UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS (CTG)
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA (DEMEC)
MECÂNICA DOS FLUIDOS 2 – ME262
Prof. ALEX MAURÍCIO ARAÚJO
(Capítulo 5)
Recife - PE
Capítulo 5 – Análise diferencial dos movimentos fluidos
1. Lei da conservação da massa. Teorema da divergência. Análise de casos particulares: (3D,
transiente); (1D, permanente); (3D, incompressível); (1D, incompressível)
2. Cinemática dos elementos fluidos. Componentes do movimento: translação, deformação
linear, rotação e deformação angular. Trajetória, velocidade e aceleração da partícula fluida.
Variação total de uma grandeza física. Derivada material, substantiva, total ou operador de
Stokes. Campo de velocidades e acelerações (local e convectiva) da partícula fluida.
Exemplos de aceleração convectiva.
3. Componentes do movimento de rotação. Análise diferencial – Hipóteses do contínuo.
Escoamento rotacional e irrotacional. Vorticidade e Circulação. Deformação linear.
Deformação angular. Tensor taxa de deformação. Relações constitutivas de Navier-Stokes.
Equação diferencial da quantidade de movimento. Equação de Navier-Stokes. Hipóteses.
Equação de Euler. Exemplos de aplicação das equações de N-S. Dificuldades para resolver as
equações de N-S. Métodos Numéricos (CFD ou DFC).
Lei da conservação da massa
Teorema da divergência (Green)
S – superfície contínua por partes
- qualquer vetor continuamente diferenciável
A LCM na forma integral é:
(Para VC fixo, a ordem é indiferente!)
, fazendo-se
Temos:
( Teorema de Green )
Então:
Como
, então:
Obtenção da forma diferencial da LCM, a
partir da forma integral, pelo Teorema de
Green.
Lei da conservação da massa
Taxa resultante de fluxo de
massa pelas SC’s
+
Taxa de variação de massa dentro
do VC
Diferencialmente:
Y
dy
dz
V
dx
v
w
Z
u
X
= 0
Casos particulares (coordenadas cartesianas)
(3D, transiente)
(2D, permanente)
(1D, permanente)
0
0
0
0
(3D, incompressível)
0
u│x
(1D, incompressível)
u│(x+Δx)
Δx
u (x) = cte
Se o fluxo é incompressível (
), então a forma do elemento deve ser mantida constante para
que a massa se conserve ( ρ = cte )!
Para que a forma seja constante em um fluxo 1D, as velocidades devem ser iguais para que o elemento não
sofra deformações lineares!
Cinemática dos elementos fluidos
Componentes do movimento
Velocidade e posição de uma partícula “A” no instante “t” / Campo de aceleração
Rotação (movimento angular) e deformação angular (por cisalhamento)
+
é positivo se diminuir o ângulo entre
e
.
Translação e deformação linear
Translação pura
Translação com deformação linear
(“esticamento”)
Trajetória, velocidade e aceleração da partícula fluida
(referencial lagrangeano)
R = R (t)
V = dR / dt  derivada do vetor posição em relação ao tempo
a = dV / dt  velocidade e aceleração observadas ao se acompanhar a
partícula em seu movimento ou trajetória
Trajetória de uma partícula de fluido em escoamento
A fotografia deve ser considerada como superposição
de diversas exposições em instantes sucessivos. A
partícula de fluido cuja trajetória está sendo assim
visualizada ocupa sucessivamente as posições R1, R2
e R3 respectivamente nos instantes t1, t2 e t3. a
equação da trajetória é dada por R = R (t), sendo no
caso uma linha reta vertical.
Variação total de uma grandeza física / Derivada material / Operador de Stokes
1) Seja
a representação dos valores de uma grandeza física qualquer (
2) Sendo
o valor da mesma grandeza em
;
3) A variação total df é dada por:
, T, p, ρ ) ;
4) Logo:
5) Em notação vetorial (operador):
Operador Derivada Total ou
Material ou de Stokes
Exemplos:
A) Aceleração
B) Temperatura
:
:
Taxa de variação total da T de uma
massa de fluido ao ser transportada por
Campo de velocidade e aceleração
• Operador de Stokes
• Derivada Material
O campo de aceleração em um campo de velocidades
(referencial eulereano)
No caso geral variando também a velocidade de ponto para ponto: V = V ( R, t) = V ( x, y, z, t)
dV = (∂V / ∂x) dx + (∂V / ∂y) dy + (∂V / ∂z) dz + (∂V / ∂t) dt
O operador D / Dt é chamado de Derivada Material, Substantiva, Total ou Operador de Stokes :
Aceleração convectiva: variação da velocidade em um mesmo tempo em pontos distintos do campo
Aceleração local: variação da velocidade em um mesmo ponto do campo
Bocal injetor
Tração em x
Bocal difusor
Compressão em x
Vertedor de nível variável
Derivada material e total
Seja T = T (x,y,z,t) o campo de T em um forno. Seu monitoramento térmico, descrito pela taxa de variação da
leitura dT/dt é realizado por um sensor móvel.
Há três modos de se medir a taxa de variação da T no forno:
a) Sensor se move no forno: (derivada total)
Componentes da velocidade do sensor
b) Sensor está fixo no ponto:
c) Sensor acompanha o movimento dos fluidos (ar + gases) do forno:
Componentes da velocidade do fluido ( Material )
Indica a taxa de variação da T (energia interna) de uma massa constante de fluido que se movimenta no forno
com sua velocidade:
Componentes do movimento de rotação
translação
Análise diferencial – Hipóteses do contínuo
Avaliação dos valores das propriedades nas faces do VC
y
(ρ,
)
VC
x
x – dx/2
x
x + dx/2
z
Usando uma expressão em série de Taylor, em relação ao ponto x:
Desprezando ordens superiores
Avaliados em x!
Rotação (movimento angular)
+
Definição: a velocidade angular do elemento em torno de z, ωz , é a média das velocidades angulares de
OA e OB e (considerando-se os sinais da rotação) !.
Vorticidade
(Dobro da rotação)
Casos particulares:
1)
rotação de corpo rígido;
2)
rotação é nula, em z;
3) A rotação (e a vorticidade) é nula quando
4) Se
gira com velocidade angular diferente de
(escoamento irrotacional!);
deformação angular!
Escoamento rotacional e irrotacional
A diferença entre o escoamento rotacional e irrotacional: os elementos fluidos de uma região rotacional do
escoamento giram, mas aqueles de uma região irrotacional do escoamento não giram.
Exemplos de vorticidade
Olho de um tornado
Rodamoinho na água
Vorticidade e Circulação
Circulação: a integral de linha da componente tangencial da velocidade em torno de uma curva fechada fixa
no escoamento.
é um vetor elementar, de comprimento ds, tangente à curva.
Um sentido positivo corresponde a uma trajetória anti-horária de integração em torno da curva.
Vorticidade: é uma medida da rotação de um elemento fluido à medida que ele se move no campo de
escoamento.
Para o elemento fluido tem-se:
A circulação em volta de um contorno fechado é a soma da
vorticidade por ele limitada. (Teorema de Stokes).
Ciclone Catarina
Deformação linear
Variação de volume:
ΔV
Variação relativa de volume: (ΔV/ V)
Taxa da variação relativa de volume devida ao gradiente de velocidade em x:
(ΔV/ V) / Δt
Para os outros gradientes de velocidades (em y e em z), tem-se a expressão geral (3D) da deformação linear:
(ΔV/ V) / Δt
Deformação angular (por cisalhamento)
Alteração da forma do elemento:
+
Convenção: γ é positivo se diminuir o ângulo entre
e
.
Taxa de deformação angular
ou
taxa de deformação por cisalhamento
Rotação de corpo rígido
Tensor taxa de deformação
A deformação total da (PF) é
representada pelo tensor taxa de
deformação:
Deformações angulares
Deformações lineares
No caso das deformações angulares, de modo análogo ao da rotação (segundo Potter, 3ed, p79!):
No caso das deformações lineares:
. Por analogia:
A
B
u
x
Observe que:Єxy = Єyx ; Єxz = Єzx ; Єyz = Єzy.
Logo, o tensor taxa de deformação é simétrico:
Relações constitutivas de Navier-Stokes
São relações entre tensões e as taxas de deformações.
1) σ e taxas de deformação linear
Pressão ou
empuxo estático
Taxa de deformação
linear na direção
da tensão
Segundo coeficiente de viscosidade
2) τ e taxas de deformação angular
3)
Simetria
Taxa de
deformação
volumétrica da
partícula
Equação da quantidade de movimento
0
Forças atuando sobre uma partícula fluida
Simplificando:
Forças de campo
Equação diferencial da quantidade de movimento
(Hip. 1: μ = cte! )
Viscosas!
(Hip. 2:
)
Forma vetorial das Eqs.
de N-S em fluxos
incompressíveis com
μ = cte.
(Hip. 3: μ = cte. = 0 (Equação de Euler))
Eq. de Euler p/ fluido ideal
Eqs. de N-S p/ fluido ideal (ρ = cte e μ = 0)
Exemplos de aplicações de Navier-Stokes
Seja um fluxo viscoso (μ ≠ 0), laminar e incompressível (ρ = cte.) em regime permanente entre duas placas
infinitas em z (fluxo 2D em y-x), paralelas e horizontais fixas. O fluido move-se com u ≠ 0, v = 0 e w = 0.
Aplicar a LCM e a equação de N-S em x para obter a forma de u(y),
usando
as
condições
de
contorno
do
problema
[ y = ± h → u = 0 (não-deslizamento nas paredes)]
0
0
A) Aplicando a LCM:
u (x) = cte, ou seja, o fluxo é uniforme em x.
B) Aplicando N-S:
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p
d 2 u (u (x) = cte pela LCM;
 2
u(z) = cte: ∞ em z)
x
dy
u = u(y)
ou
(p(z) = cte)
(Pressão varia de modo
hidrostático em y)
d 2 u 1  p 
C) Integrando a primeira vez:
 dy 2     x 
D) Integrando a segunda vez:
E) Aplicando a condição de contorno 1 ( y = + h → u = 0):
1  p  h 2
0     c1 h  c2
  x  2
1  p  h 2
F) Aplicando a condição de contorno 2 ( y = - h → u = 0): 0  
  c1 h  c2
  x  2
2
1  p  h
 c1 h  c 2
 
  x  2
G) Levando na condição de contorno 1: 0 = c h – c + c h + c
1
H) Logo, de E) ou F):
2
1
2
2c h = 0 → c = 0
1
1
I) Então de G) e H) em D):
1  p  y 2 1  p  h 2 1  p  y 2  h 2
u  
  
  
  x  2   x  2   x  2
ou
O perfil de velocidades u = u(y) do fluxo entre as duas placas fixas é parabólico.
J) A velocidade máxima no centro (y = 0) é dada por:
K) Vazão volumétrica por unidade de largura (z):
L) A vazão deste fluxo é: - proporcional ao gradiente de pressão
- inversamente proporcional à viscosidade
- muito influenciada pela altura do canal (h³)
M) Velocidade média na seção transversal ( V  q
N) De J) e M): u máx 
3
V
2
h 2  p 
): V 
 
2h
3  x 
É negativo porque a pressão
diminui no sentido do fluxo!
2) Um fluxo viscoso (μ ≠ 0) e incompressível (ρ = cte) em regime permanente entre duas placas infinitas em
z, paralelas e horizontais. A placa superior é móvel com U = cte. O fluido move-se com u ≠ 0, v = 0 e w = 0
(1D). Obter o perfil de velocidades no fluido lubrificante com e sem bombeamento.
U = cte
b
u (y) =?
y
x
1) LCM: ∂u/∂x = 0 (∂v/∂y = ∂w/∂z = 0)
2) A 2ª LN (N-S):
(gx = 0; ∂u/∂t = 0; ∂u/∂x = 0; v = w = 0; ∂²u/∂x² = 0 e ∂²u/∂z² = 0)
d 2 u 1  p 
3) Integrando a primeira vez:  dy 2     x 
 
4) Integrando a segunda vez:
5) Aplicando as condições de contorno:a) y = 0 e u = 0 → c2 = 0 b) y = b → u = U
6)
U
7)
8) Se ∂p/ ∂x = 0, o fluxo ocorre apenas pelo arrasto da placa superior:
(y=0→u=0;y=b→u=U)
( relação linear com y!)
u (y)
Dificuldades para resolver as equações de N-S
 V



 V  V    p   g   2 V
 t



1) EDP, transiente, não-linear, 2a ordem;
2) Não linearidade dos termos das acelerações convectivas [ u(∂u/∂x), w(∂v/∂z), etc.];
3) Não há um processo analítico geral pra resolver EDP’s não lineares;
4) Cada problema precisa ser considerado individualmente.
As partículas fluidas, na maioria dos fluxos, têm movimento acelerado ao escoar de ponto para ponto do
campo. Dessa forma, os termos das acelerações convectivas são importantes. Há casos, face a geometria das
fronteiras, onde elas são nulas. Isso facilita encontrar uma solução do fluxo.
Métodos Numéricos ( DFC ou CFD )
a) Diferenças Finitas (MDF)
b) Elementos Finitos (MEF) (2D) / Volumes Finitos (VEF) (3D)
c) Elementos de Contorno (MEC)
As EDP’s são substituídas por um conjunto de equações algébricas resolvidas em computador.
Malha para análise do escoemento transônico em torno de um
aerofólio com o MEF.
Malha com 1680 elementos usada para estudar o fluxo transônico (NM ≈ 1,0) em torno de um aerofólio.
Malha utilizada na simulação do escoamento em torno de uma pá
com a técnica do MDF.
A densidade da malha é bem maior nas áreas próximas aos bordos de ataque e de fuga  os V nas áreas
próximas dos bordos sejam melhor descritos pelo MDF.
FIM