas
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Solo
Não coesivo composto
Não coesivo solto
Coesivo duro
Coesivo médio/mole
Estado ativo
0,0005 H
0,002 H
0,01 H
0,02 H
Estado passivo
0,005 H
0,01 H
0,02 H
0,04 H
* H = altura da estrutura
Em muitos casos, o próprio processo de variaçao das temperaturas nas massas de
concreto (variação diária), darão condição de movimentação para acionar a resistência
interna ao cisalhamento, como previsto nessa teoria.
Pontos básicos (Resumo)
Somente pressões efetivas mobilizam resistência ao cisalhamento dos solos;
Os valores de Ka e Kp são admitidos superdimensionados pelas condições ideais
supostas para dedução de seus valores na teoria de Rankine, como será visto;
Existem várias teorias que tentam otimizar os valores dos empuxos para situações
não ideais (simplificadas) como Coulomb, Método das cunhas, ..., como será visto.
Em resumo, a variação do estado de tensões nos estados Ativo e Passivo, assim
como em repouso, pode ser interpretado com o auxílio do traçado dos círculos de Mohr e
da envoltória de resistência do material (sem coesão), como mostrado na figura 6. 7.
Figura 6. 7 - Estado de tensões nos estados Ativo e Passivo.
Partindo da tensão vertical σv = γz observa-se que o maciço expandindo-se, a
tensão horizontal σh decresce até que o círculo torna-se tangente à reta de Coulomb; neste
ponto, ocorre a ruptura e o valor de σh é dado por Kaγz. Assim, os pontos de tangência
representam estados de tensão sobre planos de ruptura.
Observa-se, assim, que no estado ativo a plastificação do maciço dá-se ao longo de
ϕ
ϕ
planos definidos por um ângulo de 45 +
com a horizontal e um ângulo de 45 − no
2
2
estado passivo.
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1º caso – EMPUXO ATIVO - A Estrutura se desloca para fora do terrapleno
Neste caso, o solo sofre uma distensão ao reagir contra esta ação de afastamento do
plano interno da estrutura de contenção, provocando na massa uma resistência ao longo do
possível plano de escorregamento. A massa desenvolve, em seu interior, toda a resistência
ao cisalhamento ao longo do plano de rutura, aliviando, até certo ponto, a ação do solo
sobre o paramento interno da estrutura.
Este plano de rutura faz um ângulo α com o traço do plano principal maior,
caracterizando um estado de tensões, como mostra a figura 6.7 limitando-se com a
superfície do terrapleno e com o paramento interno da estrutura, formando assim uma
região que é denominada cunha instável. Esta cunha está passível de movimento,
portanto, onde se desenvolverá a resistência ao cisalhamento e onde cada movimento
ocorrente não terá condição de retrocesso, isto é, nessa região o equilíbrio é plástico
(figura 6. 8).
Figura 6.8 – Empuxo ativo
Podemos dizer, que neste caso o solo foi ativado em sua resistência interna sendo
esta situação chamada de Estado Ativo de Equilíbrio. O esforço do solo desenvolvido
sobre a estrutura de contenção, é, neste caso, chamado de Empuxo Ativo (figura 6. 9).
Dentro de todas as considerações já
feitas sobre o maciço, como no caso de
empuxo no repouso, temos:
σ
σ
h
=
v
= γ .h
K .γ
a
.h
Onde: Ka = coeficiente de empuxo ativo
Figura 6.9 – Diagrama de pressões horizontais:
empuxo ativo
152
1
E a = .K a .γ .h 2
2
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2º caso – EMPUXO PASSIVO - A Estrutura se desloca contra o terrapleno
Neste caso o solo é comprimido pela estrutura, sofre uma compressão na cunha
instável, gerando, ao longo do plano de rutura, uma reação ao arrastamento, ou seja, à
resistência ao cisalhamento.
O movimento do parâmetro interno contra a massa de solo, tentando deslocá-la, na
abrangência da região instável, provoca o surgimento da resistência interna ao
cisalhamento e, ocorrendo esta movimentação, por pequena que seja, terá que vencer essa
resistência deslocando o peso da massa na região abrangida pela cunha. A ação do solo
será passiva ao movimento sendo a situação de equilíbrio chamada de Estado Passivo de
equilíbrio ou estado superior de solicitação em que a estrutura recebe todo esforço
decorrente da ação passiva do solo em relação ao movimento
Esse esforço desenvolvido pelo solo sobre o parâmetro interno da estrutura é
chamado de Empuxo Passivo.
De maneira similar, a cunha instável limitada pelo plano de rutura que faz um
ângulo α com o plano principal maior ou com a horizontal (figura 6. 7), pela superfície do
terrapleno e pelo parametro interno da estrutura de contenção, limita a massa de solo
responsável por uma compressão no sentido horizontal gerando essa situação particular de
equilíbrio, como mostra a Figura 6.10.
Figura 6.10 – Empuxo passivo
Para o cálculo do empuxo, o procedimento será análogo, variando, apenas o
coeficiente de empuxo, que, neste caso será Kp, ou coeficiente de empuxo passivo.
Assim temos:
σ v = γ .h =
K
p
.γ .h
1
E p = .K p .γ .h 2
2
A mobilização da resistência do solo ao longo da superfície de rutura (plano de
rutura) é que reduz a ação do terrapleno (solo atrás da contençao no estado ativo e
aumenta esta ação no caso do estado passivo. Vemos pelo gráfico da figura 6.11 que,
depois de determinada mobilização o empuxo não cresce nem decresce nos dois sentidos,
pois, a resistência ao cisalhamento já atingiu o valor máximo. Esta variação de solicitação
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no plano é decorrente, então, da capacidade que o solo tem de desenvolver, internamente,
resistência ao cisalhamento.
Figura 6.11 - Representação esquemática dos casos de empuxo
“Tanto sob alívio de tensões laterais (condição ativa) como sob acréscimo de
tensões laterais (condição passiva) existem, nas curvas típicas tensão-deformação dos
elementos de solo, estados de tensão dentro dos quais o regime é “elástico”. Portanto,
ocorridas as deformações tipo elásticas, “cessa” o movimento, estabelecendo-se o repouso.
Reconhecemos, pois, que o eixo vertical de repouso assinalado na figura anterior é apenas
uma condição das inúmeras de repouso possíveis, de gênero repouso-ativo e repousopassivo. Para cada lado, o limite da faixa de possibilidades de repouso é dado pela natureza
da curva tensão/deformação e o limite respectivo de comportamento elástico.”
Pressao Neutra
Tanto no caso de empuxo ativo quanto passivo é válida a consideração de
acréscimo no diagrama de pressões quando há condição do surgimento da pressão neutra.
Isto é, a pressão horizontal é calculada em função da ocorrência das pressões verticais
efetivas e neutras, variando, somente o coeficiente de empuxo para cada caso específico a
considerar.
6.4 – Teoria de Rankine
Rankine, para sua teoria, impõe algumas condições iniciais pressupostas como
fundamentais para os primeiros passos da análise da resistência ao cisalhamento das
massas de solos. São elas:
a) O solo do terrapleno considerado é areia pura seca (sem coesão) homogênea em
todo o espaço semi-infinito considerado;
b) O atrito entre o terrapleno e o parâmetro vertical do plano de contenção é
considerado nulo;
c) Terrapleno sem nenhuma sobrecarga (concentrada, linear ou distribuída);
d) O terrapleno é constituído de uma camada única e contínua de mesmo solo e sua
superfície superior é horizontal (solo homogêneo).
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Condição do empuxo ativo (Figura 6.12)
A tendência da cunha, no caso ativo, é
acompanhar o movimento com o
afastamento, mas a resistência ao
cisalhamento, desenvolvida ao longo
do plano de rutura, reduz sua ação de
movimento, diminuindo o esforço
sobre o parâmetro vertical ao valor
mínimo. Ressalta-se que somente
pressão efetiva mobiliza resistência ao
cisalhamento.
Figura 6.12 – Empuxo ativo
A condição inicial de Rankine impõe a condição de c = 0 (coesão nula). Tomandose a equação analítica da rutura, temos:
σ1 = σ 3 . N ϕ + 2C N ϕ , para c = 0, temos: σ1 = σ3 . N ϕ
Para condição ativa, temos: σ h = σ 3 e σ v = σ1 , donde, substitiuindo na equação
acima, tem-se: σ v = σ h ⋅ N ϕ
Tirando-se o valor da pressão horizontal: σ h =
Portanto,
Ka =
1
Nϕ
=
1
⋅ σ v ou σ h = K a ⋅ σ v
Nϕ
ϕ
= tg 2 (45o − )
ϕ
2
tg 2 (45o + )
2
1
Condição do empuxo passivo (figura 6.13)
Ao peso da cunha agindo sobre o
parâmetro vertical se soma toda a
resistência ao cisalhamento
desenvolvida ao longo do plano de
rutura. Nesse caso, a componente
horizontal é maior possível.
A tendência da cunha, no caso passivo,
é resistir ao movimento da estrutura, ao
longo de toda a superfície de rutura, por
sua resistência interna ao cisalhamento.
Assim, a ação do terrapleno sobre o
parâmetro vertical aumenta.
Figura 6.13 – Empuxo passivo
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Por analogia às considerações anteriores, temos:
σ1 = Nϕ . σ3 ou σh = Nϕ . σv, logo:
2
2
K p = N ϕ = tg α = tg (45o +
ϕ
)
2
Em função das expressões obtidas, temos:
Ka =
1
1
ou kp =
, sendo Ka < 1,0 e Kp > 1,0 e Ka < K0 < Kp
kp
ka
Para os diversos valores
de ϕ, apresenta-se na
tabela 6. 6, os coeficientes
de empuxo ativo e
passivo.
Tabela 6. 6 – Coeficientes de empuxo ativo e
passivo de acordo com ϕ
Ka
Kp
ϕ
0º
1,00
1,00
10º
0,70
1,42
20º
0,49
2,04
25º
0,41
2,47
30º
0,33
3,00
35º
0,27
3,69
40º
0,22
4,40
45º
0,17
5,83
50º
0,13
7,55
60º
0,07
13,90
Outras considerações
Mantendo-se a mesma conceituação de Rankine quanto aos coeficientes de
empuxo, sairemos agora das condições iniciais (ideais). As considerações serão
abordadas só para a condição ativa mas, por similaridade, podem ser extrapoladas para
condição passiva.
6.4.1 – No caso de haver sobrecarga no terrapleno
Considere agora a ocorrência de
q ⇒ sobrecarga uniformemente
distribuída no terrapleno.
Nesse caso, pode-se transformar
essa sobrecarga em uma altura
equivalente de solo da camada.
Figura 6.14 – Empuxo com sobrecarga no terrapleno
Sendo q = γ.h0
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Altura equivalente de solo = h 0 =
q
sobrec arg a vertical
=
γ
peso específico do solo
O diagrama de pressões verticais terá uma pressão inicial σhi, como mostra a figura
6.14, devido à altura equivalente de terra (h0), a saber:
q
σ hi = K a .γ .h0 = K a .γ . = Ka.q
γ
Isto é, σhi corresponde a q vezes o coeficiente de empuxo ativo.
6.4.2 – No caso de considerar o solo também coesivo
Nesse caso, a equação analítica da rutura permanece completa. Ou seja:
σ1 = σ 3 . N ϕ + 2C. N ϕ
Ou, no caso ativo: σ V = σ h . N ϕ + 2. C. N ϕ
O valor de σh será:
σh =
Nϕ
1
.σ V − 2.C.
⇒
Nϕ
Nϕ
σ h = K a .σ V − 2.C. K a
Diagrama
Pela equação anterior vê-se que haverá um ponto em que σh = 0. Esse ponto
corresponde a:
Ka . σ v = 2. C. Ka
Considerando essa profundidade hI, escrevemos:
2C Ka
2C
.
, ou: hI =
Ka . γ . hI = 2. C. Ka ∴ hI =
γ Ka
γ . Ka
Região de tração devido a
ocorrência de c, portanto,
resistência a tração.
Figura 6.15 – Empuxo considerando o solo coesivo
Como se pode ver pelo diagrama,
a área de tração será compensada
por igual área de compressão,
correspondente a mesma
profundidade hI.
Continuando a análise, agora, na consideração de empuxo, temos:
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h
E a = ∫ ( K a .σ V − 2.C. K a ) d h =
0
1
2
. K a .γ . h − 2.C.h.
2
K
a
Haverá, portanto, da mesma forma que no caso da pressão horizontal, uma
profundidade onde o empuxo ativo se anula. Nesse caso, a condição para que se anule é:
1
. Ka . γ . h2 = 2. C. h. Ka .
2
A profundidade em que o empuxo se anula é denominada altura crítica (hcrit).
1
2 = 2. C.
Substituindo temos:
. Ka . γ . hcriti
hcrit . Ka
2
Tirando-se o valor de hcrit:
2. C. Ka
4. C
=
= 2. hI
hcrit = 1
γ
.
K
a
. Ka . γ
2
Teoricamente, nessa profundidade não há
desenvolvimento de empuxo. Logo, essa é a altura
em que podemos fazer um corte sem necessidade
de estrutura de contenção ou escoramento.
“Tratando-se de solos argilosos, por
possíveis variações de c no período de utilização, o
IPT/SP recomenda, em função de constatações
práticas, que se adote um coeficiente de segurança,
tomando-se hcrit = hI.”, ou seja, apenas
Figura 6. 16 – Aspecto das fendas
correspondente a fenda de tração (figura 6. 16).
de tração em solos argilosos
6.4.3 – No caso de ocorrer NA na camada
Essa consideração já foi feita anteriormente quando se abordou a ocorrência de
pressão neutra, mas, no caso faremos as considerações pertinentes (figura 6. 17).
Costuma-se, na grande maioria dos casos, se fazer um sistema de drenagem no
terrapleno, de maneira que a pressão neutra não desenvolva pressão sobre o parâmetro
vertical da estrutura de contenção, mas, supondo-se que por qualquer problema não se
possa fazer a drenagem temos:
Figura 6.17 – Empuxo considerando
NA na camada (ϕ 2 > ϕ1)
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Na faixa do NA teríamos a pressão neutra agindo em valor integral considerando-se
assim o coeficiente de empuxo da mesma igual a 1,0, por se tratar de um fluido (transmite
a mesma pressão em todas as direções).
6.4.4 – No caso de haver mais de uma camada
Nesse caso, no cálculo do diagrama da camada 2, consideraremos a camada 1 como
uma sobre-carga sobre a camada 2 (figura 6.18), uma vez que o comportamento da camada
2 vai ser diferente da camada superior e, é função de suas caraterísticas de resistência.
Figura 6.18 – Empuxo considerando
ocorrência de várias camadas (ϕ 2 <
ϕ1)
Assim, a camada 1, será: q 1 = γ 1 .h 1
h '0 =
q 1 γ 1 .h 1
=
γ2
γ2
γ 1 .h 1
.K a 2 .γ 2 + K a 2 .γ 2 .h 2
γ2
= K a 2 .γ 1 .h 1 + K a 2 .γ 2 .h 2
σ h 2 = h ' 0 .K a .γ 2 + K a .γ 2 .h 2 =
σh2
6.4.5 – No caso de considerar atrito entre o parâmetro vertical e o solo do terrapleno
Quando ocorre esse atrito, parte do empuxo que agiria no parâmetro vertical será
dispendido para vencer esse esforço de atrito. Para se ter esse valor do empuxo
desprendido, adota-se inclinar o vetor empuxo de um ângulo δ, em relação a vertical
(figura 6.19), decompondo esse vetor em duas componentes normais entre si, ficando a
horizontal menor que seu valor absoluto do empuxo inicial.
E aH < E a
E aH = E a . cos(δ )
E aV = E a .sen (δ )
Figura 6.19 – Empuxo considerando atrito solo/estrutura
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O professor Pimenta Velloso em seu livro “Muros de Arrimo” adota os valores:
1
δ= ϕ
Para muros de paredes lisas
3
2
δ= ϕ
Para muros de paredes normais
3
3
δ= ϕ
Para muros de paredes rugosas
4
6.5 – Teória de Coulomb
Outra solução analítica consagrada para a determinação do empuxo de terra deve-se
a Coulomb, datada de 1776, anterior a de Rankine que foi apresentada em 1857. Esta teoria
é apresentada nestas notas de aula conforme publicado por CAPUTO (1987).
Solos não coesivos – Na teoria apresentada por este notável físico - Coulomb, o
terrapleno é considerado como um maciço indeformável, mas que se rompe segundo
superfícies curvas, as quais se admitem planas por conviniência (figura 6.20).
Considerando-se uma possível cunha de
ruptura ABC, em equilíbrio sob a ação de:
P – peso da cunha, conhecido em grandeza
e direção;
R – reação do terreno, formando um ângulo
ϕ com a normal à linha de ruptura BC;
Ea – empuxo resistido pela parede, força
cuja direção é determinada pelo ângulo δ de
atrito entre a superfície rugosa AB e o solo
Figura 6.20 – Cunha de empuxo ativo
* Divergem as opiniões quanto ao valor a ser atribuído a δ, como visto acima,
sabendo-se no entanto que ele não pode exceder ϕ; admite-se, segundo Müller Breslau,
3
ϕ
2
quanto muito δ = ϕ e, de acordo com Terzaghi, ≤ δ ≤ ϕ .
4
2
3
Obtem-se assim a determinação de Ea (resultante de empuxo ativo) traçando-se o
polígono de forças, tal como desenhado na figura 6.20.
Admitindo-se, então, vários possíveis planos de escorregamentos, BCi, será
considerada como superfície de ruptura aquela que corresponder ao maior valor de
Ea, que é o valor procurado.
Partindo das condições de equilíbrio das três forças P, R, Ea, deduzem-se (ver
CAPUTO, 1987) analiticamente as equações gerais, para os empuxos ativo (Ea) e passivo
(Ep), este último correspondendo à superfície de deslizamento, também suposta plana, que
produz o prisma de empuxo mínimo (figura 6.21).
160
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A curvatura da superfície de ruptura tem
aqui maior importância que no caso
ativo e é tanto mais acentuada quanto
maior for δ em relação à ϕ, o que torna
admissível a aplicação da teoria de
Coulomb para o cálculo do empuxo
passivo, somente aos solos não coesivos
quando δ ≤ ϕ/3.
Figura 6.21 – Cunha de empuxo passivo
Os valores para os coeficientes de empuxo segundo a teoria de Coulomb são:
1
sen 2 (α + ϕ )
Ea = γ .h 2 .K a
Ka =
2
2

sen(ϕ + δ ) sen(ϕ − β ) 
2
sen α sen(α − δ ) 1 +

sen(α − δ ) sen(α + β ) 

sen 2 (α + ϕ )
1
E p = γ .h 2 .K p
Ka =
2
2

sen(ϕ + δ ) sen(ϕ − β ) 
2
sen α sen(α − δ ) 1 −

sen(α − δ ) sen(α + β ) 

A teoria de Coulomb, que apenas estamos considerando para o caso de solos não
coesivos, leva em conta, ao contrário da teoria de Rankine, o atrito entre o terrapleno e a
superfície sobre a qual se apóia.
Essas equações, para α = 90º e β = δ = 0º, transformam-se nas conhecidas
expressões de Rankine:
1
ϕ
1
ϕ
Ea = γ .h 2 .tg 2 (45 − ); E p = γ .h 2 .tg 2 (45 + )
2
2
2
2
Na prática podem ser usadas tabelas, como as de Krey, que facilitam muito a
determinação dos valores do empuxo, como apresentado para o caso ativo de um muro
com paramento vertical (α=00) e terrapleno com horizontal (β=00), na tabela 6.7.
Tabela 6.7 - Coeficientes de empuxo ativo para muro com α=00 e β=00.
15º
20º
25º
27.5º
30º
32.5º
ϕ
0
0.590
0491
0.406
0.369
0.334
0.301
δ=0
0
0.557
0.466
0.386
0.351
0.318
0.288
δ=5
0
0.534
0.448
0.372
0.340
0.309
0.281
δ = 10
0
0.517
0.435
0.364
0.332
0.302
0.274
δ = 15
0
0.428
0.358
0.328
0.300
0.271
δ = 20
0
0.357
0.327
0.298
0.271
δ = 25
0
0.297
0.273
δ = 30
161
35º
0.272
0.261
0.253
0.248
0.246
0.246
0.248
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Solos coesivos – Na aplicação da teoria de Coulomb aos solos coesivos, além das
forças R (atrito) e P (peso da cunha), devemos considerar ainda as forças de coesão, S, ao
longo da superfície de deslizamento e de adesão, T, entre o terrapleno e a parede. O
problema consiste, pois, em procurar o máximo valor da força Ea que, com as demais,
feche o polígono das forças (figura 6.22), as quais são conhecidas em grandeza e direção:
P, S e T, e apenas em direção: R e Ea.
Figura 6.22 – Cunha de empuxo ativo considerado o solo coesivo
As soluções de Coulomb e Rankine são analíticas, embora sob conceituações
distintas, são simples e de fácil utilização e vem sendo largamente empregadas até o
presente, apesar de algumas limitações de aplicabilidade em situações práticas. Ambas não
levam em conta, por exemplo, a condição de retroaterro ser irregular ou apresentar
sobrecarga. Uma outra questão, para a análise de um projeto desta natureza, consiste no
conhecimento do ponto de aplicação da força resultante de empuxo.
Diversas soluções gráficas (Poncelet, Culmann...) foram posteriormente
apresentadas procurando resolver o problema.
O método de culmann procura determinar a força resultante de empuxo para
retroaterro com geometria irregular ou ainda carregado externamente. Este método, na sua
versão original, se aplica a solos não coesivos e leva em consideração não só o angulo de
atrito do solo, mas também o atrito entre solo e muro. O valor do empuxo é determinado
fazendo-se variar o ângulo de inclinação da superfície de ruptura, admitida plana. Entre os
valores obtidos, o maior deles é tomado como sendo a resultante de empuxo procurada.
6.6 - Método das Cunhas
A solução gráfica da método das cunhas é similar à de culmann, no entanto,
apresenta diferença na orientação de polígono de força e a vantagem de considerar a
coesão como um parâmetro do solo (figura 6.23).
Figura 6. 23 – Método das Cunhas: Forças atuantes na cunha ABED; Polígono de
forças; Determinação da inclinação de ‘R’ (Bowles, 1988).
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A determinação da força resultante de empuxo pelo método das cunhas, segundo
Bowles (1988), tem se mostrado bastante conservativa para o caso de se ter carregamento
concentrado no retroaterro.
Quando ao ponto de aplicação desta resultante o que se tem usado associado a estes
métodos são procedimentos práticos como apresentado por Terzaghi em 1943, apresentado
na figura 6. 24, como uma solução simplificada e cuja aplicabilidade pode ser questionada.
Figura 6. 24 – Ponto de aplicação de Pa. Retroaterro irregular; Carga concentrada
ou em linha na zona de ruptura; Externo a zona de ruptura, mas na zona ABC.
6.7 – Condiçoes de estabilidade de contençao de peso - muros de arrimo
A construção de muros de arrimo é obra que freqüentemente se apresenta ao
engenheiro, particularmente ao engenheiro rodoviário. Os muros de sustentação podem ser
de gravidade (construídos de alvenaria ou de concreto simples ou ciclópico), de flexão ou
de contraforte (em concreto armado), ou, ainda, “muro de fogueira” (crib wall), formado
por peças de madeira, de aço ou de concreto armado pré-moldado, preenchidos com solos
os espaços entre as peças. A figura 6. 25 ilustra alguns exemplos de aplicação.
Outros tipos de obra de contenção são as estruturas construídas por uma gaiola
metálica em forma de cesta, e cheia com pedras, chamadas gabiões, e a técnica da terra
armada, concebida pelo francês H. Vidal, e que consiste em reforçar um terrapleno com
tiras de aço, capazes de suportar forças de tração importantes. Algumas vezes esses
elementos são corrugados, visando aumentar o atrito entre o solo e a armadura. (figura 6.
25, parte inferior).
Figura 6. 25 - Exemplos de aplicação de estruturas de contenção.
Condições de Estabilidade
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Na verificação da estabilidade de um muro de gravidade, seja de seção trapezoidal
ou do tipo escalonado como representados na figura 6. 26, ou com qualquer outra seção,
devem ser investigadas as seguintes condições de estabilidade:
Figura 6. 26 – Diferentes tipos de seção de muros de arrimo
1a condição: Segurança contra o tombamento – Evidentemente, a condição para
que o muro não se tombe em torno da extremidade externa A da base, figura 6. 27, é que
momento do peso do muro seja maior que o momento do empuxo total, ambos tomados em
relação ao ponto A. É aconselhável que a resultante de todas as forças atuantes, R, passe
dentro do “núcleo central” (terço médio da seção) da base AB e, tanto quanto possível,
próximo do ponto médio O quando o muro repousar sobre o terreno muito compressível.
Figura 6. 27 – Resultante do peso
do
muro
(R)
na
base,
componentes vertical (V) e
horizontal (H) e aspecto do
diagrama de pressão no solo de
apoio.
2a condição: Segurança contra o escorregamento – Desprezando-se a contribuição
do empuxo passivo, Ep, o que é a favor da segurança, esta condição será satisfeita quando,
pelo menos:
1,5 H = V tg δ
sendo: δ igual ao ângulo de atrito entre o muro e o solo, o qual pode ser tomado,
segundo CAPUTO (1986) da ordem de 30º se o solo é areia grossa pura e
aproximadamente 25º se areia grossa argilosa ou siltosa, ou outros valores como já
apresentado.
3a condição: Segurança contra ruptura e deformação excessiva do terreno de
fundação – Quando a força R cair no núcleo central da base, o diagrama de pressões no
solo será (o que é uma aproximação) um trapézio; o terreno estará, pois, submetido apenas
a tensões de compressão. As equações de equilíbrio para a figura 6. 27 serão:
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σ1 + σ 2
.b = V
2
σ1 − σ 2 b
.b. = V .e
2
6
ou ainda:
σ1 =
V  6e 
1 + 
b
b 
e
1
V
(σ 1 + σ 2 ) =
2
b
1
6..V .e
(σ 1 − σ 2 ) =
2
b2
ou
σ2 =
V  6e 
1 − 
b
b 
σ =
Essas equações agrupam-se na fórmula única:
V
V .e
± 2
b b /6
Com M = Ve e designando-se por W o momento resistente da base (de área S=b.1)
em relação ao eixo baricêntrico:
b3 / 12 b 2
W =
= , tem-se:
b/2
6
V M
σ = ± ,
que é a conhecida fórmula da flexão composta
S W
A condição a ser satisfeita, portanto, é que a maior das pressões (σ1) seja menor
ou igual à pressão admissível do terreno (conforme será visto na Unidade 07 do curso).
As equações de equilíbrio para a figura 6. 28, quando a força R cair fora do núcleo
central, em que a distribuição é triangular, limitada à parte da compressão, serão:
σ 1.3e'
= V,
2
donde:
σ1 =
2V
3e'
Figura 6. 28 – Resultante do peso
do muro (R) na base e aspecto do
diagrama de pressão no solo de
apoio, para a condição em que a
força R cai fora do núcleo central.
Essas três condições de estabilidade deverão ser satisfeitas para as seções críticas
do muro em estudo. Uma quarta verificação deve também ser analisada, se possível, a
saber:
4a condição: Segurança contra ruptura do conjunto muro-solo – A possibilidade de
ruptura do terreno segundo uma superfície de escorregamento ABC (figura 6. 29) deve
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também ser investigada, apartir da aplicação dos conhecimentos de Estabilidade de
taludes, vistos em outra disciplina do curso.
Figura 6. 29 - Possibilidade de ruptura
do conjunto muro-solo, segundo uma
superfície de escorregamento de
instabilidade do talude.
6.8 – Exemplo de análise com uso de recursos computacionais
Este sub-iten é apresentado com o objetivo de servir de leitura complementar aos
pontos abordados na unidade e também orientar o estudante na realização prática de uma
análise de empuxo de terra e de estabilidade de um muro de peso através de um software
disponibilizado aos alunos, por este autor, neste curso de Mecânica dos Solos.
“O MÉTODO DAS CUNHAS ITERATIVO”
Procurando uma solução para o problema da determinação do posicionamento da
força resultante de empuxo, inicialmente para uma condição de retroaterro irregular sem
carregamento, este autor desenvolveu um programa para microcomputador, em que se
faz a discretização da altura do muro e calcula a resultante de empuxo, pelo método das
cunhas, para cada altura determinada. A este procedimento chamou-se de “Método das
Cunhas Iterativo” (MARANGON, 1992, trabalho publicado, direitos reservados).
Imaginou-se, desta forma, que o conhecimento da variação (diferença) do valor da
resultante de empuxo calculada ao longo da altura do muro poderia ser uma informação
que contribuiria para a determinação do diagrama de distribuição de pressões sobre a
parede do arrimo, e também do ponto de aplicação de sua resultante.
Na figura 6. 30 tem-se a divisão da altura do muro em elementos discretos de
alturas `dh` (constantes), a determinação das forças resultante de empuxo referente a cada
altura Hi. Obtidas as forças ‘Pi’, aplicadas ao longo de toda a altura do muro a uma
distância ‘di’ de um ponto na base, obteve-se o ponto de aplicação da resultante geral de
empuxo aplicando-se uma equação, abaixo, de momento de forças em relação ao ponto
fixo ‘a’ (figura 6. 30). Isto foi feito conhecida a resultante “R”, correspondente à área do
diagrama de pressões determinado.
Σ Pi x di = R x Y
Determinação do diagrama de pressões:
Dividiu-se a força Pi pela área de sua aplicação, correspondente a altura ‘dh”
(calculada por metro linear de muro). Determinou-se, desta forma, a pressão ‘Pdi’ para
cada elemento ao longo de toda sua altura, obtendo-se assim, o diagrama de pressões como
166
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ilustrado na figura 6. 30. Observa-se que os valores de pressões obtidos (por exemplo à
base do muro) serão dependentes da discretização adotada, como discutido posteriormente.
Figura 6. 30 – Resolução iterativa. Discretização na altura; Determinação do ponto
de aplicação da resultante; Obtenção do diagrama de pressões (MARANGON, 1992).
Para o retroaterro com carregamento externo (pontual, pontual linear, em faixa ou
seção carregada) fez-se uso da Teoria da Elasticidade, para a avaliação do acréscimo de
pressão na parede, através da equação proposta por Boussinesq abaixo.
σr =
P
3 sen ϕ2 cos ϕ3 – (1-2µ) cos2 ϕ
2
2 π z
1 + cos ϕ
Onde P: carga unitária pontual aplicada no solo; ϕ: ângulo entre a vertical e a
direção definida pela carga ao ponto em que se deseja obter o valor da pressão; µ:
coeficiente de Poisson; Z: profundidade do ponto considerado para o cálculo.
Este acréscimo de pressão foi também calculado para cada altura ‘dh’e somado à
pressão (empuxo) de terra calculada (sobreposição de efeitos). O ponto de aplicação da
resultante foi então obtido para tais condições de retroaterro, sendo utilizado pelo
programa para análise de estabilidade do arrimo.
Características Gerais do Programa
O programa para análise de empuxo de terra e análise de estabilidade de um muro
de peso, denominado de ‘EMPUFJF’ (EMPUXO-UFJF), foi escrita na linguagem
FORTRAN-77, compilado e editado em compilador da Microsoft, para ser executada em
micro-computadores. A interação do usuário com o programa se realiza através da tela ou
do arquivo de dados de entrada e saída. Considera os diversos parâmetros da interface
solo-muro, de sobrecarga e da geometria do retroaterro e do muro, que são definidas por
167
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coordenadas. O retroaterro poderá ser também definido por um ângulo constante em toda
sua extensão. (figura 6. 31).
Figura 6. 31 – Dados de entrada considerados para o problema
O programa, nesta presente versão não considera o desenvolvimento de
poropressão e a análise se dá em termos de tensões efetivas (parâmetros c’ e ϕ’ - condição
drenada) e apresenta a opção de considerar a existência de trinca de tração, calculando sua
profundidade e posicionando-a automaticamente a montante do talude e junto ao arrimo.
Para cada superfície arbitrada (inclinação ρi) o programa identificar a poligonal
fechada referente a sua cunha. A figura 6. 32 destaca uma destas cunhas de empuxo, à
altura hi, com a consideração de abertura de trincas de tração no solo de retroaterro –
formada pelo polígono ‘abcdefa’.
Figura 6. 32 – Determinação da resultante de empuxo máximo para a altura Hi,
considerada a abertura da trinca (MARANGON, 1992).
A partir dos dados de entrada, faz-se o equilíbrio das forças, destacadas na figura 6.
32. As forças desconhecidas Ri (resultante na base da cunha) e Pai (resultante de empuxo
no muro) são computadas analiticamente a partir das equações de equilíbrio em x e y:
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Σ Fx = 0
Pa sen β + Cs cos ρ – sen γ – Cw cos α = 0
Σ Fy = 0
Pa cos ß + Cs ρ + R cos γ + Cw sen α – W = 0
A procura da superfície de ruptura crítica (inclinação ρmáx) é feita, para cada
altura, variando-se o ângulo de inclinação da superfície de ruptura plana (ρ), partindo-se de
um valor de ρ = ϕ até ρ = 80o, de 2o em 2 o. Em seguida para o intervalo [- 2o, + 2o ] da
superfície de maior resultante obtida nesta primeira análise, varia-se de 0,5o em 0,5o para
melhor precisão do resultado.
Por se tratar de um processo iterativo a precisão dos resultados referentes ao
diagrama de pressão, está associada ao incremento adotado pelo usuário. Sugere-se adotar
um ‘dh’ da ordem de 1/60 a 1/400 da altura do muro.
Exemplo de diagrama para Retroaterro Sobrecarregado
No exemplo apresentado na figura 6. 33, considerou-se para o solo de retroaterro os
parâmetros (ϕ = 30o , C = 0 e δ = 20o). A seção retangular do carregamento foi dividida em
10 partes para cada lado (NSQL e NSQW = 10), e assim, foi considerado como tendo 100
cargas unitárias de 16 kN (PSQR = 16), para um coefíciente de Poisson de 0,5.
Figura 6. 33 – Exemplo de retroaterro sobrecarregado.
Verificou-se inicialmente os resultados, adotando um ‘dh’ de 0,75m, para o
acréscimo de pressão devido a sobrecarga. Em seguida, para o mesmo ‘dh’ foi verificado
do empuxo do retroaterro e a sobreposição de efeitos. A figura 6. 34 apresenta os
diagramas obtidos no exemplo. Observa-se que o carregamento externo elevou o ponto de
aplicação, inicialmente em 2,50m (0,333 de h), para 3,065m, ou seja 0,409 de sua altura.
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Figura 6. 34 – Pressão na parede sem a consideração do sobrecarregamento, Efeito
proveniente da sobrecarga e Sobreposição de efeitos de retroaterro e sobrecarga.
Exemplo de diagrama para Retroaterro Irregular
Apresenta-se um exemplo (figura 6. 35) com retroaterro irregular definidos por
coordenadas, sendo adotadas para o solo os parâmetros ϕ’= 35º e C = 0. O exemplo é
também analisado substituindo-se esta irregularidade por um plano de inclinação constante
(18,5º) que imagina-se equivalente. Na figura 6. 36 são apresentados os diagramas de
pressão (empuxo) para ambas as considerações de retroaterro, e para este sendo horizontal.
Os diagramas de pressão para o retroaterro definido por um plano segundo um
ângulo constante para a condição horizontal são triangulares e têm o seu ponto de
aplicação à 1/3 de sua altura (0,333 h). Para a consideração da irregularidade do
retroaterro, no entanto, o diagrama não apresentou a mesma linearidade e teve a aplicação
de sua resultante elevada à 0,364 de sua altura.
.
Figura 6. 35 – Exemplo de retroaterro definido por coordenadas
Na figura 6. 36, apresenta-se, os ângulos de inclinação das superfície de ruptura
crítica (ρmax), para cada altura ‘Hi’ considerada. Observa-se que, para o retroaterro plano,
este ângulo é constante, para qualquer altura de muro considerada. Para o retroaterro
irregular, este ângulo variou em função da altura considerada na determinação da cunha de
empuxo crítica.
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Faculdade de Engenharia – NuGeo/Núcleo de Geotecnia
Mecânica dos Solos II
Prof. M. Marangon
EMPUXOS DE TERRA
Figura 6. 36 – Exemplo de retroaterro irregular. Diagramas de pressões (empuxo) e
Variação da inclinação da cunha de empuxo máximo (ρmáx) com a altura.
O programa além de obter a cunha de empuxo máxima (OPÇÃO 1) e o diagrama de
empuxo (OPÇÃO 2), utilizando o “método das cunhas iterativo”, conforme apresentado
por MARANGON (1992), analisa a condição de estabilidade de um muro de peso
(OPÇÃO 3), conforme descrito.
Na análise da estabilidade considera as formas mostradas na figura 6. 37, onde Pw
é a resultante de pressão da água preenchendo a trinca de tração, Phs é a resultante de
sobrecarga no terrapleno e Pp é a resultante de empuxo passivo.
Figura 6. 37 – Forças consideradas na análise de estabilidade do muro de arrimo.
Assim, as os fatores de segurança para o tombamento e deslizamento do muro
podem ser escritos como abaixo. O valor do fator de segurança a ser adotado deve ser
avaliado pelo projetista. É comum considerar satisfatório quando este valor supera 1,50.
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